factorización y productos notables 2° a b-c

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MATEMÁTICA Profesora : Lorena Inzunza Sandoval Colegio Creación Chillán

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Page 1: Factorización y productos notables 2° a b-c

NOMBRE ALUMNO :_____________________________________________

PROFESOR(A) :_____________________________________________

FECHA :_____________________________________________

GUÍA TEÓRICA-PRÁCTICA N°10

MATEMÁTICAProfesora : Lorena Inzunza Sandoval

Colegio Creación Chillán

Page 2: Factorización y productos notables 2° a b-c

Recordemos algunas definiciones básicas para nuestro trabajo algebraico.

1.TERMINO ALGEBRAICOEs un conjunto de números y letras que se relacionan entre sí por medio de la multiplicación y/o división. El término Algebraico consta de un factor numérico y de un factor literal (letras). Si el factor numérico no está escrito, entonces es 1.

EJEMPLO:Factor Numérico Factor Literal

−a2bc3 -1 a2bc3

0,1xyz 0,1 xyz

mn2

3

1/3 mn2

1.1 GRADO DE UN TÉRMINO:Para encontrar el grado de un término, se debe sumar todos los exponentes del factor literal del término.Ejemplo:1. El grado de la expresión 5x3y4z es:A) 3B) 4C) 5D) 7E) 8.Respuesta: 1. E

2. EXPRESIÓN ALGEBRAICA:

Es la representación en lenguaje matemático de proposiciones verbales, para ello se puede utilizar: letra, números y operaciones. También podemos decir que una expresión algebraica es la suma o resta de términos algebraicos.

Si la expresión algebraica tiene un término, se llama MONOMIOEJEMPLOS: 7k ; -0,5xy

Si la expresión algebraica tiene dos términos, se llama BINOMIO EJEMPLOS: 5x2y + 2x2y3 ; -4x + 3y

Si la expresión algebraica tiene tres términos, se llama TRINOMIO EJEMPLOS: -7x2 +  4x – 5xy ; 6x4 - 5x3 + x2

Si la expresión algebraica tiene más de tres términos, se llama POLINOMIO

EJEMPLOS: 3x2 + 4y – 5xy- 2; 5x4 + 2x3 - 8x2 + 4x + 92.1. EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2

Page 3: Factorización y productos notables 2° a b-c

Evaluar o valorar una expresión algebraica significa asignar un valor a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.

EJEMPLO:Valoremos la expresión 4x2y – 5xy2 - xy, considerando que x = -1 e y = 2.

4x2y – 5xy2 – xy = 4 • (-1)2 •( 2 ) - 5 • (-1) • ( 2 )2 – (-1) • ( 2 )

= 4 • 1 • 2 - 5 • (-1) • 4 – (-1) • 2 = 8 + 20 + 2 = 30

OBS: La valorización de expresiones algebraicas siempre se debe hacer entre paréntesis.

Ejemplo:

1. ¿Cuál es el valor de 3(a + 2) - (b - 6) si a = 6 y b = 10?

A) 24B) 16C) 28D) 18E) 20 Respuesta: 1. E

3.TERMINOS SEMEJANTES

Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.EJEMPLOS:

3xy; -xy;

xy4 ; 0,2xy coeficiente literal igual : xy

2a3bc3 ; −4a3 bc ; −a

3bc ;

a3bc3 coeficiente literal igual : a

3bc

3.1 REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES

Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal.

OBS: NO olvides marcar los términos semejantes antes de reducir, así será más fácil para identificarlos.

