5.factorizaciÓn polinomios. soluciones · factorizaciÓn de polinomios. soluciones 1. factoriza...

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. SOLUCIONES

1. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:

a) )4(282 −=− xx }4{=Raíz

b) )3(5155 −−=+− xx }3{=Raíz

c) )5(5255 −=− xx }5{=Raíz

d)

+=+4

134134 aa

−=

4

13Raíz

e)

−=−3

113113 xx

=

3

11Raíz

f)

+=

+=+2

56

6

156156 xxx

−=

2

5Raíz

g)

−−=

−−=+−3

89

9

249249 xxx

=3

8Raíz

h)

+=+6

12

3

12 xx

−=

6

1Raíz

i)

−−=+−20

18

5

28 xx

=

20

1Raíz

j) )2(363 2 −=− xxxx }2,0{=Raíces

k) )4(282 2 −−=+− xxxx }4,0{=Raíces

l) )3(5155 223 −=− xxxx }3 , (doble) 0{=Raíces

m)

−−=+−2

7272 2 xxxx

=

2

7Raiz

n)

−=−5

3535 334 xxxx

=

5

3 (triple), 0Raíces

o)

+=

+=+2

114

14

714714 2 xxxxxx

−=

2

1 , 0Raíces

p)

+=+6

7676 2 xxxx

−=

6

7Raiz

q) )4(3123 223 −−=+− xxxx }4 , (doble) 0{=Raíces

r) )2(242 223 +−=−− xxxx }2 , (doble) 0{ −=Raíces

s) )2(3

1

3

2

3

1 334 +=+ xxxx } 2 (triple), 0 { −=Raíces

2. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:

a) 1072 +− xx

1) Hallamos las raíces del polinomio

=⇒−=

=⇒+=

=±=±=−±=⋅

⋅⋅−−±=⇒=+−

22

37

52

37

2

37

2

97

2

40497

12

1014)7(70107

22

xx

xxxxx

2) Factorización: )2)(5(1072 −−=+− xxxx }2,5{=Raíces

b) 1872 −− xx


−=⇒−=

=⇒+=

=±=±=+±=⋅

−⋅⋅−−±=⇒=−−

22

117

92

117

2

117

2

1217

2

72497

12

)18(14)7(70187

22

xx

xxxxx

2) Factorización: )2)(9(1872 +−=−− xxxx }2,9{ −=Raíces

c) 963 2 −− xx


−=⇒−=

=⇒+=

=±=±=+±=⋅

−⋅⋅−−±=⇒=−−

16

126

36

126

6

126

6

1446

6

108366

32

)9(34)6(60963

22

xx

xxxxx

2) Factorización: )1)(3(3963 2 +−=−− xxxx }1,3{ −=Raíces

d) 253 2 +− xx

1) Hallamos las raíces del polinomi

=⇒=−=

=⇒+=

=±=±=−±=⋅

⋅⋅−−±=⇒=+−

3

2

6

4

6

15

16

15

6

15

6

15

6

24255

32

234)5(50253

22

xx

xx

xxx

2) Factorización:

−−=+−3

2)1(3253 2 xxxx

=

3

2 , 1Raíces

e) 32 2 ++ xx


realsolución tieneno4

235

4

2411

22

324)1(1032

22 =−±=−±−=

⋅⋅⋅−±−

=⇒=++ xxx

2) Factorización: )32( 2 ++ xx es irreducible

f) 202 −+ xx


−=⇒−−=

=⇒+−=

=±−=±−=+±−=⋅

−⋅⋅−±−=⇒=−+

52

91

42

91

2

91

2

811

2

8011

12

)20(14)1(1020

22

xx

xxxxx

2) Factorización: )5)(4(202 +−=−+ xxxx }5,4{ −=Raíces

g) 16 2 −+ xx


−=⇒−−=

=⇒+−=

=±−=±−=+±−=⋅

−⋅⋅−±−=⇒=−+

2

1

12

51

3

1

12

51

12

51

12

251

12

2411

62

)1(64)1(1016

22

xx

xx

xxx

2) Factorización:

+

−=−+2

1

3

1616 2 xxxx

−=

2

1 ,

3

1Raíces

h) 1572 2 −− xx


−=⇒−=

=⇒+=

=±=±=+±=⋅

−⋅⋅−−±=⇒=−−

2

3

4

137

54

137

4

137

4

1697

4

120497

22

)15(24)7(701572

22

xx

xxxxx

2) Factorización:

