productos notables y factorización a

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UNIDAD II: ALGEBRA

TEMA: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

13/04/2023 MSC. ROBERTO AGUILERA L. 1

MATEMATICA BASICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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CONCETOS BASICOS

La palabra álgebra proviene del vocablo árabe ilm al-ŷabr w’al muqabala titulo en arábigo de un libro escrito en el siglo IX por el matemático árabe al-Khwarizmi.

Traducido como ciencia de la restauración y la reducción, lo cual proviene de trasponer y combinar términos semejantes (de una ecuación).

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CONCEPTOS BASICOS

El algebra “es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible”. (Aurelio Baldor)

A diferencia de la aritmética elemental, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables o coeficientes), o cantidades desconocidas (incógnitas).

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CONJUNTOS NUMERICOS

Números Reales

Números Complejos

Números Racionales Números Irracionales

Números Enteros

Números decimales finitos e infinitos

periódicos

Números Naturales

Negativos de los números naturales0

Números Imaginarios

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CONCEPTOS BASICOS

Una expresión algebraica es una combinación de símbolos, letras y números reales ligadas por las operaciones fundamentales del algebra suma, resta, multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces.

Ejemplos : -4x +3y , (2a +3b)c, 5x2 + 3x - 2 3a + b

Un término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre si por el signo + o –.

Ejemplos: 2b , 3xyz, 4cd 5x

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CONCEPTOS BASICOS

Un Monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término.

Ejemplos: 5x, -4z, 2x3yz

Un Polinomio es una expresión algebraica que consta de mas de un término. Si tiene dos términos se le llama binomio, si es de tres términos se le llama trinomio.

Ejemplos:

Binomios 2x - 3y, 2a2 – 5ab, 2x3 + xyz 3wTrinomios 2a – 5b + z, -3a2 + 5a + 6

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Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección es decir sin verificar la multiplicación.

1. Cuadrado de la suma de dos cantidades

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Ejemplo: (2x + 3z2 )2 = (2x)2 + 2(2x)(3z2) + (3z2)2

= 4x2 + 12xz2 + 9z4

PRODUCTOS NOTABLES

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PRODUCTOS NOTABLES

Cuadrado de la suma o de la (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

diferencia de dos cantidades (x - y)2 = x2 - 2xy + y2

Producto de la suma por la (x + y)(x - y) = x2 - y2

diferencia de dos cantidades

Producto de dos binomios de (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + abde la forma (x + a)(x + b)

Producto de dos binomios de (ax+ b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bdde la forma (ax + b)(cx + d)

Producto de un binomio por (x + y)( x2 - xy + y2) = x3 + y3

un trinomio (x - y)( x2 + xy + y2) = x3 - y3

Cubo de un binomio (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

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Ejemplos:1. (5x + 2y)2 = (5x)2 + 2(5x)(2y) + (2y)2

25x2 + 20xy + 4y2

2. (3m2 – 4n3)2 = (3m2)2 - 2(3m2)(4n3) + (4m3)2

= 9m4 + 24m2n3 + 16m6

3. (2x - 3y)3 = (2x)3– 3(2x)2(3y)+3(2x)(3y)2– (3y)3

= 8x3 - 36x2y + 54xy2 - 27y3

4. (n + 3)(n2 - 3n + 9) = n3 + 27

PRODUCTOS NOTABLES

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5. (x + 5)(x - 3) = x2 + (5 - 3)x – 5(3) = x2 + 2x - 15 6. (a + b)(a - b)(a2 – b2) = (a2 – b2) )(a2 – b2) = (a2 – b2)2 = a4 - 2a2 b2 + b4

7. (8n - 6p)(7n - 10p) = = (8)(7)n2 + [(8)(-10)+(-6)(7)] np + (-6)(-10)p2

= 56n2 -122pn + 60 p2

PRODUCTOS NOTABLES

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8. (2a + 3b + c)(2a + 3b - c)

= [(2a + 3b) + c][(2a + 3b) - c] = (2a + 3b)2 + c2

= 4a2 + 12ab + 9b2 – c2

PRODUCTOS NOTABLES

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Se llaman factorización al proceso de expresar una expresión algebraica como como el producto de dos o más factores.

