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República Bolivariana de Venezuela Ministerio de la Defensa Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Núcleo Caracas Curso de Inducción Universitaria CIU Cátedra: Razonamiento Matemático PRODUCTOS NOTABLES GUIA CIU NRO: 6 COMISIÓN DE APOYO DE RAZONAMIENTO MATEMATICO INTEGRANTES: Ing. Beliana Gómez Ing. Elvia Moreno Ing. Mixef Rojas Lic. Teresa Gómez Prof. Neida González

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Page 1: Productos Notables - · PDF fileProductos Notables 6 Caso 2.- Producto de dos binomios con un término común: Es un producto de la forma (+)(+x a x b) donde el término común (en

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio de la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada

Núcleo Caracas

Curso de Inducción Universitaria CIU

Cátedra: Razonamiento Matemático

PRODUCTOS NOTABLES GUIA CIU NRO: 6

COMISIÓN DE APOYO DE RAZONAMIENTO MATEMATICO

INTEGRANTES: Ing. Beliana Gómez

Ing. Elvia Moreno Ing. Mixef Rojas

Lic. Teresa Gómez Prof. Neida González

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Productos Notables 2

En matemáticas existen productos de expresiones algebraicas que dadas sus

especiales características, se les ha desarrollado fórmulas de solución directa. Tales

productos son conocidos como “productos notables” y son herramientas

fundamentales al momento de factorizar (siguiente capítulo). Son tan importantes que

en el transcurso de cualquier carrera y en cursos avanzados, se presentan productos

notables en muchas situaciones prácticas y en la solución de ejercicios.

Vamos a estudiar estos productos notables con algunos ejemplos, pero el solo estudio

no brindará el dominio necesario, ¡¡¡¡ tienen que practicar y ejercitarse !!!!

Caso 1.- Binomio al cuadrado:

Es un producto de la forma ( )2ba ±

a.) Si los términos se suman.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) 222

22

22

2

2

2

bababa

baba

bbaabababa

bababa

++=+

++=

+++=++

++=+

Aplicando la propiedad distributiva a la última expresión :

Recuerde que ab = ba

b.) Si los términos se restan.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) 222

22

22

2

2

2

bababa

bababbaabababa

bababa

+−=−

+−=

+−−=−−

−−=−

Aplicando la propiedad distributiva a la última expresión:

Recuerde que ab = ba

Podemos concluir que: ( ) 222 2 bababa +±=±

El desarrollo de un binomio elevado al cuadrado resulta un Trinomio

Cuadrado Perfecto. Dicho desarrollo del binomio es:

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Productos Notables 3

El primer término (a) al cuadrado: a2

el doble producto del primer término por el segundo: 2ab ±

El segundo término (b) al cuadrado: b2

Donde el segundo término del trinomio lleva el signo del segundo término del

binomio. Además, el primer y tercer términos del trinomio siempre son positivos.

ERROR COMUN:

lo correcto es ( ) 255 22 +=+ xx ( ) 25105 22 ++=+ xxx

( ) 93 22 −=− yy lo correcto es ( ) 963 22 +−=− yyy

Evite confusiones y analice muy bien los siguientes ejemplos.

Ej. 1.Desarrolle ( )28+x

Solución:

Identificamos los términos del polinomio

x es el primer término

8 es el segundo término

Aplicamos la fórmula para un binomio al cuadrado ( ) 222 2 bababa ++=+

El primero al cuadrado + dos veces el primero por el segundo + el segundo al cuadrado.

( )6416

)8()8()(282

222

++=

++=+

xxxxx

Ej. 2.Desarrolle ( )24−m

Solución:

Identificamos los términos del polinomio

m es el primer término , 4 es el segundo término

Aplicamos la fórmula para un binomio al cuadrado ( ) 222 2 bababa +−=−

El primero al cuadrado - dos veces el primero por el segundo + el segundo al cuadrado.

( )168

)4()4()(242

222

+−=

+−=−

mmmmm

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Productos Notables 4

ERROR COMUN:

( ) 222 4424 )()()m(mm +−−=− La solución correcta es la

que se dá en el ejemplo

.

