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3 Polinomios

80Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

7. Teorema del resto. Factorización

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3Actividades3 Polinomios

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Comprueba que el resto de la división P(x) : Q(x) coincide con el valor numérico de P(x) para el opuesto del término independiente de Q(x) en cada caso.

a) P(x) = x3 − 5x2 − 1 Q(x) = x − 5

b) P(x) = x5 − 5x2 + 4 Q(x) = x + 3

Calcula el resto de la división del polinomio x39 − 5x20 − 12 por x − 1.

Halla el valor del número entero a, sabiendo que el resto de la división del polinomio P(x) = x3 − 4ax2 + 9 por x − 2 es igual a 1.

Calcula el resto de la división del polinomio P(x) = 3x3 − 9x2 + 13x − 7 por x − 1. ¿Cuál es el resto de la división de P(x) por x(x − 1)?

Aplica la regla de Ruffini para factorizar el polinomio x4 − 16 como producto de polinomios de grados 1 y 2 con coeficientes enteros.

Copia en tu cuaderno y completa los recuadros.

a) 5x2 + 4x − 1 = (x + §)(5x − §)

b) 5x2 − §x + 1 = (§x − §)(x − 1)

c) 12x2 − 7x + 1 = (§x − 1)(§x − 1)

d) 6x2 + §x + 1 = (2x + §)(§x + 1)

Comprueba que 5

2 es una raíz del polinomio 2x3 − 9x2 + 12x − 5.

Halla su descomposición factorial como producto de polinomios de grado 1 con coeficientes enteros.

Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios como producto de polinomios de grado 1 con coeficientes enteros.

a) x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + 4

b) x5 − x4 − 17x3 + 53x2 − 56x + 20

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7. TEOREMA DEL RESTO. FACTORIZACIÓNEl valor numérico del polinomio P(x) = x3 − 3x + 2, para x = −1, es 4, porque:

P (−1) = −1( )3 − 3 ⋅ (−1) + 2 = −1+ 3 + 2 = 4

Si dividimos el polinomio P(x) por x + 1: 1 0 −3 2

−1 −1 1 2

1 −1 −2 4

podemos observar que el resto de la división (R = 4) coincide con el valor numérico del polinomio para x = −1.

Teorema del resto. El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, coincide con el resto de la división del polinomio P(x) por el binomio x − a, es decir:

R = P(a)

Al dividir un polinomio, P(x), por el binomio x − a, obtenemos un polinomio cociente, C(x), y un resto, R, que es un número.

Aplicando la prueba de la división: P(x) = (x − a) ⋅ C(x) + R

Si sustituimos x por a resulta: P(a) = (a − a) ⋅ C(a) + R = 0 + R = R

Factorización de polinomiosEl valor numérico del polinomio P(x) = x3 − 3x + 2, para x = 1, es 0, porque:

P(1) = 13 − 3 ⋅ 1 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0

Por tanto, x = 1 es una raíz de P(x). Por el teorema del resto sabemos que la división de P(x) por x − 1 es exacta, es decir, x − 1 es un divisor de P(x).

Para factorizar un polinomio, P(x), se pueden buscar sus raíces: a, b, c, …, de modo que los binomios de la forma x − a, x − b, x − c, …, sean factores de su descomposición factorial.

P(x) = (x − a)(x − b)(x − c)…

Aprenderás a… ● Identificar el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x − a como el valor numérico para x = a.

● Aplicar la regla de Ruffini para factorizar un polinomio.

Las raíces enteras de un polinomio son divisores de su término independiente.

Recuerda

} Factoriza y halla las raíces de los polinomios:

a) P(x) = x3 + 2x2 − 5x − 62

Solución

a) Las posibles raíces enteras son los divisores de 6:

±1, ±2, ±3 y ±6

Podemos aplicar la regla de Ruffini para hallar la descomposición factorial.

1 2 −5 −6

1 1 3 −21 3 −2 −8 ≠ 0

1 no es una raíz

1 2 −5 −6

−1 −1 −1 61 1 −6 0

−2 2 61 3 0

Las raíces de P(x) son: −1, 2 y −3

Entonces: x3 + 2x2 − 5x − 6 = (x + 1)(x − 2)(x + 3)

b) Q(x) = x4 − x3 + 2x2 − 2x

b) Extraemos factor común: x x3 − x2 + 2x − 2( )

Así, x = 0 es una raíz de Q(x).

Como los divisores de 2 son ±1 y ±2, aplicamos la regla de Ruffini para hallar otras raíces.

1 −1 2 −2

1 1 0 21 0 2 0 x = 1 es una raíz de Q(x).

Por tanto, x4 − x3 + 2x2 − 2x = x x −1( ) x2 + 2( ) es la factorización de Q(x), porque x2 + 2 no tiene raíces, (ten en cuenta que cualquier número real elevado al cuadrado es positivo y al sumarle 2 también).

EJERCICIO RESUELTO

Prueba que si a un número natural le sumamos su cubo y le restamos 2, el resultado es múltiplo del número que le antecede.

73

} Prueba que todo número entero verifica que su cubo más el doble de su cuadrado más su cuádruple más 3 es múltiplo del número siguiente.

Solución

Designamos por x un número entero cualquiera.

Así, x + 1 es el siguiente.

Definimos el polinomio con las condiciones del enunciado: P(x) = x3 + 2x2 + 4x + 3

Comprobamos que x + 1 es un divisor de P(x).

1 2 4 3

−1 −1 −1 −3

1 1 3 0

Entonces: x3 + 2x2 + 4 x + 3 = x + 1( ) x2 + x + 3( )

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOPrueba que, si x e y son dos números enteros consecutivos, entonces x2 + y2 + (xy)2 es un cuadrado perfecto.74

Si al factorizar un polinomio obtenemos un factor de la forma (x − a)2, diremos que a es una raíz doble del polinomio; si nos aparece (x − a)3, se trata de una raíz triple, y así sucesivamente.

