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Manejo algebraico

U N I DAD 3

Introducción

El álgebra es una parte de las matemáticas siempre presente en los cursos de matemát icas

financieras. En esta unidad se presentan los principios fundamentales del álgebra, como la

reducción de términos semejantes, las operaciones entre expresiones algebraicas, los productos

notables y los diferentes casos de factorización.

También se muestra la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas, lo cual es importante

porque se uti lizan para modelar problemas financieros y administrat ivos, por ejemplo, cálculo

de interés y presupuestos.

Se resolverán asi mismo desigualdades, lineales y cuadráticas, que también sirven para

el modelado de fenómenos y la solución de problemas f inancieros.

Competencia

Al f inalizar la unidad, el alumno podrá:

• Resolver problemas de la empresa en el ámbito financiero y administrativo tomando

decisiones basadas en la aplicación de las herramientas aritméticas y algebraicas

Contenido

3.1. Operaciones algebraicas básicas.

3.1.1. Polinomios.

3.1.2. Reducción de términos semejantes.

3.1.3. Eliminación de los signos de agrupación.

3.1.4. Suma y resta de polinomios.

3.1.5. Multiplicación y división de polinomios.

3.1.5.1. Multiplicación.

3.1.5.2. D ivisión.

3.2. Productos notables.

3.2.1. Producto de binomios conjugados.

3.2.2. Cuadrado de un binomio.

3.3. Simplif icación de expresiones algebraicas (factorización).

3.3.1. Factorización.

3.3.2. Factor común.

3.3.3. D iferencia de cuadrados.

3.3.4. Trinomio cuadrado perfecto.

3.4. Ecuaciones de una variable (lineales y cuadrát icas).

3.4.1. Ecuaciones l ineales de una variable.

3.4.2. Ecuaciones caudráticas de una variable.

3.4.2.1. Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización.

3.4.2.2. Resolución de ecuaciones cuadráticas por fórmula general.

3.5. Desigualdades lineales y cuadrát icas de una variable.

3.5.1. Desigualdades lineales de una variable.

3.5.2. Desigualdades cuadráticas de una variable.

3.6. Valores absolutos.

3.7. Solución de problemas de la empresa a través del manejo algebraico: inversiones,

determinaciónde precios y uti lidad.

3.1. Operaciones algebraicas básicas

Ref lexión : ara poder entender el comportamiento de muchos fenómenos en el área

económica-administrativa es necesario conocer los principios fundamentales del álgebra, por

que es una herramienta que nos permite representar de forma general el comportamiento

matemát ico de cualquier fenómeno.

Además se aplicarán algunas técnicas que faci litan el desarrol lo estas operaciones,

como son la reducción de términos semejantes y la eliminación de signos de agrupación, sin

perder de vista las propiedades de los exponentes y radicales.

3.1.1. Polinomios

Antes de iniciar el estudio de los polinomios se requiere def inir algunos elementos básicos del

álgebra:

VariableEs un valor que cambia de acuerdo con las condiciones de la situación a la que se ref iere; se

representa con cualquier letra del abecedario.

CoeficienteEs un valor conocido y constante, el cual puede ser entero, fraccionario o decimal; posit ivo o

negativo, y sirve como factor.

ExponenteEs un valor constante o variable que indica la potencia a la cual se eleva una variable o toda

una expresión algebraica.

Expresión algebraicaEs una representación matemát ica la cual incluye coef icientes y var iables elevadas a

cier to exponente.

Se consideran expresiones algebraicas fraccionarias las que contienen variables como

parte del denominador, mientras que los polinomios son aquellas expresiones donde las

variables no forma parte del denominador.

Termino algebraico

- 21 7 3

coeficienteparte literal

x y zUn término algebraico está constituido por dos partes: el coeficiente y

la parte literal, la cual incluye todas las variables junto con sus

exponentes.

Los polinomios son expresiones algebraicas que pueden estar formadas por uno o más

términos algebraicos , separados mediante signos de suma (+ ) o resta (–).

Polinomio: 3 22 5 11x x x

Términos algebraicos: 32x ; 2x ; 5x y 11

3 2

Expresión algebraica

2 5 11 x x x

Cuatro términos algebraicos

Los polinomios se clasifican de acuerdo con la cantidad

de términos que los conforman. Así, aquellos

polinomios que constan de un solo término se

denominan monomios; los formados por dos término,

binomios; por tres término, trinomios, y de cuatro términos en adelante se llaman polinomios.

25xy Monomio (un término)

313

2x y Binomio (dos términos)

2 3 3 1 2

5sx y xy Trinomio (tres términos)

Los polinomios también pueden clasificarse de acuerdo con su grado.

Grado de un polinomioEl grado de un polinomio se determina por el mayor grado de los términos que lo

conforman, mientras que el grado de cada término es la suma de los exponentes de las

var iables que lo const ituyen. Si el pol inomio t iene una sola variable, su grado corresponde

al mayor exponente de la variable en cuest ión.

Ejemplo 1

Determina el grado de los siguientes polinomios.

a) 7 x2y2 + 13 x2 y 15

2 + 2 = cuarto grado 2 + 1 = tercer grado grado cero

Por lo tanto se trata de un polinomio de cuarto grado.

b) 9x6 + 21x4 5x2

sexto grado cuarto grado segundo grado.

Por lo tanto se trata de un polinomio de sexto grado.

En un polinomio de varias variables es posible referirse a su grado solo respecto a una

de las variables; éste será el mayor exponente de dicha variable.

Ejemplo 2

D etermina el grado del pol inomio 7 2 39 12 7x y xy con respecto a cada una de sus

var iables.

a) Respecto a x :

9x7y2 + 12xy3 7

sépt imo grado primer grado grado cero

Polinomio de 7mo. grado respecto a x

b) Respecto a y :

9x7y2 + 12xy3 7

segundo grado tercer grado grado cero

Polinomio de tercer grado respecto a y

Para faci litar las operaciones con polinomios se sugiere ordenarlos. Un polinomio está

ordenado cuando se escriben los términos de manera ascendente o descendente con respecto a

los exponentes de una misma variable.

Ejemplo 3

Ordena el siguiente polinomio con respecto a x: 3 2 2 4 321 3 10 5 14 x y x x y x y

a) Polinomio ordenado de forma descendente respecto aPolinomio ordenado de forma descendente respecto a x:

4 3 3 2 214 3 5 10 21x y x y x y x

b) Polinomio ordenado de forma ascendente respecto a x:

2 2 3 4 321 10 5 3 14 x x y x y x y

3.1.2. Reducción de términos semejantes

Se l laman términos semejantes aquellos que t ienen las mismas variables elevadas a los

mismos exponentes.

De esta manera, las expresiones:

2 6( 5 )x y w ,

6 22

5y wx ,

6 2(3.87 )wy x

Son términos semejantes, ya que, aunque en dist into orden, todas tienen las mismas

variables con sus respectivos exponentes.

La reducción de términos semejantes consiste en sumar algebraicamente sus coef icientes

dejando la misma parte l iteral.

Ejemplo 4

Reduce los términos semejantes de las siguientes expresiones:

a) 3 2 3 2 3 3 27 2 5 4 9 2 5 x a x a ax a x ax

Primero vamos a ident if icar los términos semejantes y acomodarlos en forma

de columna:

3 3 22

3 3 2

+ 7 5 42

+ 2 9 5

x a axa x

x a ax

Se suman solamente los coef icientes de cada columna:

7 + 2 = 9, –2, 5 + 9 = 14; 4 – 5 = –1

Por lo tanto:

3 3 22

3 3 2

3 2 3 2

7 5 42

2 9 5

9 2 14 1

x a axa x

x a ax

x a x a ax

Respuesta :

3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 27 2 5 4 9 2 5 9 2 14x a x a ax a x ax x a x a ax

Observa que el término 2( 1 )ax se escribió como 2( )ax porque el coef iciente 1

nunca se escribe cuando acompaña a una variable.

b) 3 2 2 3 2 27 8 4 5 6 4x a x b x b x a x b x b

A diferencia del ejemplo anterior, en el cual la reducción se hace en forma vert ical,

en este ejemplo se hará en forma horizontal.

Primero ordenemos los términos semejantes:

3 2 3 2 2 25 7 6 8 4 4x a x a x b x b x x b b

Ahora reduzcamos los términos semejantes:

3 2 3 2 2 2

3 2 2

5 7 6 8 4 412 56 13

x a x a x b x b x x b bx bx a x b

Respuesta :

3 2 2 3 2 2 3 2 27 8 4 5 6 4 6 13 12 5x a x b x b x a x b x b x a x b x b

Actividad 1

Reduce los términos semejantes de las siguientes expresiones:

a) 3 14 8 6 11a a a a a

b) 7 11 2 11x x x x x

c) 5 4 3 10 11 2m m m m m m

d) 7 4 43 5 3

b b b

e) 2 25 7 8x x x x x

3.1.3. Eliminación de signos de agrupación

L os paréntesis ( ), corchetes [ ] y l laves { } son signos de agrupación, en tanto se ut i l izan para

agrupar términos algebraicos que van a ser afectados por el coef iciente inmediato anterior

a tales signos. Para el iminar el signo de agrupación se mult ipl ica el coef iciente o signo

inmediato anter ior por cada uno de los coef icientes de los términos algebraicos agrupados,

al hacerlo se deben aplicar las leyes de los signos referentes a la mult iplicación.

Es necesario considerar que para el iminar los signos de agrupación se suprimirán

primero los más internos hasta terminar con el más externo.

A cont inuación ejemplif icamos lo expresado:

7x – (–9x2 + 2y – 6)

a) Para el iminar el paréntesis se mult ipl ica el signo negat ivo por el signo de cada

término aplicando las leyes de los signos:

2 27 ( 9 2 6) 7 9 2 6x x y x x y

b) 2 3( 3)( 7 2 )x y z

En este caso, lo que afecta a los términos contenidos en el signo de agrupación

es –3, por lo tanto, cada uno de los coef icientes de los términos deberá ser

mult ipl icado por este factor:

2 3 2 3( 3 )( 7 2 ) 21 6 3x y z x y z

Ejemplo 5

El imina los signos de agrupación y reduce los términos semejantes de las siguientes

expresiones.

a) 3 2 2 2 2 2 3 3 2 33 (5 4 4 )a b a b a b ab a b a b

Primero aplicamos las leyes de los signos para eliminar el paréntesis:

3 2 2 2 2 2 3 3 2 33 (5 4 4 )a b a b a b ab a b a b

3 2 2 2 2 2 3 3 2 33 5 4 4a b a b a b ab a b a b

Reduciendo términos semejantes tenemos:

3 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 33 5 4 4 8 4 4a b a b a b ab a b a b a b ab a b

Finalmente:

3 2 2 2 2 2 3 3 2 33 (5 4 4 )a b a b a b ab a b a b 2 2 3 38 4 4a b ab a b

Respuesta : La solución es, 2 2 3 38 4 4a b ab a b

b) 23 2 5 4 10 2 9

5 9 3 3xy y xy xy y

Se aplican las leyes de los signos para eliminar el corchete:

23 2 5 4 10 2 9

5 9 3 3xy y xy xy y

23 2 5 4 10 2 9

5 9 3 3xy y xy xy y

Reduciendo términos semejantes tenemos:

2 23 2 5 4 34 14

10 2 9 2 15 9 3 3 15 9

xy y xy xy y xy xy y

Respuesta : La solución es:

234 14

2 115 9

xy xy y

c) 3 2 3 3 3 3(3 2 3 ) (5 5 ) (2 3 )xy x x y y y x xy xy x

Primero eliminamos los signos de agrupación aplicando las leyes de los signos: 3 2 3 3 3 33 2 3 5 5 2 3 xy x x y y y x xy xy x

Ahora se reducen los términos semejantes:

2 34

3

3

3 5 2

0

3 3 3

3

2

2

3x x xx

x y

x y

xy xy xy

xy

y- + -

-

+ - +

+

+ ++

+

5

6

3

3

y

y

Respuesta : La solución es 4x3 – 3x2y + 6y3

Observa que el término (0 )xy no fue incluido en la solución f inal debido a que

0 0xy

d) 3 2 3 2 3 2(2 ) 4 7 3 2 2 8x x x x x x x x x

Observemos que esta expresión está formada por dos partes: la primera está

entre corchetes y la segunda entre llaves.