Ej. 3.Desarrolle ( )224 −x

Solución:

Identificamos los términos del polinomio

4x es el primer término, 2 es el segundo término

Aplicamos la fórmula para un binomio al cuadrado ( ) 222 2 bababa +−=−

( ) ( )

416162242424

2

222

+−=

+−=−

xx)()()x(xx

Ej. 4.Desarrolle ( )22 32 xx −

Solución:

Identificamos los términos del polinomio 22x es el primer término, 3x es el segundo término

Aplicamos la fórmula para un binomio al cuadrado ( ) 222 2 bababa +−=−

( ) ( ) ( )( ) ( )234

222222

91243322232

xxxxxxxxx

+−=

+−=−

Ej. 5.Desarrolle ( )223 +− x

Solución:

Recuerde que al elevar (4x)2 hay que al elevar al cuadrado ambos factores, por eso resulta 16x2.

Este signo está repetido pues ya fue considerado en el desarrollo: -2m(4) ( ) 1684 22 ++=− mmm

Recuerde la operación Potencia de una Potencia,

( ) 422 xx = , se coloca la misma base y se multiplican

los exponentes

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Productos Notables 5

Es preferible colocar el término positivo primero para evitar confusiones, es decir se

aplica la propiedad conmutativa de la suma.

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (

2

222

22

91243322232

3223

xxxxx

xx

+−=

+−=−

−=+−

)

Ej. 6.Desarrolle 2

41

21

⎟⎠⎞

⎜⎛ ⎝

+− x

Solución:

2

222

22

41

41

161

21

21

412

41

21

41

21

41

41

21

xx

xxx

xx

+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

Recuerde que al elevar una fracción al cuadrado se eleva numerador y denominador a la misma potencia

Ej. 7.Desarrolle ( ) 254 x−−

Solución:

Observe que ambos términos son negativos. En la próxima sección se estudia la

factorización y comprenderá que al factorizar por (-1), podemos transformar la

expresión. De momento es importante saber que ante una situación como ésta, resulta

práctica y matemáticamente correcta la siguiente igualdad:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )22222 5454154154 xxxx +=+⋅−=+⋅−=−−

Ambos términos han cambiado de signo sin alterar el valor del resultado, sólo

porque el exponente es par.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 2540165542454 xxxxx ++=+⋅⋅+=+

Respuesta: ( ) ( ) 222 2540165454 xxxx ++=+=−−

Otra solución es (-4- 5x)2 = (-4)2 - (-4).5x + (-5x)2 = 16 + 20x + 25x2, recuerde

que el primer término es -4 y el segundo es -5x. Al aplicar la fórmula, no se escribe

el signo del segundo término del trinomio ya que ésta lo que considera previamente.

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Productos Notables 6

Caso 2.- Producto de dos binomios con un término común:

Es un producto de la forma ( )( )bxax ++ donde el término común (en este caso) es

x.

Al desarrollar este producto aplicando la propiedad distributiva, tenemos:

( )

abbaxx

abxbxax

abaxxbxbxax

+++=

+++=

+++=+⋅+

)(

)(

2

2

2

Es decir:

( ) abbaxxbxax ++⋅+=+⋅+ )()( 2

El cuadrado del término común (x2) + el producto del término común (x) por

la suma algebraica de los no comunes (a+b) + el producto de los términos no

comunes (ab).

Ej. 8.Desarrolle ( )( 31 +− xx )Solución:

El término común es x, términos no comunes –1 y 3

( )( ) ( )( )

32

31)31(312

2

−+=

−++−+=+−

xx

xxxx

Ej. 9.Desarrolle ( )( 7242 )−− xx

Solución:

El término común es 2x, términos no comunes –4 y -7

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

28224

282114

7427427242

2

2

2

+−=

+−+=

−−+−−+=−−

xx

xx

xxxx

Ej. 10.Desarrolle ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜ ⎝

⎛−

43

321

3

22 xx

Solución:

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Productos Notables 7

El término común es 3

2x , términos no comunes 43

21 y−

83

129

83

341

9

83

3432

9

43

21

343

21

343

321

3

24

24

24

22222

−+=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

xx

xx

xx

xxxx

Ej. 11.Desarrolle ( ) ( )3232 2232 yxyyxy +−

Solución:

El término común es 2xy2, términos no comunes –3y3 y 2y3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

6542

62342

33233223232

624624

2322322232

yxyyxyxyyyx

yyxyyyxyyxyyxy

−−=

−+−+=

−++−+=+−

Ej. 12.Desarrolle ( ) ( )xyyx 2532 ++

Solución:

El término común es 2x, términos no comunes 3y y 5y

Note que en este caso el término común no aparece como primer término de

ambos binomios. Es posible ordenar antes de efectuar el desarrollo.

