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PRODUCTOS NOTABLES Y SU FACTORIZACIÓN
Los productos notables son multiplicaciones, con expresiones algebraicas, que se pueden realizar sin necesidad
de efectuar todo el proceso de la multiplicación, es decir que se realizan mentalmente, aplicando unas reglas
sencillas en cada uno de los diferentes casos. La factorización es el proceso contrario a la multiplicación, es
decir que si nos dan el resultado de multiplicar dos expresiones algebraicas y deseamos saber cuáles fueron las
expresiones que se multiplicaron; debemos factorizar el resultado de esa multiplicación.
PRODUCTOS DE LA FORMA (𝒙 + 𝒂) ∙ (𝒙 − 𝒂) Y DIFERENCIA DE CUADRADOS
• Producto de la forma (𝒙 + 𝒂) ∙ (𝒙 − 𝒂). También se le puede llamar producto de expresiones
conjugadas. Al realizar este producto se obtiene “El cuadrado del primer término menos el cuadrado
del segundo término”. Ejemplo.
• Multiplicar 𝑚 + 3 por 𝑚 − 3
Solución.
Observe que el primer binomio difiere del segundo únicamente en el signo que separa los términos, entonces:
(𝑚 + 3) ∙ (𝑚 − 3) = (𝑚)2 − (3)2
= 𝑚2 − 9
• Multiplicar 2𝑝 − 4𝑞 por 2𝑝 + 4𝑞
Solución.
(2𝑝 − 4𝑞) ∙ (2𝑝 + 4𝑞) = (2𝑝)2 − (4𝑞)2 Vamos a aplicar Propiedad Distributiva de la potenciación
con respecto al producto.
= 22𝑝2 − 42𝑞2 Ejecutemos 22 y 42.
= 4𝑝2 − 16𝑞2
• Multiplicar 3𝑥2 + 5𝑦3 por 3𝑥2 − 5𝑦3
Solución.
(3𝑥2 + 5𝑦3) ∙ (3𝑥2 − 5𝑦3) = (3𝑥2)2 − (5𝑦3)2
= 32(𝑥2)2 − 52(𝑦3)2 Apliquemos Potencia de una Potencia
= 9𝑥4 − 25𝑦6
• Realice (5𝑚3𝑛5 − 7𝑝2𝑞4𝑥2) ∙ (5𝑚3𝑛5 + 7𝑝2𝑞4𝑥2)
Solución.
(5𝑚3𝑛5 − 7𝑝2𝑞4𝑥2) ∙ (5𝑚3𝑛5 + 7𝑝2𝑞4𝑥2) = (5𝑚3𝑛5)2 − (7𝑝2𝑞4𝑥2)2
= 52(𝑚3)2(𝑛5)2 − 72(𝑝2)2(𝑞4)2(𝑥2)2
= 25𝑚6𝑛10 − 49𝑝4𝑞8𝑥4
Ejercicio
Realice los siguientes productos.
1. (𝑏 − 3𝑐3) ∙ (𝑏 + 3𝑐3) =
2. (6𝑝5𝑥3 + 8𝑞6𝑦4) ∙ (6𝑝5𝑥3 − 8𝑞6𝑦4) =
3. (−2𝑚3 + 5𝑝2) ∙ (2𝑚3 + 5𝑝2) =
4. (𝑥2
3+ 𝑦3) ∙ (
𝑥2
3− 𝑦3) =
5. (𝑑5𝑛2𝑝4 − 7𝑚3𝑞2) ∙ (𝑑5𝑛2𝑝4 + 7𝑚3𝑞2) =
6. (𝑝2 − 5)(𝑝2 + 5) =
7. (3𝑥3 + 4𝑦2)(3𝑥3 − 4𝑦2) =
8. (5𝑚4𝑛2𝑝 − 2𝑥5𝑦3)(5𝑚4𝑛2𝑝 + 2𝑥5𝑦3) =
9. (𝑘3
5+
𝑏2
7) (
𝑘3
5−
𝑏2
7) =
10. (7𝑚5 − 8𝑛3)(7𝑚5 + 8𝑛3) =
11. (9𝑥3𝑦4 + 3𝑚5𝑛3𝑧)(9𝑥3𝑦4 − 3𝑚5𝑛3𝑧) =
12. (4𝑛3
3+ 5𝑝4) (
4𝑛3
3− 5𝑝4) =
13. (2𝑛𝑥2− 5𝑝2𝑦)(2𝑛𝑥2
+ 5𝑝2𝑦) =
14. (4𝑘2𝑚 + 𝑞4𝑛2)(4𝑘2𝑚 − 𝑞4𝑛2
) =
15. (7𝑥
2
3𝑚3
+3
4𝑦2𝑛4
) (7𝑥
2
3𝑚3
−3
4𝑦2𝑛4
) =
Si después de realizar este producto deseamos o necesitamos regresarnos, aplicamos el caso de factorización
denominado DIFERENCIA DE CUADRADOS.
CUADRADOS PERFECTOS ENTRE 1 Y 100.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
Debes memorizar estos cuadrados perfectos, para facilitar el proceso y evitar el uso de la calculadora.
Diferencia de Cuadrados. Este método de factorización se emplea cuando tenemos indicada una diferencia de
dos términos. Recuerde el producto notable de la forma:
(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2
De donde se deduce que si necesitamos factorizar 𝑥2−𝑦2; entones la respuesta es (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦), pero en
la práctica se debe seguir el siguiente procedimiento:
a) Saque raíz cuadrada a cada término del binomio. Si la raíz no es exacta, déjela indicada.
b) Dentro de un paréntesis escriba las raíces que sacó, separadas por un signo menos (−).
c) Coloque en seguida del anterior paréntesis otro paréntesis y en él escriba las mismas raíces, pero ahora
separadas por un signo más (+).
Veamos el proceso paso a paso con un ejercicio.
• Factorizar 4𝑚2 − 9𝑛2
Solución.
a) Saco raíz cuadrada a ambos términos:
√4𝑚2 = 2𝑚
√9𝑛2 = 3𝑛
b) Dentro de un paréntesis escribo las raíces que saqué, separadas por un signo menos (−)
4𝑚2 − 9𝑛2 = (2𝑚 − 3𝑛)
c) Coloco, en seguida del anterior paréntesis otro paréntesis y en él escribo las mismas raíces, pero
ahora separadas por un signo más (+).
4𝑚2 − 9𝑛2 = (2𝑚 − 3𝑛)(2𝑚 + 3𝑛)
• Factorice 𝑝4𝑞2 − 4𝑥4
Solución.
𝑝4𝑞2 − 4𝑥4 = (𝑝2𝑞 − 2𝑥2)(𝑝2𝑞 + 2𝑥2)
• Factorice 3𝑥 − 𝑞6
Solución.
3𝑥 − 𝑞6 = (√3𝑥 − 𝑞3)(√3𝑥 + 𝑞3)
• Factorice 16𝑏2
9𝑐4 −4𝑑2
25
Solución.
16𝑏2
9𝑐4−
4𝑑2
25= (
4𝑏
3𝑐2−
2𝑑
5) (
4𝑏
3𝑐2+
2𝑑
5)
Ejercicio
Factorice.
1. 25𝑚6𝑛8 − 7𝑛2𝑝4 =
2. 36𝑓2 − 𝑝4𝑞2𝑥6 =
3. 4𝑏4𝑐2 −1
4=
4. 5𝑥 − 81𝑦 =
5. 9𝑚6
16−
49
𝑛4𝑝2 =
6. 49𝑚4 − 64𝑛6 =
7. 25𝑝
4
6− 9𝑚 =
8. 25𝑞8𝑥4𝑦 − 2𝑚6𝑛2𝑝 =
9. 14𝑚
9𝑛4
6−
16𝑝
𝑞2
4=
10. 36
9− 8𝑚𝑛4 =
11. 64𝑥6 − 16𝑦2 =
12. 25𝑘2𝑝4 − 9𝑚2𝑛2 =
13. 81𝑥4 − 4 =
14. 49𝑓6 − 100𝑘4 =
PRODUCTO DE LA FORMA (𝒙 + 𝒂) ∙ (𝒙 + 𝒃) Y TRINOMIOS DE LA FORMA 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Productos de la forma (𝒙 + 𝒂) ∙ (𝒙 + 𝒃). En este caso 𝑎 y 𝑏 representan números enteros, que pueden ser
positivos y/o negativos. Este producto notable se resuelve empleando la siguiente estrategia:
• Eleve 𝑥 al cuadrado.
• Sume algebraicamente 𝑎 y 𝑏, luego a la suma obtenida agréguele 𝑥.
• Multiplique, empleando ley de signos, 𝑎 y 𝑏.
• Escribe un trinomio con los términos obtenidos, separando los términos con los signos que para cada
uno obtuviste en los pasos aplicados.
Ejemplo.
✓ Multiplique 𝑥 + 5 por 𝑥 + 3
Solución.
(𝑥 + 5) ∙ (𝑥 + 3) = 𝑥2 + (5 + 3)𝑥 + 5 ∙ 3 Este paso se puede hacer mentalmente.