3 2 3 2 3 2(2 ) 4 7 3 2 2 8

primera parte segunda parte

x x x x x x x x x

Se eliminan los signos de agrupación, comenzando por los más internos de cada

parte. En la primera se elimina el paréntesis multiplicando el signo (–) por los

términos contenidos en él. De esta manera la primera parte queda así:

3 22x x x

La segunda parte cont iene dos signos de agrupación internos, cada uno de el los

se elimina aplicando las leyes de los signos. En el primer corchete se multiplica el

signo (+ ) que le antecede (si no aparece se da por entendido que el signo es + ) por

los términos contenidos en él:

3 2 3 24 4 x x x x x x

El número 7, que no t iene signo de agrupación, se queda igual.

Para el segundo corchete se mult ipl ica el signo (–) que le antecede por los términos

contenidos en él:

3 2 3 23 2 2 8 3 2 2 8x x x x x x

Por lo tanto, la segunda parte queda:

3 2 3 24 7 3 2 2 8x x x x x x

Una vez eliminados los signos de agrupación internos, la expresión inicial queda

de la siguiente manera: 3 2 3 2 3 22 4 7 3 2 2 8x x x x x x x x x

De esta expresión los signos de agrupación que quedan se el iminan de manera

similar y se obtiene: 3 2 3 2 3 22 4 7 3 2 2 8x x x x x x x x x

Se reducen los términos semejantes y se obtiene:

x x xx

x x xx

x x xx

3 3 3

3

2 2 23 2 4 24

222

+ --

- + ++

+ - --

+ --

7 81

Respuesta : El resultado final es 3 24 2 1x x x

Actividad 2

Elimina los signos de agrupación y reduce los términos semejantes:

a) (7 8 2 ) ( 5 2 3 )x y xy x y xy

b) 2 2 2( 6 2 ) 2 (3 5 )x x x x x x

c) 6 ( 5 3 2 ) (2 3 )m m n m n m n

d) ( 3 5 2 3 ) 2a b c a b c c

3.1.4. Suma y resta de polinomios

Ahora que contamos con los conocimientos básicos sobre expresiones algebraicas podemos

realizar la suma y resta de polinomios.

Para sumar dos polinomios se escribe uno a cont inuación del otro, respetando sus

signos, y f inalmente se reducen los términos semejantes.

Por ejemplo: Suma los polinomios:

2 25 10 7x xy a y 2 2 23 6 11 3x x y y xy

Primero escribimos un polinomio a continuación del otro, respetando sus signos: 2 25 10 7x xy a 2 2 23 6 11 3x x y y xy

Ahora reducimos los términos semejantes:2 2 2 22 13 7 6 11x xy a x y y

Por lo tanto: 2 2 2 2 2 2 2 2 2(5 10 7 ) ( 3 6 11 3 ) 2 13 7 6 11x xy a x x y y xy x xy a x y y

Para restar dos polinomios cada uno de ellos es colocado dentro de un signo de

agrupación uno a cont inuación del otro, pero el polinomio que “ resta” debe estar afectado por

el signo ( – ), después se el iminan los signos de agrupación tomando en consideración las leyes

de los signos y se reducen los términos semejantes.

Por ejemplo:

Restar 3 25 7x x

menos 3 26 9 8 1x x y

Cada uno de los polinomios es colocado dentro de signos de agrupación y el signo

menos afecta al segundo polinomio:

3 2 3 2(5 7 ) (6 9 8 1)x x y x x y

Eliminamos los signos de agrupación:

3 2 3 2(5 7 ) (6 9 8 1)x x y x x y 3 2 3 25 7 6 9 8 1x x y x x y

Reducimos términos semejantes:

3 2 3 2 3 25 7 6 9 8 1 10 1x x y x x y x x y

Respuesta : 3 2 3 2(5 7 ) (6 9 8 1)x x y x x y 3 210 1x x y

Ejemplo 6

Suma los siguientes polinomios.

a) 2 3 210 8 5; 6 9 5 2x x x x x

Colocamos los polinomios uno a continuación del otro respetando sus signos:

2 3 210 8 5 6 9 5 2x x x x x

Ahora reducimos los términos semejantes:

2 3 2 3 210 8 5 6 9 5 2 6 13 3x x x x x x x x

Respuesta : 2 3 2 3 2(10 8 5) (6 9 5 2) 6 13 3x x x x x x x x

b) 3 2 3 2 24 9 ; 7 2 3a b ab a b ab b

Colocamos los polinomios uno a continuación del otro respetando sus signos:

3 2 3 2 24 9 7 2 3a b ab a b ab b


3 2 3 2 2 3 2 24 9 7 2 3 3 7 3a b ab a b ab b a b ab b

Respuesta : 3 2 3 2 2 3 2 2(4 9 ) ( 7 2 3 ) 3 7 3a b ab a b ab b a b ab b

Ejemplo 7

Encuentra la resta del primer polinomio menos el segundo.

a) 7 4 5; 8 4 2x y x y



(7 4 5) (8 4 2)x y x y


(7 4 5) (8 4 2) 7 4 5 8 4 2x y x y x y x y


7 4 5 8 4 2 8 3x y x y x y

Respuesta : (7 4 5) (8 4 2) 8 3x y x y x y

b) 3 3 3 35 4 7 ; 3 9 5x y z x y z



3 3 3 3(5 4 7 ) ( 3 9 5 )x y z x y z


3 3 3 3 3 3 3 3(5 4 7 ) ( 3 9 5 ) 5 4 7 3 9 5x y z x y z x y z x y z


3 3 3 3 3 35 4 7 3 9 5 8 13 12x y z x y z x y z

Respuesta : 3 3 3 3(5 4 7 ) ( 3 9 5 )x y z x y z 3 38 13 12x y z

Actividad 3

Realiza las operaciones indicadas.

1. En los siguientes ejercicios suma los polinomios dados.

a) 3 3 29 12 5; 7 9 5 21x x x x x

b) 3 2 3 2 27 9 ; 7 2 3ab a b ab a b a

c) 2 3 2 2 3 2 27 9 2 ; 7 2 3a b a b a ab a b a

2. En los siguientes ejercicios resta el segundo polinomio al primero.

a) 2 3 2 34 5 5; 8 4 2x y x y y

b) 2 27 3 7; 3 9 3x y x y

c) 3 3 3 3 3 39 4 7 ; 13 9 3x y y x x x y y x x

d) 2 2 2 35 2 4x y y y ; 2 2 33 10x y y

3.1.5. Multiplicación y división de polinomios

Para realizar estas dos operaciones es necesario recordar y aplicar las leyes de los exponentes

y los radicales , como se hizo en las unidades uno y dos, así que ten a la mano las tablas que

resumen esas propiedades.

3.1.5.1. Multiplicación

El producto de dos monomios o más se realiza multiplicando sus coeficientes y posteriormente las

variables aplicando la ley de los exponentes.

Ejemplo 8

Multiplica los siguientes monomios.

a) ( )( )x y xy

b) 5 2 5 2 7m m m m

c) 2 2 2(3 )( 6 ) (3)( 6)( ) 18x y x y x y

d) 7 7 11

22 7 2 2 2 2( )( ) ( )m m m m m m

e) 3 4 3 4 3 4 77 (5 ) (7)(5) 35 35x x x x x x

f ) 5 3 5 3 5 3 88 (6 ) ( 8)(6) 48 48a a a a a a

g) 3 2 5 4 3 5 2 4 9 67 1 7 1 7( ) ( )( )

8 3 8 3 24a b a ab a a a b b a b

El producto de dos polinomios se obtiene multiplicando cada uno de los términos del primer

polinomio por todos los términos del segundo; en caso de obtener en el producto términos

semejantes se deben reducir a su mínima expresión.

Ejemplo 9

Realiza las siguientes multiplicaciones.

a) 4 3 4 3 4 3 5 3 4 3(8 )(2 7) (8 )(2 ) (8 )( 7) 16 56m n m m n m m n m n m n

b) 3 3 3 4 2 3( )(3 4) ( )(3 ) ( )( 4) 3 3 4 4x x x x x x x x x x x x

c)

2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 23 3 6 2 2 4a x a xy a xz x yb y b yz b2 2 2 2 2(3 2 )( 2 )a x b y x y z

En tanto no hay términos semejantes que reducir, el resultado se deja así.

Actividad 4

Realiza las siguientes multiplicaciones.

a) 2 4 3 2(4 )( 8 )a b a b

b) 3 6 3 5( )( )( )m n n m n

c)

4 4 3 2 3 41( 2 )

4m n p m n p

d) 2 3 4 1 21 2 13 3 2

abc a b c a b

e)

4 35( )x x

3.1.5.2. División

El tema de división entre polinomios lo abordaremos a través de unos ejemplos:

Ejemplo 10

Realiza la división:

5 2 3

3

20

4

x y z

xy z

Es una división entre monomios; para obtener su resultado primero se dividen

los coef icientes:

20

54

Para dividir las literales se aplica la propiedad de los exponentes, en la que se

indica que al exponente del numerador se le resta el exponente del denominador,

por lo tanto:

5 2 3 25 35 1 2 3 3 1

3 3

x y z yx zx y z

xy z x y z

Se hacen las operaciones indicadas con los exponentes:

5 2 34 1 2

3

x y zx y z

xy z

Respuesta : El resultado de la división es:

5 2 3 4 24 1 2

3

20 55

4x y z x z

x y zxy z y

Para realizar las divisiones entre polinomios se ut i liza un procedimiento muy similar

al empleando en aritmét ica, sólo que en lugar de números se uti l izan polinomios, por lo

demás se trabaja de la misma manera. A continuación presentamos un ejemplo de este t ipo

de método.

Ejemplo 11

Realiza la división:

38 2 102 2

x xx

Antes de efectuar la división se requiere que los términos de ambos polinomios

estén ordenados en forma descendente en sus exponentes con respecto a la

misma l iteral.

Se escribe la división en esta forma:

32 2 2 8 10x x x

Nótese que entre 2x3 y 8x se reserva el lugar del término de x2 que no aparece en

el polinomio, debido a que en el momento en que se efectúe la división aparecerá

un término con x2.

