teoria de numeros , intervalos y ecuaciones lineales y cuadraticas

5/7/2018 TEORIA de NUMEROS , Intervalos y Ecuaciones Lineales y Cuadraticas - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoria-de-numeros-intervalos-y-ecuaciones-lineales-y-cuadraticas 1/17

TEORIA DE NUMEROS

INTRODUCCION

³Quien no conoce el pasado corre el riesgo de cometer los mismos errores´; las cienciasdentro del camino del ser humano han sido y serán como un plano o una guía que permiteno seguir estrictamente una vía sino, de manera lógica crearse un camino o en todo casotomar la mejor decisión en ese momento.

Para aprender matemáticas es necesario conocer sus bases y tenerlas presente al momentode todo nuevo conocimiento, porque esta ciencia no puede aprenderse por capítulosseparados sino como una secuencia lógica. Este es el problema que encuentro en losestudiantes principiantes en la carrera de ingeniería, por ello es necesario retroceder lo masque se pueda y de manera lógica mostrarle el avance de esta ciencia y de la importancia detener el concepto claro antes de continuar con otro tema.

Imagine que retrocedo en el tiempo hasta encontrar el origen de los números, luegocomienzo a regresar y anoto todos los avances que muestran como aparecen los otrosconjuntos y cuando llego a esta época paso por Ud. y lo invito a seguirme; le mostrarecomo se originan los números y los sucesos que van apareciendo, pero solo le pido unacondición tendrá que tener un comportamiento para seguirme; habrá momentos en quedeseara nunca haberme seguido o quizás quiera alejarse de inmediato porque no soportatener un método de vida. Esto es común en aquellos que posiblemente tengan otrashabilidades y la ingeniería no sea su camino, pero les aseguro que cuando quieran puedenretirarse y lo asimilado hasta ese momento les servirá en su vida.

APARICIÓN DE LOS NÚMEROS.-

Probablemente desde que apareció el ser humano en latierra y comenzó a buscar abrigo, alimento o simplemente donde dormir, encontró a sualrededor un mundo que necesitaba conocer para poder sobrevivir, la observación de unosárboles o piedras le habrá formado la idea de un conjunto.

Existen muestras de los diversos tipos de numeración hechos en China, Mesopotamia,

India, Roma, etc. Pero la muestra de la existencia de la numeración anterior a estas culturases la marca realizada en un hueso de un babuino (pariente de los simios) encontrado enIshango, región del África cerca a los orígenes del río Nilo. La importancia de estos restos pertenecientes al Paleolítico superior, muestra la existencia o por lo menos la idea de unsistema de numeración pero además de la noción de conjunto, ¿Qué representan estasmarcas? ¿Por qué se utiliza un hueso de animal, como se hizo con el cuerno de un Mamut o



de otros animales? Muchas preguntas por responder, por el momento solo queremosresponder ¿Cuándo nace la idea de número en el pensamiento humano?

Y como no es sencillo responder a esta pregunta, asumamos que en un momento; en eltiempo se forma la lógica del número y la creación del número ³uno´, luego el resto de

números aparece a través de siglos de desarrollo del pensamiento.

Podemos decir que ha nacido el conjunto de números NATURALES (): {1, 2, 3,4«.}, pero aunque la lógica era la misma; la representación era diferente.

Civilizaciones y números

y Numeración Arábiga:

Primer formato: al-Sizji¶s del año 969

Segundo formato: al-Biruni¶s del año 1082

Tercer formato: El de la península Ibérica (Al-Andaluz) 1202

y Numeración India:

Primer Formato: Escritura Brahma, Siglo I D.C.



Segundo Formato: Escritura Gupta, Siglo IV D.C.

Tercer Formato: Escritura Nagari, Siglo XI D.C.

y Numeración China:

y Numeración Egipcia:

y Numeración R omana:



y Numeración Mesopotámica:

y Numeración Maya:

Todas las numeraciones tenían diferente base por eso las representaciones erandiferentes, luego deben haber pasado miles de años para que todos acepten la basedecimal 10 y adoptar la simbología actual.

Hasta aquí se desarrollan dos operadores matemáticos: la suma y el producto; cuandoaparece el tercer operador diferencia, dentro de una operación comercial ocurre dentro deoperaciones que tienen lógica; a nadie se le ocurre restar (1 ± 2), ya que no tiene lógica.