= 𝑥2 + 8𝑥 + 15
✓ Multiplique 𝑚 – 6 por 𝑚 + 2
Solución.
(𝑚 – 6) ∙ (𝑚 + 2) = 𝑚2 + (2 − 6)𝑚 + 2 ∙ (−6)
= 𝑚2 + (−4)𝑚 − 12
= 𝑚2 − 4𝑚 − 12
Hagamos el ejercicio anterior pero más resumido:
(𝑚 – 6) ∙ (𝑚 + 2)
Observe que:
−6 + 2 = −4 −6 ∙ 2 = −12 Entonces:
(𝑚 – 6) ∙ (𝑚 + 2) = 𝑚2 − 4𝑚 − 12
✓ Multiplique 𝑝 − 4 por 𝑝 − 2
Solución.
(𝑝 − 4) ∙ (𝑝 − 2) = 𝑝2 − 6𝑝 + 8 Observe que −4 + (−2) = −6 y que −4 ∙ (−2) = 8
✓ Multiplique 𝑛2 − 7 por 𝑛2 + 5
Solución.
(𝑛2 − 7) ∙ (𝑛2 + 5) = 𝑛4 − 2𝑛2 − 35 Observe que (𝑛2)2 = 𝑛4 ; −7 + 5 = −2 y
−7 ∙ 5 = −35
Como puedes haberte dado cuenta, empleando la estrategia en forma resumida, el producto se realiza en forma
muy fácil.
Ejercicio
Empleando las estrategias indicadas en los ejemplos anteriores, realiza los siguientes productos.
1. (𝑞 + 6) ∙ (𝑞 − 3) =
2. (𝑥 + 5) ∙ (𝑥 + 6) =
3. (𝑚 − 4) ∙ (𝑚 − 5) =
4. (𝑦 − 9) ∙ (𝑦 + 2) =
5. (𝑣3 + 3) ∙ (𝑣3 − 7) =
6. (𝑘5 − 8) ∙ (𝑘5 − 5) =
7. (𝑝4 + 6) ∙ (𝑝4 − 2) =
8. (𝑥2 − 15) ∙ (𝑥2 + 12) =
9. (𝑏 + 20) ∙ (𝑏 + 3) =
10. (ℎ + 7) ∙ (ℎ − 10) =
11. (𝑝2𝑛 − 5)(𝑝2𝑛 + 2) =
12. (𝑚3𝑛2+ 6)(𝑚3𝑛2
− 8) =
13. (𝑛4𝑦 − 2)(𝑛4𝑦 − 3) =
El caso de factorización asociado a este producto notable, se denomina:
Trinomios de la Forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. Para realizar este tipo de factorización recuerde el producto notable de
la forma (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏).
Ejemplo del producto notable.
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = 𝑥2 + 5𝑥 + 6
(𝑥 − 8)(𝑥 + 5) = 𝑥2 − 3𝑥 − 40
(𝑥 + 7)(𝑥 − 4) = 𝑥2 + 3𝑥 − 28
Por lo tanto, si nos proponen factorizar un trinomio de este tipo debemos pensar que es como lo contrario de
este producto notable.
En estos trinomios tenemos que el término 𝒙𝟐se denomina término de la potencia par; el término 𝒃𝒙 se conoce
como término de la potencia mitad, ya que su exponente es la mitad del exponente del primero y el término 𝒄
se llama término independiente. Veamos el proceso de factorización de estos trinomios paso a paso con un
ejemplo.
• Factorizar 𝑥2 + 5𝑥 − 24
Solución.
1) Dibujamos un paréntesis que abre y otro que cierra dos veces.
𝑥2 + 5𝑥 − 24 = ( )( )
2) En cada paréntesis escribimos la raíz cuadrada del término de la potencia par.
𝑥2 + 5𝑥 − 24 = (𝑥 )(𝑥 )
3) En el primer paréntesis, después de la equis, colocamos el signo del término de la potencia mitad,
en este caso más (+).
𝑥2 + 5𝑥 − 24 = (𝑥 + )(𝑥 )
4) En el segundo paréntesis, después de la equis, colocamos el producto de los signos del término de la
potencia mitad y el del término independiente; en este caso (+) ∙ (−) = − es decir, que debemos
colocar menos (−).
𝑥2 + 5𝑥 − 24 = (𝑥 + )(𝑥− )
5) Como los signos que colocamos son contrarios, entonces debemos buscar dos números que
multiplicados den el término independiente, es decir 18 y que restados den el coeficiente del término
de la potencia mitad; en este caso 5. El mayor de los números buscado se escribe siempre en el
primer paréntesis. Si los signos fueran iguales, entonces los números buscados se deben sumar y esta
suma debe ser igual al coeficiente del término de la potencia mitad.
𝑥2 + 5𝑥 − 24 = (𝑥 + 8 )(𝑥 − 3 )
• Factorizar 𝑚2 − 7𝑚 + 12
Solución.
𝑚2 − 7𝑚 + 12 = (𝑚 − 4)(𝑚 − 3) Observe que los signos colocados en los paréntesis son iguales,
entonces se buscan dos números que multiplicados den 12 y que sumados den 7.
• Factorizar 𝑝2 − 10𝑝 + 21
Solución.
𝑝2 − 10𝑝 + 21 = (𝑝 − 7)(𝑝 − 3)
➢ Factorizar 𝑛2 + 8𝑛 + 15
Solución.
𝑛2 + 8𝑛 + 15 = (𝑛 + 5)(𝑛 + 3)
➢ Factorizar 𝑚4 − 2𝑚2 − 24
Solución.
𝑚4 − 2𝑚2 − 24 = (𝑚2 − 6)(𝑚2 + 4) En este ejemplo 𝑚4es la potencia par y −2𝑚2es el término de
la potencia mitad.
Ejercicio
Factorice.
1. 𝑛6 − 𝑛3 − 20 =
2. 𝑝4 + 7𝑝2 + 10 =
3. 𝑦2 − 9𝑦 + 18 =
4. 𝑑2 + 8𝑑 − 48 =
5. 𝑥8 − 6𝑥4 − 40 =
6. 𝑝4 − 8𝑝2 + 15 =
7. 𝑞6 + 8𝑞3 − 20 =
8. 𝑥2 − 20𝑥 + 36 =
9. 𝑘8 + 11𝑘4 + 24 =
10. 𝑥4𝑦2 + 3𝑥2𝑦 − 28 =
11. 48 + 𝑝4 − 14𝑝2 =
12. −3𝑛4 − 18 + 𝑛8 =
13. −40 + 𝑚10 + 6𝑚5 =
PRODUCTOS DE LA FORMA (𝒂𝒙 + 𝒄)(𝒃𝒙 + 𝒅) Y TRINOMIOS DE LA FORMA 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Producto de la forma (𝒂𝒙 + 𝒄)(𝒃𝒙 + 𝒅). En este tipo de binomios 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 representan números enteros
que, pueden ser positivos y/o negativos. El procedimiento a seguir es el siguiente:
✓ Multiplica 𝑎𝑥 por 𝑏𝑥.
✓ Multiplica 𝑎 por 𝑑 y 𝑐 por 𝑏, luego suma los resultados obtenidos y después agrega 𝑥 a la suma obtenida,
no olvides la ley de signos en la multiplicación.
✓ Multiplica 𝑐 por 𝑑, recuerda que debes aplicar la ley de signos.
✓ Forma un trinomio con los términos obtenidos, separando cada término con los signos que obtuviste en
los pasos aplicados.
Ejemplo.
• Multiplica 2𝑥 + 4 por 3𝑥 + 5
Solución.
(2𝑥 + 4) ∙ (3𝑥 + 5) = 6𝑥2 + 22𝑥 + 20 Observe que 2𝑥 ∙ 3𝑥 = 6𝑥2
2𝑥 ∙ 5 + 4 ∙ 3𝑥 = 10𝑥 + 12𝑥 = 22𝑥
4 ∙ 5 = 20
• Multiplicar 4𝑝 + 2 por 3𝑝 − 5
Solución.
(4𝑝 + 2) ∙ (3𝑝 − 5) = 12𝑝2 − 14𝑝 − 10 Observa de donde salieron los resultados:
4𝑝 ∙ 3𝑝 = 12𝑝2
4𝑝 ∙ (−5) + 2 ∙ 3𝑝 = −20𝑝 + 6𝑝 = −14𝑝
2 ∙ (−5) = −10
• Multiplica 5𝑚 − 6 por 3𝑚 − 2
Solución.
(5𝑚 − 6) ∙ (3𝑚 − 2) = 15𝑚2 − 28𝑚 + 12 Mira cómo se obtuvieron los resultados:
5𝑚 ∙ 3𝑚 = 15𝑚2
5𝑚 ∙ (−2) + (−6) ∙ 3𝑚 = −10𝑚 + (−18𝑚)
= −28𝑚
(−6) ∙ (−2) = +12
• Multiplica 3𝑥2 + 5 por 5𝑥2 − 6
Solución.