EJEMPLOS:3

Page 4: Factorización y productos notables 2° a b-c

Reduzca las siguientes expresiones:

1.x – 2y + 3z – 4 – 2x + 4y – z + 3 =

A) –x + 2y – 2z - 1B) –x – 2y + 2z –1C) –x + 2y +2z – 1D) x + 2y + 2z – 1E) – x + 2y + 2z + 1

2. a2b−1

3ab2−1

4a2b+ 2

3ab2−1=

A)

34ab2+ 1

3a2b−1

B)

34a4b2+ 1

3a4b−1

C)

34ab2−1

3a2b−1

D)

34a2 b+ 1

3ab2−1

E) −3

4ab2+1

3a2b−1

RESPUESTAS: 1.C 2.D

4. USO DE PARÉNTESIS

En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:

Si un paréntesis es precedido de un signo +, éste se puede eliminar sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis.

a) a + (b + c) = a + b + c

Si un paréntesis es precedido por un signo - , éste se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.

b) a – (b + c) = a – b – c

4

Page 5: Factorización y productos notables 2° a b-c

Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se debe resolver las operaciones que anteceden los paréntesis desde adentro hacia fuera.

Ejemplos:

RESPUESTAS: 1. C2. A 3. B

5

Page 6: Factorización y productos notables 2° a b-c

5. OPERATORIA ALGEBRAICA

5.1 ADICION DE POLINOMIOS

Para sumar y/o restar polinomios es necesario aplicar todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis.

a) x + (y + z) – (x – y + z) = x + y + z – x + y – z = 2y

5.2 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

En la multiplicación de polinomios distinguiremos tres casos: MONOMIO POR MONOMIO: Se multiplican los coeficientes numéricos y los

factores literales entre sí, haciendo uso del álgebra de potencias.

MONOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Dicho de otra forma se distribuye con respecto a cada término del polinomio

POLINOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay.

EJEMPLOS:

1. Al sumar las expresiones (0,7ab−0,4 cd−bc ) y (1−cd−3bc−ab ) , se obtiene

A) 0,3ab−1,4cd−4 bc+1

B) −0,3ab−1,4 cd−4 bc+1

C) −0,3ab−0,6cd−4 bc+1

D) 0,3ab+0,6cd+2bc+1

E) 1,7ab+0,6cd+2bc−1

2. Si A=2x2+3x+7 y B=5 x2−7 x−4 , entonces −2( A+B )=

A) 6 x2−20x−20

B) −14 x2−8 x−6

C) −14 x2+8x−6

D) −14 x2−20 x−6

6

Page 7: Factorización y productos notables 2° a b-c

E) −6 x2−20 x−20

3. ( 2

5xy2 z )(25

4x2 y )(−2 yz−3 )=

A) −5 x−3 y4 z−2

B) −5 x3 y−4 z−2

C) 5 x−3 y4 z−2

D)−5 x3 y4 z−2

E) 5 x3 y4 z−2

4. (−2ab)( a2b−3ab3 )=

A) −2a3 b2−6a2 b4

B) 2a3 b2+6 a2b4

C) −2a3 b2−6a2 b6

D) −2a3 b2+6 a2b4

E) 2a3 b2+6 a2b6

5. (a−1)(an+an+1+an+2)=

A)−an+an+3

B) an+a3n

C) an−2a2n

D) an+an+3

E) an−an+3

7

Page 8: Factorización y productos notables 2° a b-c

RESPUESTAS: 1.B 2.C3.D 4.D5.A

6. PRODUCTOS NOTABLES

En Álgebra se llaman productos notables aquellos resultados de la multiplicación entre dos polinomios que tienen características especiales, como veremos en los casos siguientes.

6.1 CUADRADO DE BINOMIO

El cuadrado de un binomio es igual a:

“El primer término al cuadrado, más (o menos) dos veces el primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado”.

(a+b)2=(a)2+2(a⋅b)+(b )2

(a−b )2=(a )2−2(a⋅b )+(b)2

6.2 SUMA POR SU DIFERENCIA

El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual a:

“El primer término al cuadrado, menos el segundo término al cuadrado”.

( x+ y )( x− y )=( x )2− ( y )2

6.3 BINOMIOS CON TERMINO COMUN

El producto de dos binomios con un término común es igual a:

“El término común al cuadrado, más la suma de los términos que no son comunes por

el término común, más la multiplicación de los términos que no son comunes”.