Lenguaje matemático

Soluciones de las actividades65 Comprueba que el resto de la división P(x) : Q(x) coincide con el valor numérico de P(x) para el opuesto del término inde-

pendiente de Q(x) en cada caso.a) P(x) = x3 − 5x2 − 1 Q(x) = x − 5 b) P(x) = x5 − 5x2 + 4 Q(x) = x + 3 a) Efectuando la división por la regla de Ruffini resulta: Cociente: x2 y resto: −1 P(1) = 53 − 5 ⋅ 52 − 1 = −1b) Efectuando la división por la regla de Ruffini resulta: Cociente: x4 − 3x3 + 9x2 − 32x + 96 y resto: −284

P −3( ) = −3( )5 −5 ⋅ −3( )2 + 4 = −28466 Calcula el resto de la división del polinomio x39 − 5x20 − 12 por x − 1.

R = P(1) = 139 − 5 ⋅ 120 − 12 = −16

Sugerencias didácticas

Es conveniente dedicar algo de tiempo a comprender la de-mostración del teorema del resto para facilitar su uso pos-terior en los ejemplos y ejercicios. Y tiene una consecuencia muy importante: si P(a) = 0, el teorema proporciona una factorización del polinomio P(x). Además, para proseguir factorizando, solo debemos repetir el mismo proceso.

Así, cuando el ejercicio propuesto consista en hallar las raí-ces enteras de un polinomio P(x), el alumno podrá calcular el valor numérico de este para los valores de la variable que

son candidatos a ser sus raíces, es decir, de los divisores del término independiente de P(x), seleccionando aquellos en los cuales dicho valor numérico es nulo.

Puede ser interesante también proponer a los alumnos que calculen el resto de una división de un polinomio de grado muy alto por x − 1 o por x + 1, para que observen que en estos casos no conviene aplicar la regla de Ruffini, sino que es más conveniente el teorema del resto.

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3Polinomios

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

67 Halla el valor del número entero a, sabiendo que el resto de la división del polinomio P(x) = x3 − 4ax2 + 9 por x − 2 es igual a 1.

Aplicando el teorema del resto: P(2) = 1 → 23 − 4a ⋅ 22 + 9 = 1 → 8 − 16a + 9 = 1 → a = 168 Calcula el resto de la división del polinomio P(x) = 3x3 − 9x2 + 13x − 7 por x − 1. ¿Cuál es el resto de la división de P(x)

por x(x − 1)?

Aplicando el teorema del resto: R = P(1) = 3 − 9 + 13 − 7 = 0

Por tanto, x − 1 es un divisor de P(x).

3 −9 13 −7

1 3 −6 7

3 −6 7 0

Entonces:

P(x) = x −1( ) 3x2 − 6 x + 7( ) = x −1( ) x 3x − 6( ) + 7( )= x x −1( ) 3x − 6 + 7( ) = x x −1( ) 3x − 6( ) + 7 x −1( )

Luego el resto de la división de P(x) por x(x − 1) es: 7(x − 1)69 Aplica la regla de Ruffini para factorizar el polinomio x4 − 16 como producto de polinomios de grados 1 y 2 con coefi-

cientes enteros.

x4 −16 = x − 2( ) x + 2( ) x2 + 4( )

70 Copia en tu cuaderno y completa los recuadros.

a) 5x2 + 4x − 1 = (x + §)(5x − §) c) 12x2 − 7x + 1 = (§x − 1)(§x − 1)

b) 5x2 − §x + 1 = (§x − §)(x − 1) d) 6x2 + §x + 1 = (2x + §)(§x + 1)

a) 5x2 + 4x − 1 = (x + 1)(5x − 1) c) 12x2 − 7x + 1 = (4x − 1)(3x − 1)

b) 5x2 − 6x + 1 = (5x − 1)(x − 1) d) 6x2 + 5x + 1 = (2x + 1)(3x + 1)

71 Comprueba que 5

2 es una raíz del polinomio 2x3 − 9x2 + 12x − 5.

Halla su descomposición factorial como producto de polinomios de grado 1 con coeficientes enteros.

P5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 2 ⋅

5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

− 9 ⋅5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 12 ⋅5

2−5 =

125

4−

225

4+ 30−5 = 0

Dividimos aplicando la regla de Ruffini: 2x3 − 9 x2 + 12x −5 = 2x −5( ) x −1( )2

72 Halla las raíces y factoriza los polinomios como producto de polinomios de grado 1 con coeficientes enteros.

a) x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + 4 b) x5 − x4 − 17x3 + 53x2 − 56x + 20

a) Las raíces del polinomio son: 1 y −2 (ambas son dobles)

x4 + 2x3 − 3x2 − 4 x + 4 = x −1( )2 x + 2( )2

b) Las raíces del polinomio son: 1 (doble), 2 (doble) y −5

x5 − x4 −17 x3 + 53x2 −56 x + 20 = x −1( )2 x − 2( )2 x + 5( )

73 Prueba que si a un número natural le sumamos su cubo y le restamos 2, el resultado es múltiplo del número que le ante-cede.

Designamos por x un número natural cualquiera.

El polinomio que describe las condiciones del enunciado es: P(x) = x3 + x − 2

P(1) = 13 + 1 − 2 = 0 → P(x) es múltiplo del binomio x − 1, es decir, que el resultado es múltiplo del número natural an-terior.

Desafío74 Prueba que, si x e y son dos números enteros consecutivos, entonces x2 + y2 + (xy)2 es un cuadrado perfecto.

Si consideramos y = x + 1 y sustituimos:

x2 + x + 1( )2 + x2 x + 1( )2 = x2 + x2 + 2x + 1+ x2 x2 + 2x + 1( ) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

Factorizando este polinomio: x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = x2 + x + 1( )2

Lo que prueba que x2 + y2 + (xy)2 es un cuadrado perfecto.

3 Polinomios


Sugerencias didácticas

En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Identificar los elementos que caracterizan los monomios y polinomios.

❚❚ Realizar operaciones con monomios y polinomios.

❚❚ Utilizar la regla de Ruffini y aplicar el teorema el resto para factorizar polinomios.

Actividades finalesSoluciones de las actividades75 Escribe cinco enunciados y halla las expresiones algebraicas correspondientes, indicando cuáles son sus variables.