1. Factor común monomio ax + ay = a(x + y) Ejemplo:

35m2n3 + 70m3 = 35m2 (n3 + 2m)

FACTORIZACION

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FACTORIZACION

Factor común monomio ax+ ay = a(x + y)Factor común polinomio a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)Trinomio cuadrado perfecto x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

x2 - 2xy + y2 = (x - y)2

Diferencia de cuadrados x2 - y2 = (x + y)(x - y)

Trinomio de la forma x2 + bx + c = (x + A)(x + B) x2 + bx + c donde A + B = b y A*B = cTrinomio de la forma ax2 + bx + c = (Ax + B)(Cx + D) ax2 + bx + c donde A*C = a A*D + B*C = b y B*D = cSuma o diferencia de cubos x3 + y3 = (x + y)( x2 - xy + y2)

x3 - y3 = (x - y)( x2 + xy + y2)

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Ejemplos:1. 8a2 b3 - 2ab2 + 4a3 = 2a(4ab3 – b2 + 2a2) 2. 16x2 - 9y2 = (4x + 3y)(4x- 3y) 3. 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2

4. (x2 + 6x + 9) - (y2 - 4y + 4) = (x + 3)2 - (y - 2)2 = [(x+3) + (y-2)] [(x+3) - (y-2)] = (x + y +1) (x – y + 5)

FACTORIZACION

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Ejemplos:

5. x2 - 6x + 8 = (x - 4)(x - 2) 6. 6x2 - 7x – 3 = 6(6x2) - 6(7x) - 6(3) 6 = 62x2 - 7(6x) - 18 6 = (6x - 9)(6x + 2) (3)(2) = (2x - 3)(3x + 1)

FACTORIZACION

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7. 8x3 - 125 = (2x)3 - 53

= (2x - 5)[(2x)2 + 2x(5) + 52] = (2x - 5)(4x2 + 10x + 25)

8. 16x4 - y4 = (4x)2 - (y2)2 = (4x2 + y2)(4x2 - y2) = (4x2 + y2)(2x - y)(2x + y)

9. 2a2x - 5a2y + 15by - 6bx = (2a2x - 5a2y) - (6bx - 15by) = a2(2x - 5y) - 3b(2x - 5y) = (2x - 5y)(a2 - 3b)

FACTORIZACION

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FACTORIZACION PRODUCTOS NOTABLESFactor común monomio ax+ ay = a(x + y)

Factor común polinomio a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

Trinomio cuadrado perfecto x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 Cuadrado de la suma o de la

x2 - 2xy + y2 = (x - y)2diferencia de dos cantidades

Diferencia de cuadrados x2 - y2 = (x + y)(x - y) Producto de la suma por la

diferencia de dos cantidades

Trinomio de la forma x2 + bx + c = (x + A)(x + B) Producto de dos binomios de

x2 + bx + c donde A + B = b y A*B = c de la forma (x + A)(x + B)

Trinomio de la forma ax2 + bx + c = (Ax + B)(Cx + D) Producto de dos binomios de

ax2 + bx + c donde A*C = a A*D + B*C = b y B*D = c de la forma (Ax + B)(Cx + D)

Suma o diferencia de cubos x3 + y3 = (x + y)( x2 - xy + y2) Producto de un binomio por

x3 - y3 = (x - y)( x2 + xy + y2) un trinomio

RESUMEN

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Productos notables

1. (x - 2)(x + 2)(x2 + 4)(x4 + 16)

2. (x + 3y + 2z – 4w) (x + 3y - 2z + 4w)

3. [2(x - 3y) + 5] [3(x - 3y) - 2]

4. (m2 + t2) (m4 - m2 t2 + t4)

EJERCICIOS PROPUESTOS

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Factorización

1. 4x3 + 4x2 + x

2. (x - y)2 + 2(x - y) - 24

3. 8x3/27 - y6/125

4. pa2 + (1-p)b2 - [pa + (1-p)b]2

5. 8x6 + 19x3 - 27


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Algebra. Aurelio Baldor

Algebra y trigonometría con Geometría

Analítica. Earl W. Swokowky y Jeffery A. Cole.

Algebra y trigonometría.. Dennis Zill

Algebra y funciones elementales. Carlos J.

Walsh M.


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MUCHAS GRACIAS

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

productos notables y factorización a

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