02_fromas cuadraticas

8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas

1/69

Formas cuadráticas


2/69

Distribución de Chi-Cuadrado

Distribución Chi-cuadrado central

Distribución de Y’Y con Y~Nn(0,I)

Distribución Chi-cuadrado no central

Distribución de Y’Y con Y~Nn(µ,I)

Esperanza de una Chi-cuadrado no central

Varianza de una Chi-cuadrado no central

Distribución de la suma de Chi-cuadrado nocentrales independientes


3/69

Distribución χ2 central

Función de Densidad

( )

( 2) / 2 / 2

( / 2)

2 2 2( , )

n u

n n

u e

u n

para u

χ

− −

Γ = ≤

( )con−=


4/69

Distribución χ2centralDe#inición a partir de normales

$ea

con

% de#inimos

Entonces

I)~ ( ,nN z 0

χ 2~ ( )U n

[ ]′ = " 2, ,&&&, nz z z z

′=U z z


5/69

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

π

π

−′ ′−

− ′ ′− +

= =

=

∫

∫

/2 "/2

/2 "/2

( ) 2

2

n

n

nt

U

n t

m t e e d

e d

z z z z

z z z z

z

z

R

R

( ) ( )π − ′− −=

∫ R/ 2 ("/ 2 )

( ) 2n

n t

U

m t e d z z

z


6/69

Teorema 1.10.1

Grabi!! F.". Theor and "##!ication o$ %inear &ode!s. Du'bur

(ress. )#ag. *+,

$ean a % b constantes,

a % b 'ectores n",

" una matriz simtrica nn de constantes % una matriz de#inida positi'a de constantes&

I = ... x'Ax+ x' a+ ao( )−∞

+∞

∫ −∞

+∞

∫ −∞

+∞

∫ exp − x'Bx + x'b + bo( )( ) dx1 dx2 ... dxn

I = 1

2

n / 2π

−1/ 2B exp

1

4b'

−1B b − bo( ) tr −1AB( )− b' −1B a + 12 b' −1B −1AB b + 2ao[ ]


7/69

( )

( )π − ′− −=

∫ R/ 2 ("/ 2 )

( ) 2n

n t

U m t e d

z zz

I = ... x'Ax+ x' a+ ao( )−∞

+∞

∫ −∞

+∞

∫ −∞

+∞

∫ exp − x'Bx + x'b + bo( )( ) dx1 dx2 ... dxn

I = 12

n / 2π

−1/ 2B exp

1

4b'

−1B b − bo( ) tr −1AB( )− b' −1B a +

1

2b'

−1B

−1AB b + 2ao[ ]


8/69

=" 0

( )π −

=/ 2

2 n

a

=a 0 ( ) I= −"/ 2 t -

( ) ( )π − ′− −= ∫

R

/ 2 ("/ 2 )( ) 2

n

n t

U m t e d z z

z

=b 0

= b

( ) ( )( )I π π − −= − "/ 2 / 2/ 2"

( ) ("/ 2 ) 2 22

nnU m t t

( ) ( )( )π π − −= −/ 2 / 2/ 2/ 2 (" 22 2"

2 2) n

nnn t

−= − / 2(" 2 ) nt


9/69

Distribución χ2

Esperanza % 'arianza

( )

( ) 2

E U n

V U n

=

=


10/69

Distribución χ2 no centralFunción de densidad

( )

λ λ

λ χ

∞ − −+ −

+ +=

Γ =

≤

∑

/ 2( 2 2) / 2

2 ( / 2)2

2* 2

( , , )

j v n j

n j j n j

e ev

j v n

para v

( λ + " para λ % + )


11/69

Distribución χ2 no centralFunción generatriz de momentos

( )conλ − =


12/69

Encontrar esperanza % 'arianza de una chi-

cuadrado no central


13/69

Distribución χ2

Esperanza % 'arianza

( ) 2

( ) 2( - )

E U n

V U n

λ

λ

= +

= +


14/69

Chi cuadrado no centra! a #artir de norma!es

inde#endientes con es#eranzas distintas de 0

I)~ ( ,nN

χ λ ′= 2! ~ ( , )V V n

( )λ ′= "2. .

Ver demostración en notas de clases


15/69

Distribución χ2f(u)

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

n=4;λ=0

n=4;λ=1

n=4;λ=5

u


16/69

Distribución de !a suma de chi-

cuadrados inde#endientes

I)"" "

~ ( ,nN .

I)22 2

~ ( ,nN .

′=" " "U

′=2 2 2U

=" 2

Co'( , ) 0

′ ′ ′+ = + =" 2 " " 2 2U U

′ ′ ′=" 2

. 0 I)+" 2~ ( ,n nN .

′ ′ ′= " 2. 0. . .

