5.factorización polinomios. soluciones · pdf filefactorización de polinomios....
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FACTORIZACIN DE POLINOMIOS. SOLUCIONES
1. Factoriza los siguientes polinomios e indica las races en cada caso:
a) )4(282 = xx }4{=Raz
b) )3(5155 =+ xx }3{=Raz
c) )5(5255 = xx }5{=Raz
d)
+=+4
134134 aa
=
4
13Raz
e)
=3
113113 xx
=
3
11Raz
f)
+=
+=+2
56
6
156156 xxx
=
2
5Raz
g)
=
=+3
89
9
249249 xxx
=
3
8Raz
h)
+=+6
12
3
12 xx
=
6
1Raz
i)
=+20
18
5
28 xx
=
20
1Raz
j) )2(363 2 = xxxx }2,0{=Races
k) )4(282 2 =+ xxxx }4,0{=Races
l) )3(5155 223 = xxxx }3 , (doble) 0{=Races
m)
=+2
7272 2 xxxx
=
2
7Raiz
n)
=5
3535 334 xxxx
=
5
3 (triple), 0Races
o)
+=
+=+2
114
14
714714 2 xxxxxx
=
2
1 , 0Races
p)
+=+6
7676 2 xxxx
=
6
7Raiz
q) )4(3123 223 =+ xxxx }4 , (doble) 0{=Races
r) )2(242 223 += xxxx }2 , (doble) 0{ =Races
s) )2(3
1
3
2
3
1 334 +=+ xxxx } 2 (triple), 0 { =Races
2. Factoriza los siguientes polinomios e indica las races en cada caso:
a) 1072 + xx
1) Hallamos las races del polinomio
==
=+=====
==+2
2
37
52
37
2
37
2
97
2
40497
12
1014)7(70107
22
xx
xxxxx
2) Factorizacin: )2)(5(1072 =+ xxxx }2,5{=Races
b) 1872 xx
1) Hallamos las races del polinomio
==
=+====+=
==2
2
117
92
117
2
117
2
1217
2
72497
12
)18(14)7(70187
22
xx
xxxxx
2) Factorizacin: )2)(9(1872 += xxxx }2,9{ =Races
c) 963 2 xx
1) Hallamos las races del polinomio
==
=+====+=
==1
6
126
36
126
6
126
6
1446
6
108366
32
)9(34)6(60963
22
xx
xxxxx
2) Factorizacin: )1)(3(3963 2 += xxxx }1,3{ =Races
d) 253 2 + xx
1) Hallamos las races del polinomi
===
=+=====
==+
3
2
6
4
6
15
16
15
6
15
6
15
6
24255
32
234)5(50253
22
xx
xx
xxx
2) Factorizacin:
=+3
2)1(3253 2 xxxx
=
3
2 , 1Races
e) 32 2 ++ xx
1) Hallamos las races del polinomio
realsolucin tieneno4
235
4
2411
22
324)1(1032
22 ===
==++ xxx
2) Factorizacin: )32( 2 ++ xx es irreducible
f) 202 + xx
1) Hallamos las races del polinomio
==
=+====+=
==+5
2
91
42
91
2
91
2
811
2
8011
12
)20(14)1(1020
22
xx
xxxxx
2) Factorizacin: )5)(4(202 +=+ xxxx }5,4{ =Races
g) 16 2 + xx
1) Hallamos las races del polinomio
==
=+====+=
==+
2
1
12
51
3
1
12
51
12
51
12
251
12
2411
62
)1(64)1(1016
22
xx
xx
xxx
2) Factorizacin:
+
=+2
1
3
1616 2 xxxx
=
2
1 ,
3
1Races
h) 1572 2 xx
1) Hallamos las races del polinomio
==
=+====+=
==
2
3
4
137
54
137
4
137
4
1697
4
120497
22
)15(24)7(701572
22
xx
xxxxx
2) Factorizacin:
++=2
3)5(21572 2 xxxx
=
2
3 , 5Races
i) 234 862 xxx ++
1) Extraemos factor comn 22x )43(2862 22234 =++ xxxxxx
2) Hallamos las races de )43( 2 xx
==
=+====+=
==1
2
53
42
53
2
53
2
253
2
1693
12
)4(14)3(3043
22
xx
xxxxx
3) Factorizacin: )1)(4(2)43(2862 222234 +==++ xxxxxxxxx }1,4 (doble), 0{ =Races
j) xxx 4113 23
1) Extraemos factor comn x
)4113(4113 223 = xxxxxx
2) Hallamos las races de )4113( 2 xx
==
=+===
==+=
==
3
1
6
1311
46
1311
6
1311
6
16911
6
4812111
32
)4(34)11(1104113
22
xx
xx
xxx
3) Factorizacin:
+=
+==3
1)4(4
3