++=−−2

3)5(21572 2 xxxx

−=

2

3 , 5Raíces

i) 234 862 xxx ++−

1) Extraemos factor común 22x−

)43(2862 22234 −−−=++− xxxxxx

2) Hallamos las raíces de )43( 2 −− xx

−=⇒−=

=⇒+=

=±=±=+±=⋅

−⋅⋅−±=⇒=−−

12

53

42

53

2

53

2

253

2

1693

12

)4(14)3(3043

22

xx

xxxxx

3) Factorización: )1)(4(2)43(2862 222234 +−−=−−−=++− xxxxxxxxx }1,4 (doble), 0{ −=Raíces

j) xxx 4113 23 −−

1) Extraemos factor común “x ”

)4113(4113 223 −−=−− xxxxxx

2) Hallamos las raíces de )4113( 2 −− xx

−=⇒−=

=⇒+=

=±=

=±=+±=⋅

−⋅⋅−−±=⇒=−−

3

1

6

1311

46

1311

6

1311

6

16911

6

4812111

32

)4(34)11(1104113

22

xx

xx

xxx

3) Factorización:

+−=

+−⋅⋅=−−=−−3

1)4(4

3

1)4(4)4113(4113 223 xxxxxxxxxxxx

−=

3

1 , 0,4Raíces

k) 345 45396 xxx −−−

1) Extraemos factor común “3x ”

)45396(45396 23345 −−−=−−− xxxxxx

2) Hallamos las raíces de )45396( 2 −−− xx

−=⇒−

−=

−=⇒−

+==

−±=

=−±=

−−±=

−⋅−⋅−⋅−−±

=⇒=−−−

2

3

12

2139

512

2139

12

2139

12

44139

12

1080152139

)6(2

)45()6(4)39(39045396

22

xx

xx

xxx

3) Factorización:

++−=

++⋅−⋅=−−−=−−−2

3)5(6

2

3)5()6()45396(45396 3323345 xxxxxxxxxxxx

−−=

2

3 , 5 (triple), 0Raíces

l) xxx7

6

7

1

7

1 23 −+

1) Extraemos factor común “x7

1”

)6(7

1

7

6

7

1

7

1 223 −+=−+ xxxxxx

2) Hallamos las raíces de )6( 2 −+ xx

−=⇒−−=

=⇒+−=

=±−=

=±−=+±−=⋅

−⋅⋅−±−=⇒=−+

32

51

22

51

2

51

2

251

2

2411

12

)6(14)1(106

22

xx

xx

xxx

3) Factorización: )3)(2(7

1)6(

7

1

7

6

7

1

7

1 223 +−=−+=−+ xxxxxxxxx }3,2 ,0{ −=Raíces

2−

1−

3. Factoriza los siguientes polinomios:

a) 863 23 +−− xxx

Posibles raíces = {divisores de 8} = }8,4,2 ,1{ ±±±±

8 6 3 1 +−− 8 10 2 −+−

0 4 5 1 +− factor es )2( raíz es 2 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio

2 )45()2()( +−⋅+= xxxxP

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )45( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser

irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

)1)(4(45

12

2

42

8

2

35

2

16255045 22 −−=+−⇒

==

===±=−±=⇒=+− xxxx

x

xxxx

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

)1()4()2()45()2(863 223 −⋅−⋅+=+−⋅+=+−− xxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)1)(4)(2()( −−+= xxxxP

}1,4,2{−=Raíces

b) 1256 23 ++− xxx

Posibles raíces = {divisores de 12} = }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±

12 5 6 1 ++− 12 7 1 −+−


2 )127()1()(y +−⋅+= xxxxP



)3)(4(127

32

6

42

8

2

17

2

484970127 22 −−=+−⇒

==

===±=−±=⇒=+− xxxx

x

xxxx


)3()4()1()127()1(1256 223 −⋅−⋅+=+−⋅+=++− xxxxxxxxx

2

2

SOLUCIÓN

)3)(4)(1()( −−+= xxxxP

}3,4,2{−=Raíces

c) 1834 23 −−+ xxx

Posibles raíces = {divisores de – 18 } = }18,9,6,3,2 ,1{ ±±±±±±

18 3 4 1 −−+ 18 12 2 −++

0 9 6 1 ++ factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio

2 )96()2()(y ++⋅−= xxxxP

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )96( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser


222 )3(96

32

6

32

6

2

06

2

36366096 −=+−⇒

==

===±=−±=⇒=+− xxx

x

xxxx


2223 )3()2()96()2(1834 −⋅+=+−⋅+=−−+ xxxxxxxx

SOLUCIÓN

2)3)(2()( −+= xxxP

}(doble) 3,2{−=Raíces

d) 61132 23 −−+ xxx

Posibles raíces = {divisores de 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±

6 11 3 2 −−+ 6 14 4 +++


2 )372()2()(y ++⋅−= xxxxP



2

++=++⇒

−=−=

−=−==±−=−±−=⇒=++

2

1)3(2372

34

122

1

4

2

4

57

4

244970372 22 xxxx

x

xxxx


++⋅−=++⋅−=−−+2

1)3(2)2()372()2(61132 223 xxxxxxxxx

SOLUCIÓN

++−=2

1)3)(2(2)( xxxxP

−−=

2

1,3,2Raíces

e) 1243 23 −−+ xxx

Posibles raíces = {divisores de – 12}= }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±

12 4 3 1 −−+ 12 10 2 +++


2 )65()2()(y ++⋅−= xxxxP



)3)(2(65

32

6

22

4

2

15

2

24255065 22 ++=++⇒

−=−=

−=−==±−=−±−=⇒=++ xxxx

x

xxxx


)3)(2)(2()65()2(1243 223 ++−=++⋅−=−−+ xxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)3)(2)(2()( ++−= xxxxP

}3,2,2{ −−=Raíces

f) 18693 23 −−+ xxx

Podemos sacar factor común “3” )623(3 23 −−+→ xxx

Ahora continuamos factorizando )623( 23 −−+ xxx

Posibles raíces = {divisores de – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±

3−

3−

6 2 3 1 −−+ 6 0 3 +−

0 2 0 1 − factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ x

grado 2º de polinomio

2 )2()3()(y −⋅+= xxxP

Finalmente, para factorizar )2( 2 −x utilizamos las identidades notables (en concreto

22))(( BABABA −=+− ):

)2)(2()2( 2 +−=− xxx


)2)(2)(3(3)2)(3(3)623(318663 22323 +−+=−+=−−+=−−+ xxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)2)(2)(3(3)( +−+= xxxxP

}2,2,3{ −−=Raíces

g) 122332 23 +−− xxx


12 23 3 2 +−− 12 27 6 −+−


2 )492()3()(y +−⋅+= xxxxP



−−=+−⇒

==

===±=−±=⇒=+−

2

1)4(2492

2

1

4

2

44

16

4

79

4

328190492 22 xxxx

x

xxxx


−−+=

−−⋅+=+−⋅+=+−−2

1)4)(3(2

2

1)4(2)3()492()3(122332 223 xxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

−−+=2

1)4)(3(2)( xxxxP

−=

2

1,4,3Raíces

5−

1−

h) 1538236 23 −−+ xxx

Posibles raíces = {divisores de – 15} = }15,5,3,1{ ±±±±

15 38 23 6 −−+ 15 35 30 ++−

0 3 7 6 −− factor es )5( raíz es 5 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio

2 )376()3()(y −−⋅+= xxxxP

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )376( 2 −− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser


+

−=−−⇒

−=−=

===±=±=+±=⇒=−−

3

1

2

36376

3

1

12

42

3

12

18

12

117

12

1217

12

724970376 22 xxxx

x

xxxx


+

−+=

+

−⋅+=−−⋅+=−−+3

1

2

3)5(5

3

1

2

35)5()376()5(1538236 223 xxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

+

−+=3

1

2

3)5(6)( xxxxP

−−=

3

1,

2

3,5Raíces

i) 65 234 −−++ xxxx


(Es decir, hay 4 candidatos a raíces del polinomio y, en consecuencia, 4 candidatos a factores)

6 1 5 1 1 −−++

6 7 2 1 ++++

0 6 7 2 1 +++ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x )672()1()(y 23 −++⋅−= xxxxxP

6 1 1 −−−

0 6 1 1 ++ factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x grado 2º de polinomio

2 )6()1()1()(y ++⋅+⋅−= xxxxxP



)6( realsolución tieneno 2

231

2

241106 22 ++⇒⇒

−±−=−±−=⇒=++ xxxxx es irreducible

1

2


)6)(1)(1()672()1(65 223234 +++−=−++⋅−=−−++ xxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)6)(1)(1()( 2 +++−= xxxxxP

}1,1{ −=Raíces

j) 18911 234 ++−− xxxx



18 9 11 1 1 ++−−

18 9 2 1 −++−

0 18 9 2 1 +−− factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x )1892()1()(y 23 +−−⋅+= xxxxxP