( ) χ λ + 2" 2 ~ !U U n

= +" 2n n n λ λ λ ′ ′ ′= = + = +" "

" " 2 2 " 22 2( ). . .. . .


17/69

Distribución de$ormas cuadráticas


18/69

Distribución de $ormas

cuadráticas

Distribución de Y’"Y/ Y~Nn(0,I), " idempotente simtrica

Distribución de Y’"Y/ Y~Nn(µ,I), " idempotente simtrica

Distribución de Y’"Y/ Y~Nn(µ, )," simtrica " idempotente Condiciones e1ui'alente a "

idempotente

Distribución (n-")$2/σ2

ndependencia de 3ormas Cuadr4ticas % 5ineales

6rueba 7 para una muestra

ndependencia de #ormas cuadr4ticas

Esperanza de #ormas cuadr4ticas


19/69

Distribución con ( )I~ ,N 0

nxn"$imtrica e idempotente de ran8o k

′ =( "( DEiste ( orto8onal ((’(((9I) tal 1ue

7eorema "&2&: ;rabill, "$ E5E?EN7>$ DE D $>N CE@> > AN>$& B6or 1u


20/69

=z (

′ ′ ′= " ( D(′ ′= " z Dz

( )I~ ,N z 0


21/69

$i tiene ran8o k , entonces sóloeisten k elementos dia8onales de Di8uales a " siendo el resto i8uales a

(Bpor 1u)

1 1

1 12 2

′

′ ′ ′= = =

z z " z Dz D z z

z z

1 I~ ( , )k N z 0

( ) ( )k 2 2~ ( )rango χ χ ′ = " "


22/69

Distribución con ( )I~ ,N .

k I ′ =

0( "(

0 0

nxn"$imtrica e idempotente de ran8o k

Eiste ( orto8onal ((’(((9I) tal 1ue

" 2. 0=( ( ( k I" "′⇒ =("(

′=z ( ′ ′

′ = = = = ′ ′

" " "

2 2 2

( ( z( z

( ( z


23/69

( ) ( )′′ = =z " (z " (

k I′

′ ′ ′= = = =

" "

2 2

z z0z ("(z z Dzz z0 0

k I′ ′= =" " " "z z z z


24/69

I I" " " " "~ ( , ) ( , )k k N N ′ ′ ′=z (. ( ( ( .

( ) χ ′ ′ ′"2" " " "2~ ( ),rangoz z " ((

" "′ ′= ⇒ =(D( " (( "

k I "" 2 " "

2

. 0′

′ ′= = =

′

(0" (D( ( ( ((

(0 0

( ) χ ′ ′"2 2~ ( ),rango " ". ".


25/69

Distribución con

, simtrica de ran8o k

( )~ ,N Σ.

Σ idempotente" ′Σ = Γ Γ

( )"−′ ′= Γ − ⇒ = Γ +z . z .

( ) ( ) ( ) ( )" "− −′′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= Γ + Γ + = + Γ Γ Γ + Γ =" z. " z . z . " z . -

( )I"

~ ,nN −

′Γ

⇒si idempotente-

( ) ( ) χ − − ′′ ′ ′ ′Γ Γ ÷

"2 " "

2~ ( ),rango " -. - .


26/69

( ) ( ) ( ) ( )" " "" " " "2 2 2− − − −′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′Γ Γ = Γ Γ Γ Γ =. - . . " . . ".

( ) χ ′ ′"2 2~ ( ),rango " -. ".

⇒idempotente-

6ara probar 1ue tenemos 1ue usar 5ema 2 pa8& "F en $earle

′ ′ ′= Γ Γ Γ Γ = Γ Σ Γ -- " " " "

′= Γ Γ - "

′ ′ ′Γ Γ Γ Γ = Γ Γ " " "


27/69

( ) ( )

( ) ( ) ( )

′ ′ ′ ′= ⇒ =

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− − = − − +

′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− − = − − +

′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− − = − − = ⇒ − =

( )( )

( )( )

2 2 (2 2 2 (2

2 2 (2 2 ( 2 2 2 2( (2 2 (2 2(

(2 2 (2 2 (2 2( (2 2 2 2( 2 2

2 2 (2 2 ( (2 2 (2 2 (2 2

5ema 2 pa8& "F en $earle


28/69

′= Γ Σ Γ -- " "

′= Γ Γ - "

Γ

$i post multiplicamos G&

%

por

tenemos ′Γ Γ Γ = Γ Σ = Γ Σ Γ ΣΣ =-- " " " " "

′Γ Γ Γ = Γ ΣΓ =- " "

{2

′ ′Γ Σ = Γ ⇒ Γ Σ′ ′Γ Γ Γ Γ Γ = Γ Γ --

" " " " " "14 2 43


29/69

E+emploH Distribución de

( ) 2 2" /n S σ −


30/69

( ) ( )" 22

"

"n

i i

S n y y −

=

= − −∑{ }" 2, ,&&&, ny y y ( )I

2

,nN σ .

