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  • Factorizacin de polinomios Profa. Anneliesse Snchez y Profa. Caroline Rodriguez

    Departamento de Matemticas

    Universidad de Puerto Rico

  • Definicin Cuando multiplicamos expresiones

    polinmicas, cada expresin se conoce como

    un factor.

    Ejemplo:

    (x 2)(x + 2) = 2 4, por lo que (x 2) y (x + 2) son factores de 2 4.

    El proceso de expresar un polinomio como el

    producto de otros polinomios se conoce como

    factorizacin.

    La factorizacin es el proceso que invierte la

    multiplicacin.

  • Cuando multiplicamos, obtenemos un nico resultado.

    Sin embargo, puede haber varias formas de factorizar

    un nmero.

    Ejemplo: Escriba factorizaciones para 24

    24 = (8)(3)

    24 = (12)(2)

    24 = (6)(4)

    24 = (4)(2)(3)

    24 = (6)(2)(2)

    Esta ltima es la

    factorizacin prima de

    24, lo que significa que el

    nmero ya no se puede

    seguir factorizando.

    24 = (2)(2)(2)(3)

    Ejemplo numrico

  • Al igual que los nmeros, los polinomios se pueden

    factorizar de varias formas.

    Ejemplo: Escriba factorizaciones para 32 + 12x

    32 + 12 = 3( + 4) 32 + 12 = 3 (2 + 4) 32 + 12 = x(3 + 12)

    32 + 12 = 1

    2(6 + 24)

    La primera forma se conoce

    como factorizacin por

    factores irreducibles, por

    que los factores 3x y x+4 no

    se pueden factorizar ms.

    Polinomio irreducible

    Decimos que un polinomio est completamente

    factorizado si

    se expresa como el producto de polinomios

    con coeficientes enteros.

    todos los polinomios que forman la

    factorizacin son irreducibles

    + = ( + )

  • FACTORIZACION POR FACTOR COMUN

    Factorizacin de polinomios

  • Factorizacin de factor comn

    La factorizacin ms simple se basa en la

    propiedad distributiva.

    ab + ac = a(b + c)

    Este tipo de factorizacin, remueve el

    mximo comn divisor de todos los

    trminos.

    Ejemplo: Factorice completamente

    3b3 5b2c + 6b2

  • Mximo comn divisor

    Por el mximo comn divisor de dos o ms monomios", se compone del

    mximo comn divisor de los coeficientes

    y la potencia mayor de las variables que son comunes a todos los monomios dados.

  • Ejemplo Determinar mcd(8x2, 12x3) =

    Solucin:

    Determinar mcd(24x5, 40x3) =

    Solucin:

  • Factorice cada polinomio mediante factor comn.

    22pq 33qr

    7xy 14xy2 + 21x2y

    20w3z4 25w4z7 15 w5z3

  • Factores binomiales Hay casos en los cuales el factor comn no es un monomio, sino que tiene ms de un trmino.

    Ejemplo: + 2 + 3( + 2)

    En este caso los dos trminos comparten un binomio en comn (y+2)

  • Factores binomiales Factorice los polinomios:

    + 2 + 3( + 2)

    3( ) 5( )

  • Factores binomiales

    Ejemplo: Factorice completamente 12( + 5) 152( + 5) + 32 ( + 5)

  • Factores binomiales caso especial

    Ejemplo: Factorice el polinomio: 2x(ab) + 5(ba)

  • Factorizacin por agrupacin

    Tcnica que consiste en agrupar dos o ms

    trminos del polinomio usando algn

    criterio; por ejemplo, un criterio puede ser:

    agrupar dos o ms trminos que tengan

    algn factor comn.

    Ejemplo:

    bcacba 362

    Note que entre los

    primeros dos trminos hay

    un factor de 2 en comn,

    mientras que en los

    ltimos dos hay un factor

    de c en comn.

  • Factorizacin por agrupacin

    )ba(c)ba(:osfactorizam,Luego 332

    bcacba :Factorice 362

    Al examinar, se observa que hay un binomio

    comn a ambos trminos: (a 3b)

    ))(3( ba

    )bcac()ba( :agrupamos Primero 362

    Volvemos a factorizar removiendo el factor

    comn binomial (a 3b)

    2(a 3b) + c(a 3b) = c2

  • Factorizacin por agrupacin

    Ejemplo 2: Factorizar el polinomio

    3a2 + 12a 2ab 8b

  • Factorizacin por agrupacin Ejemplo 3: Factorice los polinomios.

    4x 3y 12ax + 9ay

    3x2 + 6x 5xy 10y

  • Prctica

    Ejercicios:

    1) y2 4y + 3yz 12z

    2) ab c ac + b

    3) 9ab + 9ac b c

  • EJEMPLOS ADICIONALES

  • Todo nmero natural compuesto puede

    expresarse de forma nica como el

    producto de nmeros primos

    (excepto por el orden de los

    factores).