18 0 2 −+

0 9 0 1 − factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x

grado 2º depolinomio

2 )9()2()1()(y −⋅−⋅+= xxxxP

Finalmente, para factorizar )9( 2 −x utilizamos las identidades notables (en concreto

22))(( BABABA −=+− ):

)3)(3()9( 2 +−=− xxx


)3)(3)(2)(1()9)(2)(1()1892()1(18911 223234 +−−+=−−+=+−−⋅+=++−− xxxxxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)3)(3)(2)(1()( +−−+= xxxxxP

}3,3,2,1{ −−=Raíces

k) 65 234 −+−+ xxxx



1−

3−

4−

6 1 5 1 1 −+−+

6 2 6 2 ++++

0 3 1 3 1 +++ factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x )33()2()(y 23 +++⋅−= xxxxxP

3 0 3 −−

0 1 0 1 + factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ x

grado 2º depolinomio

2 )1()3()2()(y ++⋅−= xxxxP

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )1( 2 +x (en caso de que las tenga, porque podría ser


)1( realsolución tieneno 1101 222 +⇒⇒−=⇒−=⇒=+ xxxx es irreducible


)1)(3)(2(65 2234 ++−=−+−+ xxxxxxx

SOLUCIÓN

l) 4119 234 −+−+ xxxx

Posibles raíces = {divisores de – 4} = }4,2 ,1{ ±±±


4 11 9 1 1 −+−+

4 7 2 1 +−++

0 4 7 2 1 +−+ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x )472()1()(y 23 +−+⋅−= xxxxxP

4 8 4 −+−

0 1 2 1 +− factor es )4( raíz es 4 +⇒−⇒ x grado 2º de polinomio

2 )12()4)(1()(y +−+−= xxxxxP



)1(12

1

1

2

02

2

02

2

442012 222 −=+−⇒

=±=±=−±=⇒=+− xxxxxx


)4()1(

)1)(4)(1()12)(4)(1()472)(1(41193

2223234

+−==−+−=+−+−=+−+−=−+−+

xx

xxxxxxxxxxxxxxx

)1)(3)(2()( 2 ++−= xxxxP

}3,2{ −=Raíces

2

1

5

SOLUCIÓN

)4()1()( 3 +−= xxxP

}4,(triple) 1{ −=Raíces

m) xxxx 206122 234 ++−

1º) Extraemos “2x” factor común y tenemos: )1036(2206122)( 23234 ++−⋅=++−= xxxxxxxxxP

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )1036()( 23 ++−= xxxxQ .

Posibles raíces = {divisores de – 10}= }10,5,2 ,1{ ±±±±

10 3 6 1 ++− 10 5 5 −−+

0 2 1 1 −− factor es )5( raíz es 5 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio

2 )2()5()(y −−⋅−= xxxxQ



)1)(2(2 1

2

2

22

4

2

31

2

91

2

81102 22 −−=−−⇒

−=−=

===±=±=+±=⇒=−− xxxx

x

xxxx

Luego, )1)(2)(5()1036()( 23 −−−=++−= xxxxxxxQ

3º) Por tanto,

)1)(2)(5(2)1036(2206122 23234 −−−=++−=++− xxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)1)(2)(5(2)( −−−= xxxxxP

}1,2,5,0{=Raíces

n) 2345 2222 xxxx ++−−

1º) Extraemos “ 22x− ” factor común y tenemos: )1(22222)( 2322345 −−+⋅−=++−−= xxxxxxxxxP

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )1()( 23 −−+= xxxxQ .

Posibles raíces = {divisores de – 1}=}1{±

1

1−

1 1 1 1 −−+ 1 2 1 +++ 0 1 2 1 ++ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x


2 )12()1()(y ++⋅−= xxxxQ



222 )1()1)(1(12 1

2

2

12

2

2

02

2

02

2

442012 −=−−=++⇒

−=−=

−=−==±−=±−=−±−=⇒=++ xxxxx

x

xxxx

Otra forma de factorizar )12( 2 ++ xx es darnos cuenta que es una identidad notable 22 )1(12 −=++ xxx

Luego, 3223 )1()1)(1()1()( −=−−=−−+= xxxxxxxQ

3º) Por tanto,

322322345 )1(2)1(22222 −−=−−+−=++−− xxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

32 )1(2)( −−= xxxP

}(triple) 1 (doble), 0{=Raíces

o) xxxx5

6

5

11

5

6

5

1 234 −−−−

1º) Extraemos “ x5

1− ” factor común y tenemos:

)6116(5

1

5

6

5

11

5

6

5

1)( 23234 +++⋅−=−−−−= xxxxxxxxxP

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )6116()( 23 +++= xxxxQ .