( x+a )(x+b )=x2+(a+b )x+( a)(b )6.4 CUBOS DE BINOMIO:El cubo de un Binomio es igual a:

8

Page 9: Factorización y productos notables 2° a b-c

“ El primer término al cubo, más(o menos) , tres veces el primer término al cuadro por el segundo, más tres veces el primer término por el segundo al cuadrado, más(o menos) el segundo término al cubo”.

(a+b)3=(a )3+3(a )2⋅(b )+3(a )⋅( b)2+(b )3

(a−b )2=(a )3−3(a )2⋅(b )+3 (a )⋅(b )2−(b )3

EJEMPLOS:

1. (1−x )2=A) 1+2 x+x2

B) 1−2 x−x2

C) 1−2 x+x2

D) −1−2 x+x2

E) −1−2 x−x2

2. ( 1−√2 )( 1+√2 )=A) -1B) 1

C) 2√2

D) 1−2√2

E) 1+2√2

3. ( x−5 )(x+2 )=

A) x2+3 x−10

B) x2−3x+10

C) x2−3x−10

D) x2−10

E) x2−3x RESPUESTAS: 1.C2.A 3.C

7. FACTORIZACIÓN Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos o más factores (o divisores).Ejemplo : Factoriza 20 en dos de sus divisores : 4 · 5, es decir 20 = 4 5

7.1. FACTOR COMUN MONOMIO:

9

Page 10: Factorización y productos notables 2° a b-c

Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio:

Ejemplo N 1 : ¿Cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ?

Entre los coeficientes es el 6, que es el M.C.D de los coeficientes numéricos, o sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z)

Ejemplo N 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2 - 15ab - 10ac

El factor común entre los coeficientes es “5” y entre los factores literales es “a”, además es la menor potencia de los coeficientes literales iguales, por lo tanto

5a2 - 15ab - 10ac = 5a·a - 5a·3b - 5a· 2c = 5a(a - 3b - 2c )

Ejemplo N 3 : ¿Cuál es el factor común en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2

El factor común es “ 6xy “ porque 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy )

EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios:

1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y =

3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 =

5. 8a3 - 6a2 = 6. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 +

m2n4p3 =

7.

435a2b−12

5ab+ 8

15a2 b3−16

25a3b=

7.2. FACTOR COMUN POLINOMIO:

Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión:EJEMPLO N 1. Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) =Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) =

= ( a + b )( x + y )EJEMPLO N 2. Factoriza 2a(m - 2n) - b(m - 2n ) =

= 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = (m - 2n )( 2a - b )

EJERCICIOS.

10

Page 11: Factorización y productos notables 2° a b-c

1. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 2. x2( p + q ) + y2( p + q ) =

3. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 4. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =

5. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a -

1 ) =

6. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r )

=

7.3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO.Se trata de extraer un doble factor común.EJEMPLO N 1. Factoriza ap + bp + aq + bq Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos

p(a + b ) + q( a + b )Se saca factor común polinomio

( a + b ) ( p + q )EJERCICIOS :8. a2 + ab + ax + bx = 9. ab + 3a + 2b + 6 =

10. ab - 2a - 5b + 10 = 11. 2ab + 2a - b - 1 =

12. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz -

10z = 13.

154x2−21

4xz−10

3xy+14

3yz+5 x−7 z=

Factorización de BINOMIOS:7.4. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS:

EJEMPLO: Factorizar BINOMIO 9x2 - 16y2 =

Recordemos: (a+b)( a−b )=(a )2−(b )2 (suma por su diferencia)

Factorizando (a )2 − (b )2 = (a+b )( a−b )

Luego se tiene:

9 x2 − 16 y2 = (3 x+4 y )(3 x−4 y )(3 x )2−(4 y )2

EJERCICIOS:14. 9a2 - 25b2 = 15. 16x2 - 100 =

16.

925a2−49

36b2=

17.

