Factorizacin

Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se pue-de factorizar utilizando nmeros reales, si se consideranlos nmeros complejos Existen mtodos de factorizacin,para algunos casos especiales.1 Diferencia de cuadrados 2 Suma o diferencia de cubos 3Suma o diferencia de potencias impares iguales 3 Trino-mio cuadrado perfecto 4 Trinomio de la forma x+bx+c 5Trinomio de la forma ax+bx+c 6 Factor comn 7 Trin-gulo de Pascal como gua para factorizar

0.1 Caso I - Factor comn

Sacar el factor comn es aadir el literal comn de unpolinomio, binomio o trinomio, con el menor exponentey el divisor comn de sus coecientes. Tambien se puededescribir como buscar el factor comun entre los factores...

a2 + ab = a(a+ b)

9a212ab+15a3b224ab3 = 3a(3a4b+5a2b28b3)

0.1.1 Factor comn trinomio

Factor comn por agrupacin de trminos

ab+ ac+ ad = a(b+ c+ d)

ax+bx+ay+by = a(x+y)+b(x+y) = (x+y)(a+b)

0.1.2 Factor comn polinomio

Primero hay que determinar el factor comn de los coe-cientes junto con el de las variables (la que tenga menorexponente). Se toma en cuenta aqu que el factor comnno solo cuenta con un trmino, sino con dos.un ejemplo:

5x2(x y) + 3x(x y) + 7(x y)

Se aprecia claramente que se est repitiendo el polinomio(x-y), entonces ese ser el factor comn. El otro factorser simplemente lo que queda del polinomio original, esdecir:

(5x2 + 3x+ 7)

La respuesta es:

(5x2 + 3x+ 7)(x y)En algunos casos se debe utilizar el nmero 1, por ejem-plo:

5a2(3a+ b) + 3a+ b

Se puede utilizar como:

5a2(3a+ b) + 1(3a+ b)

Entonces la respuesta es:

(3a+ b)(5a2 + 1)

0.2 Caso II - Factor comn por agrupacinde trminos

Para trabajar un polinomios por agrupacin de trminos,se debe tener en cuenta que son dos caractersticas lasque se repiten. Se identica porque es un nmero par detrminos.Un ejemplo numrico puede ser:

2y + 2j + 3xy + 3xj

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

= (2y + 2j) + (3xy + 3xj)

Aplicamos el caso I (Factor comn)

= 2(y + j) + 3x(y + j)

= (2 + 3x)(y + j)

Ejercicio # 2 del algebra: am - bm + an - bn = (am-bm)+(an-bn) = m(a-b)+ n(a-b) =(a-b)(m+n)

1

20.3 Caso III - Trinomio Cuadrado Perfec-to

Se identica por tener tres trminos, de los cuales dostienen races cuadradas exactas, y el restante equivale aldoble producto de las races del primero por el segun-do. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto de-bemos reordenar los trminos dejando de primero y detercero los trminos que tengan raz cuadrada, luego ex-traemos la raz cuadrada del primer y tercer trmino ylos escribimos en un parntesis, separndolos por el signoque acompaa al segundo trmino, al cerrar el parntesiselevamos todo el binomio al cuadrado.

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a b)2 = a2 2ab+ b2Ejemplo 1:

(5x 3y)2 = 25x2 30xy + 9y2

Ejemplo 2:

(3x+ 2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2

Ejemplo 3:

(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2

Ejemplo 4:

4x2 + 25y2 20xyOrganizando los trminos tenemos

4x2 20xy + 25y2

Extrayendo la raz cuadrada del primer y ltimo trminoy agrupndolos en un parntesis separados por el signodel segundo trmino y elevando al cuadrado nos queda:

(2x 5y)2

Al vericar que el doble producto del primero por el se-gundo trmino es 20xy determinamos que es correctala solucin. De no ser as, esta solucin no aplicara.

0.4 Caso IV - Diferencia de cuadradosSe identica por tener dos trminos elevados al cuadradoy unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de

dos parntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

(ay bx)(ay + bx) = (ay)2 (bx)2

O en una forma ms general para exponentes pares:

(ay)2n (bx)2m = ((ay)n (bx)m)((ay)n + (bx)m)

Y utilizando una productoria podemos denir una facto-rizacin para cualquier exponente, el resultado nos da r+1factores.

(ay)n(bx)m = ((ay)n/2r(bx)m/2r )rY

i=1

((ay)n/2i

+(bx)m/2i

)

Ejemplo 1:

9y2 4x2 = (3y)2 (2x)2 = (3y + 2x)(3y 2x)

Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejem-plo.

(2y)6(3x)12 = ((2y)6/22(3x)12/22)2Y

i=1

((2y)6/2i

+(3x)12/2i

) =

((2y)3/22(3x)12/22)((2y)3/22+(3x)12/22)((2y)3/2+(3x)12/2) =

((2y)3/4(3x)3)((2y)3/4+(3x)3)((2y)3/2+(3x)6)La factorizacin de la diferencia o resta de cuadrados con-siste en obtener las raz cuadrada de cada trmino y repre-sentar estas como el producto de binomios conjugados.'