Respuesta abierta, por ejemplo:

❚❚ El área de un rectángulo cuyos lados miden x e y es xy. Las variables son x e y.

❚❚ El perímetro de un cuadrado de lado x es 4x. La variable es x.

❚❚ El área de un rombo cuyas diagonales miden 2x y 2y es 2xy. Las variables son x e y.

❚❚ El perímetro un romboide cuyos lados miden x e y es 2x + 2y. Las variables son x e y.

❚❚ El área de un triángulo cuya base mide 2x y cuya altura mide y es xy. Las variables son x e y.76 Halla dos monomios cuya suma sea 3x11.

Respuesta abierta, por ejemplo: los monomios x11 y 2x11 suman 3x11.77 Encuentra dos monomios tales que la suma de uno con el cuadrado del otro sea un monomio.

Respuesta abierta, por ejemplo: si los monomios son x2 y x entonces la suma del primero con el cuadrado del otro es 2x2.

¿Qué tienes que saber?

58

¿QUÉ3 tienes que saber?

59

Razona si es posible expresar en forma de monomio la longitud del lado del cubo cuyo volumen es el doble del volumen del cubo de arista x. ¿Lo es su cuadrado?

Estudia si pueden expresarse mediante monomios el perímetro y el área de estas figuras.

x

x

2xx2

Responde a estas cuestiones:

a) ¿Es un monomio la expresión algebraica del perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 6x y 8x? ¿De qué grado?

b) ¿Y la expresión de su área? ¿De qué grado?

c) Si las diagonales midiesen 6x y 8x2, ¿serían monomios las expresiones de su perímetro y de su área?

Polinomios. Valor numérico

Calcula el valor numérico del siguiente polinomio: P(x) = x3 − x2 + x − 1, para x = 1 y para x = 2.

Comprueba si −1 es una raíz de los polinomios:

a) P(x) = −2x40 − x9 + 1

b) Q(x) = 3x4 − 2x + 1

c) R(x) = x2 − 3x + 7

d) S(x) = −3x4 − 6x2 + 9

Halla el valor de a sabiendo que el valor numérico del polinomio x2 − ax + a, para x = a, es igual a 1.

Calcula el valor de a y de b si x = 0 y x = 2 son dos raíces del polinomio:

P(x) = 3x5 − x3 + ax + b

Determina el valor de a y de b en la expresión del polinomio P(x) = x4 − 9x2 + ax + b, sabiendo que dos de sus raíces son x = 1 y x = 3.

Estudia si puede ocurrir que 8a0 sea una raíz del polinomio P(x) = anx

n + … + a1x + a0 con coeficientes enteros y grado n ≥ 1.

Halla dos polinomios, P(x) y Q(x), tales que el grado del polinomio suma, P(x) + Q(x), sea menor que los grados de P(x) y de Q(x).

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Expresiones algebraicas. Monomios

Escribe cinco enunciados y halla las expresiones algebraicas correspondientes, indicando cuáles son sus variables.

Halla dos monomios cuya suma sea 3x11.

Encuentra dos monomios tales que la suma de uno con el cuadrado del otro sea un monomio.

Indica razonadamente cuál de estas afirmaciones es cierta.

a) La suma de dos monomios es siempre otro monomio.

b) La suma de dos monomios nunca es otro monomio.

c) La suma de dos monomios a veces es otro monomio.

¿Para qué valores de a y n se verifica la igualdad 3x4−n + ax n = x n ?

Halla dos monomios cuyo producto sea x7 y cuyo cociente sea x3.

Calcula el valor del número entero, n, sabiendo que el producto 5x3 ⋅ 2xn es un monomio de grado 7.

Copia y simplifica las siguientes expresiones algebraicas e indica cuáles de ellas son monomios.

9x4

3x27x8

x4+2x9

x5

5x2

x11x2

x6+x6

x4

Determina un monomio cuyo cuadrado sea:

a) x8 c) 1

2x4

b) 2x2 d) 4 x6

9¿Existe algún monomio cuyo cuadrado sea x5?

En las siguientes operaciones, m y n son números naturales.

5 xn

x2⋅4 x2 n+3

xn−1

15 xm

x2:

3xm−1

x2m+3

Comprueba que sus resultados son monomios de grado par. ¿Para qué valores de n y de m tienen grado 4?

Sea x la longitud del lado de un cubo. ¿Es un monomio la expresión con la que calculamos su volumen? ¿De qué grado?

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85

Resuelve las operaciones:

a) 5x3 + 12x3 b) 7x5 ⋅ −23( )

a) La suma se puede realizar porque los monomios son semejantes.

5 x3 + 12x3 = 5 + 12( ) x3 = 17 x3

b) Al multiplicar, el grado del monomio resultante es la suma de los grados de los factores.

7 x5 ⋅ −2x3( ) = 7 ⋅ −2( ) ⋅ x5+3 = −14 x8

MonomiosTen en cuenta ❚ Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, y una o más variables con exponente natural, que forman la parte literal.

❚ El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables de la parte literal.

Escribe los polinomios ordenados e indica su coeficiente principal y su grado:

a) 4 + x3 + 5x − 2x2 b) 8x5 − x3 + 4x4

Polinomios Coeficiente principal Grado

x3 − 2x2 + 5x + 4 1 3

8x5 + 4x4 − x3 8 5

PolinomiosTen en cuenta ❚ Un polinomio es la suma de dos o más monomios de distinto grado, llamados términos.

❚ El grado del polinomio es el mayor de los grados de sus términos.

Determina si los valores 1 y −2 son raíces del polinomio: P(x) = 3x3 + x2 − 3x − 1

Halla la descomposición factorial de este polinomio y determina todas sus raíces.

P(1) = 3 ⋅ 13 + 12 − 3 ⋅ 1 − 1 = 3 + 1 − 3 − 1 = 0 → 1 es una raíz de P(x).

P −2( ) = 3 −2( )3 + −2( )2 − 3 −2( )−1 = −24 + 4 + 6−1 = −15 → −2 no es una raíz de P(x).