125x4− 9

16y4=

11

Page 12: Factorización y productos notables 2° a b-c

Casos especiales:

18. 3x2 - 12 = 19. 3x2 - 75y2 =

Factorización de TRINOMIOS:7.5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:Ejemplo: Factorizar 9x2 - 30x + 25 =

Recordemos: (a±b )2=(a )2±2(a⋅b )+(b)2

(cuadrado de binomio)

Factorizando (a )2±2(a⋅b)+(b )2=(a ±b )2

Luego se tiene:

9 x2 − 30 x + 25 = (3 x−5 )2

(3 x )2−2⋅(3 x⋅5 )+(5)2

EJERCICIOS : 20. b2 - 12b + 36 = 21. 25x2 + 70xy + 49y2 =

22. m2 - 2m + 1 = 23. 25m2 - 70 mn + 49n2 =

24. 16m2 - 40mn + 25n2 = 25. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =

7.6. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c

El trinomio de la forma x2 + bx + c se puede factorizar en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso:EJEMPLO N 1. Factorizar x2 + 6x + 5 =

Recordemos: (a+b)( a+c )=(a )2+(b+c )⋅a+(b)( c ) (binomio con término común)

Factorizando (a )2+(b+c )⋅a+(b)( c )=( a+b )(a+c )

Luego buscamos: (b )(c )= 5 y (b+c )=6

“dos números multiplicados nos den 5 y sumados nos den 6 “, se tienen

(5 )(1 )= 5 y (5+1)=6 , por lo tanto, los números son “5” y “1”.

x2+6⋅x+5 =( x+5 )( x+1 )( x )2+(5+1)⋅x+(5)(1)

12

Page 13: Factorización y productos notables 2° a b-c

EJEMPLO Nº 2 :

Factorizar x2 + 4xy - 12y2

Recordemos 1º Hallar dos factores del primer término, o sea x2: x · x2º Hallar los factores de 12y2 , éstos pueden ser : 6y · -2y ó -6y · 2y

ó 4y · -3y ó -4y · 3y ó 12y · -y ó -12y · y

pero la suma debe ser +4y , luego servirán 6y y -2y, es decirx2 + 4xy - 12y2 = ( x + 6y )( x - 2y )

EJERCICIOS : Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios:

26. x2 + 4x + 3 = 27. a2 + 7a + 10 =

28. b2 + 8b + 15

=

29. x2 - x - 2 =

30. r2 – 12r + 27

=

31. x2 + 14xy + 24y2 =

7.7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA AX 2 + BX + C

EJEMPLO Factoriza 2x2 - 11x + 51º multiplicamos (2)(5) = 10.2º Se buscan “dos números que multiplicados nos den 10 y sumados -11”

Luego se tiene: (-10)(-1)= 10 y ( -10 -1 )= -11 , esto sólo para escribir -11x como -11x = -10x – x.

Ahora tenemos 2x2 - 11x + 5 = 2x2 -10x – x + 5

Factor común por agrupamiento = 2x( x – 5 ) – ( x – 5 )

Factor común polinomio = ( x – 5 )( 2x – 1 )

EJERCICIOS :

32. 5x2 + 11x + 2 = 33. 4h2 + 5h + 1 =

34. 4x2 + 7x + 3 = 35. 3a2 + 10ab + 7b2 =

36. 5 + 7b + 2b2 = 37. 7x2 - 15x + 2 =

7. 8. FACTORIZACIÓN SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.

1. SUMA DE CUBOS: (a)3 + (b)3 = (a + b)(a2 – ab + b2)13

Page 14: Factorización y productos notables 2° a b-c

Ejemplo: 27a3 + 1 = (3a + 1)(9a2 – 3a + 1) (3a)3 + (1)3

2. DIFERENCIA DE CUBOS : (a)3 – (b)3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Ejemplo : 8 – x3 = (2 – x)(4 + 2x + x2) (2)3-(x)3

38. 64 – x3 = 39 8a3b3 + 27

=

40 27m3 + 8n6 = 41 x6 – y6 =

42

18x3+ 8

27 = 43 x3− 1

64 =

8. FRACCIONES ALGEBRAICAS:

Se llama fracción algebraica a toda expresión de la forma

P( x )Q( x ) , donde P(x) y

Q(x) son polinomios. Las variable x puede tomar cualquier valor real, siempre que

Q( x )≠0 .