( ) ( ) [ ] )5)(3(253)2(5232 2 yyxyyxyxyx +++=++

= 22 15164 yxyx ++

¿Qué pasa cuándo los términos no comunes sólo difieren en el signo? Pues bien, se

nos presenta el caso de producto notable conocido como suma por diferencia de

binomios. El cual será desarrollado más adelante.

Ej. 13.Desarrolle ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 3

31

82

31 baba yxyx

Solución:

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Productos Notables 8

Estos términos se agrupan para aplicar la regla Los términos comunes son ba yx −

31 ,

Términos no comunes 82 y 3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 3

31

82

31 baba yxyx = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − 3

82

313

82

31 2

baba yxyx

= 86

31

826

312

91 22 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⋅− babbaa yxyyxx

86

826

2426

32

91 22 +−++−= babbaa yxyyxx

43

413

1213

32

91 22 +−++−= babbaa yxyyxx Se simplifican las fracciones

Caso 3.- Suma por diferencia de Binomios:

Es un producto de la forma ( ) ( )baba −⋅+

Observe que el término común está representado por “a” y los términos no comunes

son los mismos pero de signo contrario. Aplicamos el método del apartado anterior y

obtenemos:

( )( ) ( ) ( )( )bbbbaababa −+−+=−+ 2

22 ba −=

Es decir:

( ) ( ) 22 bababa −=−⋅+

El producto de la suma por la diferencia es una diferencia de cuadrados. Su desarrollo

es el término común al cuadrado menos el término no común al cuadrado.

Veamos algunos ejemplos:

Ej. 14.Desarrolle ( ) ( 22 )+− xx

Solución:

( ) ( ) 22 )2()(22 −=+− xxx

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Productos Notables 9

42 −= x

No tiene importancia cual factor va primero, la suma o la diferencia, ya que el

producto cumple con la propiedad conmutativa, es decir:

( ) ( ) )2()2(22 −+=+− xxxx

Ej. 15.Desarrolle ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

432

432 xx

Solución:

( )1694

432

432

432 2

22 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + xxxx

Ej. 16.Desarrolle ( ) ( )baba 2323 +−⋅−−

Solución:

( ) ( ) ( ) ( 22 232323 bababa −−=+−⋅−− )

3

22 49 ba −=

Note que el término común es ( )a− y los no comunes (-2b) y (2b) sólo difieren en

el signo.

Ej. 17.Desarrolle ( ) )34(43 xx −⋅−

Solución:

En este caso, notamos que los términos de los binomios (3x) y (4) tienen

signos contrarios, es decir no existen términos comunes, por lo tanto no podemos

aplicar la regla de Suma Por Diferencia, este ejemplo podemos tratarlo de la siguiente

manera: Se aplica la propiedad distributiva

Reducción de términos semejantes.

( ) ( ) xxxxx 12169123443 2 +−−=−⋅−

16249 2 −+−= xx

Ej. 18.Desarrolle ( ) )42(42 4343 yxxyyxxy ++⋅−+

Solución:

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Productos Notables 10

En este caso notamos que los términos que convienen seleccionar para aplicar el

producto de suma por diferencia son: y yx. Entonces lo tratamos de la

siguiente manera:

42 43 +xy

( ) )42(42 4343 yxxyyxxy ++⋅−+

( ) 2243 )(42 yxxy −+=

224386 16164 xyxyxy −++=

Ordenando queda: ( ) )42(42 4343 yxxyyxxy ++⋅−+ 16164 224386 +−+= xyxyxy

Caso 4.- Binomio al cubo:

Es una expresión de la forma , vamos a estudiar los casos por separados: ( 3ba ± )

Caso 4. A. ( )3ba +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

322223

22

2

3

22

2

bababbabaavadistributipropiedadlaAplicando

bababababa

babababa

+++++=

+++=

++=

+++=+

io al cuadrado

y agrupando términos semejantes tenemos:

( ) 32233 33 babbaaba +++=+

Aplicamos la fórmula para el binom

Es decir,

el cubo del 1er término + 3 veces el cuadrado del 1er. término por el 2do. término + 3 veces el 1er. término por el cuadrado del 2do. término + el cubo del 2do. término

Observe:

Los dos términos centrales tienen como factor 3. h

h

h

Término a término, a va descendiendo de grado: 3,2,1 y 0.

Término a término, b va ascendiendo de grado: 0,1,2,3.

