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Dirección General de Educación Superior Tecnológica

1. DATOS DE LA ASIGNATURA

Nombre de la asignatura:

Carrera:

Clave de la asignatura:

(Créditos)

Precálculo

Todas las Carreras

ACF – 1401

3 – 1 – 4

2. PRESENTACIÓN

Esta asignatura, tiene correspondencia con el campo disciplinar de matemáticas del Marco Curricular común del Sistema Nacional de Bachillerato.

La matemática se originó por la necesidad del hombre de resolver problemas de su vida cotidiana, sin embargo, con el paso del tiempo, fue desarrollándose y refinando sus métodos con la finalidad de resolver situaciones no tan cotidianas al tratar de explicar la naturaleza reduciéndola a representaciones abstractas.

En la actualidad, nadie pone en duda la importancia de su estudio, no existe actividad humana que no pueda relacionarse con la matemática. Se estudiarán y resolverán problemas o situaciones algebraicas mediante el uso métodos o modelos matemáticos como operaciones con polinomios, ecuaciones lineales, ecuaciones simultáneas de dos y tres variables, y, ecuaciones cuadráticas que le permitan su aplicación en la vida cotidiana, en un ambiente de responsabilidad, tolerancia y respeto.

Resolverá problemas trigonométricos de carácter teórico o de aplicación práctica, provenientes del ámbito escolar o de su vida cotidiana, mediante el uso de técnicas, conceptos y procedimientos de la trigonometría, que favorezca la deducción del comportamiento gráfico de las figuras formadas por líneas en el plano (Geometría Euclidiana) y una aplicación correspondiente a la medición de triángulos (Trigonometría), mostrando interés científico y actitudes críticas, reflexivas y responsables, que le permitan su desenvolvimiento escolar.

Estudiará y resolverá problemas de la geometría plana con coordenadas, mediante el análisis crítico de los conceptos, técnicas y procedimientos, que lleven a la identificación y/o representación de los lugares geométricos y su aplicación en el desarrollo de ejercicios y modelos matemáticos que abarquen la línea recta recuperadas de su entorno social inmediato, mostrando interés científico, responsabilidad y respeto en su participación escolar

Estos son algunos ejemplos en los que el estudiante puede emplear sus conocimientos obtenidos al concluir la presente asignatura.

Además, contribuye al perfil de egreso en los rasgos de razonamiento lógico-matemático, pensamiento creativo, crítico y científico, razonamiento verbal, gestión de la información, entre otras.


3. COMPETENCIAS A DESARROLLAR

Competencias Específicas Competencias Genéricas

Resolverá problemas o situaciones donde aplique las propiedades de igualdad, operaciones con polinomios de una variable, productos notables, factorización y simplificación de fracciones algebraicas, a partir de su representación geométrica y enfatizando el rigor lógico del lenguaje algebraico en un ambiente de respeto

Resolverá situaciones o problemas en los que se apliquen ecuaciones de primer grado con una incógnita, sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas, mediante métodos algebraicos y su interpretación gráfica en un ambiente de tolerancia y respeto.

Resolverá situaciones y problemas en los que se apliquen ecuaciones de segundo grado con una incógnita, empleando el método algebraico y su interpretación gráfica analizando las soluciones reales e imaginarias, conservando el respeto y la calidad de sus trabajos.

Resolverá problemas de funciones trigonométricas teóricos o prácticos de distintos ámbitos, mediante la aplicación y el análisis crítico y reflexivo de sus propiedades, que permita la resolución de triángulos rectángulos, en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

Resolverá problemas teóricos o prácticos que involucren de la línea recta, aplicando e integrando de manera crítica y reflexiva, los conceptos, técnicas y procedimientos básicos de la Geometría analítica, mediante el empleo de distintas formas de la ecuación de la recta y sus transformaciones, gráficas, ecuaciones

Pensamiento matemático.

Se expresa y comunica.

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. La competencia tiene los siguientes atributos: Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Piensa crítica y reflexivamente.

Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. La competencia tiene los siguientes atributos: Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. La competencia tiene los siguientes atributos: Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias. Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.

Aprende de forma autónoma.

Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. La competencia tiene los siguientes atributos: Define metas y


y propiedades de la recta, así como las ecuaciones de rectas notables en un triángulo; que apliquen en distintos ámbitos del entorno físico en el que se desenvuelve; colaborando a generar un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de iniciativa, responsabilidad e interés científico

da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento. Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos. Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

Trabaja en forma colaborativa.