6 11 6 1 +++ 6 5 1 +−−

0 6 5 1 ++ factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio

2 )65()1()(y ++⋅+= xxxxQ

5



)3)(2(65 3

2

6

22

4

2

15

2

15

2

24255065 22 ++=++⇒

−=−=

−=−==±−=±−=−±−=⇒=++ xxxx

x

xxxx

Luego, )3)(2)(1()6116()( 23 +++=+++= xxxxxxxQ

3º) Por tanto,

)3)(2)(1(5

1)6116(

5

1

5

6

5

11

5

6

5

1 23234 +++−=+++−=−−−− xxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)3)(2)(1(5

1)( +++−= xxxxxP

}3,2,1,0{ −=Raíces

p) 2345 303110 xxxx −+−

1º) Extraemos “ 2x ” factor común y tenemos: )303110(303110)( 2322345 −+−⋅=−+−= xxxxxxxxxP

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )303110()( 23 −+−= xxxxQ .

Posibles raíces = {divisores de – 30}= }30,15,10,6,5,3,2,1{ ±±±±±±±±

30 31 0 1 1 −+− 30 25 5 +−+

0 6 5 1 +− factor es )5( raíz es 5 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio

2 )65()5()(y +−⋅−= xxxxQ



)3)(2(65 2

2

4

32

6

2

15

2

15

2

24255065 22 −−=+−⇒

==

===±=±=−±=⇒=+− xxxx

x

xxxx

Luego, )3)(2)(5()303110()( 23 −−−=−+−= xxxxxxxQ

3º) Por tanto,

)3)(2)(5()303110(303110 22322345 −−−=−+−=−+− xxxxxxxxxxxx

4−

SOLUCIÓN

)3)(2)(5()( 2 −−−= xxxxxP

}3,2,5, (doble) 0{=Raíces

q) 23456 2414132 xxxxx +−−+

1º) Extraemos “ 2x ” factor común y tenemos:

)2414132(2414132)( 234223456 +−−+⋅=+−−+= xxxxxxxxxxxP

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )2414132()( 234 +−−+= xxxxxQ .

Posibles raíces = {divisores de 24}= }24,12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±±


24 14 13 2 1 +−−+

24 10 3 1 −−++

0 24 10 3 1 −−+ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x )24103()1()(y 23 −−+⋅−= xxxxxQ

24 4 4 ++−

0 6 1 1 −− factor es )4( raíz es 4 +⇒−⇒ x grado 2º de polinomio

2 )6()4)(1()(y −−+−= xxxxxQ



)2)(3(6

2

3

2

51

2

251

2

241106 22 +−=−−⇒

−=±=±=+±=⇒=−− xxxxxxx


)3)(2)(4)(1()6)(4)(1(

)24103)(1()2414132(2414132222

232234223456

−++−=−−+−==−−+−=+−−+=+−−+

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)3)(2)(4)(1()( 2 −++−= xxxxxxP

}3,2,4,1, (doble) 0{ −−−=Raíces

r) xxxxxx 12164163284 23456 −−+++

s) 15476550172 23456 −−−−−+ xxxxxx

t) 34567 18012025305 xxxxx −−++

1

2

u) xxxxx 16812102 2345 +−−+−

1º) Extraemos “ x2− ” factor común y tenemos:

)8465(216812102)( 2342345 −++−⋅−=+−−+−= xxxxxxxxxxxP

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )8465()( 234 −++−= xxxxxQ .

Posibles raíces = {divisores de – 8}= }8,4,2 ,1{ ±±±±


8 4 6 5 1 −++−

8 0 6 2 +−+

0 4 0 3 1 +− factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x )43()2()(y 23 +−⋅−= xxxxQ

4 2 2 −−+

0 2 1 1 −− factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x grado 2º de polinomio

2 )2()2)(2()(y −−−−= xxxxxQ



)1)(2(2

1

2

2

31

2

91

2

81102 22 +−=−−⇒

−=±=±=+±=⇒=−− xxxxxxx

3º) Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

xxxxx 16812102 2345 +−−+−

)1()2(2)1)(2)(2)(2(2)2)(2)(2(2

)43)(2(2)8465(21681210232

232342345

+−−=+−−−−=−−−−−==+−−−=−++−−=+−−+−

xxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)1()2(2)( 3 +−−= xxxxP

}1, (triple) 2,0{ −=Raíces

v) )44()4( 22 ++⋅− xxx

Los dos polinomios son identidades notables.