Empecemos el procedimiento: se divide el primer término del dividendo entre

el primer término del divisor 3

222x

xx

; este resultado es el primer término del

cociente y se escribe:

2

3

2 2 2 8 10

xx x x

El primer término del cociente se multiplica por el divisor:

2 3 2(2 2) 2 2 x x x x

Este resultado se resta al dividendo:

2

3

3 2

2 2 2 8 10

(2 2 )

xx x x

x x

Se elimina el signo de agrupación multiplicando por el signo menos – y se escribe:

2

3

3 2

2 2 2 8 10

2 2

xx x x

x x

Se reducen los términos semejantes y bajando los siguientes términos del dividendo

se obtiene el primer residuo:

2

3

3 2

2

2 2 2 8 10

2 2

2 8 10

xx x x

x x

x x

El primer término del primer residuo se divide entre el primer término del divisor:

222x

xx

Este resultado es el segundo término del cociente y se escribe:

2

3

3 2

2

2 2 2 8 10

2 2

2 8 10

x xx x x

x x

x x

El segundo término del cociente se multiplica por el divisor:

2(2 2) 2 2x x x x

Este resultado se le resta al residuo:

2

3

3 2

2

2

2 2 2 8 10

2 2

2 8 10

(2 2 )

x xx x x

x x

x x

x x

Se elimina el signo de agrupación multiplicando el signo menos:

2

3

3 2

2

2

2 2 2 8 10

2 2

2 8 10

2 2

x xx x x

x x

x x

x x

Se reducen los términos semejantes:

2

3

3 2

2

2

2 2 2 8 10

2 2

2 8 10

2 2

10 10

x xx x x

x x

x x

x x

x

Se divide el primer término del residuo entre el primer término del divisor:

105

2xx

Este resultado es el tercer término del cociente y se escribe:

2

3

3 2

2

2

5 2 2 2 8 10

2 2

2 8 10

2 2

10 10

x xx x x

x x

x x

x x

x

El tercer término del cociente se multiplica por el divisor:

5(2 2) 10 10x x

Este resultado se resta al residuo:

2

3

3 2

2

2

5 2 2 2 8 10

2 2

2 8 10

2 2

10 10

(10 10)

x xx x x

x x

x x

x x

x

x

Se elimina el signo de agrupación multiplicando el (–) menos:

2

3

3 2

2

2

5 2 2 2 8 10

2 2

2 8 10

2 2

10 10

10 10

x xx x x

x x

x x

x x

x

x

Se reducen los términos semejantes y se obtiene:

2

3

3 2

2

2

5 2 2 2 8 10

2 2

2 8 10

2 2

10 10

10 10

0

x xx x x

x x

x x

x x

x

x

Respuesta : El cociente es 2 5 x x y el residuo es cero.

Actividad 5

Realiza las siguientes divisiones.

a) 3 2 5

3 2 5

77

a b ca b c

b) 5 2

4 3

x y z

x y

c) 2

3

45a bab

d) 4 1 3

2 2

1428

a b ca bc

e) 23 5 2 2

3 2 3 2 3 2

3 2u v u v u vu v u v u v

f ) 248 8 86 2

x xx

g) 3 210 26 17 3

5 3x x x

x

3.2. Productos notables

Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas f ijas y por lo tanto el

resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin efectuar la mult iplicación.

En esta sección nos ocuparemos de aquellos productos notables cuya aparición y

aplicación es más frecuente: el binomio al cuadrado y el producto de binomios conjugados.

.2.1. Producto de binomios conjugados

Entenderemos por binomios conjugados aquellos binomios que tienen los mismos términos y

sólo dif ieren en un signo. Este producto da como resultado la diferencia de los cuadrados de

los términos.

El producto de binomios conjugados es:

2 2( )( )x y x y x y

Ejemplo 12

Realiza los productos indicados.

a) (3 5)(3 5)a a

En este caso podemos considerar:

3 y 5x a y

Por lo tanto tendremos:

2 2(3 5)(3 5) (3 ) (5)a a a

Respuesta : 2(3 5)(3 5) 9 25a a x

b) 2 2(9 7 )(9 7 )a b a b


29 y 7x a y b


2 2 2 2 2(9 7 )(9 7 ) (9 ) (7 )a b a b a b

Respuesta : 2 2 4 2(9 7 )(9 7 ) 81 49a b a b a b

c) 2 21 15 5

4 4m n p m n p


21 y 5

4x m n y p


2

2 2 2 21 1 15 5 (5 )

4 4 4m n p m n p m n p

Respuesta :

2 2 4 2 21 1 15 5 25

4 4 16m n p m n p m n p

d) Realiza el producto

3 2 3 22 25 5a b a b

c c


3 2 25 b y x a y

c


2

3 2 3 2 3 2 22 2 25 5 (5 )a b a b a b

c c c

Respuesta :

3 2 3 2 6 4

2

2 2 45 5 25a b a b a b

c c c

Actividad 6

Realiza los productos indicados.

a) ( 2 )( 2 )x y x y

b) 2 2( )( )xy z w xy z w

c) 3 31 14 4

2 2x x =

d)

2 3 2 31 1 1 13 5 3 5

m n p m n p=

e) ( 2)( 2)x x

f ) 2 2( 4 )( 4 )ab z abc ab z abc

3.2.2. Cuadrado de un binomio

El cuadrado de un binomio es el producto de éste por sí mismo, matemáticamente se expresa

de la siguiente manera.

El cuadrado de un binomio Es:

2 2 2( ) ( )( ) 2 x y x y x y x xy y

2 2 2( ) ( )( ) 2 x y x y x y x xy y

Es usual que estos binomios se resuelvan ut ilizando los siguientes pasos:

El cuadrado del primer término

Más (menos) el doble producto del primer término por el segundo

Más el cuadrado del segundo término

En los siguientes ejemplos se muestra su aplicación.

Ejemplo 13

Desarrolla los siguientes binomios.

a) 2 2(3 4 )a a


23 y 4x a y a


2 2 2 2 2 2(3 4 ) (3 ) 2(3 )(4 ) (4 )a a a a a a

Respuesta : 2 2 4 3 2(3 4 ) 9 24 16a a a a a

b) 3 2(5 3 )a b


35 y 3x a y b


3 2 3 2 3 2(5 3 ) (5 ) 2(5 )(3 ) (3 )a b a a b b

Respuesta : 3 2 6 3 2(5 3 ) 25 30 9a b a a b b

c) 2

2 33 22 5

a b


2 33 2 y

2 5x a y b


2 2 2

2 3 2 2 3 33 2 3 3 2 22

2 5 2 2 5 5a b a a b b

Respuesta :

2

2 3 4 2 3 6 4 2 3 63 2 9 12 4 9 6 42 5 4 10 25 4 5 25

a b a a b b a a b b

Actividad 7

Desarrol la los siguientes binomios.

a) 2(5 2)a

b) 2(2 3 )x y

c) 2

2 31 12 3

x y

d)

2

2 21 15 7

m n

3.3. Simplificación de expresiones algebraicas (fac torización)

En la sección anterior se revisaron algunos métodos que permiten realizar mult iplicaciones. En

esta sección se estudiará el proceso inverso de la mult iplicación, denominada factorización, ya

que consiste en encontrar los factores que dan lugar a la expresión original. Los procedimientos

de factorización que se desarrollarán en esta unidad son: factor común, diferencia de cuadrados

y t rinomio cuadrado perfecto.

3.3.1. Factorización

Factorización es el proceso que consiste en descomponer una expresión algebraica en factores,

que al multiplicarse dan como resultado la expresión algebraica inicial.

Por ejemplo, descomponer en factores al número 24, podría llevarnos a:

(8) (3) = 24

(6) (4) = 24

(12) (2) = 24

Entre otros resultados. Por lo tanto, la descomposición factorial no es única.

Cabe mencionar que el máximo común divisor (mcd) nos será út il para encontrar los

factores de un polinomio. El mcd se define como la expresión algebraica de mayor grado que

divide exactamente a un polinomio. La manera de obtenerlo es:

1. Se determina el número mayor que divida exactamente a todos los coeficientes

del polinomio.

2. Se identif ican las literales comunes de menor exponente que dividan exactamente

a las literales del polinomio.

Ejemplo 14

Encuentra el máximo común divisor de los siguientes polinomios.

a) 3 3 2 26 14 10xy x y x y

Primero encontramos el mcd de los coef icientes; en este caso es 2, porque es el

número más grande que divide exactamente a todos los coeficientes

6 14 103; 7; 5

2 2 2

Ahora no fijamos en las literales comunes de menor exponente, en este caso son x, y.

Respuesta : El mcd del pol inomio, 3 3 2 26 14 10xy x y x y es 2xy

b) 5 7 4 4 2 2 3 3 44 16 32a b c a b c a b c

Primero encontramos el mcd de los coeficientes; en este caso es 4, porque divide

exactamente a 4, 16 y 32.

Ahora no f ijamos en las l iterales comunes de menor exponente, en este caso

son 3 2 2a b c

Respuesta : El mcd del pol inomio:

5 7 4 4 2 2 3 3 44 16 32a b c a b c a b c es 3 2 24a b c

Actividad 8

Encuentra el mcd de los siguientes polinomios.

a) rs + 4st

b) 36 8 14a a

c) 2 2 23 9x y x y

d) 2 210 15x y xy

e) 2 3 3 3 28 12p qr p q r

3.3.2. Factor común

Una de las formas más simples de factorizar es ident if icar aquellos factores que son comunes

a cada uno de los términos que conforman a la expresión algebraica. Estos se denominan

factor común (primer factor).

Por ejemplo:

( )ax bx cx x a b c

El factor común es el mcd.

Para obtener el segundo factor es necesario dividir la expresión algebraica que se

quiere descomponer entre el primer factor.

En los siguientes ejemplos se muestra la manera de encontrar la factorización de un

polinomio por factor común.

Ejemplo 15

Factoriza los siguientes polinomios.

a) 2 4 3 5 4 36 9 3a b a b a b

El máximo común divisor es el factor común, en este caso es: 2 33a b

D ividiendo el pol inomio original entre este factor tenemos:

2 4 3 5 4 3

2 3

6 9 3

3

a b a b a b

a b2 22 3b ab a

Respuesta : La factorización es:

2 4 3 5 4 36 9 3a b a b a b 2 3 2 23 (2 3 )a b b ab a

b) 5 3 4 4 3 2 25 37m n p m np m n

El máximo común divisor es el factor común, en este caso es: 2m n

D ividiendo el pol inomio original entre este factor tenemos:

5 3 4 4 3 2 2

2

5 37

m n p m np m n

m n3 2 4 2 35 37m n p m p n


5 3 4 4 3 2 25 37m n p m np m n 2 3 2 4 2 3(5 37 )m n m n p m p n

Actividad 9


a) 3 2x x x

b) 4 212 15 6a a a

c) 2 3 2 318 6 42m n mn m n

d) 5 2 2 3 53 12 12x y x y xy

e) 5 4 3 3 3 3 4 4 235 14 28 m n p m n p m n p

3.3.3. Diferencia de cuadrados

Diferencia de cuadrados Es una expresión de la forma 2 2a b

Esta expresión se factoriza de la siguiente forma:

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Una manera de factorizar la di ferencia de cuadrados es ut i lizando el siguiente

procedimiento:

1. Se calcula la raíz cuadrada de cada término.

2. Con estas raíces cuadradas se forman dos binomios conjugados.

3. Estos binomios conjugados se escriben como producto y forman la factorización.

Apliquemos este procedimiento en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 16


a) 2 216 25z g

Primero se determina la raíz cuadrada de cada término:

216 4 z z y 225 5g g

Ahora uti lizamos estas raíces para hacer el producto de binomios conjugados:

(4 5 )(4 5 )z g z g

Respuesta : La factorización es: 2 216 25 (4 5 )(4 5 )z g z g z g

b) 22

36 4

yx


2

36 6x x

y

2

4 2y y


6 2 6 2y yx x


22

36 4 6 2 6 2

y y yx x x

c) 6 4 2 8( ) 4x y y


6 4 2 6 4( ) ( )x y x y y 8 44 2y y


6 4 4 6 4 4(( ) 2 )(( ) 2 )x y y x y y

Se eliminan los signos de agrupación internos de cada término:

6 4 4 6 4 4( 2 )( 2 )x y y x y y

Se reducen los términos semejantes:

6 4 6 4( )( 3 )x y x y

Respuesta : La factorzación es:

6 4 2 8 6 4 6 4( ) 4 ( )( 3 )x y y x y x y

Actividad 10

Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados.

a) 2 24 9x y

b) 216 m

c) 2 425 49x y

d) 2 4 664 m n p

e) 2 4 61 9m n p

3.3.4. Trinomio cuadrado perfecto

El trinomio cuadrado perfecto Es un t rinomio en el cual dos de sus términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada

exacta) y el tercer término es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos.

