vista folleto cuadraticas factorización y racionales

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Autor: Profesor Fernando Chicas Romero

ÍNDICE

Ecuaciones de segundo grado 2Fórmula general 3Propiedades del discriminante 4Homogenización y procesos varios 6Productos notables 8Casos particulares de ecuaciones cuadráticas de la forma 8Métodos alternativos para resolver una ecuación cuadrática 10División sintética 10Factorización 12Solución de ecuaciones de cuadráticas por medio de la factorización de polinomios

15

Uso de la tecnología al factorizar polinomios y resolver ecuaciones cuadráticas

17

Fracciones racionales 18Simplificación de fracciones racionales 18Mínimo común múltiplo (MCM) de polinomios 19Suma y resta de fracciones racionales 20Multiplicación de fracciones racionales 22División de fracciones racionales 22EJERCICIOS 24Trabajos extraclase 27Examen de práctica 29

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TemaEcuaciones de segundo grado, con una incógnita

Objetivo:Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita por medio de diferentes métodos.

¿Qué es una ecuación?Una ecuación es la igualdad que se cuestiona entre dos expresiones algebraicas

¿Qué es la solución de una ecuación?La o las soluciones de una ecuación, son aquellos valores que hacen efectiva la igualdad, dado que la ecuación planteada no es igual para todos los valores en general, claro esta que existen ecuaciones que tienen soluciones infinitas.

Ejemplo3x -5 = 2x + 6 solución x = 11

Verificación

3(11) – 5 = 2(11) + 633 – 5 = 22 + 628 = 28

Tipos de ecuaciónExisten diversos tipos de ecuaciones, de acuerdo a su forma, cantidad de incógnitas e incluso de acuerdo a sus comandosTipos de ecuaciones

Ecuación lineal de primer grado, con una incógnita.Ecuación de primer grado, con dos incógnitas.Ecuación de segundo grado, con una incógnita.

Ecuación de segundo grado, con tres

incógnitas. Ecuación trigonométrica con una incógnita.

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Las ecuaciones también varían en la cantidad de soluciones que poseen, por ejemplo las ecuaciones polinómicas de la forma

donde tienen hasta a lo sumo n soluciones, o sea de acuerdo al exponente

Por ejemplo la ecuación 3x = 2 tiene una solución y la ecuación 4x – 1 = 4x no tiene solución

A continuación estudiaremos las ecuaciones cuadráticas con una incógnita.

Forma General de la ecuación cuadrática con una incógnita

ax2 + bx + c = 0 , donde a, b, c son números reales.Describamos los métodos para resolver este tipo de ecuaciones

Fórmula general.Mediante el álgebra y el método de completitud de cuadrados, , se establecerá la formula general, para encontrar las soluciones de este tipo de ecuación. Este proceso requiere la aplicación de productos notables

Note de la formula notable (x + a) 2 = x2 + 2ax + a2 que a2 es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término.

Deducción de la formula general

donde = b2 – 4ac se le conoce como discriminante.

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Sea la ecuación ax2 + bx + c = 0Sacando a factor común a, se obtiene

Sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término se obtiene

Juntando adecuadamente los términos

Se obtiene

De esta forma las soluciones de la ecuación cuadrática quedan

Nota: El proceso aplicado es necesario para despejar la incógnita en su forma más general.

Logrando así despejar la variable x, simplificando se obtiene

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y

De dicha fórmula se define el discriminante del cual se deducen varias propiedades

PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE

1) Si da como resultado un número negativo, se deduce con la formula general que no posee soluciones en IR

2) Si da como resultado un número positivo, se deduce con la formula general que posee dos soluciones en IR

3) Si da como resultado cero, se deduce con la formula general que posee una solución en IR y esta toma la forma

Ejemplos donde se aplica la formula general obtenida.

