polinomios, factorización y expresiones racionales

7/25/2019 Polinomios, Factorizacin y Expresiones Racionales

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Trabajar en lgebra consiste en manejar relaciones numricas en las que una o ms cantidadesson desconocidas. Estas cantidades se l laman variables, incgnitas o indeterminadas y serepresentan por le t ras.

Una expresin algebraica es una combinacin de letras y nmeros l igadas por los s ignos de lasoperaciones: adic in, sustraccin, mult ip l icacin, div is in y potenciacin.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hal lar reas y volmenes.

Longitud de la circunferencia: 2r, donde r es el radio de la circunferencia. rea del cuadrado: S = l 2, donde l es el lado del cuadrado.Volumen del cubo: V = a3 , donde a es la arista del cubo.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS COMUNES

El doble o duplo de un nmero: 2x

El tr ip le de un nmero: 3x

E l cudruplo de un nmero: 4x

La mi tad de un nmero: x/2

Un terc io de un nmero: x/3

Un cuarto de un nmero: x/4

Un nmero es proporcional a 2, 3, 4.. . : 2x, 3x, 4x...

Un nmero a l cuadrado: x

Un nmero a l cubo: x

Un nmero par: 2x

Un nmero impar: 2x + 1

Dos nmeros consecut ivos: x y x + 1

Dos nmeros consecut ivos pares: 2x y 2x + 2

Dos nmeros consecut ivos impares: 2x + 1 y 2x + 3

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 x

La suma de dos nmeros es 24: x y 24 x

La diferencia de dos nmeros es 24: x y 24 + x

El producto de dos nmeros es 24: x y 24/x

El cociente de dos nmeros es 24: x y 24 x

MONOMIOSUn monomio es una expresin algebraica en la que las nicas operaciones que aparecen

entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

2x2 y3z

Partes de un monomio

1 Coef icient e

E l coef ic iente de l monomio es e l nmero que aparece mul t ip l icando a las var iab les.

2 Parte l i tera l

La parte l i teral est consti tu ida por las letras y sus exponentes.


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3 G ra do

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

El grado de 2x2y3z es: 2 + 3 + 1 = 6

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando t ienen la misma parte l i teral.

2x2y3 z es semejante a 5x 2y3 z

OPERACIONES CON MONOMIOS

1. Suma de monomios

Slo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que t iene la misma parte l i teral y cuyo

coefic iente es la suma de los coefic ientes.

axn + bxn= (a + b)xn

Ejemplo

2x2y

3z + 3x

2y

3z = (2 + 3)x

2y

3z = 5x

2y

3z

Si los monomios no son semejantes, a l sumarlos, se obt iene un po l inomio.

Ejemplo:

2x2y

3+ 3x

2y

3z

2. Producto de un nmero por un monomio

El producto de un nmero por un monomio es otro monomio semejante cuyo coefic iente es el

producto de l coef ic iente de l monomio por e l nmero.

Ejemplo:

5 (2x2y

3z) = 10x

2y

3z

3. Mult ipl icacin de monomios

La mult ip l icacin de monomios es otro monomio que t iene por coefic iente el producto de los

coefic ientes y cuya parte l i teral se obtiene mult ip l icando las potencias que tengan la misma

base, es decir, sumando los exponentes.

axn bxm= (a b)xn + m

Ejemplo:

(5x2y

3z) (2y

2z

2) = (2 5) x

2y

3 + 2z

1 + 2= 10x

2y

5z

3


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4. Divisin de monomios

Slo se pueden div idir monomios cuando:

1 Tienen la misma parte l i tera l

2 El grado del div idendo es mayor o igual que el del div isor

La div is in de monomios es otro monomio que t iene por coefic iente el cociente de los

coefic ientes y cuya parte l i teral se obtiene div idiendo las potencias que tengan la misma

base, es decir, restando los exponentes.

axn : bxm = (a : b)xn m

Ejemplo:

Si el grado del div isor es mayor, obtenemos una fraccin algebraica .

Ejemplo:

5. Potencia de un monomio

Para real izar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que

ind ique la potenc ia .

