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Autor: Profesor Fernando Chicas Romero
ÍNDICE
Ecuaciones de segundo grado 2Fórmula general 3Propiedades del discriminante 4Homogenización y procesos varios 6Productos notables 8Casos particulares de ecuaciones cuadráticas de la forma 8Métodos alternativos para resolver una ecuación cuadrática 10División sintética 10Factorización 12Solución de ecuaciones de cuadráticas por medio de la factorización de polinomios
15
Uso de la tecnología al factorizar polinomios y resolver ecuaciones cuadráticas
17
Fracciones racionales 18Simplificación de fracciones racionales 18Mínimo común múltiplo (MCM) de polinomios 19Suma y resta de fracciones racionales 20Multiplicación de fracciones racionales 22División de fracciones racionales 22EJERCICIOS 24Trabajos extraclase 27Examen de práctica 29
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TemaEcuaciones de segundo grado, con una incógnita
Objetivo:Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita por medio de diferentes métodos.
¿Qué es una ecuación?Una ecuación es la igualdad que se cuestiona entre dos expresiones algebraicas
¿Qué es la solución de una ecuación?La o las soluciones de una ecuación, son aquellos valores que hacen efectiva la igualdad, dado que la ecuación planteada no es igual para todos los valores en general, claro esta que existen ecuaciones que tienen soluciones infinitas.
Ejemplo3x -5 = 2x + 6 solución x = 11
Verificación
3(11) – 5 = 2(11) + 633 – 5 = 22 + 628 = 28
Tipos de ecuaciónExisten diversos tipos de ecuaciones, de acuerdo a su forma, cantidad de incógnitas e incluso de acuerdo a sus comandosTipos de ecuaciones
Ecuación lineal de primer grado, con una incógnita.Ecuación de primer grado, con dos incógnitas.Ecuación de segundo grado, con una incógnita.
Ecuación de segundo grado, con tres
incógnitas. Ecuación trigonométrica con una incógnita.
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Las ecuaciones también varían en la cantidad de soluciones que poseen, por ejemplo las ecuaciones polinómicas de la forma
donde tienen hasta a lo sumo n soluciones, o sea de acuerdo al exponente
Por ejemplo la ecuación 3x = 2 tiene una solución y la ecuación 4x – 1 = 4x no tiene solución
A continuación estudiaremos las ecuaciones cuadráticas con una incógnita.
Forma General de la ecuación cuadrática con una incógnita
ax2 + bx + c = 0 , donde a, b, c son números reales.Describamos los métodos para resolver este tipo de ecuaciones
Fórmula general.Mediante el álgebra y el método de completitud de cuadrados, , se establecerá la formula general, para encontrar las soluciones de este tipo de ecuación. Este proceso requiere la aplicación de productos notables
Note de la formula notable (x + a) 2 = x2 + 2ax + a2 que a2 es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término.
Deducción de la formula general
donde = b2 – 4ac se le conoce como discriminante.
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Sea la ecuación ax2 + bx + c = 0Sacando a factor común a, se obtiene
Sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término se obtiene
Juntando adecuadamente los términos
Se obtiene
De esta forma las soluciones de la ecuación cuadrática quedan
Nota: El proceso aplicado es necesario para despejar la incógnita en su forma más general.
Logrando así despejar la variable x, simplificando se obtiene
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y
De dicha fórmula se define el discriminante del cual se deducen varias propiedades
PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE
1) Si da como resultado un número negativo, se deduce con la formula general que no posee soluciones en IR
2) Si da como resultado un número positivo, se deduce con la formula general que posee dos soluciones en IR
3) Si da como resultado cero, se deduce con la formula general que posee una solución en IR y esta toma la forma
Ejemplos donde se aplica la formula general obtenida.