La factorización de un trinomio cuadrado perfecto se puede visualizar como la

operación inversa de elevar al cuadrado un binomio de la forma:

( )a b o ( )a b .

Por lo tanto:

2 2 22 ( )a ab b a b

2 2 22 ( )a ab b a b

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se puede seguir los siguientes pasos.

1. Se ordena el trinomio respecto a una variable.

2. Se obtiene la raíz cuadrada de los términos cuadrados perfectos.

3. Se verif ica que el doble producto de estas raíces sea el segundo término del

trinomio y de ser así.

4. La factorización se escribe como un binomio elevado al cuadrado cuyos términos

son las raíces cuadradas; el signo del binomio es el signo del segundo término del

trinomio que se está factorizando.

Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 17


a) 2 6 9x x

Primero se obtiene la raíz cuadrada del primer y tercer términos:

2x x y 9 3

Ahora se verif ica que el doble producto de estas dos raíces sea el segundo término

del t rinomio:

2( )(3) 6x x

Se escribe un binomio con las dos raíces; el signo del binomio es el signo del

segundo término del t rinomio:

( 3)x

Se eleva al cuadrado este binomio:

2( 3)x


2 26 9 ( 3)x x x

b) 2 24 12 9 x xy y

Primero se calcula la raíz cuadrada del primer y tercer término:

24 2x x y 29 3y y


del t rinomio:

2(2 )(3 ) 12x y xy



(2 3 )x y


2(2 3 )x y


2 2 24 12 9 = (2 3 )x xy y x y

c) 216 56 49

9 18 36x

x

Primero se calcula la raíz cuadrada del primer y tercer término:

216 49 3x

x

y

49 736 6


del t rinomio:

4 7 562

3 6 18x

x



4 73 6x


24 73 6x


2216 56 49 4 79 18 36 3 6x x

x

Actividad 11

Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos.

a) 2 18 81x x

b) 2 14 49x x

c) 2 24 8a ab b

d) 2 26 9m mn n

e) 2 216 40 25a ab b

3.4. Ecuaciones de una variable (lineales y cuadrát icas)

En muchos de los problemas que hemos planteado y resuelto en las secciones anteriores se incluía, de

manera implícita, el concepto de ecuación. En esta sección aprenderemos las técnicas necesarias para

encontrar los valores numéricos que resuelven tanto las ecuaciones lineales como las cuadráticas.

3.4.1. Ecuaciones lineales de una variable

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las que intervienen variables y

cantidades conocidas. Las expresiones de cada lado de la igualdad se llaman miembros de la ecuación.

5 6 7 10primer miembro segundo miembro

x x

Normalmente las ecuaciones ref lejan, de forma algebraica, las condiciones

que deben sat isfacerse para resolver un problema. Por este mot ivo, resulta importante

encontrar los valores numéricos que al ser sust ituidos en lugar de las variables, hacen cierta

la igualdad. A este proceso se le l lama resolver la ecuación .

Para resolver una ecuación es necesario despejar la variable, es decir, dejar sola a la

variable de un lado de la ecuación, para lograrlo revisaremos las siguientes dos propiedades.

Propiedad de la suma

Si a, b y c son números reales y a b entonces

a c b c Ejemplo: Si 3 22 5

x

Entonces: 3 3 2 32 2 5 2

x

Por lo tanto: 19 9

110 10

x

a c b c Ejemplo: Si 5 32 4

x

Entonces: 5 5 3 52 2 4 2

x

Por lo tanto: 74

x

Observa que si tenemos un término sumando en un lado de la ecuación:

a b c

Podemos aplicar la propiedad de la suma con el valor ( )b y tendremos:

a b b c b

O bien:

a c b

Parece que el término ( )b “pasó” al otro lado de la ecuación pero, con signo diferente.

En resumen:

Si a b c entonces a c b

Del mismo modo:


Propiedad de la multiplicación

Si a,b y c son números reales y a= b entonces

( )( ) ( )( )a c b c Ejemplo: Si 1 14 5

x

Entonces 1 1

(4) (4)4 5

x

Por lo tanto 45

x

Si además 0c entonces:

1 1a b

c c

Ejemplo: Si 5 8x

Entonces 1 1

5 85 5

x

Por lo tanto 8 3

15 5

x

Observa que si tenemos un término distinto de cero multiplicando en un lado de la ecuación:

ab c

Podemos aplicar la propiedad de la multiplicación con el valor 1b

y tendremos:

1 1ab c

b b

O bien:c

ab

El término (b) “pasó” al otro lado de la ecuación, pero dividiendo.

En resumen:

Si ab c entonces c

ab

Del mismo modo:

Si a

cb

entonces a bc

Antes de continuar debemos remarcar que la propiedad de la multiplicación nos permite

“pasar” términos de un lado de la ecuación a otro, pero cuando el coeficiente tiene signo negativo (–)

nos permite decidir si deseamos que el signo “pase” junto con el coeficiente o no. Por ejemplo:

Considera la ecuación:

9 3x

Podemos aplicar la propiedad de la multiplicación de las siguientes maneras:

a) “ Pasamos” el coeficiente 9 dividiendo al otro lado de la ecuación:

1 13

9 3x

Por lo tanto:

13

x

b) “ Pasamos” el coeficiente –9 dividiendo al otro lado de la ecuación:

1 13

9 3x

Por lo tanto:

13

x

Ambas respuestas son correctas e iguales, pero normalmente se desea que la variable

tenga signo positivo, por lo tanto la respuesta del inciso (b) será la más apropiada.

Ahora veamos cómo uti lizar estas propiedades en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 18

Uti liza la propiedad de la suma para resolver las siguientes ecuaciones.

a) 7 6x

Primero sumamos el valor en ambos lados de la ecuación:

7 7 6 7x

Ahora simplif icamos términos semejantes:

13x

Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación

7 6x es 13x

b) 2

33

y

Primero restamos el valor 23

en ambos lados de la ecuación:

2 2 2

33 3 3

y

Ahora simplif icamos términos semejantes: 7 1

23 3

y

Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación 2

33

y es 1

23

y

c) 3.2 7.3m

Primero “pasamos” el término (3.2) al otro lado de la ecuación:

7.3 3.2m

Observa que “pasó” con el signo contrario.


4.1m


3.2 7.3m es 4.1m

d) 2 53 3

a

Primero “pasamos” el término 2

–3

al otro lado de la ecuación:

5 23 3

a

Observa que “pasó” con el signo contrario.


3

13

a

Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación:

2 53 3

a es 1a

e) 5 – x = 7

Primero “pasamos” el término (5) al otro lado de la ecuación:

7 5x


2x

Como normalmente se desea que la variable quede con signo positivo podemos

“pasar” cada término al otro lado de la igualdad cambiando de signo:

2 x


5 7x es 2x

Ejemplo 19

Utiliza la propiedad de la multiplicación para resolver las siguientes ecuaciones.

a) 3 25 7

y

Primero multiplicamos ambos lados de la ecuación por el valor 53

5 3 5 23 5 3 7

y

Realizamos las multiplicaciones indicadas:

1021

y


3 25 7

y es 1021

y

b) 102x

Primero multiplicamos ambos lados de la ecuación por el valor (2):

(2) (2)( 10)

2x


20x


102x

es 20x

c) 2

35

m

Primero “pasamos” el valor ( 3 ) dividiendo al otro lado de la ecuación:

1 23 5

m


2

15m


23

5m

es

215

m

d) 1 75 9

m

Primero “pasamos” el valor (5) multiplicando al otro lado de la ecuación:

7(5)

9m


35 83

9 9m


1 75 9

m es

83

9m

e) 2 13 2

x

Primero “pasamos” el valor (2) dividiendo y el valor (3) multiplicando al otro

lado de la ecuación:

3 12 2

x


34

x


2 13 2

x es

34

x

Ahora veamos, en los siguientes ejemplos, la forma en que se resuelven ecuaciones que tienen

variables en ambos miembros.

Ejemplo 20

Resuelve las siguientes ecuaciones lineales.

a) 2 3 4x x

Primero pasamos todos los términos que cont ienen a la variable de un lado de la

ecuación y los otros al otro lado:

4 3 2x x

Observa que los términos 4x y 2 cambiaron de signo.

Ahora simplif icamos los términos semejantes:

5 5x

Por último pasamos el valor 5 dividiendo al otro lado de la ecuación:

1

( 5) 15

x

Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación lineal:

2 3 4x x es 1x

b) 3

2 15

xx

Primero pasamos el valor (5) mult iplicando al otro lado de la ecuación:

3 (5)(2 1)x x

Realizamos la mult iplicación:

3 10 5x x

Ahora pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la


10 5 3x x

Simplif icamos los términos semejantes:

9 2x

Pasamos el valor (–9) dividiendo al otro lado de la ecuación:

2 29 9

x

Observa que “el número se llevó el signo negat ivo”.


32 1

5x

x es 2

9x

c) 3(2 1) 2 4(2 3 )x x

Primero eliminamos los signos de agrupación:

6 3 2 8 12x x

Ahora pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la

ecuación y los otros al otro lado: 6 12 8 3 2x x

Simplif icamos los términos semejantes: 6 3x

Pasamos el valor (6) dividiendo al otro lado de la ecuación:

1 13

6 2x

Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación lineal

3(2 1) 2 4(2 3 )x x es 12

x

d) 1 1

5 32 4

x x



1 13 5

2 4x x


12

4x

Pasamos el valor (4) multiplicando al otro lado de la ecuación:

(4)( 2) 8x


1 15 3

2 4x x

es

8x

Actividad 12

Uti liza las propiedades de la suma y el producto para resolver las siguientes ecuaciones.

a) 3 5x

b) 3 6x

c) 2 4 2x

d) 1

5 2 32

x x

e) 11 7 12 13x x

f ) 3

4 3x x

g) 2( 3) 4 3( 2)x x

3.4.2. Ecuaciones cuadráticas de una variable

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es una ecuación en donde la variable tiene como

mayor exponente el valor 2. En esta sección revisaremos dos métodos que nos permitirán

resolver este tipo de ecuaciones.

3.4.2.1. Resolución de ecuaciones cuadráticas por f actorización

Primero aprenderemos a resolver las ecuaciones cuadrát icas mediante la aplicación de las técnicas

de factorización que ya hemos visto. Para lograrlo debemos seguir los siguientes pasos:

1. Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación.

2. Simplif icamos los términos semejantes, con lo cual obtendremos un polinomio

igualado a cero.