(3𝑥2 + 5) ∙ (5𝑥2 − 6) = 15𝑥4 + 7𝑥2 − 30 Los resultados se obtuvieron de la siguiente
forma:
3𝑥2 ∙ 5𝑥2 = 15𝑥4
3𝑥2 ∙ (−6) + 5 ∙ 5𝑥2 = −18𝑥2 + 25𝑥2 = +7𝑥2
5 ∙ (−6) = −30
Ejercicio
Aplica el procedimiento explicado y resuelve los siguientes productos.
1. (5𝑛 + 3) ∙ (2𝑛 − 6) =
2. (2𝑛3 − 5) ∙ (4𝑛3 − 4) =
3. (4𝑝 − 7) ∙ (8𝑝 + 3) =
4. (5𝑞2 + 6) ∙ (7𝑞2 + 4) =
5. (9𝑥 − 3) ∙ (2𝑥 − 5) =
6. (7𝑐4 + 4) ∙ (2𝑐4 − 3) =
7. (3𝑚3 + 7) ∙ (6𝑚3 + 2) =
8. (6𝑛 − 4) ∙ (2𝑛 + 1) =
9. (2𝑘 + 3) ∙ (𝑘 − 5) =
10. (9ℎ5 − 2) ∙ (2ℎ5 − 3) =
11. (2𝑚2𝑥 − 3)(5𝑚2𝑥 + 2) =
12. (7𝑝4 − 5)(4𝑝4 − 4) =
13. (3𝑞2 − 7)(6𝑞2 + 3) =
14. (2𝑘3 − 8)(4𝑘3 + 9) =
La factorización asociada con este producto notable se llama Trinomios de la Forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄.
Trinomios de la Forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. La única diferencia entre este tipo de trinomios y el anterior es que el
término de la potencia par tiene un coeficiente diferente a uno, este hecho hace que su factorización requiera de
otra estrategia. Para factorizar estos trinomios hay varios métodos. Veámoslos con un ejemplo.
Nota. Antes de aplicar cualquier método es indispensable ordenar los trinomios de mayor a menor grado.
Factorizar 6𝑥2 – 7𝑥 – 3
Método de los Productos Cruzados
• Buscamos dos números que multiplicados den el coeficiente de la potencia par, en este caso 6:
6 • 1 o 2 • 3
• Buscamos dos números que multiplicados den el término independiente, en este caso 3:
3 • 1
• Luego los escribimos formando filas (forma horizontal) y columnas (forma vertical):
6 1 2 3
3 1 3 1
• Los números de la primera fila siempre serán positivos, el primer número de la segunda fila tendrá el
signo del término de la potencia mitad, en este caso menos (–) y el otro número de dicha fila tendrá un
signo equivalente al producto de los signos del término de la potencia mitad y el término independiente,
en este caso (– ) • (– ) = +
6 1−3 +1
2 3−3 +1
• Luego realizamos productos cruzados y realizamos la suma algebraica de dichos productos, hasta
obtener el coeficiente de la potencia mitad, con su respectivo signo, en este caso −7. Si es necesario se
cambia el orden de los números en las filas:
6 1 => −3 2 3 => −9
−3 +1 => +6 −3 +1 => +2
3 −7
El segundo arreglo es el que nos sirve, entonces la primera columna va en el primer paréntesis y la
segunda en el otro. Los números de la primera fila van acompañados de 𝒙, es decir de la raíz cuadrada
de la potencia par:
6𝑥2 – 7𝑥 – 3 = (2𝑥 – 3) • (3𝑥 + 1)
Método del Producto 𝒂 ∙ 𝒄
Factorizar 6𝑥2 – 7𝑥 – 3 • Se multiplica el coeficiente de la potencia par por el término independiente, es decir 6 • (−3), en
nuestro caso, y obtenemos −18.
• Buscamos todas las posibles parejas de números enteros que multiplicados den −18:
−1 • 18 1 • (−18)
−2 • 9 2 • (−9)
−3 • 6 3 • (−6)
➢ Luego realizamos la suma algebraica de estos factores hasta obtener el coeficiente del término de la
potencia mitad, en nuestro caso −7:
−1 • 18 ⟹ −1 + 18 = 17 ; 1 • (−18) ⟹ 1 + (−18) = −17
−2 • 9 ⟹ −2 + 9 = 7 ; 2 • (−9) ⟹ 2 + (−9) = −7
➢ Vemos que el cuarto factor nos sirve, entonces descomponemos −7𝑥 en dos términos semejantes,
empleando dichos factores:
−7𝑥 = 2𝑥 − 9𝑥
➢ Reemplazamos en el trinomio −𝟕𝒙 por 𝟐𝒙 − 𝟗𝒙 y procedemos a factorizar empleando el caso Factor
común por agrupación de términos:
6𝑥2 – 7𝑥 – 3 = 6𝑥2 + 2𝑥 − 9𝑥 − 3 = (6𝑥2 + 2𝑥) – (9𝑥 + 3) = 2𝑥(3𝑥 + 1) − 3(3𝑥 + 1) 6𝑥2 – 7𝑥 – 3 = (3𝑥 + 1)(2𝑥 − 3)
Método de la Conversión a la Forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
• Factorizar 6𝑥2 − 7𝑥 − 3
➢ Multiplicamos todo el trinomio por el coeficiente de la potencia par, en nuestro caso por 6, para convertir
el trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 en uno de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, que es más fácil de
factorizar; pero como multiplicamos por 6 debemos dividir por 6, para que el trinomio no cambie; es
decir que en realidad multiplicamos el trinomio por 1, pero expresado en la forma 6
6.
6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = (6𝑥2 − 7𝑥 − 3) ∙6
6 Se indicó la multiplicación por
6
6
=(6𝑥2−7𝑥−3)∙6
6 Se expresó la multiplicación de 6 por el trinomio del numerador.
=6𝑥2∙6−7𝑥∙6−3∙6
6 Se indicó la multiplicación de 6 por cada término del trinomio.
➢ Sólo se realiza la multiplicación de 6 por −3, las demás multiplicaciones no se ejecutan, sólo se
organizan convenientemente para darle al trinomio la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, que nos interesa.
=(6𝑥)2−7∙(6𝑥)−18
6 Tenga en cuentea que 6 por 6 lo mismo que 62 y 62 ∙ 𝑥2 es lo mismo que
(6𝑥)2, también observe que 6𝑥 es la raíz cuadrada de (6𝑥)2.
➢ Como el trinomio del numerador ya tiene la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, entonces procedemos como en dicho
caso:
6𝑥2 − 7𝑥 − 3 =(6𝑥)2 − 7 ∙ (6𝑥) − 18
6
=(6𝑥−9)∙(6𝑥+2)
6 En cada paréntesis colocamos 6𝑥, que es la raíz cuadrada de (6𝑥)2, luego buscamos
dos números que multiplicados den 18 y que restados den 7.
=3∙(2𝑥−3)∙2∙(3𝑥+1)
6 En el primer paréntesis sacamos como factor común a 3 y en segundo a
2.
=6∙(2𝑥−3)∙(3𝑥+1)
6 Se multiplicó 3 por 2 y se obtuvo 6.
6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = (2𝑥 − 3) ∙ (3𝑥 + 1) Se simplificó el 6 del numerador con el del denominador.
Método de la Fórmula Cuadrática
En este método se emplea la fórmula:
𝒙 =−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Conocida como fórmula cuadrática, en la cual 𝑎 y 𝑏, corresponden a los coeficientes de los términos de segundo
y primer grado respectivamente y 𝑐 es el término independiente.
• Factorizar 6𝑥2 − 7𝑥 − 3
Como el trinomio está ordenado debemos identificar 𝑎, 𝑏 y 𝑐:
𝒂 = 𝟔 𝒃 = −𝟕 𝒄 = −𝟑
Luego reemplazamos en la fórmula cuadrática y realizamos las operaciones indicadas, hasta obtener dos valores
para equis:
𝒙 =−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
𝑥 =−(−7) ± √(−7)2 − 4(6) ∙ (−3)
2 ∙ (6)
𝑥 =7 ± √49 + 72
12
𝑥 =7 ± √121
12
𝑥 =7 ± 11
12
El signo ± colocado antes del 11 significa que debemos tomar primero −11 y luego +11 y por esta razón
obtenemos dos valores para equis:
𝑥 =7 − 11
12
𝑥 =−4
12
𝑥 =−1
3
3𝑥 = −1
3𝑥 + 1 = 0
Por lo tanto, el primer factor será 3𝑥 + 1
𝑥 =7 + 11
12
𝑥 =18
12
𝑥 =3
2
2𝑥 = 3
2𝑥 − 3 = 0
Es decir que el segundo factor será 2𝑥 − 3
Entonces: 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = (3𝑥 + 1) ∙ (2𝑥 − 3)
Como puedes ver, en todos los métodos, se obtuvo el mismo resultado. El objetivo de mostrar los diferentes
métodos es para que, de ellos, elijas uno y te perfecciones en él.