1)4(4)4113(4113 223 xxxxxxxxxxxx
=
3
1 , 0,4Races
k) 345 45396 xxx
1) Extraemos factor comn 3x
)45396(45396 23345 = xxxxxx
2) Hallamos las races de )45396( 2 xx
=
=
=
+==
=
==
=
==
2
3
12
2139
512
2139
12
2139
12
44139
12
1080152139
)6(2
)45()6(4)39(39045396
22
xx
xx
xxx
3) Factorizacin:
++=
++==2
3)5(6
2
3)5()6()45396(45396 3323345 xxxxxxxxxxxx
=
2
3 , 5 (triple), 0Races
l) xxx7
6
7
1
7
1 23 +
1) Extraemos factor comn x7
1
)6(7
1
7
6
7
1
7
1 223 +=+ xxxxxx
2) Hallamos las races de )6( 2 + xx
==
=+===
==+=
==+
32
51
22
51
2
51
2
251
2
2411
12
)6(14)1(106
22
xx
xx
xxx
3) Factorizacin: )3)(2(7
1)6(
7
1
7
6
7
1
7
1 223 +=+=+ xxxxxxxxx }3,2 ,0{ =Races
2
1
3. Factoriza los siguientes polinomios:
a) 863 23 + xxx
Posibles races = {divisores de 8} = }8,4,2 ,1{
8 6 3 1 + 8 10 2 + 0 4 5 1 + factor es )2( raz es 2 + x
grado 2 de polinomio
2 )45()2()( ++= xxxxP
Finalmente, para buscar las races y factorizar )45( 2 + xx (en caso de que las tenga, porque podra ser
irreducible) resolvemos la ecuacin de 2 grado:
)1)(4(45
12
2
42
8
2
35
2
16255045 22 =+
==
======+ xxxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)1()4()2()45()2(863 223 +=++=+ xxxxxxxxx
SOLUCIN
)1)(4)(2()( += xxxxP
}1,4,2{=Races
b) 1256 23 ++ xxx
Posibles races = {divisores de 12} = }12,6,4,3,2 ,1{
12 5 6 1 ++ 12 7 1 + 0 12 7 1 + factor es )1( raz es 1 + x
grado 2 de polinomio
2 )127()1()(y ++= xxxxP
Finalmente, para buscar las races y factorizar )127( 2 + xx (en caso de que las tenga, porque podra ser
irreducible) resolvemos la ecuacin de 2 grado:
)3)(4(127
32
6
42
8
2
17
2
484970127 22 =+
==
======+ xxxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
)3()4()1()127()1(1256 223 +=++=++ xxxxxxxxx
2
2
SOLUCIN
)3)(4)(1()( += xxxxP
}3,4,2{=Races
c) 1834 23 + xxx
Posibles races = {divisores de 18 } = }18,9,6,3,2 ,1{
18 3 4 1 + 18 12 2 ++ 0 9 6 1 ++ factor es )2( raz es 2 x
grado 2 de polinomio
2 )96()2()(y ++= xxxxP
Finalmente, para buscar las races y factorizar )96( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podra ser
irreducible) resolvemos la ecuacin de 2 grado:
222 )3(96
32
6
32
6
2
06
2
36366096 =+
==
======+ xxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
2223 )3()2()96()2(1834 +=++=+ xxxxxxxx
SOLUCIN
2)3)(2()( += xxxP
}(doble) 3,2{=Races
d) 61132 23 + xxx
Posibles races = {divisores de 6} = }6,3,2 ,1{
6 11 3 2 + 6 14 4 +++ 0 3 7 2 ++ factor es )2( raz es 2 x
grado 2 de polinomio
2 )372()2()(y ++= xxxxP
Finalmente, para buscar las races y factorizar )372( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podra ser
irreducible) resolvemos la ecuacin de 2 grado:
2
++=++
==
======++
2
1)3(2372
34
122
1
4
2
4
57
4
244970372 22 xxxx
x
xxxx
Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,
++=++=+2
1)3(2)2()372()2(61132 223 xxxxxxxxx
SOLUCIN
++=2
1)3)(2(2)( xxxxP
=
2
1,3,2Races
e) 1243 23 + xxx
Posibles races = {divisores de 12}= }12,6,4,3,2 ,1{
12 4 3 1 + 12