Aplicamos la regla de Ruffini:3 1 −3 −1

1 3 4 13 4 1 0

−1 −3 −13 1 0

→ 3x3 + x2 − 3x − 1 = (x − 1)(x + 1)(3x + 1)

Las raíces de P(x) son: 1, −1 y −1

3

Regla de Ruffini. Teorema del restoTen en cuentaEl número que se obtiene al sustituir un valor, a, en un polinomio, P(x), se llama valor numérico y se escribe P(a).

Si el valor numérico de P(x) para x = a es igual a 0, es decir, P(a) = 0, se dice que a es raíz del polinomio.

Teorema del resto

El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, coincide con el resto de la división del polinomio P(x) por el binomio x − a.

R = P(a)

División de polinomiosTen en cuentaAl dividir dos polinomios, P(x) y Q(x), se obtienen dos polinomios, C(x) y R(x), que verifican que:

P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x)

❚ El grado del polinomio cociente, C(x), es igual a la diferencia entre el grado del polinomio dividendo, P(x), y el polinomio divisor, Q(x).

❚ El grado del polinomio resto, R(x), es menor que el grado del polinomio divisor.

Halla el cociente y el resto de la división: x4 + 2x2 + 3x + 5( ) : x2 + 3x + 1( )

Cociente

DivisorDividendo −x4 − 3x3 + 12x2 + 3x + 5 x2 + 3x + 1

−x4 − 3x3 −12x2 x2 − 3x + 10

−x4 − 3x3 + 12x2 + 3x + 5

−x4 − 3x3 + 19 x2 + 3x

−x4 − 3x3 −10 x2 + 6 x + 5

−x4 − 3x3 −10 x2 − 30 x −10

−x4 − 3x3 −10 x2 − 24 x − 5Resto

Actividades Finales 3

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3Polinomios


78 Indica razonadamente cuál de estas afirmaciones es cierta.

a) La suma de dos monomios es siempre otro monomio. c) La suma de dos monomios a veces es otro monomio.

b) La suma de dos monomios nunca es otro monomio.

a) Falsa. Si los monomios son x y x2, su suma x + x2 no es un monomio.

b) Falsa. Si los monomios son x y 2x, su suma es el monomio 3x.

c) Verdadera79 ¿Para qué valores de a y n se verifica la igualdad 3x4 − n + axn = xn?

3x4−n = xn − axn = (1− a ) xn → 3 = 1− a → a = −2

4− n = n → n = 2

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

80 Halla dos monomios cuyo producto sea x7 y cuyo cociente sea x3.

Respuesta abierta, por ejemplo: x5 y x2

81 Calcula el valor del número entero, n, sabiendo que el producto 5x3 ⋅ 2xn es un monomio de grado 7.

5x3 ⋅ 2xn = 10x3 + n → 3 + n = 7 → n = 482 Copia y simplifica las siguientes expresiones algebraicas e indica cuáles de ellas son monomios.

9x4

3x27x8

x4+2x9

x5

5x2

x11x2

x6+x6

x4

9 x4

3x2= 3x2 → Es un monomio.

7 x8

x4+

2x9

x5= 7 x4 + 2x4 = 9 x4 → Es un monomio.

5 x2

x11=

5

x9 → No es un monomio.

x2

x6+x6

x4=

1

x4+ x2 → No es un monomio.

83 Determina un monomio cuyo cuadrado sea:

a) x8 b) 2x2 c) 1

2x4 d)

4 x6

9 ¿Existe algún monomio cuyo cuadrado sea x5?

a) x4 b) 2x c) 1

2x2

d) 2x3

3El grado del cuadrado de cualquier monomio es par, por lo que x5 no es el cuadrado de ningún monomio.

84 En las siguientes operaciones, m y n son números naturales:

5 xn

x2⋅4 x2n+3

xn−1

15 xm

x2:

3xm−1

x2m+3

Comprueba que sus resultados son monomios de grado par. ¿Para qué valores de n y de m tienen grado 4?

5 xn

x2⋅4 x2n+3

xn−1= 20 x2n+2

15 xm

x2:

3xm−1

x2m+3= 5 x2m+2

2n + 2 es un número par 2m + 2 es un número par.

2n + 2 = 4 → n = 1 2m + 2 = 4 → m = 185 Sea x la longitud del lado de un cubo. ¿Es un monomio la expresión con la que calculamos su volumen? ¿De qué grado?

El volumen del cubo es x3, que es un monomio de grado 3.86 Razona si es posible expresar en forma de monomio la longitud del lado del cubo cuyo volumen es el doble del volumen

del cubo de arista x. ¿Lo es su cuadrado?

La longitud del lado del cubo cuyo volumen es 2x3 se expresa mediante el monomio: 23 x

Su cuadrado también es un monomio: 223 x2

3 Polinomios


87 Estudia si pueden expresarse mediante monomios el perímetro y el área de estas figuras.

x

x

2xx2

El perímetro del rectángulo naranja se puede expresar mediante el monomio 6x. Su área es el monomio 2x2.

El perímetro del rectángulo azul es: 2x2 + 2x, no se puede expresar mediante un monomio 6x.

Sin embargo, su área es el monomio x3.88 Responde a estas cuestiones:

a) ¿Es un monomio la expresión algebraica del perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 6x y 8x? ¿De qué grado?

b) ¿Y la expresión de su área? ¿De qué grado?

c) Si las diagonales midiesen 6x y 8x2, ¿serían monomios las expresiones de su perímetro y de su área?

a) Las semidiagonales del rombo miden 3x y 4x, así que, aplicando el teorema de Pitágoras, la longitud de su lado es

3x( )2 + 4 x( )2 = 5 x , luego el perímetro del rombo es el monomio 20x, cuyo grado es 1.

b) El área del rombo es 24x2, que es un monomio de grado 2.

c) Si las semidiagonales miden 3x y 4x2, aplicando el teorema de Pitágoras, la longitud de su lado es

3x( )2 + 4 x2( )2 = 9 x2 + 16 x4 , que no es un monomio. Luego el perímetro del rombo no puede expresarse como un monomio.

d) En este caso, el área del rombo es 24x3, que es un monomio de grado 3.89 Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = x3 − x2 + x − 1, para x = 1 y para x = 2.