1) 3x2 – 5x + 7 = 0a = 3 b = -5 c = 7

2)Primero igualar a cero

a = 3 b = -4 c = -9

Nota: -b es un cambio de signo en la constante b

Detalles de esta ecuación, cuando en el radical se pueden extraer factores, se simplifica la expresión, en este caso el número 124 era factorizable, por tanto se deben extraer factores del radical

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3)

a = 2 b = 5 c = -45

124 262 231 311 =22.31

En este caso 385 no tiene factores para extraer, por lo que se conserva

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4)a = 4 b = -12 c = 9

donde la solución toma la forma de

5)

primero se iguala a cero

Recomendación: Cuando el coeficiente ¨a¨ sea negativo, transforme el signo de todos los términos. Esto no afecta el resultado o soluciones. Esto no quiere decir que no se puede trabajar con el signo negativo, pero facilita el proceso. Para más información preguntar al profesor.

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a = 6 b = -11 c = -10

Homogenización y otrosAhora bien no toda ecuación se nos presente en una forma

agradable para su análisis, existirán casos donde deberemos aplicar varias herramientas para transformarla a su forma general, a continuación se resolverán algunas ecuaciones que derivan en ecuaciones cuadráticas con una incógnita

Ejemplos

361 1919 19

1 =192

Detalles de esta ecuación, cuando en el radical se pueden extraer factores, se simplifica la expresión, en este caso el número 361 tiene raíz exacta, por tanto se obtiene dicha raíz eliminando el radical y simplificar al máximo la fracción resultante

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1) ,

Primero obtenemos el mcm de los denominadores

Dicho resultado se coloca como común denominador a las fracciones y se divide por cada denominador, multiplicando por el numerador respectivo

En este punto se eliminan los denominadores ¿porqué?

de donde se obtiene al multiplicar

igualando a cero

Para su solución podemos recurrir a varios procesos, pero si lo que buscamos es transformar a la forma general ax2 + bx + c = 0, con a,b,c enteros, el mejor camino es por medio de la homogenización de fracciones. A continuación ilustraremos el proceso, paso a paso

primero debemos desarrollar el segundo producto notable

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2)

Igualando a cero

336 2168 2

84 242 221 3

7 71 =24.3.7

324 2162 2

81 327 3

9 33 31 =22.34

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Note que el ejercicio anterior requiere del uso de las formulas notables, por lo que resulta indispensable repasarlas

Productos notables

CASOS PARTICULARES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS DE LA FORMA

Un caso muy interesante son todas las ecuaciones donde se logra despejar la incógnita a la forma xn = c, en estas ecuaciones se puede obtener el valor de la incógnita realizando el proceso inverso, en otras palabras aplicando raíz a ambos lados de la igualdad, de donde se obtiene

Si el índice n es impar la solución es , pero si el índice es par la solución es , esto se debe a que en la ecuación original el número al tener un exponente par elimina el signo y el resultado es positivo. Note además que si n es par y c es negativo la ecuación no tiene solución en IREjemplos

1) 2) 3)

Realicemos en caso de duda la comprobación del ejemplo x2 = 4

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Comprobación para x = 2 Comprobación para x = -2

por lo que se observa que ambas soluciones satisfacen la igualdad.

Este proceso lo podemos aplicar en casos aún más generales, ahorrando mucho trabajo a la hora de resolver una ecuación cuadrática, por ejemplo retomemos el ejercicio , resuelto anteriormente.Si logramos despejar el producto notable a una constante, podremos aplicar la misma idea que en los casos de

Ejemplo despejando se obtiene

Métodos alternativos para resolver una ecuación cuadrática

En este apartado se ilustraran otras formas para obtener el conjunto solución, cabe recalcar que estos métodos son aplicables solo en el caso de poseer soluciones racionales, si la (s) solución(es) de la ecuación es (son) irracional(es) solo la fórmula general las determina

Ahora aplicando el mismo proceso inverso, raíz a ambos lados

Logrando dos ecuaciones de primer grado, que se resuelven

Lo cual coincide con el resultado obtenido anteriormente

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Por división sintética

Antes de ilustrar este método se recordaran dos teoremas importantes

Definición Cero de un polinomio o raíz

Teorema del factor

(este teorema se retomara en el tema de factorización)

