1

2

Objetivos:

Factorizar polinomios mediante las Factorizar polinomios mediante las

técnicas de factorización.técnicas de factorización.

Factor ComúnFactor Común

Diferencia de CuadradosDiferencia de Cuadrados

Diferencia o Adición de CubosDiferencia o Adición de Cubos

TanteoTanteo

Agrupación Agrupación

3

Aclaración: La factorización es el

proceso que se utiliza para expresar

un polinomio como una multiplicación.

3392 xxx

4228 23 xxxx

Ejemplo:

Factores del polinomio

4

Un factor se dice que es factor común si es un factor de todos los términos de unpolinómio. Esta técnica consiste en encontrar los factores comunes entre todoslos términos del polinomio.

:polinomio cada Factorice

3223 18104 xyyxyx

xy2 yx22 x5 29y

Ejemplos:

Factores Comunes

1.

5

xyx 364

xx 62 3

2423 xxx

x4 1 y9

x2 2x 3

2x 43 x

2.

3.

4.

6

4 2 57 3 5 3 5 3 5 3x x x x

Ejemplo:Ejemplo:

Simplifique mediante factorización:Simplifique mediante factorización:

43 5 3x x 7 3 5 3 5x x

43 5 3x x 7 21 15 25x x

43 5 3x x 22 4x

7

Ejemplo:Ejemplo:

Simplifique mediante factorización:Simplifique mediante factorización:

51 4 1

3 4 3 45 1 4 3 5 1 4 3x x x x

1 1

3 45 1 4 3x x 34

4 34 3 5 1x x

1 1

3 45 1 4 3x x 4 3 5 1x x

1 1

3 45 1 4 3x x 4 3 5 1x x

8

1 1

3 45 1 4 3x x 4 3 5 1x x

1 1

3 45 1 4 3x x 2x

1 1

3 45 1 4 3x x 2x

9

Una diferencia de cuadrados es un binomio de la forma a 2 – b 2.

La factorización de una diferencia de cuadrados es a 2 – b 2 =(a + b)(a –b).

Esta técnica se aplica a polinomios que cumplan con los siguientes requisitos:

Que el polinomio sea un binomio.La operación es resta.Los términos se pueden escribir comocuadrados.

Diferencias de cuadradosDiferencias de cuadrados

10

Ejemplos:Ejemplos:Factorice completamente:Factorice completamente:

21. 36x

22. 16 9y

x x 6 6

y4 y4 3 3

x5 x5 3

1

3

12 13. 25

9x

11

y5

7y

5

7 8 8

4 4 5z 5z

4 5z 4 5z

9z 1 z

9z 1z

2494. 64

25y

25. 16 ( 5)z

12

Una diferencia de cubos es un binomio de laUna diferencia de cubos es un binomio de laformaforma aa3 3 – b– b33 ..

La factorización de una diferencia de cubos es;La factorización de una diferencia de cubos es;aa3 3 – b– b33 =(a – b)(a =(a – b)(a22 +ab + b +ab + b22))Una suma de cubos es un binomio de la formaUna suma de cubos es un binomio de la formaaa3 3 + b+ b33 ..

La factorización de una suma de cubos es;La factorización de una suma de cubos es;aa33 + b + b33 =(a + b)(a =(a + b)(a2 2 - ab + b- ab + b22))

Para aplicar esta técnica el polinomio debePara aplicar esta técnica el polinomio debe:Ser un binomio con términos cúbicosSer un binomio con términos cúbicosLa operación puede ser suma o restaLa operación puede ser suma o resta

La suma y la diferencia de cubos

13

Ejemplos: Factorice completamenteFactorice completamente

31. 8x x 2 2x x2 4

32. 27y y 32y y3 9

14

3 33. 64x y x4 y 216x xy4 2y

74. 4 4x x x4 6x 1

3x 1 3x 1

x 1 2x x 1 x 1 2x x 1

x4

x4

15

Para poder aplicar esta técnica el polinomio debe;Para poder aplicar esta técnica el polinomio debe;1.1. Ser un trinomio de forma cuadrática y estar en forma Ser un trinomio de forma cuadrática y estar en forma

descendente o ascendente de acuerdo a los exponentes.descendente o ascendente de acuerdo a los exponentes.2.2. No ser un polinomio primo.No ser un polinomio primo.

La técnica consiste en encontrar factores del La técnica consiste en encontrar factores del primer término y el último término que primer término y el último término que combinados bajo suma o resta produzcan el combinados bajo suma o resta produzcan el término del medio. término del medio. Si el primer y el último término tienen signosSi el primer y el último término tienen signosiguales la combinación de los factores se suma,iguales la combinación de los factores se suma,si son diferentes se resta. si son diferentes se resta.

El método de Tanteo para trinomios cuadráticos

16

Ejemplo: Factorice completamenteFactorice completamente

21. 3 2x x

22. 12x x

x x2 1

x x 34

17

23. 6 5 1x x

4 2 2 44. 20 7 6x x y y

x3 x2 1 1

25x 24x 23y22y

18

Generalmente esta técnica se aplica cuando elGeneralmente esta técnica se aplica cuando el

polinomio tiene cuatro términos o más.polinomio tiene cuatro términos o más.

Se utiliza en combinación con las otras Se utiliza en combinación con las otras

técnicas especialmente con la de factores técnicas especialmente con la de factores

comunes.comunes.

El método de agrupación

19

Ejemplo:Factorice completamenteFactorice completamente

3 21. 3 2 12 8x x x

33x 22x 812 x

2x x3 2 4 x3 2

x3 2 2x 4

20

x3 2 2x 4

x3 2 x x 2 2

21

2 2 2 22. 12 8 15 10x z y z x w y w

zx212 zy28 wx215 wy210 4 z 23x 22y 5 w 23x 22y

22 23 yx z4 w5

22

3. 6 3 2ax ay bx by

ayax 36 bybx 2

a3 x2 y b x2 y

yx 2 a3 b