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

4. HISTORIA DEL PROGRAMA

Lugar y fecha de elaboración o revisión

Participantes

Observaciones (cambios y

justificación

Instituto Tecnológico Superior de Los Reyes. Marzo 2014

Ing. Alfredo Calleja y miembros de la Academia de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico Superior de Los Reyes.

Propuesta de contenidos temáticos comunes de matemáticas para el fortalecimiento de competencias y conocimientos.

5. OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DEL CURSO (competencia específica a desarrollar

en el curso)

Incrementar o reafirmar las competencias desarrolladas en el nivel medio superior

que exige la incorporación a los estudios de nivel superior en el Sistema Nacional

de Educación Superior Tecnológica y simultáneamente fortalecer el proyecto de

vida.

Fortalecer los conocimientos básicos de los estudiantes que vienen de diversas

instituciones de nivel medio superior, con el fin de mejorar y consolidar las

competencias básicas para enfrentar con éxito la asignatura de cálculo diferencial

6. COMPETENCIAS PREVIAS

MATEMÁTICAS (EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR)

Problemas aritméticos.

Números reales.


Lenguaje algebraico.

Algoritmos geométricos y aritméticos.

7. TEMARIO

Unidad Temas Subtemas

1 Polinomios de una variable 1.1 Propiedades de la igualdad. 1.2 Problemas geométricos y

algebraicos.

1.2.1 Reglas de los exponentes.

1.2.2 Operaciones de polinomios con una variable.

1.2.3 Productos Notables: binomios conjugados, binomios con término común, binomio al cuadrado y binomio al cubo.

1.2.4 Triángulo de Pascal y Binomio de Newton.

1.2.5 Factorización. 2.2.6.Simplificación de fracciones algebraicas propias (simples

2 Ecuaciones de primer grado 2.1 Ecuaciones lineales.

2.1.1 Ecuación de primer grado con una incógnita.

2.1.2 Relación de la ecuación de primer grado con la función lineal.

2.1.3 Interpretación grafica de la función lineal y su relación con la ecuación de primer grado.

2.2 Sistemas de ecuaciones simultaneas lineales con dos incógnitas.

2.2.1 Métodos algebraicos: suma y resta, sustitución, igualación y determinantes.

2.2.2 Interpretación grafica de un sistema de ecuaciones lineales: punto de intersección de las rectas y casos en que son paralelas.


2.3 Sistema de ecuaciones simultaneas de 3X3.

2.3.1 Ecuaciones simultaneas de tres por tres con y sin solución.

3 Ecuaciones de Segundo Grado 3.1 Ecuaciones de segundo grado.

3.1.1 Métodos de resolución. Método algebraico: despeje para ecuaciones incompletas, factorización y fórmula general. Método gráfico

4 Funciones Trigonométricas 4.1 Funciones trigonométricas para ángulos agudos.

4.1.1 Conversión de ángulos de grados a radianes y viceversa.

4.1.2 Funciones recíprocas.

4.1.3 Cálculo de valores de 30°, 45° y 60°.

4.1.4 Resolución de triángulos rectángulos.

4.2 Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud.

4.2.1 En un plano coordenado – Ángulo de referencia – Signo y valores de las funciones trigonométricas – Grafica de las funciones seno, coseno y tangente.

4.2.2 En el círculo unitario – Funciones de un segmente – Identidades pitagóricas.

4.3 Leyes de senos y cosenos.

4.3.1 Ley de senos.

4.3.2 Ley de cosenos.

4.3.3 Resolución de triángulos oblicuángulos.

4.3.4 Aplicaciones prácticas.

5 La línea recta 5.1 Ecuaciones y propiedades de la recta.

5.1.1 Forma punto – pendiente • La recta como lugar geométrico

Ecuación de una recta conocidos su pendiente y uno de sus puntos.


Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos.

5.1.2 Forma pendiente ordenada al origen.

Intersección de una recta con el eje y.

Ecuación de una recta dada su pendiente y su intersección con el eje y.

5.1.3 Forma simétrica.

Intersecciones de una recta con los ejes coordenados.

Ecuación de una recta conocidas sus intersecciones con los ejes coordenados

5.1.4 Forma general de la ecuación de la recta.

Conversión de la ecuación de una recta a la forma general y viceversa.

La línea recta y la ecuación general de primer grado

5.1.5 Forma normal de la ecuación de la recta.

Obtención de la forma normal a partir de la forma general • Normal a una recta y distancia al Origen.

