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  • 46 L ib ro para e l maest ro

    Propósito del programa. Ejemplificar cómo se deduce la regla para obtener el trinomio cuadrado perfecto que resulta de elevar un binomio al cuadrado.

    Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

    Propósito de la sesión. Descubrir la regla para obtener el trinomio cuadrado perfecto que resulta de elevar un binomio al cuadrado.

    Propósito de la actividad. Los alumnos han utilizado anteriormente los bloques algebraicos para representar operaciones. En esta sesión también se utilizan para que representen multiplicaciones de binomios que se conocen como suma de cuadrados. Es importante que efectiva- mente usen los bloques, ya que pueden ser una valiosa ayuda para darle sentido a los productos de dichas multiplicaciones.

    Sugerencia didáctica. Plantee a los alumnos lo siguiente: averiguar cuál es la medida de los lados de cada bloque, cuál es el área y por qué se expresa así su área. Esto servirá para que repasen algunas cosas básicas como que el resultado de multiplicar x por x es x 2, x por 1 es x. Después puede proponer a los alumnos varias actividades con los bloques algebraicos.

    • Primero pídales que formen cuadrados usando el número de bloques que quieran.

    • Luego ponga una condición para formarlos: utilizar cierta cantidad de bloques, por ejemplo, nueve bloques en total (pueden ser de cualquier tamaño).

    • Agregue otra condición: utilizar una cantidad exacta de cada uno de los bloques, por ejemplo, uno azul, cuatro rojos y 16 grises. También plantee cantidades de bloques con las que es imposible construir un cuadrado, por ejemplo, uno azul, tres rojos y nueve grises. Déles unos minutos para intentar formarlo y luego pídales que agreguen la menor cantidad de bloques que sean necesarios para poder formar un cuadrado.

    Es importante que para cada cuadrado que formen con los bloques escriban expresiones que representen la medida del lado y la del área.

    12

    secuencia 1

    En esta secuencia descubrirás procedimientos simplificados para efectuar multiplicaciones con expresiones algebraicas y para encontrar los factores que dan lugar a un producto algebraico determinado.

    A FORMAR CUADRADOS Para empezar Los bloques algebraicos son una herramienta que permite representar operaciones con expresiones algebraicas. En la secuencia 12 de Matemáticas ii, volumen I los usaste para multiplicar polinomios; ahora, te ayudarán a encontrar, de manera simplificada, el resul- tado de elevar al cuadrado un binomio .

    Recorta los Bloques algebraicos del anexo 1 Recortables y pégalos en cartón.

    Con bloques de áreas x 2, x y 1 forma cuadrados de diferente tamaño e identifica la ex- presión algebraica que corresponde a la medida de sus lados como se muestra en las dos figuras siguientes.

    SESión 1

    Productos notables y factorización

    x + 1

    x 1

    a = x 2 + x + x + 1 = x 2 + 2x + 1

    x + 2

    x 2

    a = x 2 + 2x + 2x + 4 = x 2 + 4x + 4

    Encuentra el trinomio que representa el área de los dos cuadrados siguientes.

    MAT3 B1 S01.indd 12 6/20/08 4:57:05 PM

    Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico.

    Tema Significado y uso de las operaciones.

    Subtema Operaciones combinadas.

    Antecedentes

    En Matemáticas II, los alumnos estudiaron expresiones algebraicas equivalentes y las resolvieron utilizando la propiedad distributi- va, también hicieron algunas factorizaciones en problemas de cálculo de áreas. En esta secuencia se pretende que calculen, simplifiquen o factoricen productos notables, tanto para que sean capaces de expresar situaciones algebraicamente, como para que puedan resolverlas.

    Propósitos de la secuencia Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como:

    (x + a)2 ; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x 2 + 2ax + a 2 ; ax 2 + bx ; x 2 + bx + c ; x 2 – a 2.

    Sesión Propósitos de la sesión Recursos

    1 A formar cuadrados Descubrir la regla para obtener el trinomio cuadrado perfecto que resulta de elevar un binomio al cuadrado.

    Programa 1

    2 El cuadrado de una diferencia Descubrir la regla para obtener el trinomio cuadrado perfecto que resulta de elevar al cuadrado una diferencia de dos términos.

    Interactivo

    3 La diferencia de dos cuadrados Descubrir la regla para factorizar una diferencia de cuadrados.

    4 A formar rectángulos Descubrir la regla para multiplicar dos binomios con término común e invertirla para factorizar un trinomio de segundo grado.

    Programa 2

    5 Un caso especial de la factorización Descubrir la regla para factorizar binomios con factor común.

    MAT3 B1 S01 maestro.indd 46 6/20/08 5:09:13 PM

  • 47L ib ro para e l maest ro

    Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban en la tabla los trinomios que corresponden a los cuadrados cuyos lados miden x + 4 y x + 6.