8.1 SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA.

Para ello se debe considerar lo siguiente:

- Si el numerador y el denominador son monomios, se cancelan los factores comunes.

- Si el numerador y/o denominador no son monomios, se factoriza el numerador y/o

denominador y se cancelan los factores comunes.

Ejemplos:

14

Page 15: Factorización y productos notables 2° a b-c

RESPUESTAS: 1. A2. D3. C

8.2 m.c.m DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS15

Page 16: Factorización y productos notables 2° a b-c

Para encontrar el m.c.m debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de TODOS los distintosfactores, eligiendo el de mayor exponente.

EJEMPLO: Calcular el m.c.m. entre (a2+2ab+b2 ) y (a

2−b2 )

Sabemos que (a2+2ab+b2 )=(a+b )2

y que (a2−b2 )=( a+b )(a−b)

Luego el m.c.m. entre estos dos polinomios es (a+b)2 (a−b )

Determina el mínimo común múltiplo para cada conjunto de expresiones algebraicas.

a)

9 x2 y6 xy 4

12 x5 yb)

x2+5 x+6x2+6 x+9x2+3 x+2x+2 c)

c2+c−2c2−4 c+3c2−c−6 d)

a2−1a2+4 a+3a2+2a−3

8.3 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.

En la adición o sustracción de fracciones algebraicas, tal como en las fracciones numéricas, pueden ocurrir dos casos:

Fracciones de igual denominador:

Si

AByCB son fracciones algebraicas, donde B≠0 , entonces

AB

±CB

= A±CB

Fracciones de distinto denominador:

Si

AByCD son fracciones algebraicas, donde B≠0 y D≠0 , entonces

AB

±CD

= A⋅D±B⋅CB⋅D

16

Page 17: Factorización y productos notables 2° a b-c

Ejemplos:

17

Page 18: Factorización y productos notables 2° a b-c

RESPUESTAS: 1. D 2. B

8.4 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Si

AByCD son fracciones algebraicas, donde B≠0 y D≠0 , entonces:

LA MULTIPLICACIÓN

AB⋅CD

= A⋅CB⋅D

LA DIVISIÓN

AB

:CD

= AB⋅DC

= A⋅DB⋅C

(C≠0 )

RESPUESTAS: 1. C 2. B18

Page 19: Factorización y productos notables 2° a b-c

EJERCICIOS:

1.

(3ab )5⋅7 c6(5d )2

(3 cd )3(2a )4⋅7d=

?

A)

225ab5c3

16d2

B)

9ab5c3

16d2

C)

15ab5c3

6d2

D)

32ab5c3 d2

16E) NA

2. Los lados (2m - n) y (n - m) de un terreno rectangular aumentan en (m + n) unidades cada uno, entonces su área aumenta:

A) 3mn - 8m2 - n2 unidades.

B) -3mn + 8m2 + n2 unidades.

C) 3mn + 2m2 + n2 unidades.

D) 3mn - 2m2 - n2 unidades.

E) -3mn - 2m2 - n2 unidades.

3. ¿Cuál es el valor de x?

ax b

ax b

ab

a x b

ax

ax b

2 2 2

A) (b+a) : (b-a)

B) (b-a) : 3ab

C) (2a+b) : (a-b)

D) (b-a) : 3a

E) (2b-a) : 3a

19

Page 20: Factorización y productos notables 2° a b-c

4. Si las edades de 3 personas, se representan de la siguiente forma:

entonces la suma de las edades equivale a:

A)

B)

C)

D)

E) N.A

5. La expresión 6(x + 1) − x ÷ 2 está mejor representada por:

A) El séxtuplo del sucesor de un número cualquiera menos el doble del mismo número.