( ) I Jσ σ

′− = − ÷

2 2

2

" "" / nn S

n

( )2 2 2 2 2 2 2 2

" " " "

2 2n n n n

i i i i i i i i i

y y y y y y y ny ny y ny = = = =

− = − + = − + = − ∑ ∑ ∑ ∑

I2

"

n

i

i

y =

′ ′= =∑

J"2

nnny ′=

J

" " "

" " "

" " "

n

′= =

11

L

L

M M O M

L

proposición

demostración


31/69

J= = = = = =

′ = = + + +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑M

"

2

" 2

" " " " " "

" " ", ,&&&, &&&

n n n n n n

n i i i i i n i

i i i i i i

n

y

y y y y y y y y y y

n n n

y

I = I J I = I J2 22" " "n nn nσ σ

σ Σ = − − ÷ ÷ " "

[ ]=

= + + + = = = ∑ 2 2 2" 2

"

" " "&&&

n

n i i

y ny y ny y ny ny y n y ny n n n

I J2

" "n

nσ

′ − ÷

"

1 44 2 4 43

5ue8o lo 1ue tenemos 1ue mostrar es 1ue es idempotenteI J"

nn

− ÷


32/69

I J I J

=I- J J J J

=I-2 J J

I- J

− − = ÷ ÷

− + =

+ =

= ÷

2

" "

" " "

" "

"

n n

n n n n

n n

n

n n

n n n

n n

n


33/69

34ntesis

( ) σ ′− =2 2" /n S "

I J2

" "n

nσ

= − ÷

"

Σ idempotente"

χ ′ ÷

2 "~ ( ), I

2

rango A A ". .

I J I J − = − ÷ ÷

" "B Cn nrango traza porqué

n n


34/69

34ntesis

dem4sG

5ue8oG

I J I J2 2 2

" " " " "

2 2 2n n

n

n n nλ

σ σ σ

′ ′ ′ ′ ′= − = − = − = ÷ ÷ ÷

. . . . . . . . . .

( ) χ ′ −

2

~ "n "


35/69

Inde#endencia de $ormascuadráticas !inea!es de un

ector a!eatorio con

distribución 5orma!


36/69

Caso 1. 6! ector a!eatorio con tiene

matriz de coarianzas identidad

( )I~ ,N .

q n×-×

( )simétrican n"

-

′ "

= ⇒ independencia de-" 0

%


37/69

simtrica de "

8arantiza la eistencia de ( orto8onaltal 1ue (7eorema "&2&: ;rabill, "


38/69

( )′= ⇒ = B porqué-" 0 -(( "( 0

{ {"" "2 ""

"" 2"2" 22

,

′ = = ⇒ = =

C D

C C D-(( "( C 0 C 0

C C (B6or 1u)

{ } { }2 ( )q n q k q n k × × × − = C 0 /C


39/69

""" "" "

′ ′ ′ ′ ′= = =

D 0" z ( "(z z z z D z

0 0

[ ]2 2 2= = = =- -(z Cz 0/C z C z

′=z (

$i de#inimos

entonces


40/69

( )I′ ′ ′= =~ nN z ( ( ( (

"z 2zndependientes B6or 1u

′ " -mplica independencia de

( )I′= nN (

( )I′ ′ ′= =~ nN z ( ( ( (

( )I′= nN (


41/69

Caso 7. Genera!ización a! caso en 8ue e! !a

matriz de coarianzas es de$inida #ositia

( )Σ~ ,N .

q n

×

-×

( )simétrican n"

-

′"

Σ = ⇒ independencia de- " 0

%


42/69

"−′= Γ z ′Γ Γ = Σ

( )( ) ( )I" " " "~ N N − − − −′ ′ ′ ′Γ Γ Γ Γ Γ = Γ z

′= Γ z

( ) ( )′′ ′ ′ ′ ′= Γ Γ = Γ Γ " z " z z " z ′= Γ - - z

( ) ( )′ ′Γ Γ Γ = - "

( ) ( )′ ′ ′Γ Γ Γ = Σ Γ - " - " Σ =- " 0

( ) ( )′ ′Γ Γ Γ =- " 0

6or hipótesis

lue8o


43/69

( ) ( )′′ ′ ′ ′ ′= Γ Γ = Γ Γ " z " z z " z

′= Γ - - z

( ) ( )′ ′Γ Γ Γ =- " 0

( )I−′Γ "~ N z µ


44/69

Inde#endencia de $ormascuadráticas de un ector

a!eatorio con distribución

5orma!


45/69

( )Σ~ ,N .