1) 3x2 – 5x + 7 = 0a = 3 b = -5 c = 7
2)Primero igualar a cero
a = 3 b = -4 c = -9
Nota: -b es un cambio de signo en la constante b
Detalles de esta ecuación, cuando en el radical se pueden extraer factores, se simplifica la expresión, en este caso el número 124 era factorizable, por tanto se deben extraer factores del radical
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3)
a = 2 b = 5 c = -45
124 262 231 311 =22.31
En este caso 385 no tiene factores para extraer, por lo que se conserva
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4)a = 4 b = -12 c = 9
donde la solución toma la forma de
5)
primero se iguala a cero
Recomendación: Cuando el coeficiente ¨a¨ sea negativo, transforme el signo de todos los términos. Esto no afecta el resultado o soluciones. Esto no quiere decir que no se puede trabajar con el signo negativo, pero facilita el proceso. Para más información preguntar al profesor.
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a = 6 b = -11 c = -10
Homogenización y otrosAhora bien no toda ecuación se nos presente en una forma
agradable para su análisis, existirán casos donde deberemos aplicar varias herramientas para transformarla a su forma general, a continuación se resolverán algunas ecuaciones que derivan en ecuaciones cuadráticas con una incógnita
Ejemplos
361 1919 19
1 =192
Detalles de esta ecuación, cuando en el radical se pueden extraer factores, se simplifica la expresión, en este caso el número 361 tiene raíz exacta, por tanto se obtiene dicha raíz eliminando el radical y simplificar al máximo la fracción resultante
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1) ,
Primero obtenemos el mcm de los denominadores
Dicho resultado se coloca como común denominador a las fracciones y se divide por cada denominador, multiplicando por el numerador respectivo
En este punto se eliminan los denominadores ¿porqué?
de donde se obtiene al multiplicar
igualando a cero
Para su solución podemos recurrir a varios procesos, pero si lo que buscamos es transformar a la forma general ax2 + bx + c = 0, con a,b,c enteros, el mejor camino es por medio de la homogenización de fracciones. A continuación ilustraremos el proceso, paso a paso
primero debemos desarrollar el segundo producto notable
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2)
Igualando a cero
336 2168 2
84 242 221 3
7 71 =24.3.7
324 2162 2
81 327 3
9 33 31 =22.34
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Note que el ejercicio anterior requiere del uso de las formulas notables, por lo que resulta indispensable repasarlas
Productos notables
CASOS PARTICULARES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS DE LA FORMA
Un caso muy interesante son todas las ecuaciones donde se logra despejar la incógnita a la forma xn = c, en estas ecuaciones se puede obtener el valor de la incógnita realizando el proceso inverso, en otras palabras aplicando raíz a ambos lados de la igualdad, de donde se obtiene
Si el índice n es impar la solución es , pero si el índice es par la solución es , esto se debe a que en la ecuación original el número al tener un exponente par elimina el signo y el resultado es positivo. Note además que si n es par y c es negativo la ecuación no tiene solución en IREjemplos
1) 2) 3)
Realicemos en caso de duda la comprobación del ejemplo x2 = 4
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Comprobación para x = 2 Comprobación para x = -2
por lo que se observa que ambas soluciones satisfacen la igualdad.
Este proceso lo podemos aplicar en casos aún más generales, ahorrando mucho trabajo a la hora de resolver una ecuación cuadrática, por ejemplo retomemos el ejercicio , resuelto anteriormente.Si logramos despejar el producto notable a una constante, podremos aplicar la misma idea que en los casos de
Ejemplo despejando se obtiene
Métodos alternativos para resolver una ecuación cuadrática
En este apartado se ilustraran otras formas para obtener el conjunto solución, cabe recalcar que estos métodos son aplicables solo en el caso de poseer soluciones racionales, si la (s) solución(es) de la ecuación es (son) irracional(es) solo la fórmula general las determina
Ahora aplicando el mismo proceso inverso, raíz a ambos lados
Logrando dos ecuaciones de primer grado, que se resuelven
Lo cual coincide con el resultado obtenido anteriormente
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Por división sintética
Antes de ilustrar este método se recordaran dos teoremas importantes
Definición Cero de un polinomio o raíz
Teorema del factor
(este teorema se retomara en el tema de factorización)
Teorema del residuo
Cuando se logra expresar la ecuación cuadrática a su forma ax2 + bx + c = 0 las posibles soluciones racionales de la ecuación son de la
forma , donde p y q son los divisores de las constantes c y a,
respectivamente. Por ejemplo para la ecuación , las
Si d es un cero de un polinomio (en particular ax2 + bx + c), entonces (x – d) es un factor o divisor del polinomio
Se dice que un número “d” es un cero del polinomio (en particular a ax2 + bx + c) si al sustituir la variable x, el resultado es igual a cero, o sea una solución de la ecuación ax2 + bx + c = 0
Si el residuo de dividir un polinomio (en particular ax2 + bx + c) por (x – d) es igual a cero entonces d es un cero del polinomio, o sea una solución de la ecuación ax2 + bx + c = 0
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soluciones corresponden a , note que -2 y 4 son divisores de -8
y 3 es un divisor de 9.