Teorema del residuo

Cuando se logra expresar la ecuación cuadrática a su forma ax2 + bx + c = 0 las posibles soluciones racionales de la ecuación son de la

forma , donde p y q son los divisores de las constantes c y a,

respectivamente. Por ejemplo para la ecuación , las

Si d es un cero de un polinomio (en particular ax2 + bx + c), entonces (x – d) es un factor o divisor del polinomio

Se dice que un número “d” es un cero del polinomio (en particular a ax2 + bx + c) si al sustituir la variable x, el resultado es igual a cero, o sea una solución de la ecuación ax2 + bx + c = 0

Si el residuo de dividir un polinomio (en particular ax2 + bx + c) por (x – d) es igual a cero entonces d es un cero del polinomio, o sea una solución de la ecuación ax2 + bx + c = 0

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soluciones corresponden a , note que -2 y 4 son divisores de -8

y 3 es un divisor de 9.

Tratemos de resolver una ecuación cuadrática por este método, aunque laborioso es una forma segura de encontrar las soluciones racionales de cualquier tipo de ecuación polinómica

Ejemplo

1) 15x2 – x – 6 = 0primero tomamos los coeficientes numéricos a, b y c en ese orden y los colocamos en la siguiente tabla

divisores de -6{-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}divisores de 15 {-15,-5 , -3, -1, 1, 3, 5, 15}

de donde las posibles soluciones resultan de esta combinaciónposibles soluciones

note que las posibles soluciones son bastantes, pero la práctica hace discriminar con mayor facilidad las más probables

15 -1 -6

15 -1 -6 -3-5 2

15 -6 -4

En esta casilla se prueban las posibles soluciones

Si el resultado es cero, funciona, por teorema del residuo

Hacia abajo se suma y el resultado multiplica al número de la casilla

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como el residuo es -4, entonces el número -3 no es solución de

la ecuaciónprobemos otro valor

Este método es laborioso y requiere de práctica, pero tiene la ventaja de ser muy eficaz para determinar soluciones racionales de cualquier ecuación polinómica.Para las otras técnicas resulta necesario estudiar los métodos de factorización de polinomios

Factorización

Factorizar: Corresponde en descomponer en sus factores (divisores) una expresión algebraica o numérica.

Métodos de factorización

1) Por factor común F.CPasos

15 -1 -610 6=0

15 9-9

15 0

El residuo es cero y se continúa el proceso con los números restantes, de acuerdo al grado de la ecuación.

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Consiste en determinar los divisores comunes a una serie de términos, para los coeficientes numéricos se obtiene el máximo común divisor y para las letras, aquellas repetidas en todos los términos pero con el menor exponente.

Una vez determinado el F.C, se agrega un paréntesis que incluye termino a termino la expresión original dividida entre el factor común. (A este proceso le denomino escribir en el paréntesis lo que sobro, una vez extraído el factor común)

Ejemplificación del proceso con númerosPrimero analicemos la factorización por factor común numérica

O sea el F.C para los números 28, 56 y 84 es

Ahora obsérvese el factor común por el método propuesto

56 228 214 27 71

Las potencias repetidas son 2 y 7, y al asignar el menor exponente queda

, el cual coincide con el obtenido anteriormente.

Ejemplo a un polinomio

=

84 242 221 37 71

28 214 27 71

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note que los números en el paréntesis son los mismos que quedaron en la factorización y los exponentes de las potencias es el resto (lo que sobro al quitar el factor común)

2) Método Diferencia de cuadrados.Este método se basa en el proceso inverso a la tercera formula notable lo que se busca es invertirlo, o sea

Un polinomio o expresión al que se pueda aplicar el proceso, se le reconoce por dos características

Son dos términos o expresiones en resta. Cada termino o expresión debe tener raíz cuadrada, los

coeficientes numéricos tener raíz exacta y las potencias exponente par.

Nota: recuerde que la raíz cuadrada de un número es encontrar un número que multiplicado por si mismo dos veces de cómo resultado el original y la raíz de una potencia es simplemente dividir el exponente entre dos (por eso deben ser los exponentes pares)

Ejemplo Raíz de un términoObtengamos la raíz de note la diferencia entre el número y exponente.

Ejemplo del método aplicado

Primero los términos están en resta y cada número tiene raíz y los exponentes son pares.