3. Factorizamos el polinomio.

4. Uti lizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir:

5. ( )( ) 0a b , si y sólo si, 0a o 0b

Veamos en los siguientes ejemplos la forma en que debemos seguir y aplicar los cuatro

pasos anteriores.

Ejemplo 21

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a) 22 3x x

Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación:

22 3 0x x

En este caso no es necesario simpli f icar términos semejantes; nos queda un

polinomio igualado a cero.

Ahora factorizamos el pol inomio:

(2 3) 0x x

En este caso se hizo una factorización por término común.

Por último uti lizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir,

(2 3) 0x x , si y sólo si, 0x o (2 3) 0x x

(2 3) 0x x , si y sólo si, 0x o 32

x

Observa que en el paso anterior se resolvió la ecuación lineal (2 3) 0x

Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática 22 3x x son:

0x

y 3

2x

b) 29 2 27x


29 2 27 0x

Simplif icamos los términos semejantes para que nos quede un polinomio igualado

a cero: 29 25 0x


(3 5)(3 5) 0x x

En este caso se hizo una factorización por binomios conjugados.

Por último ut ilizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir:

(3 5)(3 5) 0x x , si y sólo si, (3 5) 0x o (3 5) 0x

O bien:

(3 5)(3 5) 0x x , si y sólo si, 53

x o 53

x

Observa que en el paso anterior se resolvieron las ecuaciones lineales

(3 5) 0x y (3 5) 0x

Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática:

29 2 27x son 53

x y 53

x

c) 2 22 9 3 28x x x x


2 22 9 3 28 0x x x x

Simplif icamos los términos semejantes para que nos quede un polinomio

igualado a cero:

2 10 25 0x x


2( 5) 0x

O bien:

( 5)( –5) 0x x

En este caso se hizo una factorización de un trinomio cuadrado perfecto.

Por último uti lizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir:

( 5)( –5) 0x x , si y sólo si, ( 5) 0x o ( 5) 0x

O bien:

x – 5 = 0, si y sólo si, 5x

Observa que en este caso al resolver las dos ecuaciones l ineales obtuvimos el

mismo valor numérico.

Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación cuadrát ica:

2 22 9 3 28x x x x es 5x

d) 2 210 2 3 14 1x x x x


2 210 2 3 14 1 0x x x x

Simplif icamos los términos semejantes para que nos quede un polinomio

igualado a cero:

29 12 4 0x x


2(3 2) 0x

O bien:

(3 2)(3 2) 0x x

En este caso se hizo una factorización de un trinomio cuadrado perfecto.

Por último uti lizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir:

(3 2)(3 2) 0x x , si y sólo si, (3 2) 0x o (3 2) 0x

O bien:

(3 2)(3 2) 0x x , si y sólo si, 23

x

Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación cuadrát ica:

2 210 – 2 3 –14 –1x x x x es

23

x

3.4.2.2. Resolución de ecuaciones cuadráticas por f órmula general

En la práctica, cuando debemos resolver una ecuación de segundo grado, la mayoría de las

veces resulta complicado determinar el método de factorización que conviene utilizar, además

podemos cometer errores que nos lleven a resultados erróneos. En estos casos podemos aplicar la

solución general de la ecuación de segundo grado , que se expresa de la siguiente manera:

Las soluciones de una ecuación de segundo grado: 2 0ax bx c

son: 2 4

2b b ac

xa

y

2– 42

b b acx

a

Lo cual se abrevia como: 2 4

2b b ac

xa

conocida como fórmula general.

Observa: Antes de renovar una ecuación cuadrát ica considera las

siguientes observaciones:

El coef iciente del término cuadrático (a) debe ser diferente de cero

para poder realizar la división.

(b2 –4ac) es l lamado el discriminante , y no debe ser negat ivo para

poder obtener la raíz cuadrada.

Si el discriminante es negativo signif ica que la ecuación original no

tiene como solución números reales.

Para resolver las ecuaciones cuadráticas mediante la aplicación de la fórmula general debemos

seguir los siguientes pasos:

1. Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación y los ordenamos.

2. Simplif icamos los términos semejantes, con lo cual obtendremos un polinomio

igualado a cero.

3. Aplicamos la fórmula general.

Veamos en los siguientes ejemplos la forma en que debemos seguir y aplicar los

pasos anteriores.

Ejemplo 22


a) 23 3 4 5x x x


23 3 4 5 0x x x

Simplif icamos los términos semejantes y ordenamos para que nos quede un

polinomio igualado a cero:

23 5 2 0x x

Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior.

En este caso:

3;a 5b ; 2c

Por lo tanto:

22 ( 5) ( 5) 4(3)(2)42 2(3)

b b acx

a

y

22 ( 5) ( 5) 4(3)(2)42 2(3)

b b acx

a

O también:

5 25 246

x y 5 25 24

6x

Finalmente:

61

6x

y

4 26 3

x

Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática

23 3 4 5x x x son 1x y 23

x

b) 2 23 5 2 4y y y y


2 23 5 2 4 0y y y y



22 3 1 0y y


En este caso:

2;a 3b ; 1c .

Por lo tanto:

22 ( 3) ( 3) 4(2)(1)42 2(2)

b b acx

a

Entonces:

3 9 8

4x

y 3 9 8

4x

Finalmente:

4

14

x y 2 14 2

x


2 23 5 2 4y y y y son 1x y 12

x

c) 2 2 5 2 9z z z


2 2 5 2 9 0z z z


polinomio igualado a cero: 2 4 0z


En este caso:

1;a 0b ; 4c

Por lo tanto:

22 (0) (0) 4(1)( 4)42 2(1)

b b acx

a

De donde:

162

x

Finalmente: 4

22

x y 4

22

x


2 2 5 2 9z z z son 2x y 2x

d) 2 22 3 2 3 3x x x x


2 22 3 2 3 3 0x x x x



2 4 5 0x x

Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior:

En este caso:

1;a 4;b 5c

Por lo tanto:

22 ( 4) ( 4) 4(–1)(5)42 2(–1)

b b acx

a

De donde:

4 16 202

x

Finalmente:

105

2x

y

2

12

x


2 22 3 2 3 3x x x x son 5x y 1x

e) 2 25 13 12 3x x x x


2 25 13 12 3 0x x x x

Simplif icamos los términos semejantes y los ordenamos para que nos quede un


24 12 9 0x x


En este caso: 4;a 12;b

Por lo tanto:

22 (12) (12) 4(4)(9)42 2(4)

b b acx

a

O bien:

128

x

Finalmente:

32

x

Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación cuadrát ica 2 25 13 12 3x x x x es

32

x

Actividad 13


1. En los siguientes incisos uti liza algún método de factorización.

a) 2 23 3 2 2 2x x x x

b) 2 24 5 12 3 5 3x x x x

c) 2 25 14 3 2 6x x x x

2. En los siguientes incisos ut iliza la fórmula general.

a) 2 24 2 5 12 2x x x x

b) 2 230 20 10 2 25 8x x x x

c) 2 24 2 3 3 2 1x x x x

3.5. Desigualdades lineales y cuadráticas de una va riable

Una desigualdad es una expresión que involucra los símbolos mayor que (>), menor que (< ), mayor

o igual que ( ) y menor o igual que ( ) . La creación de estos símbolos nació de la necesidad de

comparar cantidades para saber si una es más grande que la otra. Se ve más claro cuando dibujamos

una recta numérica y en ella observamos que los números que están a la derecha de la recta serán

mayores que los ubicados a la izquierda, sin importar si son negativos, positivos o inclusive el cero.

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

10 5 (– 10 es menor que – 5)

14 4 (14 es mayor que 4)

5 7 (5 es mayor a –7)

En esta sección estudiaremos la forma en que podemos resolver expresiones

algebraicas relacionadas mediante los signos de desigualdad ( , , , ) .

La solución de una desigualdad es un conjunto de números reales que sat isfacen

la desigualdad, así la desigualdad x > 5 t iene como solución a todos los números reales

mayores que 5; algunos de estos números son: 6, 7, 24/3, 23/3, 5.23, 8.997, etcétera.

Para poder describir a todos estos números se uti lizan los intervalos. Un intervalo es un

conjunto de números reales que satisfacen una desigualdad. Estos intervalos pueden describirse

como conjuntos, mediante la notación de intervalo y pueden representarse en la recta numérica.

Dados a, b números reales tales que a < b, existen distintos tipos de intervalos

def inidos por estos números l lamados extremos del intervalo:

Intervalo abiertoDenotado por (a, b) es el conjunto de todos los números reales situados entre a y b sin tomar

en cuenta a ninguno de los dos.

Es decir:

a b

Intervalo cerradoDenotado por , es el conjunto de todos los números reales situados entre a y b

incluyéndolos:

a b

Semiabiertos o semicerradosSe definen de la manera siguiente:

a b

semiabierto por la derecha

a b

semiabierto por la izquierda

Nota: Observa que en el caso de los intervalos abiertos, los extremos

no están incluidos, mientras que en el caso de los intervalos cerrados los

extremos sí lo están.

Existen otros intervalos llamados infinitos que describen conjuntos de números que

sólo están def inidos por un extremo.

a

a

b

b

3.5.1. Desigualdades lineales de una variable

Al igual que en el caso de las ecuaciones l ineales, para resolver una desigualdad lineal deberemos

uti lizar las propiedades de la suma y de la mult iplicación, así como las propiedades de orden de

los números reales. Como las propiedades de la suma y la multiplicación ya fueron revisadas en

la sección anterior, sólo nos concentraremos en las propiedades de orden.

Propiedades de orden

Sean a,b y c números reales

a b y 0c entonces ac bc

Ejemplo: Si 4 5x y 1

04

Entonces: 1 1

4 54 4

x

Por lo tanto: 54

x

a b y 0c entonces ac bc

Ejemplo: Si 1

37

x y 7 0

Entonces:

1( 7) ( 7)3

7x

Por lo tanto: 21x

En la siguiente tabla se resumen las propiedades de la suma, de la mult ipl icación y de

orden aplicadas a desigualdades lineales.

Sean a,b y c números reales


Ejemplo: Si 3 2x

Entonces: 2 3x

Por lo tanto: 5x


Ejemplo: Si 5 7x

Entonces: 7 5x

Por lo tanto: 2x

Si ( )( )a b c y 0b entonces ca

b

Ejemplo: Si 5 3x

Entonces: 3

5x

Por lo tanto: 35

x

Si ( )( )a b c y 0b entonces ca

b

Ejemplo: Si 2 9x

Entonces: 92

x

Por lo tanto: 92

x

Si ac

b y 0b entonces a bc

Ejemplo: Si 94x

Entonces: (4)(9)x

Por lo tanto: 36x

Si a

cb

y 0b entonces a bc

Ejemplo: Si 65x

Entonces: x> (–5)(6)

Por lo tanto: 30x

Veamos en los siguientes ejemplos la forma en que debemos aplicar estas propiedades

para resolver las desigualdades lineales.