Distancia entre rectas paralelas

5.1.6 Distancia entre un punto y una recta.

Distancia dirigida de una recta a un punto.

Distancia no dirigida entre un punto y una recta

8. SUGERENCIAS DIDÁCTICAS (desarrollo de competencias genéricas)

Resolución de problema.

Demostraciones prácticas por equipos de trabajo.

Trabajo colaborativo.

Organizar equipos de trabajo para desarrollar ejercicios y retroalimentar el trabajo


9. SUGERENCIAS DE EVALUACIÓN

Evidencia de aprendizaje: Reportes escritos, solución de ejercicios extraclase y en

clase, solución de ejercicios de forma individual y colaborativa.

Evidencia de Desempeño: Participación en la solución de problemas propuestos.

Evidencia de Conocimientos: Prueba objetiva.

10. UNIDADES DE APRENDIZAJE

Unidad 1: Polinomios de una variable

Competencia específica a desarrollar Actividades de Aprendizaje

1.1 Resolverá problemas algebraicos aplicando las propiedades de la igualdad.

1.2 Resolverá distintas situaciones o problemas geométricos y algebraicos, a través de la aplicación de las reglas de los exponentes, las operaciones con polinomios, productos notables, la factorización y la simplificación de fracciones algebraicas

Resolver problemas con figuras geométricas de su entorno inmediato.

Resolver por equipos problemas en los que se requieren productos notables o factorización, también pueden realizar varios procedimientos como los geométricos con cuadros de Diennes o los algebraicos.

Realizar un glosario con los conceptos aprendidos durante la Unidad: igualdad, polinomio, exponente, producto de binomios, binomio al cubo, binomio de Newton, factorización y fracción algebraica.

Generar ejemplos, preguntas, problemas o conclusiones a partir de los ejercicios desarrollados que le permitan participar en las diferentes dinámicas de trabajo.

Unidad 2: Ecuaciones de primer grado


2.1 Resolverá problemas con ecuaciones de primer grado con una incógnita, por

Ejercitar los diferentes métodos de solución para un sistema de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas.


medio de su interpretación gráfica al relacionarla con la función lineal.

2.2 Resolverá problemas con ecuaciones de primer grado con dos incógnitas mediante los métodos algebraicos de sustitución, igualación, suma o resta y determinantes; interpretando su gráfica en la intersección de las rectas y cuando son paralelas.

2.3 Resolverá problemas en los que se plantean ecuaciones lineales simultáneas de tres por tres, con y sin solución, usando las propiedades del álgebra.

Resolver por algún método problemas de aplicación que involucren ecuaciones simultáneas. - Interpretar las gráficas que resultan de un sistema de ecuaciones así como sus aplicaciones en los distintos campos del saber.

Elaborar a partir de una propuesta de un problema práctico un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Resolver sistemas de ecuaciones con tres incógnitas empleando métodos algebraicos y señalar aquellos sistemas que no tienen solución. - Generar ejemplos, preguntas, problemas o conclusiones a partir de los ejercicios desarrollados que le permitan participar en las diferentes dinámicas de trabajo.

Unidad 3: Ecuaciones de segundo grado


3.1 Resolverá situaciones y problemas en los que aplique ecuaciones cuadráticas, empleando el método algebraico, interpretando geométricamente las soluciones reales mediante su gráfica

Resolver ejercicios o problemas tipos donde se apliquen los diferentes métodos solución de una ecuación cuadrática.

Analizar que cuando las raíces negativas de una ecuación, la gráfica de la parábola no atraviesa el eje de las abscisas y entonces la soluciones son imaginarias y se pueden escribir como 𝑏𝑖 ± 𝑎.

Participar en la solución de una ecuación cuadrática a través de una gráfica.

Generar ejemplos, preguntas, problemas o conclusiones a partir de los ejercicios desarrollados que le permitan participar en las diferentes dinámicas de trabajo.


Unidad 4: Funciones trigonométricas


4.1 Resolverá problemas de naturaleza periódica, utilizando conocimientos sobre valores y signos, gráficas, dominio y rango de las funciones trigonométricas.

4.2 Resolverá problemas teóricos o prácticos de triángulos oblicuángulos a partir de la aplicación de las leyes de senos y cosenos.

Obtener conclusiones por escrito sobre cómo relacionar ángulos y lados de un triángulo rectángulo para aplicar las funciones trigonométricas y resolver problemas reales y teóricos.