0.5 Caso V - Trinomio cuadrado perfectopor adicin y sustraccin

Se identica por tener tres trminos, dos de ellos son cua-drados perfectos, pero el restante hay que completarlomediante la suma para que sea el doble producto de susraces , el valor que se suma es el mismo que se resta paraque el ejercicio original no cambie.= x2 + xy + y2

= x2 + xy + y2 + (xy xy)= x2 + 2xy + y2 xy= (x+ y)2 xyNtese que los parntesis en "(xy-xy)" estn a modo deaclaracin visual.

0.7 Caso VII - Suma o diferencia de potencias 3

0.6 Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx+ c

Se identica por tener tres trminos, hay una literal conexponente al cuadrado y uno de ellos es el trmino inde-pendiente. Se resuelve por medio de dos parntesis, en loscuales se colocan la raz cuadrada de la variable, buscan-do dos nmeros que multiplicados den como resultado eltrmino independiente y sumados (pudiendo ser nmerosnegativos) den como resultado el trmino del medio.Ejemplo:

a2 + 2a 15 = (a+ 5)(a 3)Ejemplo:

x2 + 5x+ 6 = (x+ 3)(x+ 2)

0.7 Caso VII - Suma o diferencia de poten-cias

La suma de dos nmeros a la potencia n, an +bn se des-compone en dos factores (siempre que n sea un nmeroimpar):Quedando de la siguiente manera:

xn+yn = (x+y)(xn1xn2y+xn3y2:::+xyn2yn1)Ejemplo:

x3 + 1 = (x+ 1)(x2 x+ 1)La diferencia tambin es factorizable y en este caso noimporta si n es par o impar. Quedando de la siguientemanera:

xnyn = (xy)(xn1+xn2y+xn3y2+:::+xyn2+yn1)Ejemplo:

x3 1 = (x 1)(x2 + x+ 1)a2 b2 = (a b)(a+ b)Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen deun caso particular de esta generalizacin.=== Caso VIIITrinomio de la forma ax2 + bx + c ===En este caso se tienen 3 trminos: El primer trmino tie-ne un coeciente distinto de uno, la letra del segundo tr-mino tiene la mitad del exponente del trmino anterior y

el tercer trmino es un trmino independiente, o sea sinuna parte literal, as:4x2 + 12x+ 9

Para factorizar una expresin de esta forma, se multiplicala expresin por el coeciente del primer trmino(4x2) :4x2(4) + 12x(4) + (9 4)42x2 + 12x(4) + 36

Luego debemos encontrar dos nmeros quemultiplicadosentre s den como resultado el trmino independiente yque su suma sea igual al coeciente del trmino x :6 6 = 366 + 6 = 12

Despus procedemos a colocar de forma completa el tr-mino x2 sin ser elevado al cuadrado en parntesis, ademscolocamos los 2 trminos descubiertos anteriormente :(4x+ 6)(4x+ 6)

Para terminar dividimos estos trminos por el coecientedel trmino x2 :(4x+6)(4x+6)

4 : =(4x+6)

2 (4x+6)2Queda as terminada la factorizacin :(2x+ 3)(2x+ 3) : = (2x+ 3)2

=== Caso VIIITrinomio de la forma ax2 + bx + c ===En este caso se tienen 3 trminos: El primer trmino tie-ne un coeciente distinto de uno, la letra del segundo tr-mino tiene la mitad del exponente del trmino anterior yel tercer trmino es un trmino independiente, o sea sinuna parte literal, as:4x2 + 12x+ 9

Para factorizar una expresin de esta forma, se multiplicala expresin por el coeciente del primer trmino(4x2) :4x2(4) + 12x(4) + (9 4)42x2 + 12x(4) + 36

Luego debemos encontrar dos nmeros quemultiplicadosentre s den como resultado el trmino independiente yque su suma sea igual al coeciente del trmino x :6 6 = 366 + 6 = 12

Despus procedemos a colocar de forma completa el tr-mino x2 sin ser elevado al cuadrado en parntesis, ademscolocamos los 2 trminos descubiertos anteriormente :(4x+ 6)(4x+ 6)

Para terminar dividimos estos trminos por el coecientedel trmino x2 :(4x+6)(4x+6)

4 : =(4x+6)

2 (4x+6)2Queda as terminada la factorizacin :

4 1 POSIBLES CEROS

(2x+ 3)(2x+ 3) : = (2x+ 3)2

0.8 Caso X - Divisores binmicosSu proceso consiste en los siguientes pasos. Suma o Di-ferencia de Cubos: a bSuma de Cubos: ============a + b = (a + b) (a - ab + b)Se resuelve de la siguiente maneraEl binomio de la suma de las races de ambos trminos (a+ b)El cuadrado del 1er termino, [ a ][ - ] el producto de los 2 trminos [ ab ][ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b ]Diferencia de Cubos: ==============a - b = (a - b) (a + ab + b)Se resuelve de la siguiente maneraEl binomio de la resta de las races de ambos trminos (a- b)El cuadrado del 1er termino, [ a ][ + ] el producto de los 2 trminos [ ab ][ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b ]

