Solución de la ecuación cuadrática.Profesor Ramón Monreal Vera Romero

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoColegio de Ciencias y Humanidades

Plantel “Oriente”

Método de Factorización

Ecuación Cuadrática

Una ecuación cuadrática esta formada por un trinomio, existiendo tres formas de su solución: Factorización Método de trinomio Cuadrado perfecto Ecuación de Solución General de la cuadrática

Nota Importante: Una ecuación cuadrática no se puede despejar, solamente que sea un binomio (termino de segundo grado y termino independiente)

Ecuación Cuadrática

Método por factorización X² + 5X + 6 = 0

Recordar que el coeficiente del término de primer grado (5X) es la suma de los valores numéricos de los binomios y el término independiente (6) es el producto de los dos valores numéricos.

Ecuación Cuadrática

MÉTODO POR FACTORIZACIÓNX² + 5X + 6 = 0

Dos números multiplicados debe resultar 6( 1 )( 6 ) = 6( 2 )( 3 ) = 6( 3 )( 2 ) = 6( 4 )( NE ) = 6( 5 )( NE ) = 6( 6 )( 1 ) = 6

Dos números sumados debe resultar 5( 1 )+( 6 ) = 7( 2 )+( 3 ) = 5( 3 )+( 2 ) = 5( 4 )+( NE ) = ?( 5 )+( NE ) = ?( 6 )+( 1 ) = 7

Ecuación Cuadrática

MÉTODO POR FACTORIZACIÓNX² + 5X + 6 = 0

Dos números multiplicados debe resultar 6( 2 )( 3 ) = 6( 3 )( 2 ) = 6

Dos números sumados debe resultar 5( 2 )+( 3 ) = 5( 3 )+( 2 ) = 5

Ambos son lo mismo, por lo tanto los binomios son:(X+2)(X+3) =0

X₁ = -2 ; X₂ = -3

Ecuación Cuadrática

Método por factorización X² + 2X - 8 = 0

El signo es menos, indica que los valores numéricos tienen signos diferentes, uno positivo y el otro negativo

El signo es más, indica que el número mayor es positivo

Ecuación Cuadrática

MÉTODO POR FACTORIZACIÓNX² + 2X - 8 = 0

Dos números multiplicados debe resultar 8

( 1 )( 8 ) = 8( 2 )( 4 ) = 8( 3 )( NE ) = 8( 4 )( 2 ) = 8( 5 )( NE ) = 8( 6 )( NE ) = 8

Dos números sumados debe resultar 8, el valor mayor es positivo( -1 )+( 8 ) = 7( -2 )+( 4 ) = 2( -3 )+( NE ) = ?( 4 )+( -2 ) = 2( 5 )+( NE ) = ?( 6 )+( NE ) = 7

Ecuación Cuadrática

MÉTODO POR FACTORIZACIÓNX² + 2X - 8 = 0

Dos números multiplicados debe resultar 6( -2 )( 4 ) = -8( 4 )( -2 ) = -8

Dos números sumados debe resultar 5( -2 ) + ( 4 ) = 2( 4 ) + ( -2 ) = 2

Ambos son lo mismo, por lo tanto los binomios son:(X-2)(X+4) =0

X₁ = 2 ; X₂ = -4

Ecuación Cuadrática

Método por factorización X² - 3X - 4 = 0

El signo es menos, indica que los valores numéricos tienen signos diferentes, uno positivo y el otro negativo

El signo es menos, indica que el número mayor es negativo

Ecuación Cuadrática

MÉTODO POR FACTORIZACIÓNX² - 3X - 4 = 0

Dos números multiplicados debe resultar 8

( 1 )( 4 ) = 8( 2 )( NE ) = 8( 3 )( NE ) = 8( 4 )( NE ) = 8( 5 )( NE ) = 8( 6 )( NE ) = 8

Dos números sumados debe resultar 8, el valor mayor es negativo

( 1 ) + ( -8 ) = -8( -2 ) + ( NE ) = ?( -3 ) + ( NE ) = ?( 4 ) + ( NE ) = ?( 5 ) + ( NE ) = ?( 6 ) +( NE ) = ?

Ecuación Cuadrática

MÉTODO POR FACTORIZACIÓNX² - 3X - 4 = 0

Dos números multiplicados debe resultar 6( 1 )( -4 ) = -4

Dos números sumados debe resultar 5( 1 ) + ( -4 ) = -4

Ambos son lo mismo, por lo tanto los binomios son:(X + 1)(X - 4) =0X₁ = 1 ; X₂ = 4

Ecuación Cuadrática

Método por factorización X² - 7X + 12 = 0

El signo es más, indica que los valores numéricos tienen signos iguales.

El signo es mas, indica que ambos valores son negativo

Ecuación Cuadrática

MÉTODO POR FACTORIZACIÓNX² - 7X +12 = 0

Dos números multiplicados debe resultar 12

( 1 )( 12 ) = 12( 2 )( 6 ) = 12( 3 )( 4 ) = 12( 4 )( 3 ) = 12( 5 )( NE ) = 12( 6 )( 2 ) = 12

Dos números sumados debe resultar -7, ambos valores son negativo

( -1 ) + ( -12 ) = -8( -2 ) + ( -6 ) = -8( -3 ) + ( -4 ) = -7( -4 ) + ( -3 ) = -7( -5 ) + ( NE ) = ?( -6 ) +( -2 ) = -8

Ecuación Cuadrática

MÉTODO POR FACTORIZACIÓNX² - 7X +12 = 0

Dos números multiplicados debe resultar 6( -3 )( -4 ) = -12

Dos números sumados debe resultar -7( -3 ) + ( -4 ) = -7

Por lo tanto los binomios son:(X - 3)(X - 4) =0

X₁ = +3; X₂ = + 4

Método de trinomio cuadrado perfecto

Trinomio cuadrado perfecto

X² - 8X + 16 = 0 Recordemos acerca de los trinomio cuadrado

perfecto, la mitad del término de primer grado (-8) elevado al cuadrado nos da el término independiente.