=

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la raíz de cada termino se escribe dos veces en una suma y en una resta.

3) Método Inspección. Se le conoce como el método de las tijeras.Se aplica a trinomios y consiste en descomponer el primer y tercer termino del trinomio (una vez que esta ordenado) de tal forma que la multiplicación de la descomposición genere al segundo término.

Para más sencilles se explicara el proceso con un ejemplo.

Ejemplo con respecto a la x el trinomio esta ordenado.

Se toma el primer y tercer término

hacia abajo se multiplican y deben dar 6x2 y –a2

se multiplica en x la descomposición y la suma de los resultados debe dar igual al segundo término, si se consigue, la factorización corresponde al producto de los binomios de cada fila, o sea = (3x + a) (2x – a)

4) AgrupaciónSe aplica a polinomios cuya cantidad de términos sea par (cuatro términos, seis, ocho, etc)Proceso:

Se divide al polinomio en grupos del mismo tamaño. A cada grupo se le saca factor común (ya estudiado), lo que se

busca es queen cada grupo la expresión en el paréntesis resulte igual. La expresión del paréntesis al ser igual es un nuevo factor

común pero para toda la

6x2 -a2

3x a2x -a =2xa+ –3xa

= -xa

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expresión, así que se vuelve a repetir el proceso de factor común.

Ejemplo:Primer ejemplo

8x(3x – 2) + 5a( 3x – 2) note que los paréntesis quedan igual,

(3x – 2)(8x – 5a) note que 8x – 5a es lo que queda una vez extraído el nuevo factor común.

Segundo ejemplo

3x(a – 2) - 5( a – 2) note que los paréntesis quedan igual, existen casos en que el factor común debe ser negativo, en el segundo grupo el factor común fue –5

(a – 2)(3x – 5) note que 3x – 5 es lo que queda una vez extraído el nuevo factor común.

Combinación de métodos.La combinación de métodos es simplemente aplicar los métodos

estudiados a cada paréntesis resultante en una factorización, debe tenerse claro que no siempre lo que queda en paréntesis se puede seguir factorizando, depende de si reúnen las características para una factorización.

Técnicas para determinar el método a aplicar

Revisar primero si al polinomio se le puede aplicar factor común.

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Cuente la cantidad de términos, si son dos en resta puede ser diferencia de cuadrados, si son tres puede ser una inspección, si son cuatro puede ser una agrupación.

Ejemplo de combinación de métodos

se aplico consecutivamente factor común y diferencias de cuadrados

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE CUADRÁTICAS POR MEDIO DE LA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Regla del producto cero

Si ello implica que a = 0 ó b = 0En otras palabras, si un producto es igual a cero alguno de los multiplicandos es igual a cero

Esta observación resulta muy útil al resolver ecuaciones.Si un polinomio se logra descomponer en sus factores por medio de la factorización y se iguala a cero, las soluciones de la ecuación se obtienen de resolver las ecuaciones de igualar a cero cada uno de los factores

O sea si se logra descomponer a entonces las soluciones de la ecuación se

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obtienen de igualar a cero cada uno de los factores, por la regla del producto cero.O sea

Ejemplo1)

= 0 Se factoriza por inspección

2) 10x2 – 5x = 0 obteniendo factor común

6x2 -253x 52x -5 =10x+ –15x

= -5x

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3) 4x2 – 9 = 0 aplicando diferencia de cuadrados

Note que esta última ecuación también se puede resolver despejando el término x2 y aplicando raíces a ambos lados ¡inténtelo!

USO DE LA TECNOLOGÍA AL FACTORIZAR POLINOMIOS Y RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS

La calculadora se puede utilizar como una herramienta eficaz, rápida y sencilla para obtener las soluciones de una ecuación cuadrática

Ecuaciones tales como x2 – 3x – 28 = 0 son sencillas de resolver por medio de esta herramienta. La pregunta está en que otros usos podemos darle.

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Si recordamos un concepto anterior, la solución de una ecuación cuadrática es a su vez el cero o raíz del polinomio ya que las soluciones hacen que el polinomio sea igual a cero.