Este problema de aceptar la diferencia es otra historia y pasa por aceptar que todo lo quesabían sobre los números no era suficiente, que existían los negativos de cada número

natural y debe haberse creado el cero ³en nuestro sistema decimal para completar ahoraun nuevo conjunto de números llamados ENTEROS () : { «, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, «}.

Se debe haber desarrollado la aritmética y el algebra como formas operativas para el tipo decomercio que se realizaba, luego pueda que el mismo comercio o la forma de realizar unatransacción origine un cuarto operador matemático llamado Cociente o División entreenteros.



Se originan nuevos números como 2.7; 0.5, 0.3333«; es decir el operador origina estosnúmeros que al ser diferentes a todo lo conocido, hace pensar que; todo lo que sabían no erasuficiente y que el campo de los números enteros era más grande y se crea un nuevoconjunto que los contenga, llamado NÚMEROS RACIONALES ().

{«-3, -2.5, -1, 0, 0.5, 3«}

Como def inición podemos decir que todo numero racional es originado por el cociente

entre dos enteros, sean positivos o negativos o en combinación.

Hasta aquí deben haber pasado varios miles de años y ya estamos en la era de los griegos,quienes estudiaban geometría basados en la lógica y la observación, pero a sus cálculosaplicaban toda la teoría de números conocida; y aparece un nuevo problema en laaplicación del teorema de Pitágoras, cuando los catetos tienen el valor uno y la hipotenusa

la raíz cuadrada de dos ( ), resulta que este número no es originado por el cociente entre

dos enteros, luego aparecen otros valores que igualmente no son originados por los enteroscomo

Estos números nunca hubieran aparecido como consecuencia del comercio, incluso eloperador potencia y Raíz cuadrada, no debieron ser utilizados en la práctica, pero losgriegos grandes pensadores y llenos de Lógica si aceptaban estos operadores y estosnúmeros, que fueron enseñados solo, a aquellos que eran alumnos de la escuela pitagórica, por lo tanto no fue de conocimiento general, pero reconocen que hay otros númerosdiferentes a los racionales a los cuales se les llamó IRRACIONALES ():

{P/q / p

q no son enteros}

Como def inición son todos los números que no pueden ser generados por el cociente

entre dos enteros.

Ahora se produce un estancamiento en la teoría de números ya que ambos conjuntosracionales e irracionales no tienen nada en común, es el trabajo del matemático alemánRichard Dedekind quien en 1872; demuestra la relación entre racionales e irracionales y surepresentación bajo los puntos de una recta. Este conjunto que es la unión de los racionalesy los irracionales se llama Conjunto REAL ()

{ }

Existe un nuevo con junto que es la unión de los con juntos anteriores y que tienen una

correspondencia Biuní voca con los puntos de una recta.

Se demostró que entre dos racionales existe un irracional, por lo tanto aunque son númerosdiferentes ambos forman un conjunto mayor que puede explicar operaciones que losconjuntos anteriores por separado no podrían explicar.



Hasta aquí, lo único que les he presentado con lógica es una teoría de cómo podrían haber sucedido las cosas mientras aparecían los números.

Bajo este contexto los números no tienen un sustento teórico sino histórico, la idea es darlevalidez científica y analítica que explique o sustente toda la ciencia matemática, partamos

entonces del razonamiento lógico y aceptemos la gran creación del ser humano el uno (1) yel cero (0) y unos axiomas o verdades lógicas que no necesitan demostración, además dedos operadores matemáticos la suma y el producto.

Dados 3 números cualquiera a, b, c pertenecientes a los números reales:

A1: a + b (llamada ley de la cerradura para la suma).

A2: a + b = b + a (llamada ley conmutativa).

A3: a + (b + c) = (a + b) + c (llamada ley asociativa)

A4: Se crea el elemento llamado ³cero´ que denota ³0´ de tal manera que a + 0 = a (esteelemento se conoce como el neutro Aditivo).

A5: Todos los números tienen sus negativos que denotan (-a); de tal manera que a + (-a) = 0(a este negativo se le conoce como el inverso aditivo).

M1: a. b (llamada ley de la cerradura para el producto).

M2: a .b = b. a (Ley conmutativa).

M3: a (b. c) = (a. b). c (Ley asociativa)

M4: Se crea el elemento llamado ³uno´ que denota ³1´ de tal manera que a. 1 = a (esteelemento se conoce como el neutro Multiplicativo).

M5: Todos los números tienen sus inversos que denotan () de tal manera que .()= 1(a este número se le conoce como el inverso multiplicativo). ³no se incluye al cero´.