Tratemos de resolver una ecuación cuadrática por este método, aunque laborioso es una forma segura de encontrar las soluciones racionales de cualquier tipo de ecuación polinómica
Ejemplo
1) 15x2 – x – 6 = 0primero tomamos los coeficientes numéricos a, b y c en ese orden y los colocamos en la siguiente tabla
divisores de -6{-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}divisores de 15 {-15,-5 , -3, -1, 1, 3, 5, 15}
de donde las posibles soluciones resultan de esta combinaciónposibles soluciones
note que las posibles soluciones son bastantes, pero la práctica hace discriminar con mayor facilidad las más probables
15 -1 -6
15 -1 -6 -3-5 2
15 -6 -4
En esta casilla se prueban las posibles soluciones
Si el resultado es cero, funciona, por teorema del residuo
Hacia abajo se suma y el resultado multiplica al número de la casilla
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como el residuo es -4, entonces el número -3 no es solución de
la ecuaciónprobemos otro valor
Este método es laborioso y requiere de práctica, pero tiene la ventaja de ser muy eficaz para determinar soluciones racionales de cualquier ecuación polinómica.Para las otras técnicas resulta necesario estudiar los métodos de factorización de polinomios
Factorización
Factorizar: Corresponde en descomponer en sus factores (divisores) una expresión algebraica o numérica.
Métodos de factorización
1) Por factor común F.CPasos
15 -1 -610 6=0
15 9-9
15 0
El residuo es cero y se continúa el proceso con los números restantes, de acuerdo al grado de la ecuación.
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Consiste en determinar los divisores comunes a una serie de términos, para los coeficientes numéricos se obtiene el máximo común divisor y para las letras, aquellas repetidas en todos los términos pero con el menor exponente.
Una vez determinado el F.C, se agrega un paréntesis que incluye termino a termino la expresión original dividida entre el factor común. (A este proceso le denomino escribir en el paréntesis lo que sobro, una vez extraído el factor común)
Ejemplificación del proceso con númerosPrimero analicemos la factorización por factor común numérica
O sea el F.C para los números 28, 56 y 84 es
Ahora obsérvese el factor común por el método propuesto
56 228 214 27 71
Las potencias repetidas son 2 y 7, y al asignar el menor exponente queda
, el cual coincide con el obtenido anteriormente.
Ejemplo a un polinomio
=
84 242 221 37 71
28 214 27 71
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note que los números en el paréntesis son los mismos que quedaron en la factorización y los exponentes de las potencias es el resto (lo que sobro al quitar el factor común)
2) Método Diferencia de cuadrados.Este método se basa en el proceso inverso a la tercera formula notable lo que se busca es invertirlo, o sea
Un polinomio o expresión al que se pueda aplicar el proceso, se le reconoce por dos características
Son dos términos o expresiones en resta. Cada termino o expresión debe tener raíz cuadrada, los
coeficientes numéricos tener raíz exacta y las potencias exponente par.
Nota: recuerde que la raíz cuadrada de un número es encontrar un número que multiplicado por si mismo dos veces de cómo resultado el original y la raíz de una potencia es simplemente dividir el exponente entre dos (por eso deben ser los exponentes pares)
Ejemplo Raíz de un términoObtengamos la raíz de note la diferencia entre el número y exponente.
Ejemplo del método aplicado
Primero los términos están en resta y cada número tiene raíz y los exponentes son pares.
