POLINOMIOS

Matemática Intermedia

Profesora Mónica Castro

Objetivos

Definir y repasar los conceptos básicos de

polinomios.

Discutir los distintos métodos de factorización de

polinomios.

Establecer distintas técnicas de enseñanza para

factorizar polinomios.

Sintetizar las técnicas de factorización de

polinomios mediante la construcción de mapa de

conceptos u otras técnicas de assessment.

Definición

Un polinomio en la variable x es una expresión algebraica formada solamente por la suma de términos de la forma axn , donde a es cualquier número y n es un número entero no negativo.

Ejemplos:

1) 3x - 2

2) x4 + 5

3) 2n2 - 5n + 3

4) 5y3 + 4y2 - 3y + 1

5) 23

Definición

Las siguientes expresiones algebraicas no son polinomios:

¿Qué diferencia observas entre los primeros cinco ejemplos que son polinomios y estos dos que no lo son?

Nota: Los polinomios son expresiones algebraicas pero no toda expresión algebraica es un polinomio.

Componentes de un polinomio

Término: Un término es una parte de una expresión

algebraica. Los términos se separan entre sí por los

signos de suma (+) o resta (-).

Coeficiente numérico: es el factor numérico del mismo.

Término constante: es el coeficiente numérico que no

contiene variable.

Clasificación de los polinomios

Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de

términos.

Un polinomio que tiene un solo término se llama monomio.

Si el polinomio tiene dos términos se llama un binomio

Si tiene tres términos se llama trinomio

Los polinomios formados por más de tres términos no reciben

ningún nombre en especial, simplemente son polinomios con la

cantidad de términos que contiene.

Grado de un polinomio

Si el polinomio es en una variable, el grado del polinomio está

determinado por el término que contiene el mayor exponente.

Si tiene más de una variable, se suman los exponentes de cada

término y la suma más alta determina el grado del polinomio.

Polinomios Grado

Es de grado cuatro

Es de grado tres

Es de grado dos

5x – 1 Es de grado uno

8 Es de grado cero

3x3y5 + 5x2y4 – 7xy2 +

6Es de grado ocho

Orden de un polinomio

Los polinomios se ordenan escribiendo los

exponentes en orden

descendente, es decir, de mayor a menor

ascendente, es decir, de menor a mayor.

Polinomio Orden

3x2 – 5x + 8 Orden descendente

8 – 5x + 3x2 Orden ascendente

Términos Semejantes

Dos términos son semejantes cuando ambos son

numéricos o cuando tienen las mismas variables y sus

exponentes son respectivamente iguales.

Semajentes No semejantes

6 ; -11 6 ; -11x

x ; 3x x ; 3x2

-3x ; 11x -3x ; 11xy

Evaluación de polinomios

Para evaluar un polinomio hacemos lo mismo queevaluar una expresión algebraica.

Simplemente sustituimos el valor asignado a la variable y efectuamos las operaciones indicadas en el polinomio.

Evalua cada polinomio para los valores asignados:

1) 2x4 – 3x3 + 6x – 8 cuando x = -2

2) x2 +5x – 6 cuando x = -3

3) 3xy –xy +4 cuando x = 1 y y = -2

Ejercicio

Considera el siguiente polinomio 2a + 4a3 - 9 y contesta:

1. ¿Cuáles son los coeficientes?

2. ¿Cuál es el término constante?

3. ¿Cuántos términos tiene?

4. ¿Cuál es su clasificación de acuerdo al número de términos que tiene?

5. Expresa el polinomio dado en orden ascendente.

6. Expresa el polinomio dado en orden descendente.

7. ¿Cuál es el grado del polinomio?

8. ¿Contiene términos semejantes?

9. Evalua el polinomio para cuando a = -1.

Factorización de polinomios

Es expresar un polinomio como producto de

factores, que, al multiplicarlos todos, resulta el

polinomio original.

Proceso inverso a la propiedad distributiva

Máximo Común Factor

Factor común mayor

Se buscan los factores de cada término

Se agrupan a la izquierda los factores en común en cada término, luego se coloca en paréntesis los factores restantes de cada término.