1 Posibles cerosArtculo principal: Divisores bin-micos

En este primer paso los posibles ceros es el cociente de ladivisin de los divisores del trmino independiente[1] en-tre los divisores del coeciente principal[2] y se dividenuno por uno.Nota: Para un mejor entendimiento, este mtodo se ex-plicara con el siguiente ejemplo.Si el enunciado es este:x3 + x2 5x 6Se ve que el trmino independiente es 6 y el coecienteprincipal es 1. Para sacar los posibles ceros se procede dela siguiente manera:Pc = (1;2;3;6)(1) = (1; 2; 3; 6)Donde se puede notar que como se menciono anterior-mente cada divisor de arriba fue divido por el de abajo;es decir, que el uno se dividi entre uno; el dos se dividientre uno; el tres se dividi entre uno y por ltimo el seisse dividi entre uno.

1.1 Regla de Runi (divisin algebraica)Ahora se divide por regla de Runi, donde se toma comodividendo los coecientes del enunciado y como divisor

los posibles ceros y se prueba con la regla de Runi hastaque salga la divisin exacta (es decir de residuo cero).

1 1 5 62 2 2 6

1 1 3 0Coef: Resto

Se puede notar que al probar con menos dos, la divisinsali exacta.

1.2 Dos trminosAhora, nuestra respuesta consta de 2 trminos

1.2.1 Primer trmino

El 2 sali de un x+2 porque si x+2=0, saldra x=2 .eso quiere decir que nuestro primer trmino es x+2Nota: Siempre se iguala a cero y siempre los primerostrminos son de la forma x+a .

1.2.2 Segundo trmino

El segundo trmino es el coeciente de nuestra divisinpor Runi, es decir, el segundo trmino es x2-x-3 .Nota: En el segundo trmino, a veces todava se puededescomponer por aspa simple; si ese es el caso, se debedescomponer.

1.3 Resultado nalEl resultado nal es el siguiente:

(x+ 2)(x2 x 3)Nota: Se debe dejar as, no se debe multiplicar, puestoque eso sera retroceder todos los pasos.

1.4 Caso XI Tringulo de Pascal y factori-zacin

Conociendo el desarrollo del [Tringulo de Pascal], po-demos obtener factorizaciones muy sencillas.

1 coeficientes de (a+ b)0

1 1 coeficientes de (a+ b)1

1 2 1 coeficientes de (a+ b)2

1 3 3 1 coeficientes de (a+ b)3

1 4 6 4 1 coeficientes de (a+ b)4

1 5 10 10 5 1 coeficientes de (a+ b)5

As por ejemplo, tenemos:Ejemplo 1:

8+36x+54x2+27x3 = (1)23+(3)223x+(3)232x2+(1)33x3 = (2+3x)3

1.4 Caso XI Tringulo de Pascal y factorizacin 5

Ejemplo 2:

1 + 4x+ 6x2 + 4x3 + x4 = (1 + x)4

Ejemplo 3:

1a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 = (a+ b)4

Ejemplo 4:

1z5+5z4y+10z3y2+10z2y3+5zy4+1y5 = (z+y)5

El principio es muy similar al que genera la primera fr-mula notable, o trinomio cuadrado perfecto.

[1] trmino del polinomio que no est acompaado de unavariable.

[2] coeciente que est acompaado de la variable del mayorexponente.

en matematicas. la factorizacion es una tecnica que con-siste la descompocision de una expresion matematicas(que puede ser un numero una suma )

6 2 TEXTO E IMGENES DE ORIGEN, COLABORADORES Y LICENCIAS

2 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias2.1 Texto

Factorizacin Fuente: http://es.wikiversity.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n?oldid=102843 Colaboradores: Antur, Platonides, LadyIn-Grey, Defender, Savh, Ruy Pugliesi, Ajraddatz, Beko, Jcaraballo, Invadibot, Igna, Gilmjc, Ralgisbot, Vogone, Cyrax, Ansemolu, UA31,LlamaAl, Stryn, Alejo9803, Leitoxx, Glaisher, Alexandercamposval, Alan, Matiia, Syum90, Lsanabria, GABRIEL GOMEZ bi, DivineAlp-ha y Annimos: 144

2.2 Imgenes

2.3 Licencia de contenido Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0

Caso I - Factor comn Factor comn trinomio Factor comn polinomio

Caso II - Factor comn por agrupacin de trminos Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto Caso IV - Diferencia de cuadrados Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adicin y sustraccin Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c Caso VII - Suma o diferencia de potencias Caso X - Divisores binmicos Posibles ceros Regla de Ruffini (divisin algebraica) Dos trminos Primer trmino Segundo trmino

Resultado final Caso XI Tringulo de Pascal y factorizacin

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