algebra básica: 03 (trinomios cuadráticos)
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FACTORIZANDO
TRINOMIOS
CUADRÁTICOS Resolviendo tres problemas con el mismo método
22/12/2011
VISUALIZACION DEL ALGEBRA BASICA
yoseff basserool
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Trinomios cuadráticosTrinomios cuadráticosTrinomios cuadráticosTrinomios cuadráticos
Anteriormente hemos mencionado que vemos
tres clases de estos trinomios:
Trinomio cuadrático
general: El coeficiente del término
cuadrático es positivo y mayor
que 1.Los signos de los términos noLos signos de los términos noLos signos de los términos noLos signos de los términos no
cuadráticos pueden ser positivos ocuadráticos pueden ser positivos ocuadráticos pueden ser positivos ocuadráticos pueden ser positivos o
negativos.negativos.negativos.negativos.
Trinomio cuadrático: El coeficiente del término
cuadrático es positivo y es 1.
Los signos de los términos noLos signos de los términos noLos signos de los términos noLos signos de los términos no
cuadráticos pueden ser positivos ocuadráticos pueden ser positivos ocuadráticos pueden ser positivos ocuadráticos pueden ser positivos o
negativos.negativos.negativos.negativos. Trinomios cuadrados
perfectos: El coeficiente del término
cuadrático es un cuadrado
perfecto.
El coeficiente del término
libre es un cuadrado perfecto.
El término de primer grado es
igual a dos veces la raíz
cuadrada del término
cuadrático por la raíz cuadrada
del término libre.
El signo del término libre nuncaEl signo del término libre nuncaEl signo del término libre nuncaEl signo del término libre nuncapuede ser negativo.puede ser negativo.puede ser negativo.puede ser negativo.
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Al reunir estos tres tipos en una sola
categoría estamos afirmando que los trespueden factorizarse por el mismo método,
que es el método aplicado a los trinomios
cuadráticos generales.
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Trinomio cuadrático general
Sus coeficientes
son a, b, c.
El coeficiente a
nunca es negativo.
Los coeficientes b
y c pueden ser
positivos o
negativos.
El coeficiente apuede
descomponerse en
dos factores hm.
El coeficiente c
puede
descomponerse en
dos factores kn.
El coeficiente b se
forma al tener
hn+km.
El método por ensayo y error es el más
rápido y de cierta forma el más confiable para
transmitir al estudiante regular:
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Ejemplo:
Nuestro problema, donde a, b, cNuestro problema, donde a, b, cNuestro problema, donde a, b, cNuestro problema, donde a, b, c
son positivos.son positivos.son positivos.son positivos.
Buscamos primero dos números queBuscamos primero dos números queBuscamos primero dos números queBuscamos primero dos números que
multiplicados nos den 3 (el coeficientemultiplicados nos den 3 (el coeficientemultiplicados nos den 3 (el coeficientemultiplicados nos den 3 (el coeficientea)a)a)a)
Luego bLuego bLuego bLuego buscamos dos números queuscamos dos números queuscamos dos números queuscamos dos números que
multiplicados nos den 3 (elmultiplicados nos den 3 (elmultiplicados nos den 3 (elmultiplicados nos den 3 (el
coeficiente c).coeficiente c).coeficiente c).coeficiente c).
Observemos el orden en que seObservemos el orden en que seObservemos el orden en que seObservemos el orden en que secolocan.colocan.colocan.colocan.
Ahora probamos si estos númerosAhora probamos si estos númerosAhora probamos si estos númerosAhora probamos si estos números
multiplicados en diagonal y luegomultiplicados en diagonal y luegomultiplicados en diagonal y luegomultiplicados en diagonal y luego
sumados nos dan +10 (elsumados nos dan +10 (elsumados nos dan +10 (elsumados nos dan +10 (el
coeficiente b).coeficiente b).coeficiente b).coeficiente b).
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Como vemos que los factores están enComo vemos que los factores están enComo vemos que los factores están enComo vemos que los factores están en
elelelel orden correcto, y son los correctos,orden correcto, y son los correctos,orden correcto, y son los correctos,orden correcto, y son los correctos,
podemos extraer la respuesta:podemos extraer la respuesta:podemos extraer la respuesta:podemos extraer la respuesta:
Es el trinomio ya factorizado.Es el trinomio ya factorizado.Es el trinomio ya factorizado.Es el trinomio ya factorizado.
Este método puede usarse para los tres tipos
de trinomios cuadráticos.