×n n- × ( )simétrican n"

I -

′ "

Σ = ⇒ independencia de- " 0

%


46/69

′Γ Γ = Σ


47/69

′Γ Γ = Σ

′Σ = Γ Γ " - " -


48/69

′Γ Γ = Σ

′Σ = Γ Γ " - " -

{ {

}′ ′Σ = Γ Γ Γ Γ =

por hiptesis

C 9

" - " -

hi t i


49/69

{ {

}′ ′Σ = Γ Γ Γ Γ =

por hiptesis

C 9

" - " -


50/69

"I −′= Γ z (

( )( ) ( )I− − − −′ ′ ′ ′Γ Γ Γ Γ Γ = Γ " " " "~ I I IN N z ( ( ( (


51/69

( )I−′Γ "~ IN z ( µ

( ) ( )

{

′′ ′ ′= Γ Γ =

′ ′ ′ ′= = =

′ ′=

Γ

=

′Γ

""" "" "

C

" (z " (z

z ( (z z ( (z

D 0z z z D z0 0

" C

( ) ( )

{

′′ ′ ′= Γ Γ =

′ ′ ′ ′= = =

′ ′= =

′Γ Γ

2 22 222

9

- (z - (z

z ( (z z ( (z

0 0z z z D0 D

9

z

-

{ { { {′ ′ ′= =′′ ′Γ Γ ′Γ Γ Γ Γ Γ Γ C 9 C 9

( (( ( ( -" (-"


52/69

Distribución T de3tudent


53/69

$i J es una 'ariable aleatoria normalest4ndar %

A es una Chi-cuadrado con ν 8rados delibertad %

% J % A son 'ariables independientes,entonces

se distribu%e como una 7 de $tudent

con ν 8rados de libertad&

!

U ν


54/69

( )

2

y "

S n

0− µ=

EstadKstico 7

Demostrar 1ue tiene distribución 7 ba+o Lo


55/69

( )

( )

( )

σ

σ

0

−

− µ

=

−

2

2 2" /

"

S

y

n

n

n

@aKz cuadrada de una Chi-cuadrado

di'idida sus 8rados de libertad

Normal est4ndar

(ba+o L)


56/69

( )

( )

σ

0

−

− µ2

"

n

n

y

( )

σ

−

2 2/

"

S

n

=


57/69

( )

σ

σ

0

=

− µ

=2

2 2/

y

n

S


58/69

( )σ σ

0= − µ =2 2 2/y n S


59/69

( )

( ) ( )σ σ 0=

− µ=2 2 2/

y

n S


60/69

( )

σ

0

= − µ

2

y

( ) σ 2 2/n S( ) =


61/69

( )

( )0

= =

− µ2 /S

y

n


62/69

6ara demostrar independencia del numerador% del denominador

7enemos 1ue escribir el numerador %denominador deH

como una #orma lineal % una cuadr4ticarespecti'amente % mostrar 1ue sonindependientes

( )( )

0= =− µ2 /S

y

n


63/69

( )0

0

=

=

− µ

− µ

=

." ," ,&&&," 0

." ," ,&&&," 0

n n n

n n

y

n


64/69

( )

( )

( )

=

′= − ÷ ÷ ÷−

= − ÷ ÷ ÷−

2 /

" "

"

" ""

n n

n n

# $

n

n n n

# $ n n

S

n

"


65/69

( )

( )

σ

σ

− ÷ ÷ ÷−

Σ =

= =

=

− ÷−

2

2

." ," ,&&&," 0" "

"

""

." ," ,&&&," 0

n n

n n

n # $ n n n

# $ n

n n n

nn

nn

#

n

"


66/69

− ÷

=

=−

− =

L

L

O

"

" " "

" "

." ," ,&&&," 0

." ,"""

" " "

" "

,&&&," 0 ." ," ,&&&," 0

." ," ,&&&," 0 . , ,

" "

"& 0 && ,

n nn n n

n n n n n n

n n n n n n

# $ n

n

n n nn


67/69

Distribución 3 (no central)

A" una chi-cuadrado no central con par4metros n" % λ,

A2 una chi-cuadrado central con n2 8rados de libertad

A" % A2 independientes

M(A"/n")/(A2/n2) es una 3-no central


68/69


( ) ( )

( ) ( ) ( ) 00

!

),,:( 21

2112

2

11

21

21

1

2/)2(

2

2

2

2/)2(

2

22/)2(

021

≤

Γ Γ

Γ

= +

+++

++

+

∞

=

− +−

∑

w para

w

j

e

nnw nwn

nn j jnn

n

n n

nn jn j

j

j

F

λ

λ

λ

( λ j =1 para λ =0 y j=0 )


69/69

& &" &2< "2&O "F&:=

Variable 3

&

&2

&O

&:

&F

D e n s i d a

d

F(8,4,0)

F(8,4,10)


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