Productos notables y Factorización

Este es un juego realmente sencillo, lo que tendrás que hacer será solamente analizar las

reglas de los productos notables o factorización, incluido en el juego, para ponerte a prueba y

verificar si logras aplicarlas correctamente. No te preocupes, si te equivocas siempre podrás volver a la pregunta en la que fallaste pero, no olvides:

¡RECUERDA EL NÚMERO DE PREGUNTA!

Tómatelo con calma, respira y adelante! ¡PRESTA MUCHA ATENCIÓN!

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los

valores que se multiplican se llaman factores.Se llama productos notables a ciertas

expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que se pueden obtener los resultados sin realizar la multiplicación paso a paso, siguiendo las reglas correspondientes a

cada tipo.

Un binomio es una suma o una diferencia de dos números (o expresiones numéricas). La regla dice:

El cuadrado del binomio (a+b)2 es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término

1. Responde lo siguiente

(x+y)2

a) X2 + 2xy + y2

c) X + 2xy + y2

b) X2 + xy2 + 2y

Preg. 1Preg.

2Preg. 3Preg. 4

Preg. 5

Preg. 6

Preg. 7

Preg. 8

Preg.9Preg 10

Preg 11Preg 12

Preg. 13

Preg. 14

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Preg. 17

Preg. 18

Preg. 19

Preg. 20

Preg. 2Siguiente

Preg. 4Siguiente Preg.

6 Siguiente

Preg. 8Siguiente

Preg. 10

Siguiente

Preg 12.

Preg 13Siguiente

Preg 15Preg 16

Siguiente

Preg. 18Preg.

19Preg. 20

Bibliografias

(m + n)²

c) m² + 2mn + n²

a) m² + 2mn2 + n²

b) m² + 2mn2 + 2n²

2. Responde lo siguiente

Es mejor conocido como el cuadrado de la diferencia de dos términos. Es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término

(a- 8)2 = a2 - 16 a + 641er Termino

2do Termino

(a - b) (a - b) = aa - ab - ba + bb = a2 - 2ab + b2

Demostración:

3. Responde lo siguiente

( b - 5 )2

a) b2 + 10 b + 25

b) b2 - 10 b + 25

c) b2 - 10 b2 - 25

4. Responde lo siguiente

( a - 3 )2

a) a2 - 6a + 9

b) a2 – 6a 2 + 9

c) a – 6 a + 9

Se les llama binomios conjugados al producto de la suma de dos números por su diferencia; es decir que tienen los mismos términos, pero uno con signo contrario

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda

5. Responde lo siguiente

( x +9) (x – 9)

a) X 2 - 9

b) X 2 - 81

c) X 2 - 812

6. Responde lo siguiente

( 8x +3) (8x – 3)

c) 64 x - 24

a) 24 x - 64

b) 64 x2 - 9

Ahora veremos el desarrollo para el cubo de un binomio, que es la consecuencia de multiplicar dicho binomio tres veces por sí mismo, es decir:

El cubo de la suma de dos cantidades (a + b)3 es igual al cubo de la primera (a3) más el triple producto del cuadrado de la primera por la segunda (3a2b) más el triple producto de la primera por el cuadrado de la segunda (3ab2) más el cubo de la segunda (b3).

Por lo tanto, la regla quedaría así:

El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término

7. Responde lo siguiente

( x + 2 )3

a) X 3 + 6 x 2 + 12 x + 8

b) X 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 3

c) X 3 + 6 x 2 + 122 x + 8 3

8. Responde lo siguiente

( 3x + 2y ) 3

a) 27 x3 + 54 x2 y + 36 x y2 + 8 y2

b) 27 x3 + 54 x3 y + 36 x y3 + 8 y3

c) 27 x3 + 54 x2 y + 36 x y2 + 8 y3

Aquí lo que se aplica es que el cubo de la diferencia de dos cantidades ( (a - b)3 ) es igual al cubo de la primera (a3) menos el triple producto del cuadrado de la primera por la segunda (-3a2b) más el triple producto de la primera por el cuadrado de la segunda (3ab2) menos el cubo de la segunda (-b3).

9. Responde lo siguiente

( x – 3 ) 3

c) x3 – 9 x 2 + 27 x - 27

b) x3 + 9 x 2 + 27 x + 27

a) x3 – 9 x 2 + 27 x2 - 27

10 . Responde lo siguiente

( 2 x – 3 y ) 3

b) 8 x3 – 36 x2y + 54 x y2 – 27 y3

a) 8 x3 – 36 x2y + 36 x y2 – 27 y3

c) 8 x3 – 36 x2y - 36 x y2 – 27 y

Hemos visto el problema de encontrar el producto, dados los factores. La factorización es encontrar los factores, dado el producto.Se llaman factores de una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre sí dan como resultado la primera expresión.

Ejemplo(x + 2) ( x + 3 ) = x2 + 5x + 6

Tenemos que, x + 2 y (x + 3) son factores de x2 + 5x + 6, así pues, factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado.