Analizar diversas situaciones vivenciales para aplicar las razones trigonométricas trabajando en equipo.

Representar las funciones trigonométricas en el o plano cartesiano o circulo de radio unitario.

Aplicar las funciones directas y recíprocas en la solución de triángulos.

Graficar las funciones trigonométricas Coseno y Tangente con base en el ejemplo.

Resolver problemas en donde se apliquen las identidades trigonométricas.

Formar grupos de trabajo que resuelvan diferentes problemas de funciones trigonométricas para intercambiarlos y realimentarse.

Analizar y discutir las características de los triángulos oblicuángulos como son su longitud y medida de sus ángulos.

Identificar las características (conociendo los lados se calcula el ángulo) de los problemas donde se aplican las Leyes de Senos y Cosenos.

Resolver problemas de los triángulos oblicuángulos intercambiando las respuestas con los compañeros.

Buscar, en equipo, problemas con situaciones del entorno inmediato siguiendo los modelos expuestos en clase. Intercambiar las respuestas para su realimentación


Unidad 5: La línea recta

Competencia específica a desarrollar

Actividades de Aprendizaje

5.1 Resolverá problemas con ecuaciones y propiedades de la recta donde la razón de cambio o tasa de crecimiento se mantiene constante, aplicando conceptos, técnicas y procedimientos referentes a puntos, segmentos, ecuaciones y gráficas de rectas, determinando su uso conveniente de acuerdo con los datos disponibles, y las distintas formas de la ecuación de la recta.

Participar en una lluvia de ideas con los conceptos relacionados con la recta y algunas de sus propiedades.

Repasar las distintas formas mediante el uso constante y la identificación consciente de sus componentes principales (preguntando: ¿qué información brinda esta ecuación?) Identificar siempre la pendiente. Visualizar su efecto en la gráfica.

Recurrir a la propiedad que caracteriza a los puntos de una recta para averiguar en un problema de aplicación práctica si existe una relación lineal entre las variables: 1) En una tabla de valores: a)

verificar si los cocientes 𝑦/𝑥 son iguales a un valor constante. En tal caso usar la

forma 𝑦 = 𝑚𝑥 de la ecuación de la recta, que corresponde a una variación directamente proporcional entre 𝑥 y 𝑦; b) Si 𝑦/𝑥 no es constante, pero ∆𝑦 / ∆𝑥 = constante, usar la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 (donde resultará 𝑏 ≠ 0), que expresa variación directa entre

∆𝑥 𝑒 ∆𝑦. 2) En un enunciado: verificar si se menciona una tasa, o razón promedio de cambio, que se mantenga constante.

Constatar mediante diversos ejemplos que, aunque la regla de correspondencia de una función lineal corresponda a la ecuación de una recta, la gráfica no siempre es una línea recta (completa), debido a que las condiciones del problema delimitan el dominio (conjunto de valores admisibles para la variable independiente).

Utilizar información del Instituto de Ecología o alguna otra dependencia relacionada con el problema de la tala inmoderada de árboles y aplicando las propiedades de la recta elaborar un modelo algebraico (ecuación) para


describir los riesgos de devastación ecológica.

Integrar formularios y desarrollar ejercicios sobre las distintas formas de la ecuación de la recta

11. FUENTES DE INFORMACIÓN

Algebra Trigonometría con Geometría Analítica. Earl W. Swokowiski. Ferrery A.

Cole.Edit. Cengage Learning (2012).

Algebra. Oteysa. Lam.Hernández.Carrillo.Person Prestige Hall (2007)

12. PRÁCTICAS PROPUESTAS

Proponer ejercicios con figuras geométricas que involucren el cálculo de perímetros,

áreas y volúmenes con polinomios de una sola variable.

Proponer problemas que enfaticen el uso de los productos notables y la factorización.

Propiciar dinámicas de trabajo (plenarias, exposiciones, concursos, etc.) para fomentar

la participación a nivel grupal e individual. Modelar los distintos métodos algebraicos

para la solución de sistemas de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas.

Plantear problemas de aplicación práctica donde se empleen ecuaciones simultáneas

con dos incógnitas.

Solicitar al alumno la interpretación de gráficas donde se interceptan dos rectas o casos

donde las rectas son paralelas y su aplicación en las ciencias naturales o sociales.

