Factorizacin de polinomios Profa. Anneliesse Snchez y Profa. Caroline Rodriguez
Departamento de Matemticas
Universidad de Puerto Rico
Definicin Cuando multiplicamos expresiones
polinmicas, cada expresin se conoce como
un factor.
Ejemplo:
(x 2)(x + 2) = 2 4, por lo que (x 2) y (x + 2) son factores de 2 4.
El proceso de expresar un polinomio como el
producto de otros polinomios se conoce como
factorizacin.
La factorizacin es el proceso que invierte la
multiplicacin.
Cuando multiplicamos, obtenemos un nico resultado.
Sin embargo, puede haber varias formas de factorizar
un nmero.
Ejemplo: Escriba factorizaciones para 24
24 = (8)(3)
24 = (12)(2)
24 = (6)(4)
24 = (4)(2)(3)
24 = (6)(2)(2)
Esta ltima es la
factorizacin prima de
24, lo que significa que el
nmero ya no se puede
seguir factorizando.
24 = (2)(2)(2)(3)
Ejemplo numrico
Al igual que los nmeros, los polinomios se pueden
factorizar de varias formas.
Ejemplo: Escriba factorizaciones para 32 + 12x
32 + 12 = 3( + 4) 32 + 12 = 3 (2 + 4) 32 + 12 = x(3 + 12)
32 + 12 = 1
2(6 + 24)
La primera forma se conoce
como factorizacin por
factores irreducibles, por
que los factores 3x y x+4 no
se pueden factorizar ms.
Polinomio irreducible
Decimos que un polinomio est completamente
factorizado si
se expresa como el producto de polinomios
con coeficientes enteros.
todos los polinomios que forman la
factorizacin son irreducibles
+ = ( + )
FACTORIZACION POR FACTOR COMUN
Factorizacin de polinomios
Factorizacin de factor comn
La factorizacin ms simple se basa en la
propiedad distributiva.
ab + ac = a(b + c)
Este tipo de factorizacin, remueve el
mximo comn divisor de todos los
trminos.
Ejemplo: Factorice completamente
3b3 5b2c + 6b2
Mximo comn divisor
Por el mximo comn divisor de dos o ms monomios", se compone del
mximo comn divisor de los coeficientes
y la potencia mayor de las variables que son comunes a todos los monomios dados.
Ejemplo Determinar mcd(8x2, 12x3) =
Solucin:
Determinar mcd(24x5, 40x3) =
Solucin:
Factorice cada polinomio mediante factor comn.
22pq 33qr
7xy 14xy2 + 21x2y
20w3z4 25w4z7 15 w5z3
Factores binomiales Hay casos en los cuales el factor comn no es un monomio, sino que tiene ms de un trmino.
Ejemplo: + 2 + 3( + 2)
En este caso los dos trminos comparten un binomio en comn (y+2)
Factores binomiales Factorice los polinomios:
+ 2 + 3( + 2)
3( ) 5( )
Factores binomiales
Ejemplo: Factorice completamente 12( + 5) 152( + 5) + 32 ( + 5)
Factores binomiales caso especial
Ejemplo: Factorice el polinomio: 2x(ab) + 5(ba)
Factorizacin por agrupacin
Tcnica que consiste en agrupar dos o ms
trminos del polinomio usando algn
criterio; por ejemplo, un criterio puede ser:
agrupar dos o ms trminos que tengan
algn factor comn.
Ejemplo:
bcacba 362
Note que entre los
primeros dos trminos hay
un factor de 2 en comn,
mientras que en los
ltimos dos hay un factor
de c en comn.
Factorizacin por agrupacin
)ba(c)ba(:osfactorizam,Luego 332
bcacba :Factorice 362
Al examinar, se observa que hay un binomio
comn a ambos trminos: (a 3b)
))(3( ba
)bcac()ba( :agrupamos Primero 362
Volvemos a factorizar removiendo el factor
comn binomial (a 3b)
2(a 3b) + c(a 3b) = c2
Factorizacin por agrupacin
Ejemplo 2: Factorizar el polinomio
3a2 + 12a 2ab 8b
Factorizacin por agrupacin Ejemplo 3: Factorice los polinomios.
