tutorial factorización de polinomios

Integrantes:Hector Orlando Valenzuela. Nereira Sarai Pinto Morn. Esly Amaya. Antonia Euceda Videz.

Pre-PruebaResuelva los siguientes ejercicios de factorizacin. 4,6,10 6(x+2), 9(x+6) 4X+4 2X(2X-3)2 +X2 (2X-3) X2-1 80X5-5X X4-Y4 X2+3X+2 2X2-7X-4 X2+Y2Ver Resultado

Pre-prueba: RespuestasFactorizar completamente cada trmino: 4,6,10 6(x+2), 9(x+6) 4X+4 2X(2X-3)2 +X2 (2X-3) X2-1 80X5-5X X4-Y4 X2+3X+2 2X2-7X-4 X2+Y2 =2 =3 =2(x+2) =x(2x-3) =(x+1)(x-1) =5x(4x2+1)(2x+1)(2x-1) =(x2+y2)(x+y)(x-y) =(x+1)(x+2) =(x-4)(2x+1) No se puede factorizar

En lgebra, la factorizacin es expresar un objeto o nmero como producto de otros objetos ms pequeos (factores), (en el caso de nmeros debemos utilizar los nmeros primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. La factorizacin de expresiones algebraicas consiste en buscar el origen de las mismas, en descomponerlas.

Antes de continuar debemos tener en claro que la factorizacin da la posibilidad de factorizar de diferentes formas las expresiones algebraicas denominando a este proceso casos de factorizacin. Durante el desarrollo de este tutorial se explicarn los diferentes casos de factorizacin.

Casos de Factorizacin

Factor Comn Factor Comn Monomio Factor Comn Poliomio Factor Comn por Agrupacin

Factorizacin de Binomios Diferencia de Cuadrados Suma de cubos Perfectos Diferencia de Cubos Perfectos

Factorizacin de Trinomios Trinomio Cuadrado Perfecto Trinomio de la forma ax2+bx+c, a=1 Trinomio de la forma ax2+bx+c, a1

Factor comn

El factor comn de dos o ms trminos es el trmino formado por el mximo comn divisor (MCD ) de los coeficientes numricos de los trminos y las potencias de menor exponen-te de las literales comunes a todos ellos.

El mximo factor comn (M.F.C.) o mximo comn divisor (M.C.D.) de un conjunto de enteros se define como el entero mayor que divide a cada uno de los nmeros de dicho conjunto.

Pasos para obtener el factor comn de dos o ms nmeros

1) Recordemos que primero se factorizan los enteros en sus factores primos. 2) Como segundo paso se escriben los factores empleando exponentes. 3) Luego se toman las bases comunes, cada una con su exponentes mnimo. 4) Por ltimo se efecta el producto de los factores obtenidos en paso 3.

Ejemplo 1: Solucin:

Encontrar el M.F.C. de 30, 45, 60

Paso 1 Escriba el producto de sus nmeros primos 30 15 3 5 2 5 3 45 9 3 2 6 60 10 3 2 5 60=2x2x3x5

30=2x3x5 Paso 2 Escribir los factores empleando exponentes 30 = 2 x 3 x 5 45 = 32 x 5 60 = 22 x 3 x 5

45=3x3x5

Paso 3 Determinar los factores primos comunes a todos los nmeros con su mnimo exponente. Las bases comunes son 3 y 5. El mnimo exponente de 3 es 1 y el de 5 es 1. Paso 4 Efectuar el producto. Por consiguiente, el M.F.C. = 31 x 51 = 15.

Otra forma de encontrar mximo comn factor (mcd)

Calcular el mximo comn divisor de 30 , 45, 60. 30 45 60 3 5Menor Divisor primo comn de 30, 45 y 60

10 15 20 2 3 4

Menor Divisor primo comn de 10, 15 y 20

3*5=15

Mximo Comn Divisor de 30, 45, 60

Aqu termina porque 2, 3 y 4 no un divisor primo comn.

Pasos para obtener el factor comn de dos o ms trminos

1) Calcular el factor comn de los coeficientes de cada trmino. 2) Tomar las variables comunes de todos lo trminos . 3) Escoger las variables elevadas al menor exponente. 4)Multiplicar el factor comn de los coeficientes por las variables elevadas al menor exponente.

Ejemplo 1: Hallar el M.F.C. de 9x3 y2, 12x4 y,-15x5.

SolucinPaso #1 9= 3x3 12= 2x2x3 15= 3x5 El factor Comn es 3

Nmeros primos

Paso #2 Se toman las variables comunes de todos trminos. La variables comn es x. Paso #3 El mnimo exponente de x es 3. Paso #4 Efectuar el producto de los factores obtenidos en paso 1 y paso 3 Por lo tanto, el M.F.C. = 3x3

Ejemplo 2: Hallar el Mximo Factor Comn de 18xy2, 15x3y3, 27xy5

18xy2

15x3y3

27xy5

2*32*x*y2

3*5x3*y3

33*x*y5

Observacin: Se toman las bases de menor exponente. Factor Comn en todos los trminos

Factor Comn Monomio

Cuando el factor comn a todos los trminos del polinomio es un monomio. Es de la forma:ab + ac + ad = a ( b + c + d )

Pasos para obtener el Factor Comn Monomio

1)Determinar el mximo comn divisor de todos los trminos del polinomio.