B) El séxtuplo del antecesor de un número cualquiera menos la mitad del mismo

número.

C) El séxtuplo del sucesor de un número cualquiera menos la mitad del mismo número.

D) La diferencia entre el séxtuplo de un número cualquiera y su mitad.

E) El exceso de la mitad de un número cualquiera sobre seis veces el mismo número.

6. El producto entre un binomio y un monomio da por resultado:

A) Un monomio.B) Un binomio.C) Un trinomio.D) Un término algebraico.E) Una expresión de 3 términos algebraicos.

20

Page 21: Factorización y productos notables 2° a b-c

7. Determine el valor de x en : a2(2x + 3)=a(a + 4)+8x

A)

a+2a−2

B)− aa−2

C)

21+a

D)

2a

2−a2

E)

−aa+2

8. ¿Cuánto vale x en

11a

x2−16a2+2=2x−3a

x+4a ?A) a+1

B) 2a+1

C) 3a+1

D) 4a+1

E) 4a-1

9. ( 1

4a2 − 2b)2

= ?

A)

1

16 a4 − a + 4 b2

B)

C)

D)

21

Page 22: Factorización y productos notables 2° a b-c

E)

10. ¿Cuál es el valor de la expresión

(a+b)2 (a−b )−1

(a2−b2 ) ?A) 1

B)

a+ba−b

C)

a+b(a−b )2

D) 0E) N.A

11. Dada la siguiente expresión (x - 3)2

= (x + 8)2

, ¿qué características debe tener x que satisfacen esta igualdad?

I) x es entero II) x > 0 III) x < 0 IV) x es racionalA) Sólo I y IIB) Sólo II y IVC) Sólo I y IIID) Sólo III y IVE) Otras características

12. Si (x + 3) (x + 5) = 25, entonces

50

x2+8 x+15=?

A) 1B) 2C) 4D) 16E) 48

13. Si n = y m = , entonces n · m = ?

A)

B)

12 y

C)

22

Page 23: Factorización y productos notables 2° a b-c

D)

1y

E)14. Si el denominador de una fracción es el doble del numerador, más 2 unidades. ¿Cuál será la fracción si el denominador menos el numerador es igual a 5 unidades?

A) 1/5B) 6/11C) 4/9D) 1/3E) 3/8

15. Si = p entonces x = ?

A) -(p - 2) / (1 - p)

B)

C) (p + 2) / (p - 1)

D)

E) N.A

16.

1a−b

+ 1b−a

=? con a≠b

A) 0B) 2/ (a - b)C) 2/ (b - a)D) b - aE) a - b

17. La suma de 3 pares consecutivos es igual al doble del par intermedio sumado con 10, entonces el doble del menor es:

23

Page 24: Factorización y productos notables 2° a b-c

A) 16B) 24C) 20D) 8E) 12

18. El área del polígono mide

A) ab + cdB) a(b + c) + dcC) (d - a) · c + abD) (a + b)(c + d)E) N.A

19. Si (6x - 8) k = 36x2

- 64, el valor de k es:

A) 6x + 8B) 30x2 + 56

C)

16 x+8

D)

16 x−8

E) N.A

20. ¿Qué número hay que restar a 3a − 2b para obtener a + b?

A) 2a − 3bB) 2a − bC) 4a + 3bD) 4a − bE) 4a − 3b

21. Cuando n = 4, ¿Cuánto vale la siguiente expresión?

5n−2(n+3)+12(n+1 ) ?

A)

24

Page 25: Factorización y productos notables 2° a b-c

B)

C)

D)E) N.A

22. ?

A) a2 - 2ab + b2

B) (a + b) / (a - b)

C) (a + b - 1) / (a - b)

D) a - 1

E)

23.

7−a−a2

a2+a−7=?