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Productos Notables 11

Ej. 19.Desarrolle ( )32+x

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

8126

8436

223232

23

23

32233

+++=

+++=

+++=+

xxx

xxx

xxxx

Caso 4. B. ( )3ba −

( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )322223

2223

22

2

3

2222

2

bababbabaabbabbabaabbaa

vadistributipropiedadlaAplicandobababa

baba

babababa

−++−−=

−++−−+−+−+=

−+−=

−−=

−−−=−

y agrupando términos semejantes tenemos:

( ) 32233 33 babbaaba −+−=−

Es decir:

el cubo del 1er término - 3 veces el cuadrado del 1er. término por el 2do. término + 3 veces el 1er. término por el cuadrado del 2do. término - el cubo del 2do. término

Ej. 20.Desarrolle ( )332 −x

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

2754368

279233438

3323323232

23

23

32233

−+−=

−+−=

−+−=−

xxx

xxx

xxxx

Ej. 21.Desarrolle ( )32xx −

Solución:

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Productos Notables 12

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

6543

64223

322222332

33

33

33

xxxx

xxxxxx

xxxxxxxx

−+−=

−+−=

−+−=−

Ej. 22.Desarrolle 3

221

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + yx

Solución:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )3223

3223

32233

8623

81

842132

413

81

222132

213

212

21

yxyyxx

yyxyxx

yyxyxxyx

+++=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Caso 5.- Binomio de Newton:

Cuando se tiene un binomio elevado a una potencia entera positiva, existe un

desarrollo general conocido como el Teorema del Binomio de Newton, el cual utiliza

una serie de coeficientes que siguen un modelo conocido como el Triángulo de

Pascal. Este método es muy útil para desarrollar binomios ( [ n entero

positivo] y el Triángulo de Pascal viene dado por:

)nba +

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

(a+b)6

...........

(a+b)5

(a+b)4

(a+b)3

(a+b)1

(a+b)2

(a+b)0

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Productos Notables 13

h

h

Con la excepción de los coeficientes unitarios extremos, los otros coeficientes

resultan de la suma de los dos números que están sobre él. Por ejemplo, para los

coeficientes encerrados en círculo tenemos,

El coeficiente 6, es la suma de 3 + 3;

El coeficiente 15 es la suma de 5 + 10

Así, todos los coeficientes de los binomios se generan, sumando los coeficientes que

están por encima de él, a la derecha y a la izquierda

Ej. 23.Desarrolle ( )5yx +

Solución:

Al aplicar el binomio de Newton el producto es igual a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )543223455 510105 yyxyxyxyxxyx +⋅+⋅+⋅+⋅+=+

Observe:

h

h

h

h

h

h

h

Si el binomio tiene potencia n=5, el resultado tendrá n+1=5+1=6 términos

Los dos términos extremos están elevados a la potencia del binomio.

Los términos centrales tienen como coeficientes los elementos de la fila n+1=

5+1=6 del Triángulo de Pascal.

Término a término, el 1er. elemento del binomio va descendiendo de grado:

5,4,3,2,1 y 0.

Término a término, el 2do. elemento del binomio va ascendiendo de grado:

0,1,2,3,4,5.

En general, para un binomio (a+b)n tenemos:

( ) nnnn

nn

nn

nn bbacbacbacaba +⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+=+ −−− 1222

11 K

donde:

• son los coeficientes que están en la (n+1)-fila del

Triángulo de Pascal

nnnnnn ccccc K,,,, 4321

Si el binomio tiene potencia n, el resultado tendrá (n+1) términos

Los dos términos extremos están elevados a la potencia del binomio, n.

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Productos Notables 14

h

h

Término a término, el 1er. elemento del binomio va descendiendo de grado: n,(n-

1), ... 2,1 y 0.

Término a término, el 2do. elemento del binomio va ascendiendo de grado: 0,1,2,

... (n-1),n

Ej. 24.Desarrolle ( )432 yx +

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4322344 3324326324232 yyxyxyxxyx +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=+

Hemos utilizado el Triángulo de Pascal, donde el 1er. término del binomio es 2x

y el 2do. término es 3y. Los coeficientes del binomio son: 1, 4, 6, 4 y 1. (5ta. fila del

Triángulo de Pascal) y los términos cumplen con la siguiente condición:

Las potencias del 1er. elemento, 2x, van decreciendo: 4, 3, 2, 1, 0. �

� Los potencias del 2do.elemento, 3y, van creciendo: 0, 1, 2, 3, 4.