Ahora bien si aplicamos el teorema del factor antes mencionado al polinomio podemos obtener la factorización del mismo.

Ejemplo1) x2 – 3x – 28 donde al utilizar la calculadora se obtienen las

soluciones –4 y 7aplicando el teorema del factor, la factorización correspondiente es (x – – 4) (x – 7)

ponga especial cuidado al cambio de signo.

Generalizando el proceso si es un cero, al igualar a cero, se

obtiene entonces bx – a es un factor

Ejemplo1) 6x2 – 5x – 6 donde al utilizar la calculadora se obtienen las

soluciones aplicando el teorema del factor, la factorización

correspondiente es (3x + 2) (2x – 3)

Nota importante: en caso de utilizar la calculadora, para factorizar un polinomio cuadrático, asegúrese de obtener el factor común (de existir) antes del uso del aparato, y verifique que el coeficiente de x2 sea positivo, de lo contrario extraiga a factor común el signo negativo.

Fracciones Racionales

Antes de que iniciar esta unidad, asegura el dominar la factorización de polinomios

Son aquellas expresiones de la forma

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donde ai y bi son números enteros

Ejemplos

OPERACIONES ENTRE FRACCIONES RACIONALES

Simplificación de fracciones racionales

Para simplificar una fracción racional a sus términos mínimos se dividen tanto el numerador y denominador por sus factores comunes.

a) note que c es común tanto a numerador y denominador

b)

c)

Ahora bien para desarrollar esta simplificación se debe proceder a la factorización de tanto el numerador y denominador de las fracciones racionales, para la simplificación de los factores comunes

Ejemplo1 caso

2 caso

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3 caso

Mínimo común múltiplo (MCM) de polinomiosEl mcm, es un número o expresión que es múltiplo de las expresiones originalesAnalicemos el caso particular con números enterosObtengamos el mcm de 4 y 6 Si construimos una lista de los múltiplos de 4 y 6 se obtienen los conjuntos

Note que de ambas listas existen números que se repiten 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96…

Cada uno de ellos corresponde a múltiplos en común de ambos números, siendo el menor de ellos12, este número corresponde al mcm,

Ahora bien, el proceso anterior puede ser muy laborioso en especial se se aplica a polinomios, de donde es necesario buscar métodos alternativos, por ejemplo véase el siguiente cuadro

4 6 22 3 21 3 31 1 mcm = 22.3 = 12

Dicho cuadro se construye a partir de los divisores de los números y aun se puede acortar más el proceso. Analicemos un momento la factorización de cada uno de los números4 = 22 y 6 = 2.3

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¿Cómo podríamos utilizar esta factorización?Tomemos de las factorizaciones todas las bases con el mayor

exponente con el que aparezca y formemos un número a partir de su producto.

Aplicando esta idea para 4 y 6 se obtiene 22.3 = 12 coincidiendo con el mcmApliquemos a otros númerosEjemplo 12; 18, 1512 = 22.318 = 2.32

15 = 3.5

Que coincide con el resultado de la tabla adjunta

Esto nos da una luz de cómo obtener el mcm para polinomios. Cabe recalcar que en el caso de números enteros es más sencilla la construcción del cuadro, no así para los polinomios donde el método a partir de sus factores es más conveniente.

MCM para polinomiosComo acabamos de observar si obtenemos la factorización de un número podemos obtener el mcm, de igual forma podemos obtener el mcm en polinomios utilizando la factorización

Reglas Descomponer en sus factores cada una de las expresiones Escribir todos los factores con el mayor exponente con el que

aparezcan

12 18 15 26 9 15 23 9 15 31 3 5 31 1 5 51 1 1 mcm = 22.32.5 = 180

En este caso hay que obtener también el mcm numérico de 2 y 6

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Ejemplos1) Determine el mcm de 12x2 – 26x – 10 y 4x2 + 20x + 25

Al aplicar inspección (o trinomio cuadrado perfecto) y factor común12x2 – 26x – 10 = 2(3x – 1) (2x + 5)4x2 + 20x + 25 =

Los factores son entonces 2, (2x + 5) y (3x – 1) de donde el mcm = 2(2x + 5)2(3x – 1)