Plantear un problema práctico de la vida cotidiana que lleve a los alumnos a proponer

un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Seleccionar sistemas de ecuaciones con tres incógnitas con y sin solución donde utilice

las propiedades algebraicas.

Propiciar dinámicas de trabajo (plenarias, exposiciones, concursos, etc.) para fomentar

la participación a nivel grupal e individual.

Ilustrar, por medio de un esquema, el tipo de ecuaciones de segundo grado, sus

métodos de solución y el gráfico asociado a cada una de ellas.

Analizar el discriminante y verificar el número de soluciones reales, iguales e

imaginarios para la interpretación de su gráfica.

Dirigir una dinámica en donde se obtenga una ecuación cuadrática a partir de su

gráfica.


Coordinar una consulta bibliográfica con relación a la conversión de ángulos a radianes,

funciones recíprocas, cálculo de ángulos (30°, 45° y 60°) y propiedades de triángulos

rectángulos.

Instruir la relación entre grados y radianes mostrando con ejemplos la aplicación de las

fórmulas para convertir grados en radianes y viceversa. - Mostrar el cálculo de las

funciones especiales de ángulos de 30°, 45° y 60°.

Explicar las funciones trigonométricas a partir de las razones entre los lados de un

triángulo rectángulo y proponer ejercicios.

Relacionar razones y funciones trigonométricas para la obtención de los elementos de

un triángulo rectángulo.

Proponer problemas reales o teóricos que requieran el empleo de las funciones

trigonométricas.

Ejemplificar las propiedades de la trigonometría en el plano cartesiano.

Mostrar la ventaja del uso de las funciones segmento para hallar valores de funciones

trigonométricas sin tener que obtener cocientes.

Explicar el proceso de graficación de las funciones trigonométricas tomando como

ejemplo la función seno.

Explicar brevemente las identidades pitagóricas para su aplicación en problemas.

Proponer ejemplos y problemas que integren los contenidos de las funciones

trigonométricas para los ángulos de cualquier magnitud.

Exponer los elementos del triángulo rectángulo para apoyar la realización de ejercicios

prácticos.

Explicar la importancia de las Leyes de Senos y Cosenos y su aplicación en resolución

de problemas teóricos y prácticos a manera de introducción sobre el tema.

Proponer problemas que involucren el uso de triángulos oblicuángulos.

Mostrar cuando es viable iniciar la resolución de un triángulo oblicuángulo aplicando la

ley de los Senos o de Cosenos según los datos disponibles.

Conducir una dinámica grupal para recuperar el conocimiento previo sobre conceptos

relacionados con las propiedades y ecuaciones de la recta.

Destacar que la característica fundamental de los puntos sobre una recta no vertical,

es que la pendiente entre dos cualesquiera de ellos se mantiene constante.

Proponer ejercicios donde se relacionen las formas 𝑦 = 𝑚𝑥 y 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏(𝑏 ≠ 0), de

la ecuación de la recta, con situaciones de variación directamente proporcional: a)

entre 𝑥 y 𝑦, cuando los cocientes y/x son constantes, o bien b) entre


∆𝑥 𝑒 ∆𝑦 (donde ∆𝑥 = 𝑥2 – 𝑥1; ∆𝑦 = 𝑥2 – 𝑥1), cuando los cocientes y/x no son

constantes, pero sí en cambio resultan constantes los cocientes ∆y/∆x. Hacer notar que

en este último caso, para trasladar geométricamente la gráfica al origen, los físicos

introducen un cambio de variable: 𝑥’ = ∆𝑥, 𝑦’ = ∆𝑦, y establecen así una relación de

proporcionalidad directa entre las nuevas variables 𝑥’, 𝑦’.

Ejercitar a los alumnos en la transformación algebraica de una forma de ecuación a

otra(s), enfatizando que no siempre es posible esto (por ejemplo: no existe la forma

simétrica si la recta pasa por el origen o es paralela a un eje coordenado; no existe la

forma punto pendiente, o pendiente- ordenada al origen, si la recta es paralela al eje

y).

Presentar como forma normal, la ecuación que resulta de dividir entre √𝐴2 + 𝐵2 la

forma general. Comentar que el valor absoluto del término independiente de la

ecuación así obtenida proporciona la distancia de la recta al origen y usar esto para

obtener la distancia entre rectas paralelas. No manejar la forma normal que emplea

senos y cosenos (si acaso, comentar que los coeficientes de x, y, en esta ecuación,

corresponden al coseno y al seno del ángulo que forma la normal con el eje x).

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