(axn) m = am xn m

Ejemplos:

(2x3)

3= 2

3 (x

3)

3= 8x

9

(3x2)

3= (3)

3 (x

2)

3= 27x

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POLINOMIOSUn polinomio es una expresin algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an 1x

n 1+ an 2xn 2+ ... + a1x

1+ a0

Siendo:an, an1... a1, aonmeros, llamados coeficientes

n un nmero naturalx la variable o indeterminadaanes el coeficiente principalaoes el trmino independiente


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Grado de un Polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Segn su grado los polinomios pueden ser de:

TIPO EJEMPLO

PRIMER GRADO P(x) = 3x + 2

SEGUNDO GRADO P(x) = 2x2+ 3x + 2

TERCER GRADO P(x) = x3 2x2+ 3x + 2

Tipos de polinomios

1 Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x2

+ 0x + 0

2 Polinomio homogneo

Es aquel polinomio en el que todos sus trminos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x2 + 3xy

3 Polinomio heterogneo

Es aquel polinomio en el que no todos sus trminos no son del mismo grado.

P(x) = 2x3

+ 3x2 3

4 Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los trminos desde el trmino independiente hasta el trmino de mayor grado.

P(x) = 2x3+ 3x

2+ 5x 3

5 Polinomio incompleto

Es aquel polinomio que no tiene todos los trminos desde el trmino independiente hasta el trmino de mayorgrado.

P(x) = 2x3+ 5x 3

6 Polinomio ordenado

Un polinomio est ordenado si los monomios que lo forman estn escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x3+ 5x 3

7 Polinomios iguales


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Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los coeficientes de los trminos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x3+ 5x 3

Q(x) = 5x 3 + 2x

3

8 Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.P(x) = 2x

3+ 5x 3

Q(x) = 3x3+ 7x 2

Valor numrico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un nmero cualquiera.

P(x) = 2x3+ 5x 3 ; x = 1

P(1) = 2 13+ 5 1 3 = 2 + 5 3 = 4

SUMA DE POLINOMIOSPara sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los trminos del mismo grado.

P(x) = 2x3+ 5x 3 Q(x) = 4x 3x

2+ 2x

3

1 Ordenamos los polinomios, si no lo estn.

Q(x) = 2x3 3x

2+ 4x

P(x) + Q(x) = (2x3+ 5x 3) + (2x

3 3x

2+ 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3+ 2x

3 3 x

2+ 5x + 4x3

3 Sumamos los monomios semejantes.P(x) + Q(x) = 2x3+ 2x3 3 x2+ 5x + 4x 3

Tambin podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantesqueden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x4

+ 4x2+ 7x + 2

Q(x) = 6x3+ 8x +3

P(x) + Q(x) =

= 7x4+ 6x

3+ 4x

2+ 15x + 5


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Resta de polinomios

La resta de pol inomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) Q(x) = (2x3+ 5x 3) (2x

3 3x

2+ 4x)

P(x) Q(x) = 2x3+ 5x 3 2x

3+ 3x

2 4x

P(x) Q(x) = 2x3 2x

3+ 3x

2+ 5x 4x 3

P(x) Q(x) = 3x

2

+ x 3

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

1. Mult ipl icacin de un nmero por un polinomio

Es otro pol inomio que t iene de grado el mismo del pol inomio y como coefic ientes el producto

de los coef ic ientes de l po l inomio por e l nmero y de jando las mismas partes l i tera les.

Ejemplo

3 (2x3 3x

2+ 4x 2) = 6x

3 9x

2+ 12x 6

2. Mult ipl icacin de un monomio por un polinomio

Se mul t ip l ica e l monomio por todos y cada uno de los monomios que forman e l po l inomio.

Ejemplo:

3x2 (2x

3 3x

2+ 4x 2) =

= 6x5 9x

4+ 12x

3 6x

2

3. Mult ipl icacin de polinomios

Este t ipo de operaciones se puede l levar a cabo de dos formas dist intas.