Nota. Existen trinomios de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 y de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 que no son factorizables, para
saber si se puede o no factorizar calculamos el valor numérico para 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄, es decir que reemplazamos en
esta fórmula los valores correspondientes para 𝑎, 𝑏 y 𝑐; si el valor obtenido es “Cuadrado Perfecto”, entonces
el trinomio es factorizable; de lo contrario no se puede factorizar. Ejemplo:
¿Es factorizable −7𝑚 + 6𝑚2 + 4?
Solución.
Ordenemos el trinomio: 6𝑚2 − 7𝑚 + 4
𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝒂 = 𝟔 𝒃 = −𝟕 𝒄 = 𝟒
𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−7)2 − 4 ∙ (6) ∙ (4)
= 49 − 96
= −47
Menos 47 no es cuadrado perfecto, de hecho, ningún número negativo es cuadrado perfecto, por lo tanto, el
trinomio no es factorizable.
Ejercicio
Factorice.
1. 5𝑥2 − 6 + 13𝑥 = 2. 2𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 3. 6𝑥2 + 7𝑥 + 2 =
4. 6𝑝4 + 5𝑝2 − 6 =
5. 3𝑚2 − 7𝑚 + 4 =
6. 5𝑥2 + 8𝑥 − 4 =
7. 14𝑛2 − 31𝑛 − 10 =
8. 3𝑥2 − 5𝑥 − 2 = 9. 4𝑝4 + 32 − 24𝑝2 = 10. −15 + 8𝑞6 + 2𝑞3 = 11. −10𝑛𝑝2 + 12𝑛2𝑝4 − 12 = 12. −12 − 14𝑚2 + 6𝑚4 = 13. 23𝑘3 + 9𝑘6 − 12 = 14. 10𝑚4 − 16 − 6𝑚2 = 15. 13𝑐 + 12𝑐2 − 14 =
BINOMIO AL CUADRADO Y TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Binomio al Cuadrado. También conocido como binomio de la forma (𝑥 ± 𝑦)2en cuyo caso tendremos dos
posibilidades:
a) (𝑥 + 𝑦)2 En este ejemplo equis (𝑥) es el primer término y ye (𝑦) el segundo. Este producto notable
se resuelve aplicando la regla:
“El cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado
del segundo”
Es decir que:
(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 + y2
b) (𝑥 − 𝑦)2 Este producto notable es casi idéntico al anterior, la única diferencia es el signo menos; la
forma de resolverlo es la siguiente:
“El cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado
del segundo”
Es decir que:
(𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥2 − 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 + y2
Observe que la única diferencia con el anterior es el menos.
Por lo tanto, estos dos productos notables son muy fáciles de memorizar.
En una forma generalizada se tiene que:
(𝑥 ± 𝑦)2 = 𝑥2 ± 2𝑥𝑦 + 𝑦2
Es decir:
“El cuadrado del primero más o menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del
segundo”
Al resolver este tipo de productos siempre se obtiene una expresión algebraica llamada Trinomio
Cuadrado Perfecto (T. C. P).
Ejemplos.
• Realice (2𝑛 + 3𝑚)2
Solución.
Apliquemos el producto notable. Tenga en cuenta que el primer término es 2𝑛 mientras que el segundo es 3𝑚.
(2𝑛 + 3𝑚)2 = 4𝑛2 + 12𝑚𝑛 + 9𝑚2 Los resultados se obtuvieron de la siguiente forma:
Cuadrado del primero (2𝑛)2 = 4𝑛2
Más doble producto primero por segundo +2 ∙ (2𝑛) ∙ (3𝑚) = 12𝑚𝑛
Más cuadrado del segundo +(3𝑚)2 = +9𝑚2
• Realice (3𝑚 − 5)2
Solución.
(3𝑚 − 5)2 = 9m2 − 30m + 25 Observa cómo se obtuvieron los resultados:
Cuadrado del primero (3𝑚)2 = 9𝑚2
Menos doble producto primero por segundo −2 ∙ (3𝑚) ∙ (5) = −30𝑚
Más cuadrado del segundo 52 = 25
• Realiza (4𝑝3 + 2𝑞2)2
Solución.
Observe que ahora el primer término es 4𝑝3 y que el segundo es 2𝑞2
(4𝑝3 + 2𝑞2)2 = 16𝑝6 + 16𝑝3𝑞2 + 4𝑞4 Los resultados se obtuvieron de la siguiente forma:
Cuadrado del primero (4𝑝3)2 = 42(𝑝3)2 = 16𝑝6
Más doble producto primero por segundo +2 ∙ (4𝑝3) ∙ (2𝑞2) = +16𝑝3𝑞2
Más el cuadrado del segundo (2𝑞2)2 = +22(𝑞2)2 = 4𝑞4
Ejercicio
Realiza los siguientes productos aplicando las reglas estudiadas.
1. (4𝑝 − 5𝑞)2 =
2. (7𝑚3 + 2𝑛2)2 =
3. (𝑞4 − 3𝑝2𝑥3)2 =
4. (2𝑥 + 7𝑦)2 =
5. (9𝑚 − 𝑛4)2 =
6. (6𝑓 − 3𝑏)2 =
7. (3𝑝2𝑞3 + 2𝑥4𝑦3)2 =
8. (−4𝑘 + 6𝑟)2 =
9. (3𝑝𝑥
4−
7𝑚2𝑦
2)
2
=
10. (8𝑚𝑥+2 − 2𝑛𝑥+3)2 =
11. (5𝑝2𝑥2−3𝑞4𝑥2+2 − 4𝑝𝑥3+2𝑞3𝑥3+3)2
=
12. (9𝑛3𝑥 − 5𝑛𝑥−2)2 =
Para regresarnos después de realizar un producto notable de esta forma se aplica la factorización denominada
Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P).
Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P). Un trinomio es T.C.P, si cumple con las siguientes condiciones:
➢ Posee dos términos positivos y cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta)
➢ El otro término es el doble (multiplicar por 2) producto de las raíces cuadradas de los cuadrados
perfectos.
Si un trinomio cumple las dos condiciones anteriores, entonces se procede de la siguiente forma:
➢ Si el trinomio está desordenado, se ordena de mayor a menor exponente.
➢ Se dibuja paréntesis que abre y paréntesis que cierra, elevado al cuadrado.
➢ Se saca la raíz cuadrada al primero y al último término.
➢ Se escriben estas raíces dentro del paréntesis, separadas por el signo del segundo término.
Veamos este procedimiento paso a paso, factorizando 𝑥2 – 2𝑥 + 1
Solución.
➢ El primer y último término de este trinomio son positivos y tienen raíz cuadrada exacta, veamos:
√𝑥2 = 𝑥 √1 = 1
➢ El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos, entonces es un
T. C. P. Veamos:
2 ∙ (𝑥) ∙ (1) = 2𝑥
➢ Como el trinomio está ordenado descendentemente (de mayor a menor exponente), entonces se dibuja
paréntesis que abre y paréntesis que cierra, elevado al cuadrado.
𝑥2 – 2𝑥 + 1 = ( )2
➢ Se saca la raíz cuadrada al primero y al último término.
√𝑥2 = 𝑥 √1 = 1
➢ Se escriben estas raíces dentro del paréntesis, separadas por el signo del segundo término.
𝑥2 – 2𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)2
La expresión anterior se puede escribir también así:
𝑥2 – 2𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1) Puesto que (𝑥 − 1)2 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)
• Factorizar −12𝑚+4𝑚2 + 9
Solución.
Debemos ordenar el trinomio.
−12𝑚+4𝑚2 + 9 = 4𝑚2 − 12𝑚 + 9
➢ El primero y el último término son positivos y tienen raíz cuadrada exacta, veamos:
√4𝑚2 = 2𝑚 √9 = 3
➢ Realicemos el doble producto de estas dos raíces para ver si coincide con el otro término, es decir con
12𝑚:
2 ∙ (2𝑚) ∙ (3) = 12𝑚
Como podemos ver el trinomio es un T. C. P.
➢ Como el trinomio está ordenado descendentemente (de mayor a menor exponente), entonces se dibuja
paréntesis que abre y paréntesis que cierra, elevado al cuadrado.
4𝑚2 − 12𝑚 + 9 = ( )2
➢ Como ya se sacó la raíz cuadrada al primero y al último término, entonces escribimos estas raíces dentro
del paréntesis, separadas por el signo del término de la mitad; en este caso por un signo menos (−).
4𝑚2 − 12𝑚 + 9 = (2𝑚 − 3)2
La expresión anterior se puede escribir también así:
4𝑚2 − 12𝑚 + 9 = (2𝑚 − 3)(2𝑚 − 3)
• Factorizar 9𝑝4𝑞6 + 30𝑚𝑝2𝑞3 + 25𝑚2
Solución.
➢ Como el trinomio está ordenado con respecto a 𝑝, entonces saquemos las raíces del primero y del último
término:
√9𝑝4𝑞6 = 3𝑝2𝑞3 √25𝑚2 = 5𝑚
➢ Verifiquemos el doble producto de estas dos raíces:
2. (3𝑝2𝑞3) ∙ (5𝑚) = 30𝑚𝑝2𝑞3
El trinomio es un T. C. P. entonces:
9𝑝4𝑞6 + 30𝑚𝑝2𝑞3 + 25𝑚2 = (3𝑝2𝑞3 + 5𝑚)2
Ejercicio
Factorice, si es posible.