Ejemplo 23

Resuelve las siguientes desigualdades lineales.

a) 3 8 2x

Primero pasamos todos los términos que cont ienen a la variable de un lado de

la desigualdad y los otros al otro lado:

3 2 8x

Observa que se cambió el signo del valor numérico (–8)


3 6x

Pasamos el valor (3) dividiendo al otro lado de la ecuación:

62

3x

Respuesta : Los valores numéricos que resuelve la desigualdad lineal 3 8 2x

son 2x , es decir, la solución de la desigualdad es el intervalo (2, )

b) 7 2 10 5x x


desigualdad y los otros al otro lado:

7 10 5 2x x


3 7x


7 1

23 3

x

Observa que se cambió la “dirección” de la desigualdad porque 3 0

Respuesta : Los valores numéricos que resuelve la desigualdad l ineal

7 2 10 5x x son 1

23

x

c) 2 3 6 2x x


desigualdad y los otros al otro lado:

2 6 2 3x x


4 5x


5 1

14 4

x

Observa que se cambió la “dirección” de la desigualdad porque, 4 0

Respuesta : Los valores numéricos que resuelve la desigualdad l ineal

2 3 6 2x x son 1

14

x

d) 4 2 18x

Tendremos que resolver las desigualdades:

4 2x y 2 18x

Despejamos la variable de cada una de las desigualdades:

42

x

y

182

x

Finalmente:

2 x y 9x

Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la desigualdad lineal 4 2 18x

son los mayores que 2 y menores que 9 ( 2 9x ), es decir, el intervalo (2, 9)

e) 7 2 4 2 10x x x


7 2 4 2x x y 4 2 10x x

Pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la desigualdad

y los otros al otro lado:

2 4 2 7x x y 4 10 2x x


6 5x y 3 8x

Despejamos a la variable de cada una de las desigualdades:

5 56 6

x

y

8 22

3 3x

Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la desigualdad lineal

7 2 4 2 10x x z son los mayores o iguales que 56

pero menores o iguales

que 2

23

, es decir el intervalo 5 2

,26 3

f) 1

4 2 22

x x x


–4 2 2x x y 1

22

x x

Pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la desigualdad

y los otros al otro lado:

2 2 4x x

y 1

22

x x


3 6x

y 3

22

x

Despejamos a la variable de cada una de las desigualdades:

6

23

x

y 2 4

( 2)3 3

x

O bien:

2x y 11

3x

Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la desigualdad l ineal,

14 2 2

2x x x

son menores que 2 pero mayores o iguales que 1

13

, es decir, el intervalo:

11 ,2

3

Actividad 14

Resuelve las siguientes desigualdades l ineales.

a) 5 3 2z

b) 6 2 3 5x

c) 7 4 2 9x x

d) 15 8 3 25t

e) 12 4 1 9 6 7w w w

3.5.2. Desigualdades cuadráticas de una variable

Para resolver las desigualdades cuadráticas vamos a seguir los siguientes pasos:

1. Cambiamos el signo de desigualdad por el de igualdad.

2. Resolvemos la ecuación cuadrát ica que resulta del paso 1.

3. Analizamos los resultados obtenidos en el paso 2 para determinar los valores

numéricos que resuelven la desigualdad inicial.

Veamos, en los siguientes ejemplos, cómo aplicar estos pasos para resolver

desigualdades cuadrát icas.

Ejemplo 24

Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas.

a) 2 8 7x x

Primero cambiamos el signo ( ) por el de igualdad ( ) y resolvemos la ecuación

cuadrática resultante:

2 8 7x x

O bien:

2 8 7 0x x

En este caso recurrimos a la aplicación de la fórmula general, con:

1; 8 y 7a b c

Por lo tanto:

22 ( 8) ( 8) 4(1)(7)42 2(1)

b b acx

a

O bien:

8 64 28 8 62 2

x

Finalmente:

14

72

x y 21

2x

Por lo tanto, los valores que resuelven la ecuación cuadrática 2 8 7x x son

7x y 1x . Estos valores dividen a la recta numérica en tres intervalos:

x < 1 1 1 < x < 7 7 7 < x

Todos los valores de cada uno de estos intervalos o satisfacen la desigualdad

original o no la satisfacen. Así qué para determinar qué valores resuelven la

desigualdad 2 8 7x x elegimos un punto de cada uno de estos intervalos y lo

sustituimos en la desigualdad.

Tomemos un valor menor que 1( x < 1 ) por ejemplo 0, al sust it uirlo en la

desigualdad 2 8 7x x tenemos 2(0) 8(0) 0

Ahora elegimos un valor entre 1 y 7 ( 1< x < 7 ) Por ejemplo 2, al sustituirlo en

la desigualdad tenemos: 2(2) 8(2) 12

Como 12 < 7 ningún valor entre 1 y 7 (1 7)x satisface la desigualdad.

Finalmente tomemos un valor mayor que 7 (7 )x por ejemplo 10, al sustituirlo

en la desigualdad tenemos: 2(10) 8(10) 20 . Como 20 > 7 todos los valores

mayores que 7 (7 )x satisfacen la desigualdad.

Respuesta : Los valores que resuelven la desigualdad 2 8 7x x son los

menores que 1 y los mayores que 7, es decir ( ,1) (7, )

b) 2 23 12 25 2 14w w w



2 23 12 25 2 14w w w

O bien: 2 12 11 0w w


1; 12 y 11a b c

Por lo tanto:

22 (12) (12) 4(1)(11)42 2(1)

b b acw

a

O bien:

12 144 44 12 102 2

w

Finalmente:

21

2w

y

22

112

w

Por lo tanto los valores que resuelven la ecuación cuadrática:

2 23 12 25 2 14w w w son 1w y 11w

Estos valores dividen a la recta en tres intervalos:

w w w

Todos los valores de cada uno de estos intervalos o satisfacen la desigualdad

original o no la satisfacen. Así que para determinar qué valores resuelven la

desigualdad 2 23 12 25 2 14w w w elegimos un punto de cada uno de estos

intervalos y lo sustituimos en la desigualdad.

Tomemos un valor menor que –11 (w por ejemplo –12, al sustituirlo en la

desigualdad tenemos:

23( 12) 12( 12) 25 y 22( 12) 14

O bien: 313 y 160

Entonces:

23(–12) 12(–12) 25 22(–12) 14

Por lo tanto, todos los valores menores que –11 satisfacen la desigualdad.

Ahora elegimos un valor entre:

–11 y –1 ( 11 1)w

Por ejemplo (–2), al sustituirlo en la desigualdad tenemos:

23(–2) 12(–2) 25 y 22(–2) 14

O bien:

13 y 22

Entonces:

23(–2) 12(–2) 25 22(–2) 14

Por lo tanto ningún valor entre –11 y –1 satisface la desigualdad.

Finalmente tomemos un valor mayor que:

–1 (–1 w)

Por ejemplo el cero, al sustituirlo en la desigualdad tenemos:

23(0) 12(0) 25 y 22( 0) 14

O bien: 25 y 14

Entonces:

23(0) 12(0) 25 22( 0) 14

Por lo tanto todos los valores mayores que –1 satisfacen la desigualdad.

Respuesta : Los valores que resuelven la desigualdad:

2 23 12 25 2 14w w w

Son los menores o iguales que (–11) y los mayores o iguales que (–1)

Es decir, ( , 11] [ 1, )

c) 2 25 5 12 2 4z z z



2 25 5 12 2 4z z z

O bien:

23 5 8 0z z


3; 5 y 8a b c

Por lo tanto:

22 (5) (5) 4(3)( 8)42 2(3)

b b acz

a

O bien:

5 25 96 5 116 6

z

Finalmente:

1z

y

16 22

6 3z

Por lo tanto, los valores que resuelven la ecuación cuadrát ica:

2 25 5 12 2 4z z z son

1z

y 22

3z

.

Estos valores dividen a la recta en tres intervalos:

w <2

23

22

3 2

23

< z < 1 1

z > 1

Todos los valores de cada uno de estos intervalos o satisfacen la desigualdad original

o no la sat isfacen. Así que para determinar qué valores resuelven la desigualdad

2 25 5 12 2 4z z z elegimos un valor de cada uno de estos intervalos y lo

sustituimos en la desigualdad.

Tomemos un punto menor que:

22

3

22

3z

Por ejemplo el 4 , al sustituirlo en la desigualdad tenemos:

25( 4) 5(–4) 12 y 22( 4) 4

O bien:

48 y 28

Entonces:

25( 4) 5( 4) 12 > 22( 4) 4

Por lo tanto, ningún valor menor que 2

23

satisface la desigualdad.

Ahora elegimos un valor entre

22

3

y 1

22 1

3z

Por ejemplo –1, al sust ituirlo en la desigualdad tenemos:

25( 1) 5( 1) 12 y 22( 1) 4

O bien:

–12 y –2

Entonces:

25( 1) 5( 1) 12 < 22( 1) 4

Por lo tanto todos los valores entre:

22

3 y 1

22 1

3z satisfacen la desigualdad.

Finalmente tomemos un valor mayor que 1 ( 1 < z ) por ejemplo 2, al sustituirlo

en la desigualdad tenemos:

25(2) 5(2) 12 y 22(2) 4

O bien:

18 y 4

Entonces:

25(2) 5(2) 12 > 22(2) 4

Por lo tanto, los valores mayores que 1 no satisfacen la desigualdad.

Respuesta : Los valores que resuelven la desigualdad:

2 25 5 12 2 4z z z son mayores que 2

23

y menores que 1 es decir:

1

22 1

3z

Actividad 15

Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas.

a) 2 23 2 4 2 6x x x x

b) 2 25 3 4 10 21y y y y

c) 2 22 3 4w w w w

d) 2 29 5 1 3 8 4z z z z

e) 2 22 2 6 10x x x x

3.6. Valores absolutos

El valor absoluto de un número real es su distancia con respecto al cero. Puesto que un número

real puede ser posit ivo, negativo o cero tenemos:

si 0

si 0

si 0

a a

a a a

a a

Nota: La letra a representa un número que puede ser positivo, negativo o cero.

Por lo tanto, –a no es necesariamente un número negativo y podremos

decidirlo hasta que sepamos qué número representa a, por ejemplo:

a) Si 23

a , entonces 23

a

b) Si 45

a , entonces 45

a

c) Si 0a , entonces 0a

Veamos algunas de las propiedades del valor absoluto en la siguiente tabla:

a a Ejemplo: 5 5

2 2a aEjemplo:

2 23 35 5

2a a Ejemplo: 216 ( 16)

ab a bEjemplo:

3 3( 5) 5

7 7

aab b

Ejemplo:

558 8

Ahora combinemos las propiedades del valor absoluto con lo que hemos aprendido

sobre ecuaciones y desigualdades.

Ejemplo 25

Resuelve la siguiente ecuación 7x

Puesto que en la ecuación aparece un valor absoluto, consideramos tres casos:

Si 0x , entonces 0x como 0 7 , entonces no se sat isface la igualdad.

Si 0x , entonces x x , donde 7x

Si 0x , entonces x x , donde 7x por lo tanto 7x

Con lo cual tenemos que 7x y 7x satisfacen la igualdad.

Respuesta : Los valores que satisfacen la ecuación 7x son 7x . Generalizando

este resultado se tiene que: ,x a entonces son soluciones de la ecuación:

x = a y –x= a

Esto también es valido para la expresión:

,x a entonces x < a y –x < a )

a) Resuelve la siguiente ecuación 3 2 7x x

Primero analicemos el término de la derecha:

Si 2 7 0x , entonces no hay solución dado que el valor absoluto es mayor o

igual a cero.

Si 2 7 0x , entonces 72

x y por lo tanto 7

,2

x

Ahora, ut ilizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos:

3 2 7x x y ( 3) 2 7x x

Entonces:

3 2 7x x y 3 2 7x x

Ahora resolvemos ambas ecuaciones y tenemos:

3 7 2x x y 7 3 2x x

10 x y 4 3x

De donde:

10 x y 43

x

Pero 4 7

,3 2

Por lo tanto 43

x no puede ser solución de la ecuación inicial, de donde la única

solución es 10x

Respuesta : El valor que satisface la ecuación:

3 2 7x x es 10x

b) Resuelve la siguiente desigualdad:

7 3 4x

Uti lizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos:

7 3 4x y (7 3) 4x

Entonces: 7 3 4x y 7 3 4x

Ahora resolvemos ambas desigualdades y tenemos:

7 4 3x y 7 4 3x

4 3 71

7 7x

y

4 3 17 7

x

Por lo tanto, todos los valores:1

17

x satisfacen la desigualdad inicial.