    Page 53

    4. Teorema Fundamental de la

    Aritmtica

    4. Teorema Fundamental de la

    Aritmtica

    Ejercicio: Determine la factorizacin

    prima de cada uno de los siguientes

    nmeros compuestos:

    a)

    90

    b)

    504

    c)

    1,183

    Ejercicio: Determine la factorizacin

    prima de cada uno de los siguientes

    nmeros compuestos:

    a)

    90

    b)

    504

    c)

    1,183

    Page 54

    4. Teorema Fundamental de la

    Aritmtica

    4. Teorema Fundamental de la

    Aritmtica

    Ejercicio: Determine el nmero natural

    ms pequeo que sea divisible por

    todos los nmeros siguientes:

    2, 3, 4, 6, 8, 9.

    Ejercicio: Determine el nmero natural

    ms pequeo que sea divisible por

    todos los nmeros siguientes:

    2, 3, 4, 6, 8, 9.

    Page 55

    Cierto o falso?

    Cierto o falso?

    Todo nmero natural es divisible por 1. Ningn nmero natural es a la vez primo y compuesto. No existen nmeros primos pares. El 1 es el nmero primo ms pequeo. Si 16 divide a un nmero natural, entonces 2, 4 y 8 tambin lo dividen.

    Todo nmero natural es divisible por 1. Ningn nmero natural es a la vez primo y compuesto. No existen nmeros primos pares. El 1 es el nmero primo ms pequeo. Si 16 divide a un nmero natural, entonces 2, 4 y 8 tambin lo dividen.

    Page 56

    Cierto o falso?

    Cierto o falso?

    El nmero compuesto 50 tiene exactamente dos factorizaciones primas. El nmero primo 53 tiene exactamente dos factores.

    El nmero compuesto 50 tiene exactamente dos factorizaciones primas. El nmero primo 53 tiene exactamente dos factores.

    Page 57

    Ejercicio

    Ejercicio

    Determine todos los factores de: a)

    12

    b)

    18

    c)

    28

    d)

    63

    e)

    120

    f)

    184

    Determine todos los factores de: a)

    12

    b)

    18

    c)

    28

    d)

    63

    e)

    120

    f)

    184

    Page 58

    Decida si cada uno de los siguientes nmeros es divisible por:

    2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

    Decida si cada uno de los siguientes nmeros es divisible por:

    2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

    a)

    315

    b)

    7,425

    c)

    1,092

    d)

    4,488

    e)

    630

    a)

    315

    b)

    7,425

    c)

    1,092

    d)

    4,488

    e)

    630

    f)

    25,025

    g)

    45,815

    h)

    5,940

    i)

    123,456,789

    j)

    987,654,321

    f)

    25,025

    g)

    45,815

    h)

    5,940

    i)

    123,456,789

    j)

    987,654,321

    Page 59

    Determine la factorizacin prima de cada uno de los siguientes

    nmeros compuestos:

    Determine la factorizacin prima de cada uno de los siguientes

    nmeros compuestos:

    a)

    240

    b)

    300

    c)

    360

    d)

    425

    a)

    240

    b)

    300

    c)

    360

    d)

    425

    e)

    663

    f)

    885

    g)

    1,280

    h)

    1,575

    e)

    663

    f)

    885

    g)

    1,280

    h)

    1,575

    Page 61

    5. Nmeros perfectos

    5. Nmeros perfectos

    Los divisores propios de un nmero

    natural incluyen todos los divisores

    del nmero excepto el nmero mismo.

    Los divisores propios de un nmero

    natural incluyen todos los divisores

    del nmero excepto el nmero mismo.

    Page 62

    5. Nmeros perfectos

    5. Nmeros perfectos

    Ejemplo:

    Los divisores de 8 son:

    1, 2, 4 y 8.

    Los divisores propios de 8 son:

    1, 2 y 4.

    Ejemplo:

    Los divisores de 8 son:

    1, 2, 4 y 8.

    Los divisores propios de 8 son:

    1, 2 y 4.

    Page 63

    5. Nmeros perfectos

    5. Nmeros perfectos

    Un nmero perfecto es un nmero

    natural que sea igual a la suma de sus

    divisores propios.

    Un nmero perfecto es un nmero

    natural que sea igual a la suma de sus

    divisores propios.

    Page 64

    5. Nmeros perfectos

    5. Nmeros perfectos

    Comenzando con el 2, coteje todos los

    nmeros naturales hasta hallar el

    nmero perfecto ms pequeo.

    Comenzando con el 2, coteje todos los

    nmeros naturales hasta hallar el

    nmero perfecto ms pequeo.

    Page 65

    5. Nmeros perfectos

    5. Nmeros perfectos

    Ejercicio: Verifique que los siguientes

    son nmeros perfectos:

    a)

    28

    b)

    496

    c)

    8,128

    Ejercicio: Verifique que los siguientes

    son nmeros perfectos:

    a)

    28

    b)

    496

    c)

    8,128

    Page 66

    5. Nmeros perfectos

    5. Nmeros perfectos

    Hasta hace una dcada slo se

    conocan 33 nmeros perfectos.

    Todo