Mira la demostrac in con e l s igu iente e jemplo:

P(x) = 2x2

3 Q(x) = 2x3 3x

2+ 4x

OPCIN 1

1 Se mult ip l ica cada monomio del primer pol inomio por todos los elementos del segundo

pol inomio.

P(x) Q(x) = (2x2 3) (2x

3 3x

2+ 4x) =

= 4x5

6x4+ 8x

3 6x

3+ 9x

2 12x =

2 Se suman los monomios de l mismo grado.

= 4x5 6x

4+ 2x

3+ 9x

2 12x

3 Se obtiene otro pol inomio cuyo grado es la suma de los grados de los pol inomios que se

mul t ip l ican.

Grado del po l inomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5


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OPCIN 2

DIVISION O COCIENTE DE POLINOMIOS

Para expl icar la d iv is in de po l inomios nos va ldremos de un e jemplo prct ico:

P(x) = x5+ 2x

3 x 8 Q(x) = x

2 2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo . S i e l po l inomio no es completo dejamos huecosenlos lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x

2= x

3

Multiplicamos cada trmino del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamosdel polinomio dividendo:

Volvemos a dividir e l primer monomio del div idendo entre el primer monomio del div isor. Y el

resultado lo mult ip l icamos por el div isor y lo restamos al div idendo.

2x

4

: x

2

= 2 x

2


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Procedemos igual que antes.

5x3 : x

2= 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x

2= 8

10x 16 es el resto , porque su grado es menor que el del divisory por tanto no se

puede continuar div idiendo.

x3 + 2x2 + 5x + 8 es e l cociente .

Regla de RuffiniPaolo Ruff ini (1765, 1822) fue un matemtico i ta l iano, que estableci un mtodo ms breve

para hacer la divisin de polinomios , cuando e l divisor es un binomio de la forma x a .

Para expl icar los pasos a apl icar en la regla de Ruff ini vamos a tomar de e jemplo la d iv is in:

(x4 3x

2+ 2 ) : (x 3)


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1 Si el pol inomio no es completo, lo completamos aadiendo los trminos que faltan con

ceros.

2 Colocamos los coefic ientes del div idendo en una l nea.

3 Abajo a la izqu ierda colocamos el opuesto del trmino independendiente del div isor .

4 Trazamos una raya y bajamos el primer coefic iente.

5 Mult ip l icamos ese coefic iente por el div isor y lo colocamos debajo del s iguiente trmino.

6 Sumamos los dos coef ic ientes.

7 Repet imos e l proceso anter ior .

Volvemos a repetir e l proceso.

Volvemos a repetir.

8 El l t imo nmero obten ido, 56, es e l res to.

9 El cociente es un pol inomio de grado inferior en una unidad al div idendo y cuyos

coefic ientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18


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Ejemplo

D iv id i r por la reg la de Ruf f in i :

(x5 32) : (x 2)

IDENTIDADES NOTABLES

Binomio al cuadrado

(a + b)2= a2+ 2 a b + b2

(a b)2= a2 2 a b + b2

Ejemplos

1. (x + 3)2= x 2+ 2 x 3 + 32= x 2+ 6 x + 9

2. (2x 3)2= (2x)2 2 2x 3 + 32= 4x2 12 x + 9

Suma por diferencia

(a + b) (a b) = a2

b2

Ejemplo

1. (2x + 5) (2x - 5) = (2x)252= 4x2 25

2. (2x + y) (2x y) = (2x)2(y)2= 4x4 y6

Binomio al cubo

(a + b)3= a3+ 3 a2 b + 3 a b2+ b3

(a b)3= a3 3 a2 b + 3 a b2 b3

Ejemplos

1. (x + 3)3=

= x3+ 3 x

2 3 + 3 x 3

2+ 3

3=

= x3+ 9x

2+ 27x + 27

2. (2x 3)3=

= (2x)3 3 (2x)

2 3 + 3 2x 3

2 3

3=

= 8x3 36x

2+ 54x 27


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Trinomio al cuadrado

(a + b + c)2= a2+ b2+ c2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c

Ejemplo

(x2x + 1)