1. 81 + 36𝑝 + 4𝑝2 =
2. −60𝑘2𝑙𝑚3 + 25𝑘4𝑙2 + 36𝑚6 =
3. 49𝑞8 + 16𝑏4 − 56𝑏2𝑞4 =
4. 70𝑥𝑦 + 49𝑥2 + 25𝑦2 =
5. 100𝑚6𝑛4𝑥2 − 60𝑏𝑐4𝑚3𝑛2𝑥 + 9𝑏2𝑐8 =
6. −24𝑘2𝑚 + 9𝑚2 + 16𝑘4 =
7. −20𝑝5𝑞3 + 25𝑝10 + 4𝑞6
8. −14𝑥3 + 1 + 49𝑥6 =
9. 𝑦8 + 2𝑦4 − 1 =
10. −12𝑚2𝑛3 + 9𝑛6 + 4𝑚4 =
11. 25𝑞8 + 16𝑝4 − 40𝑝2𝑞4 =
12. 1 + 12𝑏2 + 36𝑏4 =
13. 4𝑐𝑚2 + 4𝑚4 + 𝑐2 =
T. C. P. por Adición y Sustracción. Denominado también Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto.
Hay trinomios, que aparentemente son T. C. P. ya que poseen dos términos positivos y cuadrados perfectos,
pero el tercer término no corresponde al doble producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos. En
estos casos se puede sumar y restar, al trinomio, el término que hace que el trinomio dado se convierta en un T.
C. P. con lo que se obtiene una expresión, en la cual se deben practicar dos casos de factorización (trinomio
cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados). Veamos este caso paso a paso con un ejemplo.
• Factorizar 4𝑚4 + 8𝑚2 + 9
Solución.
➢ Verifiquemos si el trinomio dado cumple las condiciones para ser un T. C. P.
√4𝑚4 = 2𝑚2 ; √9 = 3
Como 8𝑚2 no tiene raíz cuadrada exacta, por eso tomamos los otros dos términos.
Calculemos el doble producto de las raíces cuadradas obtenidas:
2 ∙ (2𝑚2) ∙ (3) = 12𝑚2
➢ Como podemos ver el término 8𝑚2, no es el doble producto de las raíces cuadradas, entonces
averigüemos cuánto le falta para convertirse en el doble producto:
12𝑚2 − 8𝑚2 = 4𝑚2
➢ Ahora sumemos al trinomio inicial 4𝑚2, que lo convierte en un T. C. P, pero como sumamos 4𝑚2,
entonces debemos restar 4𝑚2 para que el trinomio no cambie, ya que en realidad sumamos CERO,
puesto que 4𝑚2 − 4𝑚2 = 0.
4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 = 4𝑚4 + 8𝑚2 + 4𝑚2 + 9 − 4𝑚2
➢ Sumemos 8𝑚2 con 4𝑚2 4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 = 4𝑚4 + 12𝑚2 + 9 − 4𝑚2
➢ Agrupemos en un paréntesis 4𝑚4 + 12𝑚2 + 9, que es un T. C. P, para factorizarlo:
4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 = (4𝑚4 + 12𝑚2 + 9) − 4𝑚2
➢ Factoricemos el T. C. P del paréntesis:
4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 = (2𝑚2 + 3)2 − 4𝑚2
Ahora tenemos una expresión idéntica a una diferencia de cuadrados, la cual debemos factorizar empleando el
método correspondiente, que se estudió con anterioridad:
4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 = (2𝑚2 + 3)2 − 4𝑚2
➢ Sacamos la raíz cuadrada a ambos términos de la igualdad:
√(2𝑚2 + 3)2 = 2𝑚2 + 3 ; √4𝑚2 = 2𝑚
➢ Factorizamos la expresión del segundo miembro de la igualdad:
4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 = (2𝑚2 + 3 − 2𝑚)(2𝑚2 + 3 + 2𝑚)
➢ Ordenamos los trinomios del segundo miembro:
4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 = (2𝑚2 − 2𝑚 + 3)(2𝑚2 + 2𝑚 + 3)
La expresión ha quedado factorizada.
• Factorizar 𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞2
Solución.
➢ Verifiquemos el trinomio para ver si es un T. C. P, para ello saquemos las raíces cuadradas a los dos
términos positivos:
√𝑝2 = 𝑝 ; √𝑞2 = 𝑞
➢ Realicemos el doble producto de estas raíces:
2 ∙ (𝑝) ∙ (𝑞) = 2𝑝𝑞
Observe que este doble producto no coincide con 5𝑝𝑞 que es el otro término del trinomio dado.
➢ Averigüemos qué término hay que sumar al trinomio para convertirlo en T. C. P:
5𝑝𝑞 − 2𝑝𝑞 = 3𝑝𝑞
Se debe sumar 3𝑝𝑞 para convertir el trinomio dado en un T. C. P.
➢ Sumemos y restemos 3𝑝𝑞, para que el trinomio inicial no cambie:
𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞2 = 𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 3𝑝𝑞 + 𝑞2 − 3𝑝𝑞
= 𝑝2 − 2𝑝𝑞 + 𝑞2 − 3𝑝𝑞
= (𝑝2 − 2𝑝𝑞 + 𝑞2) − 3𝑝𝑞
= (𝑝 − 𝑞)2 − 3𝑝𝑞
➢ Como en el paso anterior obtuvimos una diferencia de cuadrados, entonces procedemos a su
factorización:
𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞2 = (𝑝 − 𝑞)2 − 3𝑝𝑞 Expresión obtenida en el paso anterior.
= (𝑝 − 𝑞 − √3𝑝𝑞 )(𝑝 − 𝑞 + √3𝑝𝑞 )
𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞2 = (𝑝 − 𝑞 − √3𝑝𝑞)(𝑝 − 𝑞 + √3𝑝𝑞)
Otra posibilidad de factorización para el trinomio dado:
Para averiguar el término que hay que sumar y restar a este trinomio tenemos otra posibilidad.
El secundo término del trinomio dado debe ser 2𝑝𝑞; pero tenemos −5𝑝𝑞, entonces:
2𝑝𝑞 − (−5𝑝𝑞) = 2𝑝𝑞 + 7𝑝𝑞
2𝑝𝑞 − (−5𝑝𝑞) = 7𝑝𝑞
Si al trinomio dado le sumamos y restamos 7𝑝𝑞 obtendremos en el segundo término 2𝑝𝑞, lo que nos convierte
dicho trinomio en un T.C.P. Veamos la factorización con esta posibilidad:
𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞2 = 𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 7𝑝𝑞 + 𝑞2 − 7𝑝𝑞
𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞2 = 𝑝2 + 2𝑝𝑞 + 𝑞2 − 7𝑝𝑞
𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞2 = (𝑝2 + 2𝑝𝑞 + 𝑞2) − 7𝑝𝑞
𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞2 = (𝑝 + 𝑞)2 − 7𝑝𝑞
𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞2 = (𝑝 + 𝑞 − √7𝑝𝑞 )(𝑝 + 𝑞 + √7𝑝𝑞 )
Si comparamos los dos resultados podemos darnos cuenta que en este caso hay dos factorizaciones diferentes.
• Factorizar 𝑥4 − 𝑥2 + 1
Solución.
√𝑥4 = 𝑥2 ; √1 = 1
2 ∙ (𝑥2) ∙ (1) = 2𝑥2
2𝑥2 no coincide con el otro término, por tanto, el trinomio no es un T.C.P, veamos si es posible convertirlo a
Trinomio Cuadrado Perfecto sumándole un término:
2𝑥2 − 1𝑥2 = 𝑥2
Si al trinomio 𝑥4 − 𝑥2 + 1 le sumamos 𝑥2 , se obtendría 𝑥4 + 1, es decir, no obtenemos un T.C.P, por lo tanto
debemos pensar en la posibilidad de sumar otro término que nos convierta este trinomio en un T.C.P, entonces
hagamos lo siguiente:
2𝑥2 − (−𝑥2) = 3𝑥2
Si al trinomio 𝑥4 − 𝑥2 + 1 le sumamos 3𝑥2, se obtiene 𝑥4 + 2𝑥2 + 1 que si es un T.C.P, entonces debemos
sumar y restar al trinomio el término 3𝑥2:
𝑥4 − 𝑥2 + 1 = 𝑥4 − 𝑥2 + 1 + 3𝑥2 − 3𝑥2
= 𝑥4 + 2𝑥2 + 1 − 3𝑥2 Se redujo términos semejantes.
= (𝑥4 + 2𝑥2 + 1) − 3𝑥2
= (𝑥2 + 1)2 − 3𝑥2 Ahora Factoricemos la diferencia de cuadrados.
= (𝑥2 + 1 − √3 ∙ 𝑥)(𝑥2 + 1 + √3 ∙ 𝑥)
• Factorizar −2𝑚2𝑛 + 9𝑛2 + 4𝑚4
Solución.
