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Adaptado por Profa. Caroline Rodriguez
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico en Arecibo
Factorización trinomios cuadráticos de la forma x2 + bx + c
Factorización de trinomios
Sea x2 + bx + c un trinomio con
coeficientes racionales, donde
• b se llama coeficiente lineal
• c se llama coeficiente constante
entonces x2 + bx + c factoriza si
x2 + bx + c = (x + n)(x + m)
donde
• n y m son factores de c
• m + n es igual a b.
Factorización de trinomios
Ejemplos: Factorice
a) x2 + 8x + 12
elegimos los valores de m y n tal que su producto sea 12 y su suma sea 8.
x2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6)
= (x + m)(x + n)
Esos números son 2 & 6, por lo que
Factorización de trinomios b) y2 – 11y + 24 =
c) a2 – 13a – 30 =
Factorización de trinomios d) x2 + x – 5 = NO factoriza.
e) w2 + 5w – 36 =
Factorización de trinomios
Factorice completamente: – 2y2 – 26y + 28
= -2(y2 + 13y – 14)
Tratemos de factorizar el polinomio cuadrático
restante.
Se necesitan dos números cuyo producto sea -
14 y cuya suma sea 13
-2(y2 + 13y – 14) = -2(y + 14)(y + -1)
Esos números son 14 & -1, por lo que
= -2(y + 14)(y – 1)
Nota: Los términos tienen un factor de 2 en común
Ejemplo: Factorice completamente:
100 – 45x + 5x2
Solución:
Adaptado por Profa. Caroline Rodriguez
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico en Arecibo
Factorización trinomios cuadráticos de la forma ax2 + bx + c
Forma general de los trinomios cuadráticos • Los trinomios cuadráticos, en general,
tienen la forma
ax2 + bx + c , donde a, b,c son reales; a≠0
• Ejemplos:
22 25 12x x 24 6 2z z
32 − 12𝑥 − 8𝑥2
, donde a=2, b=25, c=12
, donde a=4, b=-6, c=2
, donde a=-8, b=-12, c=32
Factorizar binomios de la forma ax2 + bx + c
• Algunos trinomios cuadráticos se pueden factorizar como el producto de dos binomios.
• Para identificar los factores binomiales de un trinomio podemos utilizar
• Tanteo
• el Método AC
Ejemplo con tanteo Factorice completamente:
factores de 9:
factores de 4:
Las posibles combinaciones son:
Por lo tanto,
4159 2 xx
1(9) 3(3)
1(4) 2(2)
(9 4)( 1)x x
(9 1)( 4)x x
(9 2)( 2)x x
(3 2)(3 2)x x
(3 1)(3 4)x x
4159 2 xx (3 1)(3 4).x x
29 13 4x x
29 37 4x x 29 20 4x x
29 12 4x x 29 15 4x x
=
Factorización de trinomios • Cuando multiplicamos binomios se forman 4
productos:
• Podrían haber términos semejantes y se reduce
el polinomio a un trinomio.
• El trinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 factoriza si existen factores de ac que sumen b.
Factorización de trinomios
Factorice: 10x2 + 31x + 15
En esta expresión a=10, b=31, c=15, ac=150
Buscamos factores de 150 que sumen 31.
Los factores son: 25 y 6
= 10x2 + 25x + 6x + 15
= 5x(2x + 5) + 3(2x + 5)
= (5x + 3)(2x + 5)
Factorice completamente:
(a) 6y2 + 23y + 20
𝐛 𝟔𝐱𝟐+𝐱 − 𝟏𝟓
(c) 12w2 – 11w + 2
Factorice completamente:
32 − 12𝑝 − 8𝑝2 • Observar que el polinomio no está en la forma general. • −8𝑝2 − 12𝑝 + 32 • Observar que existen un factor común en los términos • El factor común es -4 • -4(2p2 + 3p – 8 ) • Debemos ver si el trinomio cuadrático que queda es factorizable • a = 2, b= 3, c = -8, ac = -16 • Buscamos dos números que multiplican -16 y que sumen 3 • Dos números que multiplican -16 son:
• -2 y 8 (pero suman 6) • 2 y -8 (pero suman -6) • 4 y -4 (pero suman 0)
• Por lo tanto, 32 − 12𝑝 − 8𝑝2 = -4(2p2 + 3p – 8 )
-16 y 1 (pero suman -15) 16 y -1 (pero suman 15)
Factorización de trinomios Factorice completamente: x2 + 19xy – 42y2
Diferencia de cuadrados
Factorice: p2 – 64 =
Factorice: 49w2 – 81 =
= (p + 8)(p – 8)
= ( + )( – )
( )2 – ( )2
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃
Factorice: 100x2 – 36y2
(p)2 – (8)2