Continuemos desarrollando el ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )432234

4322344

81216216961681272494638416)32(

yxyyxyxxyyxyxyxxyx

++++=

+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=+

Ej. 25.Desarrolle ( )52 2yx −

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )5423426810

542322232425252

3280804010225210210252

yyxyxyxyxxyyxyxyxyxxyx

−+−+−=

−+−+−+−+−+=−

Observe como los signos se van alternando cuando el 2do. elemento del binomio está

restando, empezando por el signo + y luego -, +, -, +,-,....

Ej. 26.Desarrolle 3

2212 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − yx

Solución:

Vamos a utilizar el Binomio de Newton para resolver este producto:

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Productos Notables 15

( ) ( ) ( )( ) ( )

32246

32246

3222232

32

81

2368

81

4123

21438

21

2123

21232

212

yyxyxx

yyxyxx

yyxyxxyx

−+−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Ejercicios de aplicación:

Ej. 27. Utilice productos Notables para calcular el volumen del siguiente cubo

2x -1

Solución:

Primero recordemos que el cubo tiene todas sus dimensiones de igual medida, es

decir:

largo = ancho = altura = 2x – 1

Luego observemos que la fórmula para el volumen de un sólido y sustituimos:

( ) ( ) ( )( )312

121212arg

−=

−⋅−⋅−=××=

x

xxxaltoanchoolV

Aplicando las propiedades de multiplicación de potencias de igual base

Por último desarrollamos el producto notable:

( ) ( ) ( ) ( )

16128

16)4(38

1123)1.()2(3212

23

23

22233

−+−=

−+⋅−=

−⋅+−=−

xxx

xxx

xxxx

Ej. 28.Una pieza cuadrada de cartón es utilizada para construir una caja sin tapa,

cortando de cada esquina un cuadrado de 5cm de lado; luego se doblan los bordes

para formar los lados de la caja. ¿Hallar la fórmula que permita conocer las

dimensiones de la pieza de carton para que el volumen de la caja sea de 12.500 cm3?

Solución:

Primero representamos gráficamente la pieza de cartón:

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Productos Notables 16

Llamamos a al lado de la pieza cuadrada de cartón. En la Fig. 2, cortamos las

esquinas y la parte sombreada representa el fondo de la caja y las pestañas de la pieza

cortada de 5cm. representa la altura de la caja.

El volumen V de la caja será:

altoanchoolV ××= arg

5)10(

5)10()10(2 ⋅−=

⋅−⋅−=

aV

aaV

Sabemos, por el enunciado del problema, que el volumen de la caja es igual a

12.500 cm3, es decir

( ) 500.210

500.125)10(5)10(500.12500.12

2

2

2

=−

=⋅−

⋅−=⇒=

a

aaV

Respuesta: la fórmula deseada es ( ) 250010 2 =−a , observe que es un producto

notable.

Ejercicios Propuestos:

I. Desarrolle los siguientes binomios al cuadrado:

a) ( )22 5−x b) ( )232 yx −

a

5 5

5 5

5

5

5

5

a a-10

Fig. 1 Fig. 2

a-10

5 5

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Productos Notables 17

c) ( )234 xx + d) 2

2 841

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +x

e) ( )22 2xyx +− f) 2

2 853

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− x

g) ( )2224 yxyx −

i) ( )2yx −

h) 2

253 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − yx

j) 2

223

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

xyxy

II. Desarrolle los siguientes binomios al cubo:

a) ( )32 5−x b) ( )332 yx −

c) ( )323xxy − d) 3

43

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + yx

e) ( )322 35 baab + f) ( )324bab −

III. Desarrolle los siguientes productos de binomios utilizando Productos

Notables:

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

852

852 xx b) ( )( )2323 22 +− xx

c) ( )( 6384 −− xx ) d) ( )( )xyyxyy 5282 33 ++

e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 2222 2

432

43 yxyx f) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 3232

53

43

21

43 bbabba

g) ( )( )2323 84 xxyxxy ++ h) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − yxyx

54

51

52

51

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Productos Notables 18

IV. Desarrolle utilizando el Binomio de Newton y el Triángulo de Pascal:

a) ( )42 53 −x b) ( )532 yyx −

c) ( )622 42 yyx − d) 5

43

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + yx

e) ( )635 abab +f)

42

23

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − bab

V. Desarrolle los siguientes productos utilizando productos notables

a) ( ) 253 4 yy yx + b) 22332

22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

baba

c) ( ) 2211 aa xx −+ − d) 3

22

81

94

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − xyyx

e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + yyxyyx

5614

3311

5614

3311 2222 f) ( ) ( )21 22 −−⋅+− nnnn xxxx

g) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

43

43 nnnn yxyx

VI. Responde a cada una de los siguientes planteamientos

a) ¿Qué diferencia observas entre ( ) 222 axyax −− ?

b) ¿Es = ? Justifica tu respuesta. ( )2ax −− ( 2ax + )

)c) ¿Es = ? Justifica tu respuesta. ( )3ax − ( 3xa −

d) Si a + b = 7 y a - b =3, ¿Cuánto vale a2-b2?