√9𝑛2 = 3𝑛 ; √4𝑚4 = 2𝑚2
2 ∙ (3𝑛)(2𝑚2) = 12𝑚2𝑛
Como podemos ver el doble producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos no coincide con el
término que no es cuadrado perfecto, por lo tanto, el trinomio no es un T.C.P. Averigüemos qué término
debemos sumar para convertirlo en un T.C.P:
12𝑚2𝑛 − 2𝑚2𝑛 = 10𝑚2𝑛
Si al trinomio −2𝑚2𝑛 + 9𝑛2 + 4𝑚4le sumamos 10𝑚2𝑛, se obtiene 8𝑚2𝑛 + 9𝑛2 + 4𝑚4 que no es un T.C.P,
para que sea T.C.P en lugar de 8𝑚2𝑛, debería tener 12𝑚2𝑛. Pensemos ¿qué término le sumamos al trinomio
para que cumpla con esta condición? Veamos:
12𝑚2𝑛— (−2𝑚2𝑛) = 14𝑚2𝑛
Es decir que si le sumamos 14𝑚2𝑛 el trinomio dado se convierte en un T.C.P, pero para que el trinomio inicial
no cambie le restamos este mismo término:
−2𝑚2𝑛 + 9𝑛2 + 4𝑚4 = −2𝑚2𝑛 + 9𝑛2 + 4𝑚4 + 14𝑚2𝑛 − 14𝑚2𝑛 Ahora reduzcamos términos
semejantes y agrupemos el T.C.P
= (12𝑚2𝑛 + 9𝑛2 + 4𝑚4) − 14𝑚2𝑛 Se redujo y se agrupó el T.C.P.
= (3𝑛 + 2𝑚2)2 − 14𝑚2𝑛 Se factorizó el T.C.P.
= (3𝑛 + 2𝑚2 − √14𝑛 ∙ 𝑚)(3𝑛 + 2𝑚2 + √14𝑛 ∙ 𝑚)
• Factorice 36 − 8𝑦 + 𝑦2
Solución.
√36 = 6 ; √𝑦2 = 𝑦
2 ∙ (6) ∙ (𝑦) = 12𝑦
Para que el trinomio dado sea T.C.P. se requiere que en lugar de −8𝑦 tuviese −12𝑦 o 12𝑦, entonces averigüemos
cuál es el término que debemos sumar y restar:
12𝑦 − (−8𝑦) = 20𝑦
Si al trinomio inicial le sumamos y le restamos 20𝑦, obtenemos un T.C.P.
36 − 8𝑦 + 𝑦2 = 36 − 8𝑦 + 𝑦2 + 20𝑦 − 20𝑦
= (36 + 12𝑦 + 𝑦2) − 20𝑦
= (6 + 𝑦)2 − 20𝑦
= (6 + 𝑦 − √20𝑦)(6 + 𝑦 + √20𝑦)
Ejercicio
Factorice, si es posible.
1. 9𝑥8 − 20𝑥4𝑦2 + 16𝑦4 =
2. 4𝑞4 − 36𝑏2𝑞2 + 25𝑏4 =
3. 𝑚4𝑛8𝑝4 − 𝑚2𝑛4𝑝2𝑞4𝑥2 + 𝑞8𝑥4 =
4. 36 − 8𝑑4 + 𝑑8 =
5. 𝑘2 − 11𝑘𝑚 + 𝑚2 =
6. −11𝑘 + 1 + 𝑘2 =
7. 16𝑝4 + 20𝑚2𝑝2 + 9𝑚4 = 8. −21𝑏 + 36𝑏2 + 1 = 9. −5𝑚2𝑛3𝑤4 + 𝑤8 + 4𝑚4𝑛6 =
10. 100𝑘8 + 81𝑓4 + 80𝑓2𝑘4 =
11. 𝑞4
4+ 25𝑛8 − 6𝑛4𝑞2 =
12. 25𝑥4
16− 2𝑥2𝑦2 +
4𝑦4
25=
Binomios Elevados a la 𝒏. En estos casos 𝑛 representa un entero positivo mayor o igual que cero. En el caso
que 𝑛 sea negativo se debe aplicar el concepto de potencia con exponente negativo y luego proceder como
cuando 𝑛 es positivo. Los casos en que 𝑛 es igual a dos, se acaban de estudiar. En el caso que 𝑛 sea cero, la
expresión es igual a uno y cuando 𝑛 es igual a uno, la expresión resultante es la misma del paréntesis. Veamos:
(𝑥 + 𝑦)0 = 1
(𝑥 + 𝑦)1 = 𝑥 + 𝑦
Cuando 𝑛 es mayor que dos, entonces se requiere aplicar una ingeniosa estrategia denominada “Triángulo de
Pascal”, el cual nos indica los coeficientes de los diferentes términos del desarrollo binomial o expansión
binomial. El Triángulo de Pascal consiste en un triángulo isósceles cuyos lados iguales o congruentes están
formados por números uno y su lado no congruente contiene los coeficientes de los términos del desarrollo
binomial, veámoslo:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Ahora expliquemos como se forma el triángulo:
• Se escribe un número uno.
• En la línea de abajo se escriben dos unos seguidos.
• En la otra línea se comienza con uno, luego se suman los dos unos de la línea de arriba para obtener dos
y se termina con uno.
• En la siguiente se comienza con uno y luego se suma el uno y el dos de arriba, después se suma el dos y
el uno y se termina con uno.
• Así sucesivamente se van formando las líneas hasta donde se necesite.
Estudie y analice la construcción de este triángulo, ya que es muy importante en los productos notables en los
cuales se tiene un binomio elevado a un exponente entero.
Veamos ahora el empleo del Triángulo de Pascal.
• Realice (𝑚 + 𝑛)3
Solución.
Realicemos el ejercicio paso a paso.
1. En el triángulo de Pascal ubicamos la línea cuyo segundo número es tres y ésta será la que contiene los
coeficientes del desarrollo del binomio pedido. Los números de la línea en cuestión son:
1 3 3 1
Estos números serán los coeficientes iniciales de los términos de la expansión binomial.
2. Separemos cada número por un más (+) ya que los términos del binomio están separados por un más;
si los términos del binomio están separados por un menos (−), los signos se alternan comenzando
siempre con más:
1 + 3 + 3 + 1
3. Cada uno de estos números se multiplica por 𝑚 y por 𝑛, es decir, por el primero y por el segundo término:
1 ∙ (𝑚) ∙ (𝑛) + 3∙ (𝑚) ∙ (𝑛) + 3∙ (𝑚) ∙ (𝑛) + 1∙ (𝑚) ∙ (𝑛)
4. En el primer término a 𝑚 le colocamos exponente tres ( 3 ) y a 𝑛 exponente cero (0), en el segundo
término a 𝑚 le colocamos exponente 2 y a 𝑛 exponente 1, en el tercer término 𝑚 lleva exponente 1
mientras que 𝑛 tiene exponente 2 y en el cuarto término 𝑚 tiene exponente cero y 𝑛 exponente 3.
1 ∙ 𝑚3 ∙ 𝑛0 + 3∙ 𝑚2 ∙ 𝑛1 + 3∙ 𝑚1 ∙ 𝑛2 + 1∙ 𝑚0 ∙ 𝑛3
Observe que 3 + 0 = 3; 2 + 1 = 3; 1 + 2 = 3
Es decir en cada término del desarrollo binomial la suma de sus exponentes siempre es igual al
exponente, que en este caso es tres y mientras que el exponente de 𝑚 disminuye, el de 𝑛 aumenta:
5. Ejecutamos las potencias indicadas en cada término, en este caso solo se ejecutan aquellas cuyo
exponente es cero, ya que todo número diferente de cero elevado a la cero es igual a uno:
1 ∙ 𝑚3 ∙ 1 + 3∙ 𝑚2 ∙ 𝑛1 + 3∙ 𝑚1 ∙ 𝑛2 + 1∙ 1 ∙ 𝑛3
6. Luego ejecutamos las multiplicaciones indicadas en cada término, en este caso sólo ejecutamos aquellas
donde está el uno, ya que todo número multiplicado por uno es igual al mismo número.
𝑚3 + 3∙ 𝑚2 ∙ 𝑛1 + 3∙ 𝑚1 ∙ 𝑛2 + 𝑛3
Es decir que:
(𝑚 + 𝑛)3 = 𝑚3 + 3𝑚2𝑛 + 3𝑚𝑛2 + 𝑛3
Recuerde que el exponente uno no se escribe ni el punto que indica multiplicación.
• Realizar (𝑚 − 𝑛)3
Solución.
El ejercicio propuesto es casi igual al anterior, la única diferencia es el menos. En este caso sólo cambian los
signos de los términos del desarrollo binomial, los signos se alternan más, menos comenzando siempre con más.
(𝑚 − 𝑛)3 = 𝑚3 − 3𝑚2 𝑛 + 3𝑚𝑛2 − 𝑛3
Recuerde. Cuando el signo del binomio es positivo, todos los términos del desarrollo serán positivos y si el
signo del binomio es negativo, los signos del desarrollo se alternan comenzando siempre con más.
Empleemos los dos productos vistos:
• Desarrollar (2𝑚 − 3𝑛)3
Solución.