D1: a ( b + c ) = a . b + a. c (llamada ley Distributiva)

O1: Dados a y b a b ò a b ò a=b (ley de la Tricotomía)

O2: Si a b y b c a c (ley Transitiva).

O3: Si a b luego para cualquier c, se cumple a + c b + c

O4: Si a b luego para cualquier c0, se cumple a . c b . c

L: Axioma del Supremo.



Como se puede observar cada axioma es lógico y no necesita de demostración, luego loaceptamos como punto de partida para demostrar cualquier operación matemática.

Ejemplo: Demostrar que (-2)(-1) = 2Solución:

2 + 0 = 2 por el neutro aditivo2 + { 2+ (-2)}= 2 por el inverso aditivo

{2 + 2} + (-2) = 2 por asociativa

{2.1 + 2.1} + (-2). 1 = 2 por la existencia del uno

2{1 + 1} + (-2).1 = 2 por distributiva

2{1 + 1}+ (-2).{1+0}= 2 neutro aditivo

2{1 + 1}+ (-2).{1+ (1 + (-1)}= 2 la existencia del negativo de un numero.

2{1 + 1}+ (-2).{{1+1}+ (-1)}= 2 por asociativa

2{1 + 1}+ (-2).{1+1}+ (-2){(-1)}= 2 por distributiva

{1 + 1}{2+ (-2)}+ (-2) (-1)}= 2 por asociativa

{1 + 1}. 0 + (-2)(-1) = 2 inverso aditivo

{1.0 + 1.0} + (-2) (-1) = 2 distributiva.

{0 + 0 } + (-2) (-1) = 2 neutro multiplicativo.

0 + (-2) (-1) = 2 neutro aditivo (-2)(-1) = 2 L.Q.Q.D.Demostrar que 1 + 1 = 2

Solución:

2 . 1 = 2 M4 2. (2. 2

-1) = 2 M5

{2 . 2} .2-1

= 2 M3

{2.1 + 2.1}.2-1

= 2 M4

2{1 + 1}. 2-1

= 2 D

{ 2. 2-1}{1 + 1}= 2 M3

1.{1 +1}=2 M5

{1 + 1 } = 2 L.Q.Q.D.

Cuando se prueba una operación, se procede nombrando el axioma o también como en elsegundo ejemplo solo su nomenclatura que indica el axioma.



INTERVALOS

La nueva representación del conjunto de números reales corresponde a todos los puntos deuna recta con la cual existe una correspondencia Biunívoca, es decir a cada punto de larecta le corresponde un único número real y a cada número real le corresponde un único

punto de la recta.

Los intervalos son subconjuntos de los números reales, gráficamente son segmentos de larecta, por ejemplo:

= < un subconjunto sería ; gráficamente:

3 7

Donde los extremos del segmento pueden pertenecer al intervalo o no, esta característicaorigina tipos de intervalo.

I ntervalo Cerrado:

Denota [ a ,b ] , un ejemplo geométricamente

Se debe entender que se encuentran todos los números comprendidos entre ³2´ y ³5´,incluidos estos puntos.

Es decir 3, 7/2, 2, 4.99, 5

I ntervalo Abierto:

Denota ] a ,b [ ó < a,b > , un ejemplo geométricamente

Se debe entender que se encuentran todos los números entre ³-2´ y ³4´, menos losextremos.(note los círculos en blanco)

Es decir -1, 0, 3, 3.99; nunca puede considerarse a -2 ò 4

I ntervalo SemiAbierto ó Semi Cerrado:

Denota [ a ,b > ó < a,b ] un ejemplo geométricamente

Es como una combinación de los intervalos anteriores, donde un extremo pertenece y elotro extremo no, por eso tenemos dos modelos.

-2

52

3-1

4

61



En el primer modelo el número 1 pertenece pero el número 6 no pertenece al intervalo,también se le llama intervalo semicerrado por la izquierda ò se le llama intervalosemiabierto por la derecha, en ambos casos significa lo mismo.

En el segundo modelo es exactamente lo mismo, solo que ahora el número -1 no pertenece

al intervalo y el número 3 si pertenece.

I ntervalo Semi-infinito:

Denota [ a , > ó < ,b > un ejemplo geométricamente

En este caso no se encuentra un extremo, es decir se proyecta al infinito o menos infinito, elotro extremo puede pertenecer al intervalo como tampoco puede no pertenecer al intervaloSe pone los dos modelos que explican gráficamente como en el primer modelo el número 4 pertenece al intervalo y continúa hacia la derecha pero se proyecta al infinito.