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Con respecto de los trinomios cuadráticos generales hay
cuatro variaciones del problema, dependiendo de los
signos de los coeficientes b y c.
Los coeficientes b y c son positivos.
En la respuesta ambos binomios sonEn la respuesta ambos binomios sonEn la respuesta ambos binomios sonEn la respuesta ambos binomios son
sumassumassumassumas:
El coeficiente b es positivo y el c es
negativo.
En la respuesta un binomio es suma y elEn la respuesta un binomio es suma y elEn la respuesta un binomio es suma y elEn la respuesta un binomio es suma y el
otro esotro esotro esotro es resta:resta:resta:resta:
Ambos coeficientes b y c son negativos.
En la respuesta un binomio es suma y elEn la respuesta un binomio es suma y elEn la respuesta un binomio es suma y elEn la respuesta un binomio es suma y el
otro es resta:otro es resta:otro es resta:otro es resta:
El coeficiente b es negativo y el c es
positivo.
En la respuesta ambos binomios sonEn la respuesta ambos binomios sonEn la respuesta ambos binomios sonEn la respuesta ambos binomios son
restas:restas:restas:restas:
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Trinomio cuadráticoTrinomio cuadráticoTrinomio cuadráticoTrinomio cuadrático
Se resuelve con el mismo método anterior.
Su principal rasgo distintivo es que el
coeficiente del término cuadrático (a) es 1, y
no está visiblemente escrito.
En consecuencia el método puede
simplificarse.
Ejemplo:
Nuestro problema donde b y c sonNuestro problema donde b y c sonNuestro problema donde b y c sonNuestro problema donde b y c son
positivos.positivos.positivos.positivos.
Buscaremos dos númBuscaremos dos númBuscaremos dos númBuscaremos dos números queeros queeros queeros que
multiplicados nos den el coeficientemultiplicados nos den el coeficientemultiplicados nos den el coeficientemultiplicados nos den el coeficiente
c:c:c:c:
Nos aseguramos que la suma de esosNos aseguramos que la suma de esosNos aseguramos que la suma de esosNos aseguramos que la suma de esos
números encontrados sea igual alnúmeros encontrados sea igual alnúmeros encontrados sea igual alnúmeros encontrados sea igual al
coeficiente b.coeficiente b.coeficiente b.coeficiente b.
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Si esos números son los buscados,Si esos números son los buscados,Si esos números son los buscados,Si esos números son los buscados,
entonces construimos la respuesta:entonces construimos la respuesta:entonces construimos la respuesta:entonces construimos la respuesta:
El trinomio ya está factorizado.El trinomio ya está factorizado.El trinomio ya está factorizado.El trinomio ya está factorizado.
De manera semejante al caso del trinomio
cuadrático general, estos trinomios presentan
cuatro variantes:
Los coeficientes b y c son positivos.En la respuesta los binomios sonEn la respuesta los binomios sonEn la respuesta los binomios sonEn la respuesta los binomios son
sumas:sumas:sumas:sumas:
El coeficiente b es negativo; el
coeficiente c es positivo:
En la respuestaEn la respuestaEn la respuestaEn la respuesta ambos binomios sonambos binomios sonambos binomios sonambos binomios sonrestas:restas:restas:restas:
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El coeficiente b es positivo; el
coeficiente c es negativo.
En la respuesta uno de los binomiosEn la respuesta uno de los binomiosEn la respuesta uno de los binomiosEn la respuesta uno de los binomiosserá una suma; el otro binomio seráserá una suma; el otro binomio seráserá una suma; el otro binomio seráserá una suma; el otro binomio será
una resta.una resta.una resta.una resta.
El término libre del binomio suma esEl término libre del binomio suma esEl término libre del binomio suma esEl término libre del binomio suma es
de mayor valor absoluto que elde mayor valor absoluto que elde mayor valor absoluto que elde mayor valor absoluto que el
términotérminotérminotérmino libre del binomio resta:libre del binomio resta:libre del binomio resta:libre del binomio resta:
El coeficiente b es negativo; el
coeficiente c es negativo.
En la respuesta uno de los binomiosEn la respuesta uno de los binomiosEn la respuesta uno de los binomiosEn la respuesta uno de los binomios
será resta y el otro será una suma.será resta y el otro será una suma.será resta y el otro será una suma.será resta y el otro será una suma.