(2𝑚 − 3𝑛)3 = 1 ∙ (2𝑚)3 ∙ (3𝑛)0 − 3 ∙ (2𝑚)2 ∙ (3𝑛)1 + 3 ∙ (2𝑚)1 ∙ (3𝑛)2 − 1 ∙ (2𝑚)0 ∙ (3𝑛)3
= 1 ∙ 8𝑚3 ∙ 1 − 3 ∙ 4𝑚2 ∙ 3𝑛 + 3 ∙ 2𝑚 ∙ 9𝑛2 − 1 ∙ 1 ∙ 27𝑛3
= 8𝑚3 − 36𝑚2𝑛 + 54𝑚𝑛2 − 27𝑛3
Observe como se obtuvieron los resultados:
(2𝑚)3 = 23𝑚3 = 8𝑚3 Propiedad distributiva de la potenciación con respecto al producto.
(3𝑛)0 = 1
3 ∙ 4𝑚2 ∙ 3𝑛 = 36𝑚2𝑛
3 ∙ 2𝑚 ∙ 9𝑛2 = 54𝑚𝑛2
1 ∙ 1 ∙ 27𝑛3 = 27𝑛3
• Desarrolle (2𝑝 + 4𝑞)4
Solución.
Según el triángulo de Pascal, los coeficientes para la cuarta potencia son:
1 4 6 4 1
Entonces tenemos que:
(2𝑝 + 4𝑞)4 = 1(2𝑝)4(4𝑞)0 + 4(2𝑝)3(4𝑞)1 + 6(2𝑝)2(4𝑞)2 + 4(2𝑝)1(4𝑞)3 + 1(2𝑝)0(4𝑞)4
= 1 ∙ 16𝑝4 ∙ 1 + 4 ∙ 8𝑝3 ∙ 4𝑞 + 6 ∙ 4𝑝2 ∙ 16𝑞2 + 4 ∙ 2𝑝 ∙ 64𝑞3 + 1 ∙ 1 ∙ 256𝑞4
= 16𝑝4 + 128𝑝3𝑞 + 384𝑝2𝑞2 + 512𝑝𝑞3 + 256𝑞4
Analice usted el ejercicio y determine cómo se llegó al resultado. Si se le dificulta captar los procesos realizados,
consulte algún video de youtube. ¡NO SE QUEDE CON DUDAS!!!
Ejercicio
Obtenga los siguientes desarrollos binomiales.
1. (3𝑞 − 2𝑝)3 =
2. (2𝑥2 − 5)4 =
3. (𝑝2 − 𝑞3)3 =
4. (5𝑚 + 2𝑛)4 =
5. (𝑥
2+ 2)5 =
Cubo Perfecto de Binomios (C. P. B). Cuando estudiamos los productos notables, analizamos el caso de un
binomio elevado al exponente tres, es decir analizamos los siguientes dos binomios:
1. (𝑚 + 𝑛)3 = 𝑚3 + 3𝑚2𝑛 + 3𝑚𝑛2 + 𝑛3
Es decir que:
𝑚3 + 3𝑚2𝑛 + 3𝑚𝑛2 + 𝑛3 = (𝑚 + 𝑛)3
2. (𝑚 − 𝑛)3 = 𝑚3 − 3𝑚2 𝑛 + 3𝑚𝑛2 − 𝑛3
Por lo tanto:
𝑚3 − 3𝑚2 𝑛 + 3𝑚𝑛2 − 𝑛3 = (𝑚 − 𝑛)3
Volvamos nuevamente nuestra atención a estos dos productos:
(𝑚 + 𝑛)3 = 𝑚3 + 3𝑚2𝑛 + 3𝑚𝑛2 + 𝑛3
Como puedes observar al desarrollar (𝑚 + 𝑛)3 se obtiene un polinomio ordenado con respecto a 𝑚 y que tiene
las siguientes características:
✓ Posee cuatro términos.
✓ Todos sus términos son positivos.
✓ El primer término corresponde al cubo del primer término del binomio.
✓ El segundo término corresponde al triple del cuadrado del primer término del binomio multiplicado
por el segundo término del binomio.
✓ El tercer término corresponde al triple del primer término del binomio multiplicado por el cuadrado
del segundo término del binomio.
✓ El cuarto término corresponde al cubo del segundo término del binomio.
Veamos ahora el otro binomio:
(𝑚 − 𝑛)3 = 𝑚3 − 3𝑚2 𝑛 + 3𝑚𝑛2 − 𝑛3
Como puedes observar al desarrollar (𝑚 − 𝑛)3 se obtiene un polinomio ordenado con respecto a 𝑚 y con las
siguientes características:
✓ Posee cuatro términos.
✓ Todos sus términos se alternan de signo comenzando por positivo.
✓ El primer término corresponde al cubo del primer término del binomio.
✓ El segundo término corresponde al triple del cuadrado del primer término del binomio
multiplicado por el segundo término del binomio.
✓ El tercer término corresponde al triple del primer término del binomio multiplicado por el
cuadrado del segundo término del binomio.
✓ El cuarto término corresponde al cubo del segundo término del binomio.
Como podemos darnos cuenta, al analizar estos dos desarrollos binomiales, la única diferencia entre ellos se
debe a sus signos:
➢ Cuando el binomio posee signo más (+), todos los términos del desarrollo binomial son positivos.
➢ Cuando el binomio posee signo menos (−), los términos del desarrollo binomial alternan sus signos,
comenzando siempre por más (+). No olvide que, en este caso, el primer término del desarrollo binomial
es positivo y el último término es negativo.
Podemos decir entonces que una expresión algebraica, ordenada, es un Cubo Perfecto de Binomios (C.
P. B) si cumple con las siguientes condiciones:
1. Posee cuatro términos.
2. El primero y el último término son cubos perfectos (poseen raíz cúbica exacta).
3. El segundo término corresponde al triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la
raíz cúbica del último término.
4. El tercer término corresponde al triple de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz
cúbica del último término.
5. Todos los términos son positivos o se alternan comenzando siempre por más.
Cuando una expresión algebraica cumple con las cinco condiciones arriba mencionadas, tenemos un Cubo
Perfecto de Binomios.
Después de verificar que una expresión algebraica cumple con las cinco condiciones enunciadas, su
factorización es muy sencilla:
a. Si los cuatro términos de la expresión algebraica son positivos, saque la raíz cúbica al primer y al
último término del polinomio, luego colóquelos dentro de un paréntesis elevado a la tres y sepárelos
por un signo más (+). Ejemplo.
𝑚3 + 3𝑚2𝑛 + 3𝑚𝑛2 + 𝑛3 = (𝑚 + 𝑛)3
Esta expresión se puede escribir también así:
𝑚3 + 3𝑚2𝑛 + 3𝑚𝑛2 + 𝑛3 = (𝑚 + 𝑛) ∙ (𝑚 + 𝑛)) ∙ (𝑚 + 𝑛)
b. Si los cuatro términos de la expresión algebraica se alternan de signo, comenzando por más, saque
la raíz cúbica al primer y al último término del polinomio, luego colóquelos dentro de un paréntesis
elevado a la tres y sepárelos por un signo menos (−). Ejemplo.
𝑚3 − 3𝑚2 𝑛 + 3𝑚𝑛2 − 𝑛3 = (𝑚 − 𝑛)3
La igualdad anterior se puede escribir también así:
𝑚3 − 3𝑚2𝑛 + 3𝑚𝑛2 − 𝑛3 = (𝑚 − 𝑛) ∙ (𝑚 − 𝑛)) ∙ (𝑚 − 𝑛)
Otra forma de escribir el proceso es:
Saque la raíz cúbica al primer y último término del polinomio, luego coloque estas raíces dentro de un
paréntesis elevado a la tres y Sepárelas por un:
❖ Más (+), si todos los términos del polinomio son positivos.
❖ Menos (−) si los signos del polinomio se alternan.
• Factorice −27 + 8𝑝3 + 54𝑝 − 36𝑝2
Solución.
Ordenemos el polinomio con respecto a 𝑝 y luego verifiquemos si cumple con las cinco condiciones analizadas
con anterioridad:
8𝑝3 − 36𝑝2 + 54𝑝 − 27
1. Posee cuatro términos.
2. El primero y último término son cubos perfectos.
√8𝑝33= 2𝑝 ; √27
3= 3
3. El segundo término corresponde al triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz
cúbica del último término.
3 ∙ (2𝑝)2 ∙ (3) = 3 ∙ 4𝑝2 ∙ 3
= 36𝑝2
4. El tercer término corresponde al triple de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz
cúbica del último término.
3 ∙ (2𝑝) ∙ (3)2 = 3 ∙ 2𝑝 ∙ 9
= 54𝑝
5. Los signos se alternan comenzando por positivo.
Como podemos ver la expresión analizada es un Cubo Perfecto de Binomios, y el signo que separa los dos
términos del binomio será negativo (−), entonces su factorización es:
−27 + 8𝑝3 + 54𝑝 − 36𝑝2 = 8𝑝3 − 36𝑝2 + 54𝑝 − 27 Polinomio ordenado con respecto a 𝑝.