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Productos Notables 19

VII. Utilice Productos Notables para determinar la fórmula que permita calcular el

volumen de cada uno de los siguientes cubos:

a)

b)

c)

Utilice Productos Notables para determinar la fórmula que permita calcular el área de

cada uno de las siguientes figuras:

d)

e)

131

−x

Resuelva los siguientes problemas:

f) Si un cuadrado de área es igual a x2 se le suma a un lado 10 cm y al otro 4 cm,

¿Cuál es la fórmula que permite calcular el área de la nueva figura?

g) Encuentre una fórmula que permita calcular el área de la base de un

paralelepípedo de base rectangular, sabiendo que las dimensiones son: x cm de

altura, y en la base el largo es 3 unidades menos que la altura y el ancho es 3

unidades más que la altura.

h) Un envase tiene forma de cubo y contiene un volumen igual a 125 cm3 . Con la

finalidad de disminuir costos, la empresa reducir el tamaño del envase restando

“n” unidades (con n<5) a la arista del cubo original. ¿Qué fórmula permite

conocer el volumen del nuevo envase?

i) Un tanque en forma de paralelepípedo se encuentra lleno de agua. Las

dimensiones del tanque que son:

largo= x +2; ancho= x + 3 y altura= x + 6

x + 1

x x3 - 5 5 +4

x + 1

x - 1

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Productos Notables 20

si al abrir la llave el nivel de agua se reducen en 4 cm, ¿cuál es el volumen de

agua que queda dentro del tanque?

Respuestas de los ejercicios propuestos:

Parte I a) 2510 24 +− xx b) 22 9124 yxyx +−

c) 642 816 xxx ++ d) 644161 24 ++ xx

e) 2234 44 yxyxx +− f) 64548

259 24 +− xx

g) 443322 4816 yxyxyx +− h) 22

425159 yxyx +−

i) yxyx +− 2 j) xyyxy 46

49

++

Parte II a) 1257515 246 −+− xxx b) 3223 2754368 yxyyxx −+−

c) 654433 27279 xyxyxyx −+− d) 3223

6427

89

278 yxyyxx +++

e) 36455463 271352256125 babababa +++ f) 654233 644812 babbaba −+−

Parte III

a) 64254 2 −x b) 49 4 −x

c) 484812 2 ++ xx d) 2246 40264 yxxyy ++

e) 44

1694 xy − f) 64224

103

403

169 bbaba −−

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Productos Notables 21

g) 43362 322 xyxyx ++ h) 22

258

252

251 yxyx −+

Parte IV a) 6251500135054081 2468 +−+− xxxx

b) 5525354555 243810080.172024032 yxyxyxyxyxy −+−+−

c)

121121049688710612 096.4288.12360.15240.10840.376864 yyxyxyxyxyxyx +−+−+−

d) 54322345

024.1243

128135

815

35

2720

24332 yxyyxyxyxx +++++

e) ( ) 666 144.2628 baab =

f) 87625344

168196

916

8116 babbababa +−+−

Parte V a) yxxx 108464 168 ++

b) 424

465564 bababa+−

c) aaa xxx 42222 2 −−+ ++ d) 44536

57612

64848

72964 xyxyx +−

e) 244

3136196

1089121 yyx − f) 22 24 −+− nnn xxx

g) 492 22 −++ nnnn yyxx

Parte VII

a) Resp: 133)( 23 +++= xxxxV

b) Resp: 12522513527)( 23 −+−= xxxxV

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Productos Notables 22

c) Resp: 64240300125)( 23 +++= xxxxV

d) Resp: 1)( 2 −= xxA

e) Resp: 132

91)( 2 +−= xxxA

f) Resp: 4014)( 2 ++= xxxA

g) Resp: 9)( 2 −= xxV

h) Resp: 321575125)( nnnnV −+−=

i) Resp: 12105 23 +−+ xxx

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