2a(m - 2n) - b (m - 2n )

= 2a(m - 2n) - b (m - 2n )

= (m - 2n )( 2a - b )

3x(2z - 5z) + x (2z – 5z)

= 3x(2z – 5z) + x(2z – 5z)

= (2z – 5z) (3x + x)

Agrupación

Se unen los factores que se parezcan, es decir, los que

tengan un factor común, utilizando paréntesis

Ejemplos:

))((

)()(

)()(

yxba

baybax

byaybxax

byaybxax

Fórmulas Especiales

Diferencia de cuadrados perfectos

x2 – y2 = (x – y) (x + y)

Suma de cubos

a3 + b3=(a + b) (a2 - ab + b2)

Diferencia de cubos

a3 – b3 =(a - b) (a2 + ab +b2)

Cuadrado perfecto

a2 + 2ab + c =(a + b) 2

a2 – 2ab + c = (a - b) 2

Trinomios

De la forma x2 ± bx ± c

Siempre se factoriza de la siguiente manera

(x ± #) (x ± #)

El trinomio nos da unas claves para resolver estos ejercicios de una forma más rápida:

El segundo signo nos indica si los signos en los paréntesis son iguales o diferentes,

El primer signo indica donde va colocado el factor mayor.

La primera pregunta que usted se debe hacer que factores de c sumados (si el segundo signo es +) o restados (si el segundo signo es negativo) me dan b (en valor absoluto).

Trinomios

De la forma x2 ± bx ± c

Polinomio Factorización Explicación

x2 + bx + c

(x + #) ( x + #)

Factores de c que sumados me den b

Como el segundo signo es positivo ambos

paréntesis llevan el mismo signo y como el

primero es positivo el signo que se utiliza es

positivo.

x2 - bx + c(x - #) ( x - #)

Factores de c que sumados me den b

Como el segundo signo es positivo ambos

paréntesis llevan el mismo signo y como el

primero es negativo el signo que se utiliza

es negativo.

x2 + bx - c

(x + factor mayor) ( x - #)

Factores de c que restados me den b

Como el segundo signo es negativo, los

paréntesis llevan el signos diferentes. Como

el primer signo es positivo, el factor mayor

va a ir en el paréntesis con el signo de +.

x2 - bx - c

(x + #) ( x – factor mayor)

Factores de c que restados me den b

Como el segundo signo es negativo, los

paréntesis llevan el signos diferentes. Como

el primer signo es negativo, el factor mayor

va a ir en el paréntesis con el signo de -.

Trinomios

De la forma ax2 + bx + c

Método común es el Ensayo y error

Otro método

Pasos a seguir

1. Multiplica los términos de los extremos de tu trinomio c(ax2 )

2. Basándote en el coeficiente del segundo termino (b) y en el resultado del

primer paso, se buscan dos números que sumados me den c y multiplicados

me den c(ax2 )

3. Agrupa dentro de un paréntesis el primer término de tu trinomio sumado con

el primer factor encontrado

4. Agrupa el segundo factor encontrado sumado con el tercer término de tu

trinomio

5. Suma los dos paréntesis y luego resuelve por el método de agrupación.

Factoriza 6x² - x – 2

Paso 1: -2(6x²) = -12x²

Paso 2: Buscar factores que multiplicados me den -12x² pero sumados me

den –x

Paso 3: (6x² + 3x)

Paso 4: (-4x – 2)

Paso 5: (6x² + 3x) + (-4x – 2)

= 3x(2x + 1) + -2(2x + 1)

= (2x + 1) (3x – 2)

Factor 1 -x x -2x 2x -3x 3x

Factor 2 12x -12x 6x -6x 4x -4x

Suma 11x -11x 4x -4x x -x

Ejercicio de Assessment

Construye un mapa de concepto donde se

presenten los distintos métodos de factorización y

cómo se aplican

Mapa de concepto de factorización

Factorización

Factor común mayor

Binomio

Diferencia de cuadradosperfectos

Suma de cubos

perfectos

Diferencia de cubos

perfectos

Trinomio

Cuadradoperfecto

A2 ± 2AB ± C

De la forma

x2 + bx + c ax2 + bx + c

Polinomio de 4 términos

Agrupación

Factoriza completamente

14) 25 - 4a2 =

15) 16m2n2 - 9p2 =

16) x2 - 4x + 3 =

17) x2 - 2x - 15 =

18) x2 - 7xy - 18y2 =

19) 12 - 4x - x2 =

20) 5x2 - 11x + 2 =

21) 6x2 - 7x - 5 =

22) 12x2 + 17x - 5 =

23) 7u4 - 7u2v2 =

24) kx3 + 2kx2 - 63kx =

25) 5x3 - 55x2 + 140x =

26) 4m2n2 + 24m2n - 28m2 =

1) a2b - ab2 =

2) 6p2q + 24pq2 =

3) 12x3y - 48x2y2 =

4) 9m2n + 18 mn2 - 27mn=

5) ¼ ma + ¼ mb + ¼ mc

6) a/5 + b/25 + c/ 40

7) x2 - 8x + 16 =

8) 16y2 + 24y + 9 =

9) 36a2 - 12a + 1 =

10) 4x2 + 20xy + 25y2 =

11) 16x2 - 25y2 =

12) 144 - x2y2 =

13) 36 - 25a2 =