� )2)(2(42 +−=− xxx

� 22 )2(44 −=++ xxx

Por tanto,

3222 )2)(2()2)(2)(2()44()4( +−=++−=++⋅− xxxxxxxx

2

w) )76()2510( 22 −+⋅++ xxxx

� 22 )5(2510 +=++ xxx

� ⇒

−=

==±−=±−=+±−=

⋅−⋅⋅−±−

=⇒=−+7

1

2

86

2

646

2

28366

12

)7(14)6(6076

22

x

xxxx

)7)(1(762 +−=−+⇒ xxxx

Por tanto,

)7)(1()5()76()2510( 222 +−+=−+⋅++ xxxxxxx

x) )43()23( 22 +−⋅++ xxxx

� ⇒

−=

−==±−=±−=−±−=

⋅⋅⋅−±−

=⇒=++2

1

2

13

2

13

2

893

12

)2(14)3(3023

22

x

xxxx

)2)(1(232 ++=++⇒ xxxx

� ⇒=−±−=⋅

⋅⋅−−±=⇒=+− realsolución tieneno

2

1693

12

)4(14)3(3043

22 xxx

)43( 2 +−⇒ xx es irreducible

Por tanto,

)43)(2)(1()43()23( 222 +−++=+−⋅++ xxxxxxxx

y) )1()36( 22 ++⋅+ xxx

Los dos polinomios son irreducibles

z) )352()25()42( 22 −+⋅+⋅− xxxx

� )2(2)42( −=− xx

� )5( 2 +x es irreducible

� ⇒

−=

==±−=±−=+±−=

⋅−⋅⋅−±−

=⇒=−+3

2

1

4

75

4

495

4

24255

22

)3(24)5(50352

22

x

xxxx

)3(2

12352 2 +

−=−+⇒ xxxx

Por tanto,

)25)(3(2

1)2(4)3(

2

12)25()2(2)352()25()42( 2222 ++

−−=+⋅

−⋅⋅+⋅−⋅=−+⋅+⋅− xxxxxxxxxxxx

4. Factoriza los siguientes polinomios extrayendo factor común y/o con ayuda de las identidades

notables:

a) 22 )8(6416 −=+− xxx

b) 2223 )4(5)168(580405 +=++=++ xxxxxxxx

c)