=
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la raíz de cada termino se escribe dos veces en una suma y en una resta.
3) Método Inspección. Se le conoce como el método de las tijeras.Se aplica a trinomios y consiste en descomponer el primer y tercer termino del trinomio (una vez que esta ordenado) de tal forma que la multiplicación de la descomposición genere al segundo término.
Para más sencilles se explicara el proceso con un ejemplo.
Ejemplo con respecto a la x el trinomio esta ordenado.
Se toma el primer y tercer término
hacia abajo se multiplican y deben dar 6x2 y –a2
se multiplica en x la descomposición y la suma de los resultados debe dar igual al segundo término, si se consigue, la factorización corresponde al producto de los binomios de cada fila, o sea = (3x + a) (2x – a)
4) AgrupaciónSe aplica a polinomios cuya cantidad de términos sea par (cuatro términos, seis, ocho, etc)Proceso:
Se divide al polinomio en grupos del mismo tamaño. A cada grupo se le saca factor común (ya estudiado), lo que se
busca es queen cada grupo la expresión en el paréntesis resulte igual. La expresión del paréntesis al ser igual es un nuevo factor
común pero para toda la
6x2 -a2
3x a2x -a =2xa+ –3xa
= -xa
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expresión, así que se vuelve a repetir el proceso de factor común.
Ejemplo:Primer ejemplo
8x(3x – 2) + 5a( 3x – 2) note que los paréntesis quedan igual,
(3x – 2)(8x – 5a) note que 8x – 5a es lo que queda una vez extraído el nuevo factor común.
Segundo ejemplo
3x(a – 2) - 5( a – 2) note que los paréntesis quedan igual, existen casos en que el factor común debe ser negativo, en el segundo grupo el factor común fue –5
(a – 2)(3x – 5) note que 3x – 5 es lo que queda una vez extraído el nuevo factor común.
Combinación de métodos.La combinación de métodos es simplemente aplicar los métodos
estudiados a cada paréntesis resultante en una factorización, debe tenerse claro que no siempre lo que queda en paréntesis se puede seguir factorizando, depende de si reúnen las características para una factorización.
Técnicas para determinar el método a aplicar
Revisar primero si al polinomio se le puede aplicar factor común.
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Cuente la cantidad de términos, si son dos en resta puede ser diferencia de cuadrados, si son tres puede ser una inspección, si son cuatro puede ser una agrupación.
Ejemplo de combinación de métodos
se aplico consecutivamente factor común y diferencias de cuadrados
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE CUADRÁTICAS POR MEDIO DE LA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Regla del producto cero
Si ello implica que a = 0 ó b = 0En otras palabras, si un producto es igual a cero alguno de los multiplicandos es igual a cero
Esta observación resulta muy útil al resolver ecuaciones.Si un polinomio se logra descomponer en sus factores por medio de la factorización y se iguala a cero, las soluciones de la ecuación se obtienen de resolver las ecuaciones de igualar a cero cada uno de los factores
O sea si se logra descomponer a entonces las soluciones de la ecuación se
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obtienen de igualar a cero cada uno de los factores, por la regla del producto cero.O sea
Ejemplo1)
= 0 Se factoriza por inspección
2) 10x2 – 5x = 0 obteniendo factor común
6x2 -253x 52x -5 =10x+ –15x
= -5x
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3) 4x2 – 9 = 0 aplicando diferencia de cuadrados
Note que esta última ecuación también se puede resolver despejando el término x2 y aplicando raíces a ambos lados ¡inténtelo!
USO DE LA TECNOLOGÍA AL FACTORIZAR POLINOMIOS Y RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS
La calculadora se puede utilizar como una herramienta eficaz, rápida y sencilla para obtener las soluciones de una ecuación cuadrática
Ecuaciones tales como x2 – 3x – 28 = 0 son sencillas de resolver por medio de esta herramienta. La pregunta está en que otros usos podemos darle.
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Si recordamos un concepto anterior, la solución de una ecuación cuadrática es a su vez el cero o raíz del polinomio ya que las soluciones hacen que el polinomio sea igual a cero.