P(1) = 1 − 1 + 1 − 1 = 0 P(2) = 8 − 4 + 2 − 1 = 590 Comprueba si −1 es una raíz de los polinomios:

a) P(x) = −2x40 − x9 + 1 c) R(x) = x2 − 3x + 7

b) Q(x) = 3x4 − 2x + 1 d) S(x) = −3x4 − 6x2 + 9

a) P(−1) = −2 + 1 + 1 = 0 → −1 es una raíz. c) R(−1) = 1 + 3 + 7 = 11 → −1 no es una raíz.

b) Q(−1) = 3 + 2 + 1 = 6 → −1 no es una raíz. d) S(−1) = −3 − 6 + 9 = 0 → −1 es una raíz.91 Halla el valor de a sabiendo que el valor numérico del polinomio x2 − ax + a, para x = a, es igual a 1.

P(a) = a2 − a2 + a = a → a = 192 Calcula el valor de a y de b si x = 0 y x = 2 son dos raíces del polinomio: P(x) = 3x5 − x3 + ax + b

0 es una raíz → P(0) = 0 → b = 0

2 es una raíz → P(2) = 0 → 96 − 8 + 2a = 0 → a = −44 93 Determina el valor de a y de b en la expresión del polinomio P(x) = x4 − 9x2 + ax + b, sabiendo que dos de sus raíces son

x = 1 y x = 3.

1 es una raíz → P(1) = 0 → 1 − 9 + a + b = 0 → a + b = 8

3 es una raíz → P(3) = 0 → 81 − 81 + 3a + b = 0 → b = −3a

Entonces: a − 3a = 8 → a = −4 → b = 1294 Estudia si puede ocurrir que 8a0 sea una raíz del polinomio P(x) = anx

n + … + a1x + a0 con coeficientes enteros y grado n ≥ 1.

Si a0 = 0, entonces 0 es una raíz del polinomio P(x) = anxn + … + a1x.

95 Halla dos polinomios, P(x) y Q(x), tales que el grado del polinomio suma, P(x) + Q(x), sea menor que los grados de P(x) y de Q(x).

Respuesta abierta, por ejemplo: Si P(x) = −x2 + 8x − 1 y Q(x) = x2 + 2x + 3, entonces P(x) + Q(x) = 10x + 2.

85

3Polinomios


96 Expresa mediante un polinomio el área de la figura, cuyas medidas están expresadas en centímetros.

6

15

2

x

x

x

x

a) ¿Cuál es el grado del polinomio hallado?

b) Calcula el área de la figura si x = 1,5 cm.

P(x) = 6 + (6 + 2x) ⋅ 15 − 4x2 = −4x2 + 30x + 96

a) P(x) tiene grado 2.

b) P(1,5) = −4 ⋅ 1,52 + 30 ⋅ 1,5 + 96 = 132 cm2

97 Halla la suma, la resta y el producto de los polinomios P(x) y Q(x).

a) P(x) = 4x3 − 2x + 5 Q(x) = 2 − x

b) P(x) = x3 + x2 + x + 1 Q(x) = x4 − x2 + x + 2

a) P(x) + Q(x) = 4x3 − 3x + 7 P(x) − Q(x) = 4x3 − x + 3 P(x) ⋅ Q(x) = −4x4 + 8x3 + 2x2 − 9x + 10

b) P(x) + Q(x) = x4 + x3 + 2x + 3 P(x) − Q(x) = −x4 + x3 + 2x2 − 1 P(x) ⋅ Q(x) = x7 + x6 + x4 + 2x3 + 2x2 + 3x + 2

60

3 Polinomios

61

Copia en tu cuaderno y asocia cada polinomio con sus raíces.

9x3 − 21x2 + 16x − 4 1

x3 − 3x2 + 3x − 1 23

y 1

x3 − 2x2 − x + 2 1, 2 y 3

x3 − 6x2 + 11x − 6 −1, 1 y 2

Halla las raíces de estos polinomios.

a) x − 3( ) x + 2( ) x +1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) x2 x2 − 4( ) 2x + 8( )

c) x − 20( ) x2 − 2x + 1( ) x −5( )

Factoriza los siguientes polinomios.

a) x2 + 5x − 14

b) x2 + 6x − 27

c) 2x2 + 18x + 40

Factoriza estos polinomios.

a) x3 − 5x2 + x − 5b) x4 − 2 401

c) x4 + x3 − 3x2 − 4x − 4

125

126

127

128

Factoriza las expresiones.

a) x + 2 y( )2 + 2z x + 2 y( ) + z2

b) x2 + 2x y + z( ) + y + z( )2

c) x − 4 y( )2 − 8 z x − 4 y( ) + 16 z2

d) x2 −1( )2 − 6 y x2 −1( ) + 9 y2

129

Calcula el cociente y el resto de la división:

3x4 + 27x3 − 54x2 − 18x − 6( ) : 3x − 18( )

Dado un polinomio, P(x), de grado mayor o igual que 1, halla el cociente y el resto de la división de P3(x) + 1 por P(x).

Calcula el resto que se obtiene al dividir estos polinomios, sin efectuar la división.

a) Dividendo: x17 + 1 Divisor: x + 1

b) Dividendo: x16 + x15 + x + 2 Divisor: x − 1

c) Dividendo: x14 − 4x12 + x + 12 Divisor: x − 2

Halla el valor de a para que el resto de la división del polinomio 2x6 + ax4 − x − 1 por el polinomio x + 3 sea igual a 2.

Calcula el valor de a, sabiendo que, al dividir el polinomio x3 − ax2 + x − 10 por x − 2, el resto es nulo.

Halla el valor de a para el que x3 + 3x2 − ax + 9 es divisible por el polinomio x + 3.

Halla el valor de a y b para que x2 + ax + b tenga como raíz x = 4 y que el resto de dividirlo por x + 2 sea 3.