4x 3y 12ax + 9ay
3x2 + 6x 5xy 10y
Prctica
Ejercicios:
1) y2 4y + 3yz 12z
2) ab c ac + b
3) 9ab + 9ac b c
EJEMPLOS ADICIONALES
Todo nmero natural compuesto puede
expresarse de forma nica como el
producto de nmeros primos
(excepto por el orden de los
factores).
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4. Teorema Fundamental de la
Aritmtica
4. Teorema Fundamental de la
Aritmtica
Ejercicio: Determine la factorizacin
prima de cada uno de los siguientes
nmeros compuestos:
a)
90
b)
504
c)
1,183
Ejercicio: Determine la factorizacin
prima de cada uno de los siguientes
nmeros compuestos:
a)
90
b)
504
c)
1,183
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4. Teorema Fundamental de la
Aritmtica
4. Teorema Fundamental de la
Aritmtica
Ejercicio: Determine el nmero natural
ms pequeo que sea divisible por
todos los nmeros siguientes:
2, 3, 4, 6, 8, 9.
Ejercicio: Determine el nmero natural
ms pequeo que sea divisible por
todos los nmeros siguientes:
2, 3, 4, 6, 8, 9.
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Cierto o falso?
Cierto o falso?
Todo nmero natural es divisible por 1. Ningn nmero natural es a la vez primo y compuesto. No existen nmeros primos pares. El 1 es el nmero primo ms pequeo. Si 16 divide a un nmero natural, entonces 2, 4 y 8 tambin lo dividen.
Todo nmero natural es divisible por 1. Ningn nmero natural es a la vez primo y compuesto. No existen nmeros primos pares. El 1 es el nmero primo ms pequeo. Si 16 divide a un nmero natural, entonces 2, 4 y 8 tambin lo dividen.
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Cierto o falso?
Cierto o falso?
El nmero compuesto 50 tiene exactamente dos factorizaciones primas. El nmero primo 53 tiene exactamente dos factores.
El nmero compuesto 50 tiene exactamente dos factorizaciones primas. El nmero primo 53 tiene exactamente dos factores.
Page 57
Ejercicio
Ejercicio
Determine todos los factores de: a)
12
b)
18
c)
28
d)
63
e)
120
f)
184
Determine todos los factores de: a)
12
b)
18
c)
28
d)
63
e)
120
f)
184
Page 58
Decida si cada uno de los siguientes nmeros es divisible por:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Decida si cada uno de los siguientes nmeros es divisible por:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
a)
315
b)
7,425
c)
1,092
d)
4,488
e)
630
a)
315
b)
7,425
c)
1,092
d)
4,488
e)
630
f)
25,025
g)
45,815
h)
5,940
i)
123,456,789
j)
987,654,321
f)
25,025
g)
45,815
h)
5,940
i)
123,456,789
j)
987,654,321
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Determine la factorizacin prima de cada uno de los siguientes
nmeros compuestos:
Determine la factorizacin prima de cada uno de los siguientes
nmeros compuestos:
a)
240
b)
300
c)
360
d)
425
a)
240
b)
300
c)
360
d)
425
e)
663
f)
885
g)
1,280
h)
1,575
e)
663
f)
885
g)
1,280
h)
1,575
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5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Los divisores propios de un nmero
natural incluyen todos los divisores
del nmero excepto el nmero mismo.
Los divisores propios de un nmero
natural incluyen todos los divisores
del nmero excepto el nmero mismo.
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5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Ejemplo:
Los divisores de 8 son:
1, 2, 4 y 8.
Los divisores propios de 8 son:
1, 2 y 4.
Ejemplo:
Los divisores de 8 son:
1, 2, 4 y 8.
Los divisores propios de 8 son:
1, 2 y 4.
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5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Un nmero perfecto es un nmero
natural que sea igual a la suma de sus
divisores propios.
Un nmero perfecto es un nmero
natural que sea igual a la suma de sus
divisores propios.
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5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Comenzando con el 2, coteje todos los
nmeros naturales hasta hallar el
nmero perfecto ms pequeo.
Comenzando con el 2, coteje todos los
nmeros naturales hasta hallar el
nmero perfecto ms pequeo.
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5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Ejercicio: Verifique que los siguientes
son nmeros perfectos:
a)
28
b)
496
c)
8,128
Ejercicio: Verifique que los siguientes
son nmeros perfectos:
a)
28
b)
496
c)
8,128
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5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Hasta hace una dcada slo se
conocan 33 nmeros perfectos.
Todo