Todos los números comprendidos a partir del numero 4 hacia su derecha pertenecen a esteintervalo. También se le conoce como intervalo semi-infinito por la derecha.

En el segundo modelo el número 2 no pertenece al intervalo y se proyecta hacia suizquierda a menos infinito, es decir se encuentran todos los números hacia la izquierda delnúmero 2. También se le conoce como semi-infinito por la izquierda.

Nota: Dado un intervalo a sus extremos se les llama cotas, así pertenezcan o no al intervalo. Esto permite diferenciar mejor a los intervalos semi infinitos ya que estos

intervalos no están acotados por la izquierda o por la derecha.

I ntervalo infinito:

Denota < , > geométricamente

0

Se conoce como otra representación del conjunto de los números reales, pero bajo elconcepto de intervalo. No se encuentra acotado o no tiene extremos.

Dentro del algebra de los intervalos se conocen entre otros operadores lógicos:

Unión, que significa unir ó poner al mismo nivel los intervalos y luego observar.

: Intersección, que significa los puntos comunes o los valores que se repiten en ambos

intervalos.

24



Por ejemplo: Hallar < 3,7 > [ -2,4 >

Solución:

1.- En la recta real dibujar ambos intervalos

-2 0 3 4 7

2.- Cuando superpone ambas rectas ó las junta ó las pone al mismo nivel

-2 0 3 4 7

Note que los huecos vacíos de los intervalos en sus extremos ³3´ y ³4´, se han tapado por

los mismos segmentos.

Ahora Ud. observa [-2 , 7 > que es la respuesta.

Hallar [-3,5] < -1, 4 >

Solución:


-3 -1 0 4 5

2.- Cuando superpone ambas rectas ó las junta ó las pone al mismo nivel

-3 -1 0 4 5

Ahora los extremos vacios del intervalo <-1,4> se han tapado por el otro intervalo y Ud.Observa [-3,5] respuesta.

Hallar [1,4]

< -1, 2 >

Solución:


-1 0 1 2 4



2.- Cuando superpone ambos intervalos solo debe fijarse en los puntos que se repiten

-1 0 1 2 4

Ud. puede observar que al superponer ambos segmentos, solo hay puntos comunes entre 1 y2, pero como el número 1 pertenece a un segmento si se repite, pero el número 2 no pertenece al segmento por ello no se repite, por esa razón permanece abierto.

Respuesta

Hallar [-3,2 > < 1, Solución:


-3 0 1 2 4

2.- Cuando superpone ambos intervalos solo debe fijarse en los puntos que se repiten

-3 0 1 2 4

Ud. puede observar que al superponer ambos segmentos, solo hay puntos comunes entre 1 y2, pero como el número 1 no pertenece a un segmento por ello no se repite, así mismo elnúmero 2 no pertenece al segmento por ello no se repite, por esa razón permanece abierto.

Respuesta 1,2 >

Nota: el uso de l o s int erval o s se apreciará mejor cuand o se toque el t ema de inecuaciones,

en l a cual l a s res puesta s previa s deben gr af icarse par a poder hall ar una solución al

sist ema.



ECUACIONES LINEALES

Vamos a resolver ecuaciones en general, primero las más sencillas que son las lineales,luego las cuadráticas y finalmente las polinómicas, se trata de resolver ecuaciones bajo un procedimiento que; cuando se requiera elevar el nivel esto no sea un impedimento para

resolverlas.

Sí se requiere mucho de su parte, en repasar; que no es otra cosa que practicar ejercicios para asimilar el procedimiento y la teoría.

Resolver:

Sencilla, pero no lo veamos por esa parte operativa, deseo que aprenda un procedimientoque se aplicará en ecuaciones en general y que ayudará a la teoría y así no cometa errores.

1.- Primero, debe llevar todas las variables ³x´, al extremo izquierdo y los números alextremo derecho. Recuerde que al pasar de un extremo al otro se cambia de signo.

2.- Opere y no importa el resultado del signo esto al final se acomoda con un teorema

3.- Es importante que cuando opere la variable ³x´, nunca tenga signo negativo, por ello siasí ocurre, esto se arregla multiplicando por (-1) a todo el sistema.