Factorización de polinomios

Factoriza los polinomios.a) 3x2 + 6x + 3b) ax2 − 2ax + ac) 4x2 − 25d) 1 − 4x2

Factoriza las expresiones sacando factor común.

a) 5(x − y) − 4ay + 4ax b) 2a(2x + y) + 8bx + 4by

Extrae factor común y emplea las identidades notables para factorizar las expresiones.a) 9(x − y) − 4x2(x − y)b) x2(2x + y) + 2x(2x + y) + 2x + yc) x2(x − 2y) − 2x(x − 2y) + x − 2y

¿Se puede factorizar el polinomio x2 + 7 como producto de polinomios de primer grado con coeficientes racionales?

Factoriza como producto de potencias de números primos el número n = 572 − 402, sin calcular explícitamente este número.

Factoriza los polinomios propuestos.a) x3 − 4x2 + x + 6 b) x3 + 7x2 − 4x − 28c) x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6d) x3 − 2x2 − 13x − 10

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

Realiza el producto:

(x + a)(x + b + c)

cx ac

bx

x2

ab

ax

Construye una figura que represente el producto:

(x + a)(y + b)

Calcula el cociente y el resto de las divisiones:

a) x3 + 5 x2 − 3x + 8( ) : x2 + 5( )

b) x4 − x2 + x + 2( ) : x2 + x −1( )

c) 3x5 −5 x4 − 4 x2 + 3x −1( ) : x2 − 2x( )

d) 10 x3 + 2x2 −5 x( ) : 2x2 − 3( )

Copia en tu cuaderno y completa esta tabla.

Grado

Dividendo divisor cociente

3 1 O

O 2 1

5 O 2

Halla un polinomio tal que, al dividirlo por x2 − 2, dé como cociente x + 4 y como resto x + 1.

Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las divisiones.

a) x5 + 1( ) : x + 1( )

b) x5 + 1( ) : x −1( )

c) x4 − 3x2 + x + 2( ) : x – 3( )

Calcula el cociente y el resto de las divisiones aplicando la regla de Ruffini.

a) 6 x3 + 2x2 − 4 x − 9( ) : (3x − 2)

b) x3 + x2 − 3x + 2( ) : (2x −1)

c) 9 x4 + 3x3 + x2( ) : 3x −1( )

d) 2x4 − 3x3 − 2x + 8( ) : 2x − 3( )

¿Puede ser x2 + x + 1 el resto de la división de un polinomio por 3x2 + x?

El cociente de la división de P(x) = §x3 + §x2 + 6x − 3 por Q(x) = x + 5 es C(x) = 2x2 − 7x + §.

a) ¿Qué números deben ocupar los recuadros?

b) ¿Cuál es el resto de la división?

103

104

105

106

107

108

109

110

111

Expresa mediante un polinomio el área de la figura, cuyas medidas están expresadas en centímetros.

6

15

2

x

x

x

x

a) ¿Cuál es el grado del polinomio hallado?

b) Calcula el área de la figura si x = 1,5 cm.

Halla la suma, la resta y el producto de los polinomios P(x) y Q(x).

a) P(x) = 4x3 − 2x + 5

Q(x) = 2 − x

b) P(x) = x3 + x2 + x + 1

Q(x) = x4 − x2 + x + 2

Averigua los valores de a y de b para que se verifiquen las igualdades.

a) x2 + ax + 1( ) 2x3 + bx + 1( ) = 2x5 + 2x4 + x3 + 1

b) x2 − a( ) x3 − b( ) = x5 + 3x3 + x2 + 3

Si n es un número natural, efectúa la siguiente multiplicación de polinomios:

1− x + x2 −…+ x2 n − x2 n+1( ) 1+ x( )

Dados dos polinomios, P(x) y Q(x), y dos números, a y b, si el valor r es una raíz de ambos polinomios, ¿podría afirmarse que r es también una raíz del polinomio aP(x) + bQ(x)? ¿Y del polinomio P2(x) − Q3(x)? Justifica tus respuestas.

Desarrolla las expresiones.

a) 4 x4 + 2( )2 c) 1−7 x2( )2

b) 1+ 8 x3( )2 d) 5 x2 y −7 xy2( )2

Desarrolla estas expresiones.

a) 4 x + 3 y + 2z( )2 c) x − 2( )3

b) −1+ 3x + 2 y( )2 d) x2 + 2( )3

96

97

98

99

100

101

102

} Factoriza la expresión:

3x − 2y( )2 + 8z 3x − 2y( ) + 16z2

Solución

Llamamos w a la expresión: 3x − 2y

Así, reducimos la expresión del ejercicio a:

w2 + 8zw + 16z2

Observamos que esta expresión corresponde al cuadrado de una suma:

w2 + 8 zw + 16 z2 = w + 4 z( )2

Sustituimos la expresión original de w:

w + 4 z( )2 = 3x − 2 y + 4 z( )2

La factorización de la expresión corresponde al cuadrado de un trinomio.

EJERCICIO RESUELTO

Actividades Finales 3

3 Polinomios


98 Averigua los valores de a y de b para que se verifiquen las igualdades.

a) x2 + ax + 1( ) 2x3 + bx + 1( ) = 2x5 + 2x4 + x3 + 1

b) x2 − a( ) x3 − b( ) = x5 + 3x3 + x2 + 3

a) x2 + ax + 1( ) 2x3 + bx + 1( ) = 2x5 + 2ax4 + 2 + b( ) x3 + ab + 1( ) x2 + a + b( ) x + 1 = 2x5 + 2x4 + x3 + 1

Igualando los coeficientes: 2 + b = 1 → b = −1

a + b = 0 → a = 1

b) x2 − a( ) x3 − b( ) = x5 − ax3 − bx2 + ab = x5 + 3x3 + x2 + 3

Igualando los coeficientes: −a = 3 → a = −3

−b = 1 → b = −199 Si n es un número natural, efectúa la siguiente multiplicación de polinomios: 1− x + x2 −…+ x2n − x2n+1( ) 1+ x( )

1− x + x2 −…+ x2n − x2n+1( ) 1+ x( ) = 1 + x − x + x2 − x2 + … + x2n + 1 − x2n + 1 − x2n + 2 = 1 − x2n + 2

100 Dados dos polinomios, P(x) y Q(x), y dos números, a y b, si el valor r es una raíz de ambos polinomios, ¿podría afirmarse que r es también una raíz del polinomio aP(x) + bQ(x)? ¿Y del polinomio P2(x) − Q3(x)? Justifica tus respuestas.