Ahora bien si aplicamos el teorema del factor antes mencionado al polinomio podemos obtener la factorización del mismo.
Ejemplo1) x2 – 3x – 28 donde al utilizar la calculadora se obtienen las
soluciones –4 y 7aplicando el teorema del factor, la factorización correspondiente es (x – – 4) (x – 7)
ponga especial cuidado al cambio de signo.
Generalizando el proceso si es un cero, al igualar a cero, se
obtiene entonces bx – a es un factor
Ejemplo1) 6x2 – 5x – 6 donde al utilizar la calculadora se obtienen las
soluciones aplicando el teorema del factor, la factorización
correspondiente es (3x + 2) (2x – 3)
Nota importante: en caso de utilizar la calculadora, para factorizar un polinomio cuadrático, asegúrese de obtener el factor común (de existir) antes del uso del aparato, y verifique que el coeficiente de x2 sea positivo, de lo contrario extraiga a factor común el signo negativo.
Fracciones Racionales
Antes de que iniciar esta unidad, asegura el dominar la factorización de polinomios
Son aquellas expresiones de la forma
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donde ai y bi son números enteros
Ejemplos
OPERACIONES ENTRE FRACCIONES RACIONALES
Simplificación de fracciones racionales
Para simplificar una fracción racional a sus términos mínimos se dividen tanto el numerador y denominador por sus factores comunes.
a) note que c es común tanto a numerador y denominador
b)
c)
Ahora bien para desarrollar esta simplificación se debe proceder a la factorización de tanto el numerador y denominador de las fracciones racionales, para la simplificación de los factores comunes
Ejemplo1 caso
2 caso
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3 caso
Mínimo común múltiplo (MCM) de polinomiosEl mcm, es un número o expresión que es múltiplo de las expresiones originalesAnalicemos el caso particular con números enterosObtengamos el mcm de 4 y 6 Si construimos una lista de los múltiplos de 4 y 6 se obtienen los conjuntos
Note que de ambas listas existen números que se repiten 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96…
Cada uno de ellos corresponde a múltiplos en común de ambos números, siendo el menor de ellos12, este número corresponde al mcm,
Ahora bien, el proceso anterior puede ser muy laborioso en especial se se aplica a polinomios, de donde es necesario buscar métodos alternativos, por ejemplo véase el siguiente cuadro
4 6 22 3 21 3 31 1 mcm = 22.3 = 12
Dicho cuadro se construye a partir de los divisores de los números y aun se puede acortar más el proceso. Analicemos un momento la factorización de cada uno de los números4 = 22 y 6 = 2.3
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¿Cómo podríamos utilizar esta factorización?Tomemos de las factorizaciones todas las bases con el mayor
exponente con el que aparezca y formemos un número a partir de su producto.
Aplicando esta idea para 4 y 6 se obtiene 22.3 = 12 coincidiendo con el mcmApliquemos a otros númerosEjemplo 12; 18, 1512 = 22.318 = 2.32
15 = 3.5
Que coincide con el resultado de la tabla adjunta
Esto nos da una luz de cómo obtener el mcm para polinomios. Cabe recalcar que en el caso de números enteros es más sencilla la construcción del cuadro, no así para los polinomios donde el método a partir de sus factores es más conveniente.