Resolver:

1. Ordenando

2. Operando 3. Despejando el valor de x

Ö



Resolver:

1. Ordenando

2. Operando

3. Despejando la variable:

Resolver:

1. Ordenando

2. Operando

3. Despejando la variable:

Todos los ejercicios f ueron iguales en procedimiento, el resto es práctica y algebra básica.



ECUACIONES CUADRÀTICAS

Se llaman a sí a las ecuaciones que presentan variables de exponente cuadrático, por ejemplo: Ö .

El procedimiento ha sido por lo general aprender la formula General, o el método de aspa,Horner o completar cuadrados. Todos son muy buenos algunos limitados, pero lo que sequiere es; utilizar un método que me permita responder por lo menos la gran mayoría deecuaciones y que sea sencillo, fácil de aprender y que no me complique cuando se eleve elnivel del ejercicio.

Otra razón por la cual elijo un método es porque en las inecuaciones es necesario tener losfactores para poder aplicar la teoría.

El método que recomiendo es el de completar cuadrados, pero debemos repasar algunosconceptos algebraicos para entender mejor el método.

Recordando:

Como observará el desarrollo de estos modelos tienen una diferencia en el signo, que es la parte que nos interesa, de acuerdo a esto; el modelo es (a+b)2 ò (a-b)2

También es importante recordar: ³di f erencia de cuadr ad o s´

Ahora, lo que vamos hacer es relacionar una ecuación cuadrática con los modelosanteriores.

Resolver:

Solución:

Interesa que observe solamente la parte roja ****** (1)

Si observa el desarrollo del modelo anterior en rojo, corresponde (a-b)2

Luego ; este valor de a se halla dividiendo 6 entre 2.

Nota: considere siempre el valor que esta en el problema en este caso es ³6´, luego dedividirlo entre 2, reste el cuadrado de este resultado

Entonces: ; pero falta restar para que se mantenga la igualdad, el

cuadrado de ³3´, resulta



Reemplazando en el ejercicio (1)

Que es la diferencia de cuadrados.

Claro solo debe acomodarlo con un artificio para que lo aprecie mejor

Ahora si aplique la diferencia: (x ± 3 - ) (x ± 3 + ) = 0

De donde los valores son: X1 = 3 + ; X2 = 3 - R pta.

Resolver:

Solución:

1.- interesa solamente la parte roja

2.- el modelo es (x + a)2, donde a=

; luego se resta el cuadrado de este resultado

3.- ³recuerde el valor -16 es para que se mantenga laigualdad´

4.- ; que nuevamente es una diferencia de cuadrados

5.-Aplicando el artificio:

6.- Resolviendo: ¡sencillo!, ahora vamos elevar el nivel.

Resolver:

La única diferencia es el número ³3´ en el factor cuadrático, pero esto no es problema,dividimos toda la ecuación entre este número.

1.-

2.- volvemos al modelo inicial, solo nos interesa

3.- El modelo

, ³recuerde el val or dividid o ent re 2, lueg o restar el

cuadr ad o del resul tad o´



4.- Operando:

5.- El artificio de la diferencia de cuadrados:

6.- Los factores:

7.- Los valores:

Resolver:

Solución:

Es lo mismo ahora solo aparece un radical y pueden aparecer mas, el procedimiento es elmismo.

1.- Se busca

2.- dividiendo todo entre ³2´

3.- El modelo es

4.- La diferencia de cuadrados :

, artificio:

5.-Los factores:

6.- Los valores:

En realidad no interesa como sea la ecuación cuadrática, lo importante es el procedimientoque permite resolver cualquier ecuación, pero lo más importante es que se pudo formar losfactores ³lo que se conoce también como factorización´.

Teóricamente es importante por el lado que si no es posible formar la diferencia de

cuadrados, significa que la respuesta es un número complejo, pero dentro del campo de losnúmeros reales se dice que es un ³ factor cuadrático irreductible , es decir que no puedefactorizarlo.

Por ejemplo:



Pero esto no es posible; no tiene la forma de una diferencia de cuadrados por el signo, queno lo permite.

No podemos aplicar el artificio: .

Esto se conoce como un factor cuadrático irreductible, es decir no lo podemos poner comoun producto de factores.

Cuando suceda este factor en una ecuación, simplemente ³ no existe solución en los reales´

Nota: En una inecuación tiene otro comportamiento, ya lo veremos en su momento.

teoria de numeros , intervalos y ecuaciones lineales y cuadraticas

Documents