2) De (x2 – 4) y (x2 + x – 6)(x2 – 4) = (x + 2)(x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 2)(x + 3)Mcm = (x + 2)(x – 2)(x +3)

3) De (10x2 + 6x) y (30x + 18)(10x2 + 6x) = 2x (5x + 3)(30x + 18) = 6(5x + 3)Mcm = 6x(5x + 3)

Suma y resta de fracciones racionales

Para la suma o resta de fracciones racionales se procede al mismo proceso de la homogenización mencionado en páginas 6 y 7, salvo que en este caso los factores son polinomios

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EJEMPLO1)

Ponga especial cuidado en el cambio de signo

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2)

Primeramente se factorizan los denominadores

3)

de 41

4)

Multiplicación de fracciones racionalesLa multiplicación de fracciones racionales se resuelve por la simple cancelación de factores, entre numerador y denominador. El primer paso siempre es la factorización completa tanto de numeradores y denominadores.

Ejemplos

1)

Note como la división se transformo en una multiplicación, con invertir la segunda

fracción

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2)

División de fracciones racionales

La división de fracciones racionales se resuelve mediante una transformación de la operación a una multiplicación y de esta forma resolver por el mismo proceso que en la multiplicación.

Regla

EjemplosInvirtiendo la fracción y transformando a multiplicación

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EJERCICIOS

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas

1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)

13)14)

15)

16)17)18)19)20)21)

22)

23)

de 41

24) **************************

25) *************************

FACTORIZACIÓNRealice la factorización completa de cada una de las expresiones

1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)

16)17)18)19)20)21)22)23)24)25)26)27)28)29)30)

FRACCIONES RACIONALESa) En cada uno de los

siguientes ejercicios encuentre el mcm

1)2)3)4)5)b) Efectué las operaciones

indicadas y simplifique

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

de 41

9)

10)

11)

12)

13)

14) ****

********

15) ****

******

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

PROBLEMAS PLANTEADOS CON PALABRAS

A)Determine el número de incógnitas. B) Escribir todas las variables en términos de una única variable. C)Plantear la ecuación.

1) La suma de dos números naturales es 48 y la diferencia de sus cuadrados supera en 36 al producto de los mismos. Determine los números.

2) La base de un rectángulo mide 4 metros más que su altura y el área es de 192 metros cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo.

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3) La base de un rectángulo mide 3 cm más que el doble de su altura y el área es 189 cm2. Halle las dimensiones del rectángulo

4) La suma de dos números es 21 y de sus cuadrados es 225. Obtenga los dos números.

5) La altura de un triángulo mide 2 metros menos que el doble de la base. El área es 56m2. Si x es la medida de la base, determine la medida de la base.

6) Juan demora 5 horas más en limpiar las ventanas de un edificio que Rubén. Si Juan y Rubén trabajan juntos pueden efectuarlo en 6 horas ¿Cuánto tarda cada uno en efectuarlo?**********

7) Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se incrementa en 3 unidades, el área del rectángulo obtenido es el doble del cuadrado original ¿ Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

8) Una excursión geológica costo $120. Si hubieran sido 3 miembros menos en la excursión, el costo por persona habría sido $5 más ¿Cuántos miembros fueron a la excursión?*******************************************************

9) Un número positivo es los de otro y su producto es 2160.

Hallar los números10) La suma de las edades de A y B es 23 años y su producto

es 102. Hallar ambas edades.

I TRABAJO EXTRACLASE

a) Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas

1) 6a2 -50a = 27 -8a2 + 7ª2) 3( c + 1 )2 =273)4) 25a2 = 1005)6) 4x2 + x = 2 – 2x2

7)8) (2x-1)(7x+3) = 09) 25x2 – 30x + 9 = 0

10)

b) Determine en cada caso la factorización completa de cada expresión.