2)Dividir cada trmino entre el M.F.C o MCD

Ejemplo 1: Factorice el MFC en cada trmino de la expresin 4x-8

Solucin:Paso 1Determinar el M.C.D. 4x-8 = 22x-23MCD es 22 =4

Se toma la base de menor exponente.

Paso 2Dividir cada trmino entre el M.F.C. o M.C.D. 4x-8 = 4 ( X - 2 ) 4X = 4 8 = 4

Mximo Comn Divisor obtenido en el paso 1

Ejemplo 1: Factorice la expresin: 36x12+24x8

Factor Comn de los Trminos

36x12+24x8 = 12X8 (3X4 + 2 )

Expresin factorizada

36x12 = 8 12X 24x8 = 12X8

Factor Comn Polinomio

Se de este caso de factorizacin cuando el factor comn que aparece es un binomio o un polinomio. En el siguiente caso podemos observar que tememos como factor comn un binomio de la expresin polinmica. Factor Comn a+b. x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)Expresin polinmica Expresin factorizada

Ejemplo: Factorice 3b(a-2)-4(a-2)

El Factor Comn de 3b(a-2)-4(a-2) es (a-2) Al factorizarlo3b(a-2)-4(a-2)= (a-2) (3b

- 4 )

Expresin Factorizda

3b(a-2) (a-2) =Dividir cada trmino entre el factor comn.

4(a-2) = (a-2)

Factor Comn por Agrupacin

Ocurre cuando no existe un mximo comn divisor para todos los trminos, pero al agrupar convenientemente, los trminos algebraicos de cada grupo si lo tienen. Requiere factorizar dos veces de manera consecutiva . Por ejemplo: ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) =x(a+b)+y(a+b) =(a + b )( x + y )Agrupar los trminos donde se pueda factorizar Factorizar la expresin Expresin Factorizada

Ejemplo: Factorizar x2 - 2x+ax-2a

x2 - 2x+ax-2a

(x2-2x)+(ax-2a)

Factorizar la expresin

Agrupar los trminos que contengan factor comn.

X(x-2)+a(x-2)

Expresin Factorizada

(x-2)(x+a)

Factorizacin de Binomios

Los binomios son expresiones algebraicas que contienen dos trminos o monomios.

Explicaremos algunos casos de factorizacin de binomios como los siguientes: Cuadrados Perfectos (Diferencia de Cuadrados). Suma y Diferencia de Cubos Perfectos.

Diferencia de Cuadrados Perfectos

Dos cuadrados que se estn restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresin se extrae la raz cuadrada de los dos trminos y se multiplica la resta de los dos trminos por la suma de los otros dos trminos.

La frmula de este tipo de factorizacin es la siguiente: a2-b2=(a-b)(a+b)

Ejemplo 1: Factorice la expresin: x2-9

x2 - 9= ( x - 3 ) (x + 3 )Aplicar la fmula de Diferencia de Cuadrados

x2

9

a2-b2=(a-b)(a+b)

x

3

Se extrae la raz cuadrada de cada trmino.

Ejemplo 2: Factorice 4x2-16y2

Sacar factor comn de ambos trminos. MFC 4

4x2-16y2 =

4(x2-4y2)Aplicar la diferencia de cuadrados

4(x-2y)(x+2y)

Expresin factorizada

Suma de Cubos Perfectos

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus races cbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raz menos el producto de ambas races ms el cuadrado de la segunda raz. a3 + b3=(a+ b)(a2- ab + b2)Mismo signo

Siempre positivo

Signo opuesto

Ejemplo: Factorizar x3+8

x3+8=(x)3+(2)3 Aplicar la frmula de la suma de dos cubos a3

+

b

3=( a

+

b

)( a

2

-

a

*b +

b

2)

x

3

+

2

3=()( x

+

2 2

) ( x 2-

x

*

2

+

2 2)

= (x + 2)(x2 - 2x +

4)

Expresin Factorizada-

Diferencia de Cubos Perfectos

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus races cbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raz ms el producto de ambas races ms el cuadrado de la segunda raz. a3 - b3=(a - b)(a2+ ab + b2)Mismo signo

Siempre positivo

Signo opuesto

Ejemplo: Factorizar y3+125

y3-125=(y)3+(5)3 Aplicar la frmula de la diferencia de dos cubos a3

-

b

3=( a

-

b

)( a

2

+ a *b +

b

2)

y

3

-

5

3=()( y

-

2 5

) ( y 2+

y

*

5

+

5 2)Expresin Factorizada.

= (y - 5)(y2 + 5y + 25)

Factorizacin de Trinomios

Primero debemos saber que un trinomio es una expresin que cuenta de 3 trminos de esta forma aa+ab+ac donde las letras pueden ser cualquier termino conocido o desconocido ejemplo 8x+4y+10 ahora factor zar es encontrar un factor comn de los 3 trminos es decir un numero que pueda ser divisor de los 3 para expresarlo a una manera mas reducida ahora factorizar un trinomio es realizar esa operacin en una expresin como la que te dije(aa+ab+ac) ejemplo factorizar: 8x+4x+10x R:2x(4+2+5) si multiplicamos esto llegasmos a lo mismo Los siguientes casos de factorizacin de trinomios los estudiaremos Trinomio cuadrado perfecto. Trinomio de la Forma x2+bx+c Trinomio de la forma ax2+bx+c

Trinomio Cuadrado Perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres trminos) tal que, dos de sus trminos son cuadrados perfectos y el otro trmino es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Ejemplo:x2+6x+9=(x+3)2