5.factorización polinomios. soluciones · pdf filefactorización de polinomios....

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  • FACTORIZACIN DE POLINOMIOS. SOLUCIONES

    1. Factoriza los siguientes polinomios e indica las races en cada caso:

    a) )4(282 = xx }4{=Raz

    b) )3(5155 =+ xx }3{=Raz

    c) )5(5255 = xx }5{=Raz

    d)

    +=+4

    134134 aa

    =

    4

    13Raz

    e)

    =3

    113113 xx

    =

    3

    11Raz

    f)

    +=

    +=+2

    56

    6

    156156 xxx

    =

    2

    5Raz

    g)

    =

    =+3

    89

    9

    249249 xxx

    =

    3

    8Raz

    h)

    +=+6

    12

    3

    12 xx

    =

    6

    1Raz

    i)

    =+20

    18

    5

    28 xx

    =

    20

    1Raz

    j) )2(363 2 = xxxx }2,0{=Races

    k) )4(282 2 =+ xxxx }4,0{=Races

    l) )3(5155 223 = xxxx }3 , (doble) 0{=Races

    m)

    =+2

    7272 2 xxxx

    =

    2

    7Raiz

    n)

    =5

    3535 334 xxxx

    =

    5

    3 (triple), 0Races

    o)

    +=

    +=+2

    114

    14

    714714 2 xxxxxx

    =

    2

    1 , 0Races

    p)

    +=+6

    7676 2 xxxx

    =

    6

    7Raiz

    q) )4(3123 223 =+ xxxx }4 , (doble) 0{=Races

    r) )2(242 223 += xxxx }2 , (doble) 0{ =Races

    s) )2(3

    1

    3

    2

    3

    1 334 +=+ xxxx } 2 (triple), 0 { =Races

  • 2. Factoriza los siguientes polinomios e indica las races en cada caso:

    a) 1072 + xx

    1) Hallamos las races del polinomio

    ==

    =+=====

    ==+2

    2

    37

    52

    37

    2

    37

    2

    97

    2

    40497

    12

    1014)7(70107

    22

    xx

    xxxxx

    2) Factorizacin: )2)(5(1072 =+ xxxx }2,5{=Races

    b) 1872 xx

    1) Hallamos las races del polinomio

    ==

    =+====+=

    ==2

    2

    117

    92

    117

    2

    117

    2

    1217

    2

    72497

    12

    )18(14)7(70187

    22

    xx

    xxxxx

    2) Factorizacin: )2)(9(1872 += xxxx }2,9{ =Races

    c) 963 2 xx

    1) Hallamos las races del polinomio

    ==

    =+====+=

    ==1

    6

    126

    36

    126

    6

    126

    6

    1446

    6

    108366

    32

    )9(34)6(60963

    22

    xx

    xxxxx

    2) Factorizacin: )1)(3(3963 2 += xxxx }1,3{ =Races

    d) 253 2 + xx

    1) Hallamos las races del polinomi

    ===

    =+=====

    ==+

    3

    2

    6

    4

    6

    15

    16

    15

    6

    15

    6

    15

    6

    24255

    32

    234)5(50253

    22

    xx

    xx

    xxx

    2) Factorizacin:

    =+3

    2)1(3253 2 xxxx

    =

    3

    2 , 1Races

    e) 32 2 ++ xx

    1) Hallamos las races del polinomio

    realsolucin tieneno4

    235

    4

    2411

    22

    324)1(1032

    22 ===

    ==++ xxx

    2) Factorizacin: )32( 2 ++ xx es irreducible

  • f) 202 + xx

    1) Hallamos las races del polinomio

    ==

    =+====+=

    ==+5

    2

    91

    42

    91

    2

    91

    2

    811

    2

    8011

    12

    )20(14)1(1020

    22

    xx

    xxxxx

    2) Factorizacin: )5)(4(202 +=+ xxxx }5,4{ =Races

    g) 16 2 + xx

    1) Hallamos las races del polinomio

    ==

    =+====+=

    ==+

    2

    1

    12

    51

    3

    1

    12

    51

    12

    51

    12

    251

    12

    2411

    62

    )1(64)1(1016

    22

    xx

    xx

    xxx

    2) Factorizacin:

    +

    =+2

    1

    3

    1616 2 xxxx

    =

    2

    1 ,

    3

    1Races

    h) 1572 2 xx

    1) Hallamos las races del polinomio

    ==

    =+====+=

    ==

    2

    3

    4

    137

    54

    137

    4

    137

    4

    1697

    4

    120497

    22

    )15(24)7(701572

    22

    xx

    xxxxx

    2) Factorizacin:

    ++=2

    3)5(21572 2 xxxx

    =

    2

    3 , 5Races

    i) 234 862 xxx ++

    1) Extraemos factor comn 22x )43(2862 22234 =++ xxxxxx

    2) Hallamos las races de )43( 2 xx

    ==

    =+====+=

    ==1

    2

    53

    42

    53

    2

    53

    2

    253

    2

    1693

    12

    )4(14)3(3043

    22

    xx

    xxxxx

    3) Factorizacin: )1)(4(2)43(2862 222234 +==++ xxxxxxxxx }1,4 (doble), 0{ =Races

  • j) xxx 4113 23

    1) Extraemos factor comn x

    )4113(4113 223 = xxxxxx

    2) Hallamos las races de )4113( 2 xx

    ==

    =+===

    ==+=

    ==

    3

    1

    6

    1311

    46

    1311

    6

    1311

    6

    16911

    6

    4812111

    32

    )4(34)11(1104113

    22

    xx

    xx

    xxx

    3) Factorizacin:

    +=

    +==3

    1)4(4

    3

    1)4(4)4113(4113 223 xxxxxxxxxxxx

    =

    3

    1 , 0,4Races

    k) 345 45396 xxx

    1) Extraemos factor comn 3x

    )45396(45396 23345 = xxxxxx

    2) Hallamos las races de )45396( 2 xx

    =

    =

    =

    +==

    =

    ==

    =

    ==

    2

    3

    12

    2139

    512

    2139

    12

    2139

    12

    44139

    12

    1080152139

    )6(2

    )45()6(4)39(39045396

    22

    xx

    xx

    xxx

    3) Factorizacin:

    ++=

    ++==2

    3)5(6

    2

    3)5()6()45396(45396 3323345 xxxxxxxxxxxx

    =

    2

    3 , 5 (triple), 0Races

    l) xxx7

    6

    7

    1

    7

    1 23 +

    1) Extraemos factor comn x7

    1

    )6(7

    1

    7

    6

    7

    1

    7

    1 223 +=+ xxxxxx

  • 2) Hallamos las races de )6( 2 + xx

    ==

    =+===

    ==+=

    ==+

    32

    51

    22

    51

    2

    51

    2

    251

    2

    2411

    12

    )6(14)1(106

    22

    xx

    xx

    xxx

    3) Factorizacin: )3)(2(7

    1)6(

    7

    1

    7

    6

    7

    1

    7

    1 223 +=+=+ xxxxxxxxx }3,2 ,0{ =Races

  • 2

    1

    3. Factoriza los siguientes polinomios:

    a) 863 23 + xxx

    Posibles races = {divisores de 8} = }8,4,2 ,1{

    8 6 3 1 + 8 10 2 + 0 4 5 1 + factor es )2( raz es 2 + x

    grado 2 de polinomio

    2 )45()2()( ++= xxxxP

    Finalmente, para buscar las races y factorizar )45( 2 + xx (en caso de que las tenga, porque podra ser

    irreducible) resolvemos la ecuacin de 2 grado:

    )1)(4(45

    12

    2

    42

    8

    2

    35

    2

    16255045 22 =+

    ==

    ======+ xxxx

    x

    xxxx

    Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

    )1()4()2()45()2(863 223 +=++=+ xxxxxxxxx

    SOLUCIN

    )1)(4)(2()( += xxxxP

    }1,4,2{=Races

    b) 1256 23 ++ xxx

    Posibles races = {divisores de 12} = }12,6,4,3,2 ,1{

    12 5 6 1 ++ 12 7 1 + 0 12 7 1 + factor es )1( raz es 1 + x

    grado 2 de polinomio

    2 )127()1()(y ++= xxxxP

    Finalmente, para buscar las races y factorizar )127( 2 + xx (en caso de que las tenga, porque podra ser

    irreducible) resolvemos la ecuacin de 2 grado:

    )3)(4(127

    32

    6

    42

    8

    2

    17

    2

    484970127 22 =+

    ==

    ======+ xxxx

    x

    xxxx

    Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

    )3()4()1()127()1(1256 223 +=++=++ xxxxxxxxx

  • 2

    2

    SOLUCIN

    )3)(4)(1()( += xxxxP

    }3,4,2{=Races

    c) 1834 23 + xxx

    Posibles races = {divisores de 18 } = }18,9,6,3,2 ,1{

    18 3 4 1 + 18 12 2 ++ 0 9 6 1 ++ factor es )2( raz es 2 x

    grado 2 de polinomio

    2 )96()2()(y ++= xxxxP

    Finalmente, para buscar las races y factorizar )96( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podra ser

    irreducible) resolvemos la ecuacin de 2 grado:

    222 )3(96

    32

    6

    32

    6

    2

    06

    2

    36366096 =+

    ==

    ======+ xxx

    x

    xxxx

    Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

    2223 )3()2()96()2(1834 +=++=+ xxxxxxxx

    SOLUCIN

    2)3)(2()( += xxxP

    }(doble) 3,2{=Races

    d) 61132 23 + xxx

    Posibles races = {divisores de 6} = }6,3,2 ,1{

    6 11 3 2 + 6 14 4 +++ 0 3 7 2 ++ factor es )2( raz es 2 x

    grado 2 de polinomio

    2 )372()2()(y ++= xxxxP

    Finalmente, para buscar las races y factorizar )372( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podra ser

    irreducible) resolvemos la ecuacin de 2 grado:

  • 2

    ++=++

    ==

    ======++

    2

    1)3(2372

    34

    122

    1

    4

    2

    4

    57

    4

    244970372 22 xxxx

    x

    xxxx

    Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

    ++=++=+2

    1)3(2)2()372()2(61132 223 xxxxxxxxx

    SOLUCIN

    ++=2

    1)3)(2(2)( xxxxP

    =

    2

    1,3,2Races

    e) 1243 23 + xxx

    Posibles races = {divisores de 12}= }12,6,4,3,2 ,1{

    12 4 3 1 + 12