2=

= (x2)2+ (x)

2+ 1

2+ 2 x2 (x) + 2 x2 1 + 2(x) 1=

= x

4

+ x

2

+ 1 2x

3

+ 2x

2

2x== x

4 2x

3+ 3x

2 2x + 1

Suma de cubos

a3+ b3= (a + b) (a2 ab + b2)

Ejemplo

8x3+ 27 =

= (2x + 3) (4x2 6x + 9)

Diferencia de cubosa3b3= (a b) (a2+ ab + b2)

Ejemplos

8x327 =

= (2x 3) (4x2+ 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un trmino comn

(x + a) (x + b) = x2+ (a + b) x + ab

Ejemplos

(x + 2) (x + 3) =

= x2+ (2 + 3) x + 2 3 =

= x2+ 5x + 6

RAICES DE UN POLINOMIO

Teorema del factor

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x a) si y slo si P(x = a) = 0.

Al valorx = ase le llama razo cerode P(x).

Races de un polinomio

Son los valores que anulan el polinomio.

Ejemplo

Calcular las races del polinomio:

P(x) = x2 5x + 6

P(2) = 22 5 2 + 6 = 4 10 + 6 = 0

P(3) = 32 5 3 + 6 = 9 15 + 6 = 0


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x = 2 y x = 3 son races o ceros del polinomio : P(x) = x2 5x + 6, porqueP(2) = 0 y P(3) = 0.

Propiedades de las races y factores de un polinomio

1 Los ceros o races enteras de un polinomio son divisores del trmino independiente del polinomio.

2A cada raz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x a).

3 Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x a),

que se correspondan a las races, x = a, que se obtengan.

Ejemplo

x2 5x + 6 = (x 2) (x 3)

4 La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

5 Todo polinomio que no tenga trmino independiente admite como raz x = 0, o lo que es lo mismo, admite

como factor x.

Ejemplo x

2+ x = x (x + 1)

Races: x = 0 y x = 1

6 Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

Ejemplo

P(x) = x2+ x + 1

Clculo de las races y factores de un polinomio

Partimos de los divisores del trmino independiente, con estos valores aplicamos el teorema del resto y sabremospara que valores la divisin es exacta.

Ejemplo

Q(x) = x2x 6

Los divisores del trmino independiente son: 1, 2, 3.

Q(1) = 12 1 6 0

Q(1) = (1)2 (1) 6 0

Q(2) = 22

2 6 0

Q(2) = (2)2 (2) 6 = 4 + 26 = 0

Q(3) = 32 3 6 = 9 3 6 = 0

Las races son: x = 2 y x = 3.

Q(x) = (x + 2) (x 3)


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FACTORIZACION DE UN POLINOMIO

Sacar factor comn

Consiste en aplicar la propiedad distributiva:

a b + a c + a d = a (b + c + d)

Ejemplos

Descomponer en factores sacando factor comn y hallar las races

1. x3+ x2= x2(x + 1)

La races son: x = 0y x = 1

2. 2x4+ 4x2= 2x2(x2+ 2)

Slo tiene una raz x = 0; ya que el polinomio, x2+ 2, no tiene ningn valor que lo anule; debido a

que al estar la x al cuadrado siempre dar un nmero positivo, por tanto es irreducible.

3. x2 ax bx + ab =x (x a) b (x a) = (x a) (x b)

La races son x = ay x = b.

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 b

2= (a + b) (a b)

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las races

1. x2 4 =(x + 2) (x 2)

Las races son x = 2y x = 2

2. x4 16 = (x2+ 4) (x2 4) =

= (x + 2) (x 2) (x2+ 4)

Las races son x = 2y x = 2

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a2 2 a b + b

2= (a b)

2

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las races

1.

La raz esx = 3, y se dice que es una raz doble.


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2.

La raz es x = 2.

Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax2+ bx + c , se iguala a cero y se

resuelve la ecuacin de 2 grado. Si las soluciones a la ecuacin son x1y x2, el polinomio descompuesto

ser:

ax2+ bx + c = a (x x1) (x x2)

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las races1.