El término libre del binomio restaEl término libre del binomio restaEl término libre del binomio restaEl término libre del binomio resta
será de mayor valor absoluto que elserá de mayor valor absoluto que elserá de mayor valor absoluto que elserá de mayor valor absoluto que el
término libre deltérmino libre deltérmino libre deltérmino libre del binomio suma:binomio suma:binomio suma:binomio suma:
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Trinomios cuadrados perfectos.Trinomios cuadrados perfectos.Trinomios cuadrados perfectos.Trinomios cuadrados perfectos.
Estos trinomios presentan dos variaciones:
Todos los coeficientes son
positivos.
El primero y el tercer términos son
cuadrados.
El segundo término es positivo, y esEl segundo término es positivo, y esEl segundo término es positivo, y esEl segundo término es positivo, y es
dos veces el producto de las raícesdos veces el producto de las raícesdos veces el producto de las raícesdos veces el producto de las raíces
cuadradas de los términos de loscuadradas de los términos de loscuadradas de los términos de loscuadradas de los términos de los
extremos.extremos.extremos.extremos. Los coeficientes de los extremos
son positivos, el segundo
coeficiente es negativo.
El primero y el tercer términos son
cuadrados.
El segundo término esEl segundo término esEl segundo término esEl segundo término es negativonegativonegativonegativo, y es, y es, y es, y es
dos veces el producto de las raícesdos veces el producto de las raícesdos veces el producto de las raícesdos veces el producto de las raíces
cuadradas de los términos de loscuadradas de los términos de loscuadradas de los términos de loscuadradas de los términos de los
extremos.extremos.extremos.extremos.
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Aplicando el método para factorizar los
trinomios cuadráticos generales llegamos auna prueba del por qué el signo del segundo
coeficiente.
PPPParaaraaraara el primerel primerel primerel primer
trinomio cuadradotrinomio cuadradotrinomio cuadradotrinomio cuadrado
perfectoperfectoperfectoperfecto
BBBBuscamosuscamosuscamosuscamos dosdosdosdos
términos quetérminos quetérminos quetérminos que
multiplicados nosmultiplicados nosmultiplicados nosmultiplicados nos
den el primerden el primerden el primerden el primer
términotérminotérminotérmino deldeldeldel
trinomiotrinomiotrinomiotrinomio::::
BBBBuscamosuscamosuscamosuscamos dosdosdosdos
términos quetérminos quetérminos quetérminos que
multiplicados nosmultiplicados nosmultiplicados nosmultiplicados nos
den el tercerden el tercerden el tercerden el tercer
término deltérmino deltérmino deltérmino del
trinomio:trinomio:trinomio:trinomio:
EEEEllll productoproductoproductoproducto
cruzado de estoscruzado de estoscruzado de estoscruzado de estos
términos nos debetérminos nos debetérminos nos debetérminos nos debe
dardardardar dos resultadosdos resultadosdos resultadosdos resultados
que sumados nosque sumados nosque sumados nosque sumados nos
dan el término dedan el término dedan el término dedan el término de
en medioen medioen medioen medio deldeldeldel
trinomio:trinomio:trinomio:trinomio:
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AAAAhorahorahorahora estamos enestamos enestamos enestamos enla capacidad dela capacidad dela capacidad dela capacidad de
entenderentenderentenderentender cuálescuálescuálescuáles
son los factores:son los factores:son los factores:son los factores:
La respuesta esLa respuesta esLa respuesta esLa respuesta es
ahora:ahora:ahora:ahora:
(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
Una prueba semejante se puede establecer
para el otro trinomio cuadrado perfecto:
TTTTenemosenemosenemosenemos elelelel
trinomiotrinomiotrinomiotrinomio
HHHHallamosallamosallamosallamos loslosloslos
factores yfactores yfactores yfactores y
probamos si nosprobamos si nosprobamos si nosprobamos si nos
dan el término dedan el término dedan el término dedan el término de
en medio delen medio delen medio delen medio del
trinomio:trinomio:trinomio:trinomio:
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AAAAhorahorahorahora podemos verpodemos verpodemos verpodemos ver
los elementos quelos elementos quelos elementos quelos elementos que
forman losforman losforman losforman losfactores:factores:factores:factores:
LLLLaaaa respuesta será:respuesta será:respuesta será:respuesta será: (a(a(a(a----b)(ab)(ab)(ab)(a----b)b)b)b)
Los trinomios cuadráticos son de mucha
utilidad en otros problemas de matemática,
por ejemplo:
a) Solución de ecuaciones de segundo
grado.
b) Graficación de ecuaciones de segundo
grado.
c) Factorización por completación del
trinomio cuadrado perfecto.
d) Obtención del centro de formas
cuadráticas en geometría analítica.