+

−=

+

−=−5

2

5

2

10

4

10

4

100

162 xxxxx

d) )43)(43(169 2 +−=− xxx

e) )4)(4(5)16(5805 22224 +−=−=− xxxxxxx

f) 2223 )6(2)3612(272242 +−=++−=−−− xxxxxxxx

g) 2323345 )3(2)96(218122 −=+−=+− xxxxxxxx

h) 2323345 )3(7

1)96(

7

1

7

9

7

6

7

1 −=+−=+− xxxxxxxx

i) )2)(2)(2()2)(2(4 2224 ++−=+−=− xxxxxx

j) )5)(5)(5(9)5)(5(9)25(92259 222224226 ++−=+−=−=− xxxxxxxxxxx

k) 2222234 )2(15)44(15606015 −−=+−−=−+− xxxxxxxx

l) 222 )1(4

5)12(

4

5

4

5

2

5

4

5 −=+−=+− xxxxx

m) 222 )1(3)12(3363 −=+−=+− xxxxx

n) 2223 )4(3)168(348243 +−=++−=−−− xxxxxxxx

o) )9)(3)(3(5)9)(9(5)81(54055 22245 ++−−=+−−=−−=+− xxxxxxxxxxx

p) )4)(2)(2()4)(4(16 2224 ++−=+−=− xxxxxx

q) )2)(2(5

3)4(

5

3

5

12

5

3 24 +−=−=− xxxx

r) )8)(8)(8(5)8)(8(5)64(53205 22244 ++−−=+−−=−−=+− xxxxxxxxxxx

s) )1)(1)(1()1)(1(1 2224 ++−=+−=− xxxxxx

t) )16)(4)(2)(2()16)(4)(4()16)(16(256 42422448 +++−=++−=+−=− xxxxxxxxxx

u) )5)(5(2)25(2502 22224 +−=−=− xxxxxxx

v) )1)(1(1 23 ++−=− xxxx

w) )1)(1(1 23 +−+=+ xxxx

x) )42)(2(8 23 ++−=− xxxx

y) )42)(2(8 23 +−+=+ xxxx

z) )42)(2(2 33233 ++−=− xxxx

aa) )255)(5(5 33233 +−+=+ xxxx

bb) )1)(1)(1)(1()1)(1(1 22336 +−−++−=+−=− xxxxxxxxx

cc) )42)(2)(42)(2()8)(8(64 22336 +−−++−=+−=− xxxxxxxxx

dd) )255)(5(2)125(22502 234 +−+=+=+ xxxxxxxx

ee) 2222234 )5(5)2510(5125505 +−=++−=−−− xxxxxxxx

ff) )16(2322 23 +=+ xxxx

5. Factoriza completamente los siguientes polinomios:

a) )1()5)(2)(2()1()2510()16( 22222 +−+−=+⋅+−⋅− xxxxxxxx

Los dos primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible

b) =+−⋅+− )22()45( 32 xxxx

� ⇒

=−=

=+==±=±=−±=

⋅⋅⋅−±

=⇒=+−1

2

35

42

35

2

35

2

95

2

16255

12

)4(14)5(5045

22

x

xxxx

)1)(4(452 −−=+−⇒ xxxx

� )1)(1(2)1(222 23 +−−=−−=+− xxxxxxx

Por tanto,

)1)(4()1(2)1)(1)(2)(1)(4()22()45( 232 +−−−=+−−−−=+−⋅+− xxxxxxxxxxxxx

c) =+−−+−=−⋅+−⋅− )5)(5()4)(1)(1()25()168()1( 222422 xxxxxxxxx

)5)(5)(5()4)(1)(1( 22 ++−−+−= xxxxxx

Para factorizar los tres polinomios utilizamos las identidades notables.

d) =−+⋅+⋅− )87()4()4( 222 xxxx

� )2)(2(42 +−=− xxx

� 42 +x

Es irreducible

� ⇒

−==

=±−=±−=+±−=⋅

−⋅⋅−±−=⇒=−+

8

1

2

97

2

817

2

32497

12

)8(14)7(7087

22

x

xxxx

)8)(1(872 +−=−+⇒ xxxx

Por tanto,

)8)(1)(4)(2)(2()87()4()4( 2222 +−++−=−+⋅+⋅− xxxxxxxxx

e) =+−⋅+−⋅+ )96()56()1( 222 xxxxx

� )1( 2 +x

es irreducible

� ⇒

==

=±=±=−±=⋅

⋅⋅−−±=⇒=+−

1

5

2

46

2

166

2

20366

12

514)6(6056

22

x

xxxx

)5)(1(562 −−=+−⇒ xxxx

� 22 )3(96 −=+− xxx

Identidad notable

Por tanto,

22222 )3)(5)(1)(1()96()56()1( −−−+=+−⋅+−⋅+ xxxxxxxxx

f) =−⋅+− )49()753( 435 xxx

� )5)(5(3)25(3753 32335 +−−=−−=+− xxxxxxx

� )7)(7)(7()7)(7(49 2224 ++−=+−=− xxxxxx

Por tanto,

)7)(7)(7)(5)(5(3)49)(753( 23435 ++−+−−=−+− xxxxxxxxx

g) =−⋅++⋅+− )25()1()84( 22 xxxx

� )2(484 −−=+− xx

� 12 ++ xx

Es irreducible

realsolución tieneno 2

31

2

411

12

114)1(101

22 ⇒

−±−=−±−=⋅

⋅⋅−±−=⇒=++ xxx

� )5)(5()5)(5(25 2 +−−=+−=−⇒ xxxxx

Por tanto,

)5)(5)(1)(2(4)]5)(5()[1)(2(4)25()1()84( 2222 +−++−=+−−++−−=−⋅++⋅+− xxxxxxxxxxxxxx