Respuesta : Los valores que satisfacen la desigualdad:

7 3 4x son 1

,17

x

c) Resuelve la siguiente desigualdad 2 3 4x x

Primero analicemos el término de la derecha:

Si 4 0x , entonces no hay solución.

Si 4 0x

Entonces:

4x

Y por lo tanto:

( 4, )x

Ahora uti lizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos:

2 3 4x x y (2 3) 4x x

Entonces:

2 3 4x x y 2 3 4x x

Ahora resolvemos ambas desigualdades y tenemos:

2 4 3x x y 2 4 3x x

7x y 3 1x

7x

y

1 13 3

x

Así, para que x sea solución debe cumplir:

4 x y 1

73

x

Por lo tanto, todos los valores1

73

x satisfacen la desigualdad inicial.

Respuesta : Los valores que satisfacen la desigualdad:

2 3 4x x son 1,7

3x

Ejemplo 26

El costo de fabricación de un tubo metálico es de $4.25 y su precio al público es de

$4.90. Se t iene un pedido de 2 000 tubos y como sólo se cuenta con 1 500, el dueño de

la fábrica decide comprar los faltantes a otra fábrica que se los vende a $4.50. Al recibirlos

se percata de que no todos t ienen el mismo tamaño. Al revisar las especif icaciones del

pedido observa que los tubos deben medir 12 m, sin embargo, se acepta una diferencia

de 15 cm, ¿cuáles son las medidas aceptables de los tubos y cuál será la ganancia si se

entrega el pedido de 2 000 tubos?

Lo primero que debemos hacer es igualar las unidades métricas.

15 cm = 0.15 m

Ahora consideremos x = tamaño de los tubos. Entonces tenemos:

12 0.15x

Por las propiedades del valor absoluto:

12 0.15x y (12 ) 0.15x

12 0.15x y 12 0.15x

12 0.15 x y 0.15 12x

11.85 x y 12.15x

Por lo tanto:

11.85,12.15x

Es decir, el tamaño de los tubos debe estar entre 11.85m y 12.15m, inclusive.

Para determinar la ganancia hacemos las siguientes cuentas:

Primero las ganancias obtenidas de los 1 500 tubos que ya tiene:

(1 500)(4.9 4.25) (1 500)(0.65) 975

Las ganancias obtenidas de los tubos que compró

(500)(4.9 4.5) (500)(0.4) 200

Por lo que obtuvo $1,175 de ganancia total.

Respuesta: Los tubos pueden medir entre 11.85 y 12.15 metros y la ganancia

que obtendrá será de $1,175.

Ejemplo 27

El valor absoluto de la suma de dos números enteros consecutivos es menor o igual a 5.

Encuentra los números.

Consideremos x al número menor.

Por lo tanto el otro número será = 1x

Que el valor absoluto de la suma de estos números sea menor o igual que 5 se

escribe como: ( 1) 5x x

O bien 2 1 5x

Entonces, por propiedades del valor absoluto:

2 1 5x y 2 1 5x

2 5 1x y 5 1 2x

2 4x y 6 2x

42

x

y

62

x

2x y 3 x

Por lo tanto:

3,2x

Respuesta: Los números son –3 y –2; –2y –1; –1 y 0; 0 y 1; 1 y 2; 2 y 3

Ejemplo 28

Ana va a realizar una venta de garage y le encarga a su hermano que ponga precio a un sillón.

Ana cree que aunque el valor real del sillón es mayor, un precio de $1 500 estaría bien, con la

opción de que si el cliente quiere bajar el precio, se haga con la condición de que la diferencia

entre la venta y el precio marcado no sea mayor a $150. ¿En cuánto podría vender el sillón?

Consideremos x al precio de la venta f inal.

Que la diferencia sea menor a $150 se escribe como:

1 500 150x

Entonces por propiedades del valor absoluto:

1 500 150x y 1 500 150x

1 500 150 x y 150 1 500x

1 350 x y 1 650x

Por lo tanto:

1 350,1 650x

Respuesta: El valor de la venta final debe estar entre $1 350 y $1 650.

Ejemplo 29

Encuentra todos los números enteros cuya distancia al 7 sea menor o igual a 3.

Consideremos x = al número cuya distancia al 7 es menor o igual a 3.

Entonces:

7 3x

Luego, por las propiedades del valor absoluto:

7 3x y 7 3x

7 3 x y 3 7x

4 x y 10x

Por lo tanto:

4,10x

Respuesta: Los números cuya distancia al 7 es menor o igual a 3 son:

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Actividad 16

a) Resuelve la siguiente ecuación:

8 5 4x x

b) Resuelve la siguiente desigualdad:

2 4 10x

c) El dueño de una fábrica debe entregar a uno de sus compradores 1 800 varil las,

cuyo costo de fabricación es de $8.37 cada una. Cada varilla será vendida en $9.46.

Como sólo t iene material para 1 250 piezas, decide comprar las restantes a otra

fábrica, que se las vende a $9.12 cada una. Al recibir las vari llas, observa que no

todas tienen el mismo tamaño. Deben medir 13 m de largo, sin embargo, si la

diferencia no excede de 8 cm, las puede aceptar. ¿Qué medida pueden tener las

vari llas? ¿Cuál será la ganancia si entrega las 1 800 varillas?

d) El valor absoluto de la suma de dos números enteros consecutivos es menor o

igual a 7. Encuentra los números.

e) Una mesa en liquidación no t iene et iqueta; el comprador pregunta al vendedor

por el precio y éste consulta con la gerente, quien le dice: “Aunque creo que su

valor es mayor, considero que un precio justo sería $2 000. Ponle el precio que

consideres y l lega a un acuerdo de tal manera que la diferencia entre el precio en

el que lo vendas y el que yo te sugiero no sea mayor a $197”. ¿En cuánto debe

vender la mesa?

f) Encuentra todos los números enteros cuya distancia al 8 sea menor o igual a 2.

3.7. Solución de problemas de la empresa a través d el manejo algebraico: inversiones, determinación de precios y utilidad

Una de las razones por las cuales se establece una empresa es para obtener una uti lidad

mediante la producción y venta de art ículos o servicios. Para determinar el precio de venta de

un producto, se añade al costo de producción un importe adecuado que sirva para cubrir todos

los gastos y conseguir una util idad. Esta cantidad adicional se conoce como margen de uti lidad

bruta. Los gastos de la empresa se designan como gastos indirectos. Cualquier importe que

resulte después de cubrir los gastos indirectos de la empresa es la uti lidad neta. Estas relaciones

se pueden representar mediante las siguientes ecuaciones:

Margen de ut ilidad bruta = gastos indirectos + uti lidad neta

Costo + Margen de ut ilidad bruta = precio de venta

O bien:

C M S

Donde:

C = Costos

M = Margen de ut ilidad bruta

S = Precio de venta

En los siguientes ejemplos aplicaremos los conceptos algebraicos que hemos aprendido

para poder determinar los precios y la uti lidad de diferentes negocios.

Ejemplo 30

Un minorista desea vender un aparato en $200. Si su margen de utilidad bruta normal es del

32% del precio de venta, ¿cuánto puede pagar por el aparato si desea obtener ese margen de

utilidad bruta?

Como va a vender el aparato en $200 signif ica que S = 200

Si el margen de utilidad bruta es del 32% del precio de ventas tendremos:

M = 32% de S

Es decir:

(0.32)(200)M

Si t ratamos de determinar cuánto puede pagar, signif ica que desconocemos el

costo C.

Recordamos la ecuación:

C M S

Con lo cual tenemos:

(0.32)(200) (C 200

Despejando el valor de C:

200 (0.32)(200) 200 64 136C

Por lo tanto:

C = 136

Respuesta: El costo máximo que debe pagar por el aparato es de $136.

Ejemplo 31

Un diseñador desea producir un traje para venderlo en $2 100. Si normalmente añade 40% del

costo para cubrir todos los gastos y la utilidad neta, ¿cuánto es lo más que puede gastar en la

confección del el traje?

En este caso tenemos que el precio de venta será:

2 100S

Como añade 40% del costo para cubrir todos los gastos, tenemos que la ut ilidad

neta es:

M = 40% del costo

Nuevamente empleamos la ecuación C M S

Con lo cual tenemos:

(0.40) 2 100C C

Resolvemos la ecuación:

(1.40) 2 100C

21001 500

1.40C

Por lo tanto:

1 500C

Respuesta: Lo máximo que puede gastar en la confección del traje son $1 500.

Ejemplo 32

Un vendedor compró un nuevo producto en $1 200. ¿A qué precio debe vender el producto

nuevo si desea añadir un margen de utilidad bruta de 20% sobre el precio de venta para cubrir

los gastos indirectos y la utilidad neta?

Como el vendedor desea que la utilidad bruta sea de 20% sobre el precio de venta tenemos:

(0.20)M S

Nuevamente empleamos la ecuación:

C M S

Tenemos:

1 200 (0.20)S S

1 200 (0.20)S S

1 200 (0.80)S

1 2001 500

0.80S

Por lo tanto:

1 500S

Respuesta: El vendedor debe vender el producto nuevo en $1 500.

Ejemplo 33

El dueño de una recaudería compró 120 kg de papas a $6 el kilo; aunque probablemente

el 5% se echará a perder y tendrá que tirarse. Si requiere un margen de utilidad bruta del

30% del costo para la totalidad del embarque, ¿a qué precio debe dar el kilo de papas?

Primero vamos a determinar el costo total.

Costo total:

= (120)($6) $720

Sabemos que

(0.30)720M

Ahora para determinar el precio de venta total apliquemos la ecuación:

C M S

720 (0.30)(720) S

Por lo tanto:

1 555.2S 0

Es decir, que el precio total de venta debe ser de $1 555.20, el cual se obt iene de

la venta de las papas que no se dañen.

Ahora, si consideramos que 5% de las papas puede llegar a dañarse, entonces, en

kg se dañarán: (0.05)(120) 6 ki los de papas.

Por lo tanto, la cantidad que se espera vender es de: 120 6 114 kilos

El precio por ki lo se obtiene:

precio total de venta

Precio por kilo cantidad de kilosa vender

1 555.20Precio por kilo 13.642

114

Respuesta: El dueño de la recaudería debe dar a $14.00 el ki lo de papas para

obtener el margen de uti l idad bruta requerido, sin importar que 5% del producto

se eche a perder y no se venda.

Nota: Al f ijar precios al menudeo, siempre se redondea al siguiente dígito

más alto, inclusive si el tercer decimal es inferior a 5.

Ejemplo 34

Claudia quiere tener algo de dinero y decide cuidar niños por las tardes. Su tarifa es de $60 más

$20 por cada hora que los cuida. Si quiere tener un ingreso de $200 diarios, ¿cuántas horas

deberá trabajar cuidando niños?

Sea x número de horas que deberá trabajar; y = ingreso

Como se quiere un ingreso de $200, entonces 200y

El ingreso está dado por la expresión 20 60x y , por tanto: 60 20 200x

20 200 60x

14020

x

7x

Respuesta: Deberá trabajar 7 horas diarias para tener $200 de ingreso.