8𝑝3 − 36𝑝2 + 54𝑝 − 27 = (2𝑝 − 3)3 Se colocó menos porque los signos van alternados comenzando por más.
La expresión anterior se puede escribir también así:
8𝑝3 − 36𝑝2 + 54𝑝 − 27 = (2𝑝 − 3) ∙ (2𝑝 − 3) ∙ (2𝑝 − 3)
• Factorizar 108𝑚2𝑛 + 27𝑚3 + 64𝑛3 + 144𝑚𝑛2
Solución.
Ordenemos el polinomio con respecto a la letra 𝑚 y verifiquemos si cumple con las cinco condiciones de un C.
P. B:
108𝑚2𝑛 + 27𝑚3 + 64𝑛3 + 144𝑚𝑛2 = 27𝑚3 + 108𝑚2𝑛 + 144𝑚𝑛2 + 64𝑛3
Observe que, al ordenar el polinomio, la letra 𝑚 comienza con exponente tres, luego sigue con exponente dos,
después tiene exponente uno y en el último término no aparece dicha letra, es decir tiene exponente cero. Ahora
miremos la letra 𝑛. En el primer término no aparece, es decir posee exponente cero, en el segundo término tiene
exponente uno, en el tercer término tiene exponente dos y el último término su exponente es tres.
Veamos las condiciones para ser un C. P. B:
1. Posee cuatro términos.
2. El primero y último término son cubos perfectos.
√27𝑚33= 3𝑚 ; √+64𝑛33
= 4𝑛
3. El segundo término corresponde al triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz
cúbica del último término.
3 ∙ (3𝑚)2 ∙ (4) = 3 ∙ 9𝑚2 ∙ 4
= 108𝑚2
4. El tercer término corresponde al triple de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz
cúbica del último término.
3 ∙ (3𝑚) ∙ (4𝑛)2 = 3 ∙ 3𝑚 ∙ 16𝑛2
= 144𝑚𝑛2
5. Todos los términos tienen signo positivo.
Como podemos ver la expresión analizada es un Cubo Perfecto de Binomios, y el signo que separa los dos
términos del binomio será positivo (+), entonces su factorización es:
27𝑚3 + 108𝑚2𝑛 + 64𝑛3 = (𝑚 + 𝑛)3
Ejercicio
Verifique si las siguientes expresiones son C. P. B y factorice las que cumplan con las condiciones requeridas.
1. −1 − 3𝑥4 + 3𝑥2 + 𝑥6
2. 3𝑚4 + 𝑚6 + 3𝑚2 − 1
3. 240𝑚3𝑛4 + 300𝑚6𝑛2 + 125𝑚9 + 64𝑛6
4. 48𝑞2 + 8 + 96𝑞4 + 64𝑞6
5. −64𝑞6 − 300𝑝6𝑞2 + 125𝑝9 + 240𝑝3𝑞4
6. 64𝑥6 − 96𝑥4𝑦3 + 48𝑥2𝑦6 − 8𝑦9
7. 𝑚3𝑛3 + 3𝑚2𝑛2𝑝𝑞 + 3𝑚𝑛𝑝2𝑞2 + 𝑝3𝑞3
8. 27𝑥6 − 48𝑥4𝑦3 + 96𝑥2𝑦6 − 8𝑦9
9. 3𝑚𝑛𝑝2𝑞2 + 𝑚3𝑛3 − 3𝑚2𝑛2𝑝𝑞 − 𝑝3𝑞3
10. 8 + 96𝑛4 − 48𝑛2 + 64𝑛6
11. 18
25𝑘7𝑚8 −
27
125𝑘6𝑚9 −
4
5𝑘8𝑚7 +
8
27𝑘9𝑚6
12. −𝑥5𝑦4
4−
𝑥3𝑦6
27+
𝑥6𝑦3
8+
𝑥4𝑦5
6
Suma o Diferencia de Cubos Perfectos. Cubos perfectos son aquellas expresiones que tienen raíz cúbica
exacta. Si dividimos una suma de cubos perfectos entre la suma de sus raíces o una diferencia de cubos perfectos
entre la diferencia de sus raíces, se obtendrá un cociente exacto formado por un trinomio. Veamos:
𝑝3 + 𝑞3
𝑝 + 𝑞= 𝑝2 − 𝑝𝑞 + 𝑞2
Verifique usted la división realizada.
Como la división realizada es exacta, significa que si multiplicamos el divisor 𝑝 + 𝑞 por el cociente 𝑝2 − 𝑝𝑞 +𝑞2, se obtiene el dividendo 𝑝3 + 𝑞3, es decir que:
(𝑝 + 𝑞)(𝑝2 − 𝑝𝑞 + 𝑞2) = 𝑝3 + 𝑞3
La expresión que acabamos de escribir nos conduce a una factorización:
𝑝3 + 𝑞3 = (𝑝 + 𝑞)(𝑝2 − 𝑝𝑞 + 𝑞2)
Veamos ahora cuando el dividendo es una diferencia de cubos perfectos:
𝑝3 − 𝑞3
𝑝 − 𝑞= 𝑝2 + 𝑝𝑞 + 𝑞2
Verifique usted la división realizada.
Al igual que en el caso anterior al multiplicar el divisor por el cociente se obtiene el dividendo:
(𝑝 − 𝑞)(𝑝2 + 𝑝𝑞 + 𝑞2) = 𝑝3 − 𝑞3
Que escrito al contrario corresponde a una factorización:
𝑝3 − 𝑞3 = (𝑝 − 𝑞)(𝑝2 + 𝑝𝑞 + 𝑞2)
Las dos divisiones que acabamos de analizar, nos permiten enunciar las siguientes reglas para factorizar una
suma o diferencia de cubos perfectos:
1. Al factorizar una suma de cubos perfectos se obtiene dos factores, que se forman así:
• El primer factor lo formamos con la suma de las bases de los cubos perfectos.
• El segundo factor lo formamos tomando como base el primer factor así: el cuadrado del primer término,
menos el primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término.
2. Al factorizar una diferencia de cubos perfectos se obtiene dos factores, que se forman así:
• El primer factor lo formamos con la diferencia de las bases de los cubos perfectos.
• El segundo factor lo formamos tomando como base el primer factor así: el cuadrado del primer
término, más el primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término.
Otra forma para enunciar estas reglas es:
1. Una suma de cubos perfectos es igual a “la suma de sus bases multiplicada por el cuadrado de la raíz
cúbica del primer término, menos la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo término,
más el cuadrado la raíz cúbica del segundo término”
2. Una diferencia de cubos perfectos es igual a “la diferencia de sus bases multiplicada por el cuadrado de
la raíz cúbica del primer término, más la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo
término, más el cuadrado la raíz cúbica del segundo término”
Ejemplos.
• Factorizar 8𝑝3 + 1
Solución.
Teniendo en cuenta que 8 = 23 y 1 = 13, el binomio dado se puede escribir de la siguiente forma:
8𝑝3 + 1 = 23𝑝3 + 13
Pero como en el primer término los exponentes son iguales, podemos escribirla también así:
8𝑝3 + 1 = (2𝑝)3 + 13
Con esta forma de escribir el binomio podemos darnos cuenta, fácilmente, que se trata de una suma de cubos
perfectos, la cual procedemos a factorizar aplicando la regla 1, vista anteriormente:
8𝑝3 + 1 = (2𝑝)3 + 13
√(2𝑝)33= 2𝑝 ⟸ 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 ; √133
= 1 ⟸ 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
8𝑝3 + 1 = (2𝑝 + 1)[(2𝑝)2 − (2𝑝)(1) + (1)2]
8𝑝3 + 1 = (2𝑝 + 1)(4𝑝2 − 2𝑝 + 1)
• Factorizar 𝑚6 − 27𝑛3
Solución.
Tengamos en cuenta que:
𝑚6 = (𝑚2)3 y que 27𝑛3 = (3𝑛)3 Entonces:
𝑚6 − 27𝑛3 = (𝑚2)3 − (3𝑛)3
√(𝑚2)33= 𝑚2 ⟸ 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 ; √(3𝑛)33
= 3𝑛 ⟸ 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
𝑚6 − 27𝑛3 = (𝑚2 − 3𝑛)[(𝑚2)2 + (𝑚2)(3𝑛) + (3𝑛)2]
𝑚6 − 27𝑛3 = (𝑚2 − 3𝑛)(𝑚4 + 3𝑚2𝑛 + 9𝑛2)
Ejercicio
Factorice.
1. 𝑥3𝑦6 − 27 =
2. 64𝑏6 + 1 =
3. 8𝑘3𝑚3 − 125𝑥3 =
4. 27𝑥6 + 8 =
5. 𝑚6𝑛9 − 𝑝9𝑞3 =
6. 𝑥3𝑦6 − 𝑚6𝑦9 =
7. 8𝑘6𝑚9 − 125𝑥6 =
8. 𝑚6𝑛3 − 27𝑝9𝑞6 =
9. 8 + 27𝑘6 =
10. 𝑦6 + 125 =