Si r es una raíz de ambos polinomios entonces: P(r) = Q(r) = 0

Por tanto: aP(r) + bQ(r) = 0 → r es una raíz de aP(x) + bQ(x).

Del mismo modo: P2(r) − Q3(r) = 0 → r es una raíz de P2(x) − Q3(x).101 Desarrolla las expresiones.

a) 4 x4 + 2( )2 c) 1−7 x2( )2

b) 1+ 8 x3( )2 d) 5 x2 y −7 xy2( )2

c) 16x8 + 16x4 + 4 b) 64x6 + 16x3 + 1 c) 49x4 − 14x2 + 1 d) 25x4y2 − 70x3y3 + 49x2y4

102 Desarrolla estas expresiones.

a) 4 x + 3 y + 2z( )2 c) x − 2( )3

b) −1+ 3x + 2 y( )2 d) x2 + 2( )3

a) 16x2 + 9y2 + 4z2 + 24xy + 16xz + 12yz c) x3 − 6x2 + 12x − 8

b) 9x2 + 4y2 + 12xy − 6x − 4y + 1 d) x6 + 6x4 + 12x2 + 8103 Realiza el producto: (x + a)(x + b + c)

(x + a)(x + b + c) = x2 + ax + bx + cx + ab + ac104 Construye una figura que represente el producto: (x + a)(y + b)

bx ab

xy ay

(x + a)(y + b) = xy + bx + ay + ab105 Calcula el cociente y el resto de las divisiones:

a) x3 + 5 x2 − 3x + 8( ) : x2 + 5( ) c) 3x5 −5 x4 − 4 x2 + 3x −1( ) : x2 − 2x( )

b) x4 − x2 + x + 2( ) : x2 + x −1( ) d) 10 x3 + 2x2 −5 x( ) : 2x2 − 3( ) a) Cociente: x + 5 Resto: −8x − 17 c) Cociente: 3x3 + x2 + 2x Resto: 3x − 1

b) Cociente: x2 − x + 1 Resto: −x + 3 d) Cociente: 5x + 1 Resto: 10x + 3

87

3Polinomios


106 Copia en tu cuaderno y completa esta tabla.

Grado

Dividendo Divisor Cociente

3 1 3

3 2 1

5 3 2

107 Halla un polinomio tal que, al dividirlo por x2 − 2, dé como cociente x + 4 y como resto x + 1.

x2 − 2( ) x + 4( ) + x + 1 = x3 + 4 x2 − x −7108 Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las divisiones.

a) x5 + 1( ) : x + 1( ) b) x5 + 1( ) : x −1( ) c) x4 − 3x2 + x + 2( ) : x – 3( )

a) Cociente: x4 − x3 + x2 − x + 1 Resto: 0

b) Cociente: x4 + x3 + x2 + x + 1 Resto: 2

c) Cociente: x3 + 3x2 + 6x + 19 Resto: 59

109 Calcula el cociente y el resto de las divisiones aplicando la regla de Ruffini.

a) 6 x3 + 2x2 − 4 x − 9( ) : (3x − 2) c) 9 x4 + 3x3 + x2( ) : 3x −1( )

b) x3 + x2 − 3x + 2( ) : (2x −1) d) 2x4 − 3x3 − 2x + 8( ) : 2x − 3( )

a) Cociente: 2x2 + 2x Resto: −9

b) Cociente: 1

2x2 +

3

4x −

9

8 Resto:

7

8

c) Cociente: 3x3 + 2x2 + x +1

3 Resto:

1

3

d) Cociente: x3 − 1 Resto: 5110 ¿Puede ser x2 + x + 1 el resto de la división de un polinomio por 3x2 + x?

No puede ser pues el grado del resto de una división ha de ser menor que el grado del divisor.111 El cociente de la división de P(x) = §x3 + §x2 + 6x − 3 por Q(x) = x + 5 es C(x) = 2x2 − 7x + §.

a) ¿Qué números deben ocupar los recuadros?

b) ¿ Cuál es el resto de la división?

a) P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x)

Como el grado de Q(x) es 1, el resto de la división debe ser un número para que su grado sea menor.

Entonces: §x3 + §x2 + 6 x − 3 = x + 5( ) 2x2 −7 x + §( ) + a

§x3 + §x2 + 6 x − 3 = 2x3 + 3x2 + §− 35( ) x + 5§ + a

Así, en el primer recuadro de P(x) debe aparecer un 2 y en el segundo un 3. En el recuadro de C(x) falta el número 41.

b) Para hallar el resto de la división: −3 = 5 ⋅ 41 + a → a = −208

112 Calcula el cociente y el resto de la división: 3x4 + 27x3 − 54x2 − 18x − 6( ) : 3x − 18( )

Simplificamos los radicales: 3x4 + 3 3x3 − 3 6x2 − 3 2x − 6( ) : 3x − 3 2( )

Dividimos ambos polinomios por 3: x4 + 3x3 − 6x2 − 2x − 2( ) : x − 2( )

Aplicamos la regla de Ruffini para dividir y obtenemos el cociente: C ( x ) = x3 + 3 + 2( ) x2 + 2x + 2

Como la división es exacta, el resto es 0.113 Dado un polinomio, P(x), de grado mayor o igual que 1, halla el cociente y el resto de la división de P(x)3 + 1 por P(x).

Observamos que al dividir x3 + 1 por x obtenemos como cociente x2 y como resto 1.

Del mismo modo, al dividir P(x)3 + 1 por P(x) obtenemos como cociente P(x)2 y como resto 1.