Las races son x = 3y x = 2.

2.

Las races son x = 3y x = 2.


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Trinomios de cuarto grado de exponentes pares

Para hallar las races se iguala a cero y se resuelve laecuacin bicuadrada.

Ejemplos

1. x4 10x2+ 9

x2= t

x4 10x2+ 9 = 0

t2 10t + 9 = 0

x4 10x2+ 9 = (x + 1) (x 1) (x + 3) (x 3)

2. x4 2x2 3

x2= t

t2 2t 3 = 0

x4 2x2+ 3 = (x2+ 1) (x + ) (x )

Factorizacin de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las races enteras.

Los pasos a seguir los veremos con el polinomio:

P(x) = 2x4+ x

3 8x

2 x + 6

1 Tomamos los divisores del trmino independiente: 1, 2, 3.

2 Aplicando elteorema del restosabremos para que valores la divisin es exacta.
http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.htmlhttp://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.htmlhttp://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.htmlhttp://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.html


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P(1) = 2 14+ 1

3 8 1

2 1 + 6 = 2 + 1 8 1 + 6 = 0

3 Dividimos por Ruffini.

4 Por ser la divisin exacta, D = d c

(x 1) (2x3+ 3x

2 5x 6 )

Una raz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podra estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 13+ 3 1

2 5 1 6 0

P(1) = 2 (1)3+ 3 (1)

2 5 (1) 6 = 2 + 3 + 5 6 = 0

(x 1) (x + 1) (2x2+x 6)

Otra raz es x = 1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuacin de 2 grado o tal como venimos hacindolo,

aunque tiene el inconveniente de que slo podemos encontrar races enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por 1.

P(1) = 2 (1)2+ (1) 6 0

P(2) = 2 22+ 2 6 0

P(2) = 2 (2)2+ (2) 6 = 2 4 2 6 = 0

(x 1) (x + 1) (x + 2) (2x 3)

Sacamos factor comn2 en ltimo binomio y encontramos una raz racional.

2x 3 = 2 (x 3/2)


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La factorizacin del polinomioqueda:

P(x) = 2x4+ x

3 8x

2 x + 6 = 2 (x 1) (x +1) (x +2) (x 3/2)

Las races son : x = 1, x = 1, x = 2 y x = 3/2

Races racionales

Puede suceder que el polinomio no tenga races enteras y slo tenga races racionales.

En este caso tomamos los divisores del trmino independiente dividido entre los divisores del trmino

con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x) = 12x3+ 8x

2 3x 2

Probamos por: .

Sacamos factor comn 12 en el tercer factor.


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FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fraccin algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:

P(x) es el numerador.

Q(x) es el denominador.

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas

son equivalentes, y lo representamos por:

si se verifica que P(x) S(x) = Q(x) R(x).

Ejemplo

son equivalentesporque:

(x+2) (x 2) = x2 4

Dada una fraccin algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fraccinpor un

mismo polinomio distinto de cero, la fraccin algebraica resultante es equivalente a la dada.

Simplificacin de fracciones algebraicas

Para simplificar una fraccin algebraica se divide el numerador y el denominador de la fraccin por un

polinomio que sea factor comn de ambos. EJEMPLO:


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Amplificacin de fracciones algebraicas

Para amplificar una fraccin algebraica se multiplica el numerador y el denominador de la fraccin por

un polinomio.

Ejemplo

REDUCCION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS A COMUN DENOMINADOR

Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a comn denominador es encontrar dosfracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador.

Pasos para reducir a comn denominador

Nos valdremos de las fracciones siguientes:

1.Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mnimo comnmltiplo, que ser el comn denominador.

x2 1 = (x + 1) (x 1)

x2+ 3x + 2 = (x +1 ) (x + 2)

m.c.m. (x2 1, x 2+ 3x + 2) = (x + 1) (x 1) (x + 2)

2.Dividimos el comn denominador entre los denominadores de las fracciones dadasy el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

polinomios, factorización y expresiones racionales

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