Ejemplo 35

El empleado de una empresa que renta coches recibe de sueldo $650 diarios más $20 por cada

auto que promocione para su renta. Si requiere ingresos por $1 000 diarios, ¿cuántos autos

deberá promocionar?

x número de autos promocionados por el vendedor; I ngreso = 1 000

Si el ingreso del vendedor está dado por 650 + 20x = I, entonces:

650 20 1000x

34020

x

17x

Respuesta : Debe promocionar 17 autos para tener un ingreso de $1 000 diarios.

Ejemplo 36

El precio de una bomba de agua está dado por la expresión 110p q , donde q representa el

número de bombas vendidas y p el precio de venta. ¿Qué cantidad de bombas se deben vender

si se sabe que los ingresos están dados por la función I pq y se quiere que el ingreso sea

superior a $29 736?

Tenemos:

I pq y 110p q

Entonces:

2( 110) 110I q q q q

Como se requiere un ingreso superior a 29 736.

29 736I

Entonces:

2 110 29736q q

O bien:

2 110 29736 0q q

Para resolver la desigualdad, primero resolvemos la ecuación cuadrática:

2 110 29 736 0q q

Por lo tanto:

2110 110 (4)(29 736)

2q

O bien:

110 3622

q

Finalmente:

236q y 126q

Ahora tomamos un valor en cada uno de los intervalos generados por las

soluciones 236q y q = 126 para determinar si se satisface la desigualdad 2 110 29 736q q

Primero se toma un punto menor que 236 , por ejemplo 300

2( 300) 110( 300) y 29 736

O bien:

57 000 y 29 763

Por lo tanto:

2( 300) 110( 300) > 29 736

Ahora se toma un punto entre 236 y 126, por ejemplo 0

2(0) 110(0) y 29 736

O bien:

0 y 29 736

Por lo tanto:

2(0) 110(0) < 29 736

Finalmente, tomamos un punto mayor que 126, por ejemplo 300:

2(300) 110(300) y 29 736

O bien: 123 000 y 29 736

Por lo tanto:

(300)2 + 110 (300) > 29 736

Por lo tanto, los valores que satisfacen la desigualdad:

2 110 29 736q q

son los menores que 236 y los mayores que 126 ( , 236) (126, )

Respuesta : Como no podemos hablar de ventas negativas se concluye que deben

venderse más de 126 bombas de agua para obtener un ingreso superior a $ 29 736.

Actividad 17

Plantea y resuelve los siguientes ejercicios:

a) Un vendedor compró un radio en $800. Desea añadir un margen de ut il idad

bruta de 40% sobre el precio de compra para cubrir los gastos indirectos y la

uti lidad neta. ¿A qué precio debe vender el radio?

b) Un minorista desea vender un aparato en $400. Su margen de utilidad bruta

normal es de 50% del precio de venta. ¿Cuánto puede pagar por el aparato si desea

obtener su margen de uti lidad bruta normal?

c) Una empresa produjo 500 calefactores a un costo de $200 cada uno. Esperan venderlos

con un margen de utilidad bruta de 40% sobre el costo. Sin embargo, los calefactores

son un artículo que se vende por temporada y desean tomar en cuenta una venta

especial de 10% de los calefactores a $100 cada uno. ¿Cuál sería el precio original con

el f in de que la compañía obtuviera 40% sobre el costo de la venta total?

d) Vas a dejar tu automóvil en un estacionamiento que tiene una tari fa de $10 más

$5 por cada hora que el automóvil permanezca en él. Si sólo dispones de $45 para

el estacionamiento, determina cuántas horas lo puedes dejar ahí.

e) En una papelería el precio de un lápiz adhesivo está dado por la expresión

10p q , donde q es el número de lápices y p es el precio de cada uno. Si se

sabe que los ingresos están dados por la función I pq , ¿cuántos lápices se

necesitan vender para tener un ingreso de $13 200?

Desarrollo de ejercicios seleccionados.

Actividad 3

Resolver:2 2 2 3 2 2 3(5 2 4 ) ( 3 10)x y y y x y y

Se escribe el minuendo y sustraendo en orden, con respecto a la misma variable

(que en este caso es y), identif icando los términos semejantes y se acomodan en

forma de columna:

2 2 2 3

2 2 3

5 2 4

3 10

x y y y

x y y

Se mult ipl ica el sustraendo por el signo menos para indicar la resta:

2 2 2 3

2 2 3

5 2 4

( 3 10)

x y y y

x y y

Se elimina el paréntesis y se suman algebraicamente los coef icientes:

2 2 2 3

2 2 3

2 2 2 3

5 2 4

3 10

8 2 5 10

x y y y

x y y

x y xy y

Respuesta : La solución es:

2 2 38 2 5 10x y xy y

Actividad 5

Resuelve:23 5 2 2

3 2 3 2 3 2

3 2u v u v u vu v u v u v

Se realiza cada una de las operaciones:

33 3 1 2 1

3 2

3 33 3

u vu v v

u v v

5 25 3 2 2 2

3 2

22 2

u vu v u

u v

2 22 3 2 2 1

3 2

1u vu v u

u v u

Respuesta : La solución final es:

23 5 2 22

3 2 3 2 3 2

3 2 3 12

u v u v u vu

u v u v u v v u

Actividad 6

Resuelve:

2 2( 4 )( 4 )ab z abc ab z abc

Se ident if ican los términos:

2x ab z y 4y abc.

Se aplica el producto de binomios conjugados para obtener:

2 2 2 2 2( 4 )( 4 ) ( ) (4 )ab z abc ab z abc ab z abc

Se aplican las propiedades de los exponentes para obtener:

2 2 2 2 4 2 2 2 2( ) (4 ) 16ab z abc a b z a b c

Respuesta : La solución final es:

2 2 2 4 2 2 2 2( 4 )( 4 ) 16ab z abc ab z abc a b z a b c

Autoevaluación

Realiza las siguientes operaciones:

1. 2 2 2 2(5 7 4 ) ( 3 10 )xy x y z x y xy z

a) 2 2 54 10 4 10xy x y z z

b) 2 2 56 4 4 10xy x y z z

c) 2 24 10 6xy x y z

2. 3 2 74 8

3 3a b a b

a) 1 643

a b

b) 5 832

9a b

c) 3 2 743

a ba b

3. 2( )xy xy

a) 3 3 2 22xy x y x y

b) 3 3 2 22xy x y x y

c) 3 3 2 22xy x y x y

Factoriza las siguientes expresiones:

4. 4 29 49r t

a) 2 2(3 7 )(3 7 )r t r t

b) 2 2(3 7 )(3 7 )r t r t

c) 2 2(3 7 )(3 7 )r t r t

5. 4 212 36w w

a) 2 2( 6)w

b) 2 2( 6)w

c) 2( 6)w

6. Un comerciante vendió la mitad de sus sandías a $15, tres octavas partes las vendió a

$10 y el resto las remató a $6, si obtuvo ingresos por $192, determina el número de

sandías que vendió.

a) Vendió 16 sandías.

b) Vendió 8 sandías

c) Vendió 24 sandías

7. Un sastre, vende sus trajes a un precio de 1 350p q por unidad. Si por concepto

de trajes se deben ingresar más de $12 500 al mes, ¿cuántos trajes se debe vender?

a) Deben vender 8 trajes o más.

b) Deben vender 10 trajes o más.

c) Deben vender 14 trajes o más.

8. Un minorista desea vender un radio en $1 200. Su margen de utilidad bruta normal es

del 40% sobre del precio de venta. ¿Cuánto puede pagar por el radio si desea obtener su

margen de ut ilidad bruta normal?

a) Puede pagar hasta $720.

b) Puede pagar hasta $480.

c) Puede pagar hasta $300.

Respuestas a los ejerciciosActividad 1

a) 42a

b) 32x

c) m

d) 6715

b

e) 24 6x x

Actividad 2

a) 12 10x y xy

b) 28 9x x

c) –12m –2n

d) 4 5a b

Actividad 3

1. a) 3 22 9 17 16x x x

b) 3 2 214 11 3ab a b a

c) 2 3 3 2 27 7 11a b ab a b a

2. a) 2 34 9 2 5x y y

b) 210 12 10x y

c) 3 3 322 5 10x y y x

d) 2 2 2 38 2 –5 10x y y y

Actividad 4

a) 5 632a b

b ) 8 10m n

c) 6 1 712

m n p

d) 219

b c

e) 235 x

Actividad 5

a) 1

b ) xzy

c)2

45

ab

d) 2 5

2

12

a cb

e) 23 1– 2u

v u

f ) 8 4x

g) 22 4 1x x

Actividad 6

a) 2 24x y

b) 2 2 4 2x y z w

c) 6116

4x

d) 4 2 61 19 25

m n p

e) 4x

f ) 2 4 2 2 2 2–16a b z a b c

Actividad 7

a) 225 20 4a a

b) 2 24 12 9x xy y

c) 4 2 3 61 1 1

4 3 9x x y y

d) 4 2 2 41 2 125 35 49

m m n n

Actividad 8

a) s

b) 2

c) 23x y

d) 5xy

e) 2 2–4 p qr

Actividad 9

a) 2( 1)x x x

b) 33 (4 5 2 )a a a

c) 2 26 ( 3 7 )mn mn n m

d) 2 4 33 ( 4 4 )xy x xy y

e) 3 3 2 27 (5 2 4 )m n p m np p mn

Actividad 10

a) (2 3 )(2 3 )x y x y

b) (4 )(4 )m m

c) 2 2(5 7)(5 7)xy xy

d) 2 3 2 3( 8 )( 8 )mn p mn p

e) 2 3 2 3(1 3 )(1 3 )mn p mn p

Actividad 11

a) 2( 9)x

b) 2( 7)x

c) 2(2 )a b

d) 2( 3 )m n

e) 2(4 5 )a b

Actividad 12

a) 2x

b) 2x

c) 3x

d) 1

53

x

e) 1

92

x

f ) 9x

g) 4x

Actividad 13

1. a) 0; 2x x

b) 3; 3x x

c) 32

x

2. a) 7

1;3

x x

b) 3 6

;4 7

x x

c) 2x

Actividad 14

a) 1z

b) 9

12

x

c) –1 x

d) 17 73 3

t

e) 2 15 7

w

Actividad 15

a) ( 2) (1, )

b) 9 2y

c) ( , 2) ( 2, )

d) 1 5

, ,3 2

e) 4 3x

Actividad 16

a) 3x

b) ( 3, 7)x

c) Las varillas pueden medir entre 12.92 y 13.08 metros y la ganancia total es de $1 549.50

d) Los números son –4 y –3; –3 y –2; –2 y –1; –1 y 0; 0 y 1; 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4.

e) El precio de la venta f inal puede estar entre $1 803 y $2 197.

f ) Los número cuya distancia al 8 es menor igual a 2 son 6, 7, 8, 9, 10

Actividad 17

a) Debe vender el nuevo radio a $1 120.

b) El costo máximo que debe pagar por el aparato es de $200.

c) El precio original debe ser de $300.

d) Lo puedes dejar 7 horas.

e) Se necesitan vender 120 lápices.

Respuestas a la autoevaluación

1. c)

2. b)

3. b)

4. c)

5. a)

6. a)

7. b)

8. a)

unidad 3 - gc.initelabs.comgc.initelabs.com/recursos/files/r157r/w13238w/funanalisismate_1ae… ·...

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