A)1B) a

C) a2

D) 0E) -1

24. Si = 2 , x = ? ; x 1A) 1B) -1C) 1/3D) -1/3E) No se puede calcular

25. a2 − 4b2 =

A) a + 2b

25

Page 26: Factorización y productos notables 2° a b-c

B) a − 2bC) (a − 2b)(a + 2b)D) (2b − a)(2b + a)E) N.A

26. ¿Cuál debe ser el valor de “y” en la ecuación: -5x - 2y = 7x + 4y para que “x” tenga valor -2?

A) 0

B)

C)D) –4E) 4

27. El valor de x en la ecuación 3(x - 1) - 2(x - 2) =5 es:

A) 4B) 12C) 8D) 2E) 5

28. El valor de x en la ecuación (x + 1)2 - (x – 2)2 = 0 es

A) -1,5B) 0,5C) 2D) 2,5E) Indefinido

29. ¿Cuál es la cuarta parte de (p - q) si 2y + = 6 + ?A) 3y - 36B) y - 3C) 12y - 9D) 3 (y - 3)E) N.A

26

Page 27: Factorización y productos notables 2° a b-c

30. Si entonces x =A) 2B) 1C) –1D) -1/2E) -1/4

31. Si el valor de x es:A) abc

B) bc + ab

C)

D)

E)

1bc + ac + ab

32. ¿Cuál(es) de los siguientes términos se puede(n) agregar a la expresión 4x2 + 1 para completarel desarrollo del cuadrado de binomio?

I. −4x2II. 4xIII. 4x2

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I y IIIE) II y III

33. Si a = ,¿cuánto vale b, como una función de a?

A)

B)

C)

D)27

Page 28: Factorización y productos notables 2° a b-c

E) N.A

34. Si x + 3 = 4 m, entonces

x2 + 6x + 9

m2 =

A) 16 m2

B) 16 mC) 16/mD) 16E) 16 m4

35. Al simplificar la expresión , resultaA) (a - b) / (a + b)B) 2(a - b)2 / (a + b)C) 2 (a - b) / (a + b)2

D) a2 - b2

E)

36.

a23a

65aa2

A) a - 3B) a - 2C) -1D) 0 E) N.A

37. Si a b, entonces

A)

B)

C)

D)

28

Page 29: Factorización y productos notables 2° a b-c

E) N.A

38. Factorice la siguiente expresión 3abx2

- 3abx - 18ab

A) 3abx (x + 3) (x - 2)B) 3ab ( x - 3) (x + 2)

C) 3ab (x2

- 6)D) -3ab (6 - x)E) N.A

39. Al simplificar

x2− y2

1

x2 −1

y2

se obtiene:

A)

B)

C)D) x2 y2

E) - x2 y2

40. El reducir la expresión: queda equivalente a:

A)

B) (1 + n) / 2 - n

C) (1 + n) / (n - 2)

D) -(1 + n) / (n - 2)

E) N.A

41. En la expresión algebraica (y − 5)(5y − 8)(y − 3) el término libre (sin factor literal), es:

29

Page 30: Factorización y productos notables 2° a b-c

A) −120B) 0 C) 16D) 80E) 120

42.

43.

44.

30

Page 31: Factorización y productos notables 2° a b-c

45.

46.

31

Page 32: Factorización y productos notables 2° a b-c

47.

48.

32

Page 33: Factorización y productos notables 2° a b-c

49.

33

Page 34: Factorización y productos notables 2° a b-c

50.

RESPUESTAS: GPT10 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

01. A 02. C 03. D 04. D 05. C 06. B 07. E 08. E 09. B 10. C11. D 12. B 13. B 14. E 15. D 16. A 17. A 18. A 19. A 20. A21. A 22. C 23. E 24. E 25. C 26. E 27. A 28. B 29. D 30. D31. E 32. B 33. B 34. D 35. E 36. D 37. A 38. B 39. E 40. D41. A 42. D 43. D 44. B 45. A 46. E 47. B 48. B 49. C 50. C

34