3 Polinomios


114 Calcula el resto que se obtiene al dividir estos polinomios, sin efectuar la división.

a) Dividendo: x17 + 1 Divisor: x + 1

b) Dividendo: x16 + x15 + x + 2 Divisor: x − 1

c) Dividendo: x14 − 4x12 + x + 12 Divisor: x − 2

a) R = P(−1) = 0 b) R = P(1) = 5 c) R = P(2) = 14115 Halla el valor de a para que el resto de la división del polinomio 2x6 + ax4 − x − 1 por el polinomio x + 3 sea igual a 2.

Aplicando el teorema del resto: P −3( ) = 2 → 2 ⋅ −3( )6 + a ⋅ −3( )4 − −3( )−1 = 2 → 1 458 + 81a + 2 = 2 → a = 18116 Calcula el valor de a, sabiendo que, al dividir el polinomio x3 − ax2 + x − 10 por x − 2, el resto es nulo.

Aplicando el teorema del resto: P(2) = 0 → 23 − a ⋅ 22 + 2 − 10 = 0 → −4a = 0 → a = 0117 Halla el valor de a para el que el x3 + 3x2 − ax + 9 es divisible por el polinomio x + 3.

Aplicando el teorema del resto: P −3( ) = 0 → −3( )3 + 3 ⋅ −3( )2 − a ⋅ −3( ) + 9 = 0 → 3a + 9 = 0 → a = −3 118 Halla el valor de a y b para que x2 + ax + b tenga como raíz x = 4 y que el resto de dividirlo por x + 2 sea 3.

Aplicando el teorema del resto:

P(4) = 0 → 42 + a ⋅ 4 + b = 0 → b = −16 − 4a

P (−2) = 3 → −2( )2 + a ⋅ −2( )−16− 4a = 3 → −6a−12 = 3 → −5

2→ b = −6

119 Factoriza los polinomios.

a) 3x2 + 6x + 3 b) ax2 − 2ax + a c) 4x2 − 25 d) 1 − 4x2

a) 3 x + 1( )2 b) a x −1( )2 c) (2x + 5)(2x − 5) d) (1 + 2x)(1 − 2x) 120 Factoriza las expresiones sacando factor común.

a) 5(x − y) − 4ay + 4ax b) 2a(2x + y) + 8bx + 4by

a) 5(x − y) + 4a(x − y) = (5 + 4a)(x − y) b) 2a(2x + y) + 4b(2x + y) = (2a + 4b)(2x + y) = 2(a + 2b)(2x + y)121 Extrae factor común y emplea las identidades notables para factorizar las expresiones.

a) 9(x − y) − 4x2(x − y)

b) x2(2x + y) + 2x(2x + y) + 2x + y

c) x2(x − 2y) − 2x(x − 2y) + x − 2y

a) 9− 4 x2( ) x − y( ) = 3 + 2x( ) 3− 2x( ) x − y( )b) x2 + 2x + 1( ) 2x + y( ) = x + 1( )2 2x + y( )c) x2 − 2x + 1( ) x − 2 y( ) = x −1( )2 x − 2 y( )

122 ¿Se puede factorizar el polinomio x2 + 7 como producto de polinomios de primer grado con coeficientes racionales?

Suponemos que es posible factorizar el polinomio x2 + 7 = (ax + b)(cx + d) con a y c no nulos.

Entonces si x = −b

a→ −

b

a

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 7 = a ⋅ −b

a

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + b

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ c ⋅ −

b

a

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + d

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 0 →

b2

a2+ 7 = 0

La suma de números positivos no puede resultar 0, así que concluimos que no es posible factorizar x2 + 7 de esta forma.123 Factoriza como producto de potencias de números primos el número n = 572 − 402, sin calcular explícitamente este nú-

mero.

n = 572 − 402 = (57 + 40)(57 − 40) = 97 ⋅ 17124 Factoriza los polinomios propuestos.

a) x3 − 4x2 + x + 6 c) x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6

b) x3 + 7x2 − 4x − 28 d) x3 − 2x2 + 3x − 10

a) (x + 1)(x − 2)(x − 3) c) (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x − 3)

b) (x − 2)(x + 2)(x + 7) d) (x + 1)(x + 2)(x − 5)

89

3Polinomios


125 Copia en tu cuaderno y asocia cada polinomio con sus raíces.

9x3 − 21x2 + 16x − 4 1

x3 − 3x2 + 3x − 1 23

y 1

x3 − 2x2 − x + 2 1, 2 y 3

x3 − 6x2 + 11x − 6 −1, 1 y 2

9x3 − 21x2 + 16x − 4 → 2

3 y 1 x3 − 2x2 − x + 2 → −1, 1 y 2

x3 − 3x2 + 3x − 1 → 1 x3 − 6x2 + 11x − 6 → 1, 2 y 3 126 Halla las raíces de estos polinomios.

a) x − 3( ) x + 2( ) x +1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b) x2 x2 − 4( ) 2x + 8( ) c) x − 20( ) x2 − 2x + 1( ) x −5( )

a) x = 3, x = −2, x = −1

3 b) x = 0, x = −2, x = 2, x = −4 c) x = 20, x = 1, x = 5

127 Factoriza los siguientes polinomios.

a) x2 + 5x − 14 b) x2 + 6x − 27 c) 2x2 + 18x + 40

a) (x − 2)(x + 7) b) (x − 3)(x + 9) c) 2(x + 4)(x + 5) 128 Factoriza estos polinomios.

a) x3 − 5x2 + x − 5 b) x4 − 2 401 c) x4 + x3 − 3x2 − 4x − 4

a) x −5( ) x2 + 1( ) b) x −7( ) x + 7( ) x2 + 49( ) c) x − 2( ) x + 2( ) x2 + x + 1( )

129 Factoriza las expresiones.

a) x + 2 y( )2 + 2z x + 2 y( ) + z2 c) x − 4 y( )2 − 8 z x − 4 y( ) + 16 z2

b) x2 + 2x y + z( ) + y + z( )2 d) x2 −1( )2 − 6 y x2 −1( ) + 9 y2

a) x + 2 y + z( )2 c) x − 4 y + 4 z( )2

b) x + y + z( )2 d) x2 −1− 3 y( )2

7. teorema del resto. factorización · pdf file3 polinomios 80 unidades...

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