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ECUACIONES CUADRATICAS Y RAICES

DE ECUACIONES CUADRATICAS

PEDRO GODOY G.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0

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Factorización Completación de cuadrados fórmula

Factorización

4- x -3x

04x 03

0)4)(3(

01272

x

xx

xx

9- x -3x

09x 03

0)9)(3(

027122

x

xx

xx

¿Cuándo debo utilizar factorización?

Claramente no es obligatorio, solo que cuando lo usas se te hace más sencilla,Si quieres una pista, intenta factorizar cuando

A = 1 B = 0C = 0

La primera y segunda opción no garantiza que puedes usar la factorización, solo cuando c = 0 siempre se puede factorizar

Si a = 1

5 x 4x

05- x 04

0)5)(4(

02092

x

xx

xx 01792 xx

?

Si b = 0

????0145

????073

0)7)(7(07x

reales losen posible es 09

0)3)(3(09

2

2

2

2

2

x

x

xx

nox

xxx

Si c = 0

0)32(3096

0)85(085

0)3(03

2

2

2

xxxx

xxxx

xxxx

Despeje directo

Solo cuando b = 0

ix

x

x

x

3

9

9

092

2

3

9

9

092

2

x

x

x

x

3

8

3

8

083

2

2

x

x

x

Cuando b = 0 siempre este método es posible.

Completación de cuadrado

3x 5

1-4 x14

14

14

14

1)4(

1615168

)2/8(15)2/8(8

158

0158

2

2

222

2

2

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xxEl formato siempre es el mismo , lo que cambia es cuando la raíz cuadrada no es exacta o es imaginaria

Además cuando a 1, en ese caso se divide por a.

2

11

2

7

2

11

2

7

4

11

2

7

4

11)

2

7(

4

4915

4

497

)2/7(15)2/7(7

157

0157

2

2

222

2

2

ix

ix

x

x

xx

xx

xx

xx

92

135 4

2

1352

13

2

52

13

2

54

169

2

5

4

169)

2

5(

4

2536

4

255

)2/5(36)2/5(5

365

0365

2

2

222

2

2

xx

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

Fórmula

a

acbbxcbxax

2

40

22

01253 2 xx

a = 3 b = 5 c = -12

La idea ahora es reemplazar en la fórmula anterior, el resultado puede ser racional, irracional o complejo imaginario.

Discriminante

a

acbbxcbxax

2

40

22

Esta cantidad sub-radical se conoce como DISCRIMINANTE

cuadráticaecuación una de raíces o

soluciones de tiposdistintos los depende el

dey ntediscrimina el es 42 acb

acbsi 4 2

Si es un cuadrado perfecto las raíces son racionales

Si no es un cuadrado perfectolas raíces son irracionales

2

262

46

2

32366

0862

x

x

x

xx

2

626

2

246

2

12366

0362

x

x

x

xx

Ambos discriminante son positivos, por lo que sus raíces serán reales y distintas, sin importar si el valor es racional o irracional.

0 si

32

6

2

06

2

36366

0962

x

xx

Cuando el discriminante es cero, la solución es real y única, pero esto ocurre solo cuando la ecuación representa un cuadrado de binomio.

0 Si

2

262

46

2

40366

01062

ix

x

x

xx

Cuando el discriminante esnegativo las raíces son imaginarias y conjugadas

Teorema

a

cxx

a

bxxb

xxxxacbxaxa

entonces

cbx

xSi

2121

212

2

21

y )

))(()

:

0ax cuadraticaecuación

una de raíces lasson y x

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