Al proceso de encontrar los factores o divisores a partir de una expresión determinada se llama descomposición factorial. En otras palabras, el factoreo es el proceso inverso de la multiplicación y la división en consecuencia de los productos y cocientes notables

Un trinomio cuadrado perfecto es aquel en el que al primer término (Término cuadrático) y al término independiente se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Un Trinomio Cuadrado Perfecto es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. Un binomio de la forma a2 + 2ab + b2 se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Para identificarlo se debe verificar que tenga dos términos cuadrados (o sea, que se pueda obtener su raiz cuadrada) con signo positivo y que el otro término sea el doble del producto de la raíz cuadrada de los términos cuadrados. Este último término puede ser negativo o positivo.

¿Cuándo lo utilizo?

• Cuando hay un trinomio• Cuando el primer y último término son cuadrados perfectos y positivos• El segundo término es el doble del producto de las raíces cuadradas

de los términos cuadrados perfectos

¿Cómo la hago?

• Se saca raíz cuadrada de cada término cuadrado perfecto• Se colocan en un paréntesis; si el signo del término lineal es

positivo, se separan las raíces con signo positivo, de lo contrario se ponen restadas, y finalmente, se eleva al cuadrado ya sea la suma o la diferencia de las raíces.

La factorización de un trinomio cuadrado perfecto es un binomio al cuadrado

11. Responde lo siguiente

X2 + 6x + 9

a) ( x + 3)2

b) ( x + 3 )( x – 2 )

c) ( x + 3 )3

12. Responde lo siguiente

9x2 + 12 xy + 4y2

a) ( 3x + 2 y)2

c) ( 3x – 2 y)3

b) ( 3y + 3 x) 2

13. Responde lo siguiente

x2 + 14 x + 49

a) ( x + 9 )2

b) ( x2 + 7 )2

c) ( x + 7 )2

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Al estudiar los productos notables teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este caso es lo contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases (Binomio conjugado).

¿Cuándo lo utilizo?

• Cuando hay un binomio• Cuando los dos términos son cuadrados perfectos • En medio de los dos términos hay una resta

¿Cómo la hago?

• Sacar la raíz cuadrada de cada término• Formar dos binomios, uno suma y otro resta de las

raíces cuadradas, multiplicándose entre si

14. Responde lo siguiente

16 m2 – 9 n2

b) ( 4m + 3n ) ( 4m – 3n )

c) ( 2m + 3n ) ( 4m + 3n )

a) ( 4m - 3n ) ( 4m - 3n )

15. Responde lo siguiente

36 r2 – 49

b) (6 r - 7) ( 3 r - 7)

a) (3 r + 7) ( 6 r - 7)

c) (6 r + 7) ( 6 r - 7)

16. Responde lo siguiente

81 x2m – 121y 2m+4

a) ( 9 xm + 11y m+4) ( 9 xm - 11y m+4)

b) ( 9 xm - 11y 2m+4) ( 9 xm - 11y 2m+4)

c) ( 9 xm + 11y 2m+4) ( 9 xm + 11y 2m+4)

El trinomio se descompone en dos factores (binomios) cuyo primer término es la raíz cuadrada del término cuadrático del trinomio.

En el primer factor, después de  se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio

Si los dos factores tienen signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor del tercer término. Estos números son los segundos términos de los binomios.

¿Qué números multiplicado te da “c” pero sumado te da “b”?

Si los dos factores binomios tienen en medio signos distintos, se buscan dos números cuya diferencia sea el valor del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor del tercer término del trinomio. El mayor de estos dos números es el segundo término del primer binomio, y el menor el segundo término del segundo binomio.

17. Responde lo siguiente

g4 + 14 g2 + 40

c) (g2 + 4) (g2 + 10)

b) (g4 + 2) (g2 + 16)

a) (g2 + 4) (g2 - 10)

X2 + 4x - 21

a) (x + 7)(x - 3)

b) (x - 13)(x + 3)

c) (x + 8)(x - 4)

18. Responde lo siguiente

19. Responde lo siguiente

x2 - 19x + 88

a) ( x-11) ( x + 8)

b) ( x2+11) ( x + 8)

c) ( x -11) ( x - 8)

20. Responde lo siguiente

x6 - 13x3 + 42

a) ( x3 – 6 ) ( x3 – 7 )

b) ( x2 – 6 ) ( x3 – 7 )

c) ( x3 – 6 ) ( x3 + 7 )

• http://www.aulafacil.com/algebra/curso/Lecc-18.htm• http://schollaris.com.mx/010303facttri.php• http://www.actiweb.es/algebramonicaceron/

trinomio_de_la_forma_x2__bx__c.html• http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/

CapIII/3_5_4_cub_bin.htm• http://www.actiweb.es/algebramonicaceron/

trinomio_de_la_forma_x2__bx__c.html• http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/

difcuadr/difcuad2.htm• http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/factorizacion/

factorizacion_polinomios.htm