1) 24x3 + 6x2 + 24x4

2)

de 41

3)

4)

5)

6)

7)

8) x2y4 - 8y2x2 + 16x2

9)

10)

II TRABAJO EXTRACLASE

I parte selección única

1) Al simplificar la expresión

se obtiene

( )

( )

( )

( )

2) El mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones

es

( ) ( ) ( ) ( )

3) El resultado de

es

( ) ( )

( )

( )

4) Una expresión equivalente

a es

( )

( )

( )

( )

de 41

5) La expresión es

equivalente a

( )

( )

( )

( )

6) El mínimo común múltiplo de los denominadores de

es

( ) ( ) ( ) ( )

7) El resultado de

es

( )

( )

( ) ( ) 8) El mínimo común múltiplo

de los denominadores de

es

( ) ( ) ( ) ( )

9) Una expresión equivalente

a es

( ) ( )

( )

( )

10) El resultado de

es

( )

( )

( )

( )

11) El resultado de

es

( ) ( )

( )

( )

12) Una expresión

equivalente a es

( )

( )

( )

( )

13) La expresión es

equivalente

de 41

( )

( )

( )

( )

14) El resultado de

es

( )

( )

( )

( )

15) El resultado de

es

( )

( )

( )

( )

16) La expresión es

equivalente a( ) ( )

( )

( )

17) La expresión

es equivalente

a

( ) ( )

( )

( )

18) Al simplificar

se

obtiene

( )

( )

( )

( )

19) El resultado de

es

( )

( )

( )

( )

20) El resultado de

es

( )

( )

de 41

( ) ( )

Examen de prácticaI parte desarrolloResuelva cada ejercicio en

forma completa y ordenada.

a) Resuelva por medio de una ecuación el siguiente problema “La diferencia de dos números es 2 y su multiplicación es 63”. Determine los números. (5pts)

c) Resuelva la ecuación (5x-2)(5x+2) = 9x e indique el conjunto solución 6pts

c) Resuelva la ecuación (3x-3)2 -5 = (x + 1) e indique el conjunto solución 5pts

d) Resuelva la ecuación 3 +4x2 + 5x = 0 e indique el conjunto solución 3pts

e) Resuelva la ecuación e indique el

conjunto solución 6pts

II Parte respuesta breve 10pts

Responda en el espacio lo que se pide

Para cada expresión determine el M.C.M de los polinomios dados.

a) Para el polinomio el M.C.M

es el siguiente

b) Para el polinomio el M.C.M es el

siguiente

c) Para el polinomio el M.C.M es el

siguiente

d) Para el polinomio el M.C.M es

el siguiente

de 41

e) Para el polinomio el M.C.M es el

siguiente

f) Para el polinomio el M.C.M es

el siguiente

g) Para el polinomio el M.C.M

es el siguiente

h) Para el polinomio el M.C.M es el

siguiente

i) Para el polinomio el M.C.M es el

siguiente

j) Para el polinomio el M.C.M es el

siguiente

III parte selección única. 8 Pts (1 Pts cada opción correcta).Escriba un punto ortográfico en el paréntesis de la opción correcta de la siguiente forma (•), si se equivoca escriba un asterisco en la opción incorrecta, así (*)

El producto de dos números naturales consecutivos es 30 , si x es

el mayor de ellos una ecuación que determina los números es

( ) ( ) ( ) ( ) Dos números suman 24 y

su producto es 140, si “x” representa al mayor, una ecuación que resuelve la ecuación es

( ) ( ) ( ) ( ) El M.C.M de los

denominadores de la suma de fracciones racionales

corresponde a

( ) 30x2

( ) 450x2

( ) x2

( ) 15x2

El valor numérico del discriminante de la ecuación es

( ) 69( ) 65( ) -65( ) 61 Para una ecuación de la

forma donde a,b,c son números reales,

de 41

si el se puede asegurar que

( ) tiene una solución real( ) tiene dos soluciones reales distintas( ) no tiene soluciones reales( ) tiene tres soluciones reales El conjunto solución de la

ecuación es( )

( )

( )

( )

El valor numérico del discriminante de la ecuación es

( ) 37( ) -61( ) 61( ) -37

Para una ecuación de la forma donde a,b,c son números reales, no tiene soluciones reales, un posible valor para el discriminante es

( ) 1( ) -2( ) 0( ) 4

vista folleto cuadraticas factorización y racionales

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