h) =−⋅−⋅− )5()16()16( 242 xxx

� )4)(4()4)(5(16 2 +−−=+−=− xxxxx

� )4)(2)(2()4)(4(16 2224 ++−=+−=− xxxxxx

� )5)(5()5)(5(5 2 +−−=+−=− xxxxx

Por tanto,

)5)(5)(4)(2)(2)(4)(4(

)]5)(5()[4)(2)(2)(4)(4()5()16()16(2

2242

+−++−+−=

=+−−++−+−−=−⋅−⋅−

xxxxxxx

xxxxxxxxxx

i) =−+−⋅+− )363()4914( 22 xxxx

� 22 )7(4914 −=+− xxx

� 222 )1(3)12(3363 −−=+−−=−+− xxxxx

Por tanto,

222222 )1()7(3)1)(3()7()363()4914( −−−=−−−=−+−⋅+− xxxxxxxx

j) =+⋅++⋅− )66()1213()5( 22 xxxx

� )5)(5(52 +−=− xxx

� ⇒

−

−

=±−=−±−=⋅

⋅⋅−±−=⇒=++

12

1

2

1113

2

4816913

12

1214)13(1301213

22 xxx

)12)(1(12132 ++=++⇒ xxxx

� )1(666 +=+ xx

Por tanto,

)12()1)(5)(5(6)1(6)12)(1)(5)(5()66()1213()5( 222 +++−=++++−=+⋅++⋅− xxxxxxxxxxxxx

6. Halla el m.c.d. y el m.c.m. de:

a) )2()1()( 2 +−= xxxP

y )3)(2)(1()( −+−= xxxxQ

)2)(1(... +−= xxdcm

)3)(2()1(... 2 −+−= xxxmcm

b) )2)(1()( +−= xxxP

y 2)2)(1()( −−= xxxQ

)1(... −= xdcm

2)2)(2)(1(... −+−= xxxmcm

c) )1()3(6)( 22 ++= xxxP

y )1()3(10)( 2 −+= xxxQ

2)3(2... += xdcm

)1)(1()3(30... 22 −++= xxxmcm

d) )3()5(2)( 2 ++−= xxxP 23 )3()5(8)( ++= xxxQ

y )2)(3()5(12)( 2 −++= xxxxR

)3()5(2... 2 ++= xxdcm

)2()3()5(24... 23 −++= xxxmcm

e) )3)(2()( −+= xxxP )3)(2()( ++= xxxQ

y )3)(2()( +−= xxxR

1... =dcm

)3)(3)(2)(2(... +−−+= xxxxmcm

f) 1)( 2 −= xxP

y 65)( 2 −+= xxxQ

� Factorizamos los polinomios:

)1)(1(1)( 2 +−=−= xxxxP

)6)(1(65)( 2 +−=−+= xxxxxQ

)6)(1(65

6

1

2

75

2

24255065 22 +−=−+⇒

−=±−=+±−=⇒=−+ xxxxxxx

� Por tanto,

)1(... −= xdcm

)6)(1)(1(... +−+= xxxmcm

1

1−

g) 87)( 2 −+= xxxP

y 1)( 3 −= xxQ


• )8)(1(87)( 2 +−=−+= xxxxxP

)8)(1(87

8

1

2

97

2

32497087 22 +−=−+⇒

−=±−=+±−=⇒=−+ xxxxxxx

• )1)(1(1)( 23 ++−=−= xxxxxQ

1 0 0 1 − 1 1 1 +++ 0 1 1 1 ++ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x

43421


2 )1()1()(y ++⋅−= xxxxQ

eirreduciblesxxxxx 1 realsolución tieneno 2

31

2

41101 22 ++⇒⇒

−±−=−±−=⇒=++

� Por tanto,

)1(... −= xdcm

)1)(8)(1(... 2 +++−= xxxxmcm

h) 16)( 4 −= xxP

y 44)( 2 +−= xxxQ


)4)(2)(2()4)(4(16)( 2224 ++−=+−=−= xxxxxxxP 22 )2(44)( −=+−= xxxxQ

� Por tanto,

)2(... −= xdcm

)4)(2()2(... 22 ++−= xxxmcm

i) 1)( 3 += xxP

y 544)( 23 +−+= xxxxQ


• )1)(1(1)( 23 +−+=+= xxxxxP

1 0 0 1 + 1 1 1 −+− 0 1 1 1 +− factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x

43421


2 )1()1()(y +−⋅+= xxxxP

5−


31

2

41101 22 +−⇒⇒

−±=−±=⇒=+−

• )1)(5(544)( 223 +−+=+−+= xxxxxxxP

5 4 4 1 +−+ 5 5 5 −+− 0 1 1 1 +− factor es )5( raíz es 5 +⇒−⇒ x

43421


2 )1()5()(y +−⋅+= xxxxQ


31

2

41101 22 +−⇒⇒

−±=−±=⇒=+−

� Por tanto,

1... 2 +−= xxdcm

)1)(1)(5(... 2 +−++= xxxxmcm

5.factorizaciÓn polinomios. soluciones · factorizaciÓn de polinomios. soluciones 1. factoriza...

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