, por lo tanto la ecuación:

Trinomio cuadrado perfecto

Para resolver una ecuación cuadrática que no es un binomio cuadrado perfecto, vamos a convertirlo parcialmente para poder resolver la ecuación:

Ejemplo:X² + 8X +12 = 0

No es trinomio cuadrado perfecto: La mitad del término de primer grado, la mitad del coeficiente

al cuadrado no es igual al termino independiente:

Trinomio cuadrado perfecto

X² +8X +12 = 0 Se separa el termino al cuadrado y el término

de primer grado del término independiente:X² +8X = -12

Para poder tener un binomio cuadrado perfecto el término es el cuadrado del coeficiente del termino de primer grado:

Trinomio cuadrado perfecto

Se agrega el 16, pero no de romperse la igualdad se tiene que agregar en ambos lados:

X² +8X = -12X² +8X +16 = -12 +16

Ahora el lado izquierdo es un binomio cuadrado perfecto, por lo tanto se puede factorizar:

+16 +16

Trinomio cuadrado perfecto

Se obtiene la raiz cuadrada en ambos lados de la ecuación:

Se elimina el cuadrado del lado izquierdo por ser operaciones inversas:

Despejando X:

Trinomio cuadrado perfecto

Se obtienen las dos soluciones:

Para comprobar, usemos el metodo factorización:

Trinomio cuadrado perfecto

En el siguiente se hará directo, si tienes dudas vuelve a revisar el primer ejemplo que esta paso a paso.

Trinomio cuadrado perfecto

X² -4X - 12 = 0

+ 12- 12

-4

-2

No soniguales

No es trinomio cuadrado perfectoX² -4X = 0

X² -4X = + 12

Trinomio cuadrado perfecto

X² -4X = +12 Completar el trinomio cuadrado perfecto.

X² -4X = +12

Se agrega 4 en ambos lados para no afectar la igualdad

X² -4X +4 = +12+4 Factorizando el binomio cuadrado perfecto:

Trinomio cuadrado perfecto

Se obtiene la raiz cuadrada en ambos lados de la ecuación:

Se elimina el cuadrado del lado izquierdo por ser operaciones inversas:

Despejando X:

Trinomio cuadrado perfecto

Se obtienen las dos soluciones:

Se separa termino cuadrático y primer gradoX²-14X+45 = 0

Coeficiente de Primer grado X²-14X = -45

Se obtiene la mitad del coeficiente -14 = -14/2

Se obtiene el cuadrado del coeficiente -7 (-7)² = 49

Se completa el trinomio cuadrado perfecto con 49 Se agregan a ambos lados para no alterar la igualdad

X²-14X+49 = -45+49

Se simplifica términos -45+49 = 4

X²-14X+49 = 4 Factorizar

(X-7)² = +4 Se obtiene la raíz cuadrada en ambos términos El cuadrado se elimina con la raíz cuadrada por

ser operaciones contrarias =

Resultando X-7 = ± 2Despejando X X = 7 ±2Soluciones: X₁ = +7 +2 = +9 X₂ = +7 -2 = +5

Se separa termino cuadrático y primer grado X²-12X+27 = 0

Coeficiente de Primer gradoX²-12X = -27

Se obtiene la mitad del coeficiente: -12 = -12/2=-6

Se obtiene el cuadrado del coeficiente (-6)² = 36

Se completa el trinomio cuadrado perfecto con 36 Se agregan a ambos lados para no alterar la igualdad:

X²-12X+36 = -27+36

Se simplifica términos -27+36 = 9 X²-12X+36 = 9

Factorizar (X-6)² = +9

Se obtiene la raíz cuadrada en ambos términos

El cuadrado se elimina con la raíz cuadrada por ser operaciones contrarias

=

Resultando X-6 = ± 3

Despejando X X = 6 ±3

Soluciones: X₁ = +6 +3 = +9 X₂ = +6 -3 = +3

Se separa termino cuadrático y primer grado X²-10X+9 = 0

Coeficiente de Primer grado X²-10X = -9

Se obtiene la mitad del coeficiente -10 = -10/2 = -5

Se obtiene el cuadrado del coeficiente -5 (-5)² = 25

Se completa el trinomio cuadrado perfecto con 25 Se agregan a ambos lados para no alterar la igualdad

X²-10X+25 = -9+25

Se simplifica términos -9+25 = 16 X²-10X+25 = 16

Factorizar (X-5)² = +16

Se obtiene la raíz cuadrada en ambos términos

El cuadrado se elimina con la raíz cuadrada por ser operaciones contrarias

=

Resultando X - 5 = ± 4 Despejando X X = 5 ±4 Soluciones: X₁ = 5 +4 = +9 X₂ = 5 -4 = +1