    Luego, invítelos a que analicen los cuatro casos que tienen ilustrados (los cuadrados que miden x + 1, x + 2, x + 4 y x + 5) para que traten de encontrar una regla que les permita escribir el área de los cuadrados cuyos lados miden x + 3 y x + 10.

    Posibles procedimientos. Los alumnos tienen al menos dos vías para llenar la tabla: apoyarse en el recurso gráfico para justificar todo el desarrollo algebraico que se presenta hasta obtener el área de cada cuadrado; o bien, multiplicar los dos binomios (que son los lados del cuadrado). Permita que lo resuelvan como ellos decidan y, si fuera necesario, repasen la información del “Recuerden que” que aparece en el apartado Manos a la obra para que recuerden cómo se multiplican dos binomios.

    Si llenan la tabla multiplicando los lados del cuadrado, quizá sea útil que desarrolle al menos una de las multiplicaciones en el pizarrón. Por ejemplo, para el cuadrado cuyo lado mide x + 1 sería:

    (x + 1) (x + 1) = x 2 + x + x + 1 = x 2 + 2x + 1

    Posibles dificultades. Con esta pregunta se quiere saber si los alumnos pudieron encontrar la regla para elevar un binomio al cuadrado.

    Quizá algunos alumnos piensen que para elevar un binomio al cuadrado basta con elevar al cuadrado cada uno de los términos y luego representar el área con una suma. En este caso, pondrían como resultado x 2 + 10 000.

    Los alumnos que subrayen el trinomio x 2 + 100x + 10 000, quizá piensen que para obtener el término del trinomio que tiene x basta multiplicar los dos términos del binomio.

    Si los alumnos cometen éstos u otros errores, pídales que realicen la multiplicación término por término y analicen los resultados.

    13

    IIIMATEMÁTICAS

    Consideremos lo siguiente En la siguiente tabla aparecen binomios que representan las medida del lado de diferen- tes cuadrados, así como los trinomios que corresponden a sus respectivas áreas.

    a) Examina los dos primeros ejemplos y completa la siguiente tabla.

    Binomio Trinomio

    x + 1 (x + 1)2 = x 2 + 2x + 1

    x + 2 (x + 2)2 = x 2 + 4x + 4

    x + 3 (x + 3)2 =

    x + 4 (x + 4)2 =

    x + 6 (x + 6)2 =

    x + 10 (x +10)2 =

    b) Subraya el trinomio que representa el área de un cuadrado cuyo lado mide x + 100.

    x 2 + 100x + 10 000 x 2 + 10 000 x 2 + 200x + 10 000

    Comparen sus soluciones. Comenten cómo obtuvieron los trinomios que son resultado de elevar los binomios al cuadrado.

    x + 4

    x 4

    A =

    =

    x + 6

    x 6

    A =

    =

    MAT3 B1 S01.indd 13 6/20/08 4:57:06 PM

    (x + 3) (x + 3) = x 2 + 3x + 3x + 9 = x 2 + 6x + 9

    (x + 4) (x + 4) = x 2 + 4x + 4x + 16 = x 2 + 8x + 16

    (x + 6) (x + 6) = x 2 + 12x + 36

    (x + 10) (x + 10) = x 2 + 10x + 10x + 100 = x 2 + 20x + 100

    MAT3 B1 S01 maestro.indd 47 6/20/08 5:09:16 PM

  • 48 L ib ro para e l maest ro

    Respuestas. En la figura 1 hay un bloque de área x 2, 10 de área x y 25 de área 1, por lo tanto, las expresiones correctas son x 2 + 5x + 5x + 25 y x 2 + 10x + 25.

    Posibles procedimientos. Los alumnos podrían multiplicar lado por lado del cuadrado para obtener el área, es decir, (x + 5) (x + 5); pero también se pueden fijar en el dibujo del cuadrado y contar directamente cuántos bloques de cada área hay. A los alumnos que hayan utilizado la multiplicación de binomios para resolver, pídales que verifiquen su resultado contando los bloques en el dibujo.

    Sugerencia didáctica. Aunque se espera que los alumnos ya lo sepan, conviene recordarles que “elevar un número o un término al cuadrado” significa que ese número o término se multiplica por sí mismo una vez.

    Posibles dificultades. Cuando se trate de un solo número, los alumnos quizá no tengan dificultades para elevarlo al cuadrado, pero puede haber dudas cuando sea un término como x + 5. Algunos podrían pensar que x + 5 al cuadrado es igual a:

    x2 + 5

    x + 25

    2x + 10

    x2 + 25

    Si cometen alguno de esos errores, lean juntos el recuadro “Recuerden que” y proponga algunos ejemplos para que los resuelvan:

    (4 + 5)2 = 81

    (7 + b)2 = b 2 + 14b + 49

    (z + w)2 = z 2 + 2zw + w 2

    14

    secuencia 1

    Manos a la obra i. La figura 1 muestra un cuadrado que mide de lado x + 5.

    x + 5

    x + 5

    Figura 1

    a) ¿Cuántos bloques de área x 2 se utilizaron para formar

    el cuadrado?