MCM para polinomiosComo acabamos de observar si obtenemos la factorización de un número podemos obtener el mcm, de igual forma podemos obtener el mcm en polinomios utilizando la factorización
Reglas Descomponer en sus factores cada una de las expresiones Escribir todos los factores con el mayor exponente con el que
aparezcan
12 18 15 26 9 15 23 9 15 31 3 5 31 1 5 51 1 1 mcm = 22.32.5 = 180
En este caso hay que obtener también el mcm numérico de 2 y 6
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Ejemplos1) Determine el mcm de 12x2 – 26x – 10 y 4x2 + 20x + 25
Al aplicar inspección (o trinomio cuadrado perfecto) y factor común12x2 – 26x – 10 = 2(3x – 1) (2x + 5)4x2 + 20x + 25 =
Los factores son entonces 2, (2x + 5) y (3x – 1) de donde el mcm = 2(2x + 5)2(3x – 1)
2) De (x2 – 4) y (x2 + x – 6)(x2 – 4) = (x + 2)(x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 2)(x + 3)Mcm = (x + 2)(x – 2)(x +3)
3) De (10x2 + 6x) y (30x + 18)(10x2 + 6x) = 2x (5x + 3)(30x + 18) = 6(5x + 3)Mcm = 6x(5x + 3)
Suma y resta de fracciones racionales
Para la suma o resta de fracciones racionales se procede al mismo proceso de la homogenización mencionado en páginas 6 y 7, salvo que en este caso los factores son polinomios
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EJEMPLO1)
Ponga especial cuidado en el cambio de signo
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2)
Primeramente se factorizan los denominadores
3)
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4)
Multiplicación de fracciones racionalesLa multiplicación de fracciones racionales se resuelve por la simple cancelación de factores, entre numerador y denominador. El primer paso siempre es la factorización completa tanto de numeradores y denominadores.
Ejemplos
1)
Note como la división se transformo en una multiplicación, con invertir la segunda
fracción
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2)
División de fracciones racionales
La división de fracciones racionales se resuelve mediante una transformación de la operación a una multiplicación y de esta forma resolver por el mismo proceso que en la multiplicación.
Regla
EjemplosInvirtiendo la fracción y transformando a multiplicación
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EJERCICIOS
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas
1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)
13)14)
15)
16)17)18)19)20)21)
22)
23)
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24) **************************
25) *************************
FACTORIZACIÓNRealice la factorización completa de cada una de las expresiones
1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)
16)17)18)19)20)21)22)23)24)25)26)27)28)29)30)
FRACCIONES RACIONALESa) En cada uno de los
siguientes ejercicios encuentre el mcm
1)2)3)4)5)b) Efectué las operaciones
indicadas y simplifique
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
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9)
10)
11)
12)
13)
14) ****
********
15) ****
******
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
PROBLEMAS PLANTEADOS CON PALABRAS
A)Determine el número de incógnitas. B) Escribir todas las variables en términos de una única variable. C)Plantear la ecuación.
1) La suma de dos números naturales es 48 y la diferencia de sus cuadrados supera en 36 al producto de los mismos. Determine los números.
2) La base de un rectángulo mide 4 metros más que su altura y el área es de 192 metros cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo.
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3) La base de un rectángulo mide 3 cm más que el doble de su altura y el área es 189 cm2. Halle las dimensiones del rectángulo
4) La suma de dos números es 21 y de sus cuadrados es 225. Obtenga los dos números.
5) La altura de un triángulo mide 2 metros menos que el doble de la base. El área es 56m2. Si x es la medida de la base, determine la medida de la base.
6) Juan demora 5 horas más en limpiar las ventanas de un edificio que Rubén. Si Juan y Rubén trabajan juntos pueden efectuarlo en 6 horas ¿Cuánto tarda cada uno en efectuarlo?**********
7) Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se incrementa en 3 unidades, el área del rectángulo obtenido es el doble del cuadrado original ¿ Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
8) Una excursión geológica costo $120. Si hubieran sido 3 miembros menos en la excursión, el costo por persona habría sido $5 más ¿Cuántos miembros fueron a la excursión?*******************************************************
9) Un número positivo es los de otro y su producto es 2160.
Hallar los números10) La suma de las edades de A y B es 23 años y su producto
es 102. Hallar ambas edades.
I TRABAJO EXTRACLASE
a) Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas
1) 6a2 -50a = 27 -8a2 + 7ª2) 3( c + 1 )2 =273)4) 25a2 = 1005)6) 4x2 + x = 2 – 2x2
7)8) (2x-1)(7x+3) = 09) 25x2 – 30x + 9 = 0
10)
b) Determine en cada caso la factorización completa de cada expresión.
1) 24x3 + 6x2 + 24x4
2)
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3)
4)
5)
6)
7)
8) x2y4 - 8y2x2 + 16x2
9)
10)
II TRABAJO EXTRACLASE
I parte selección única
1) Al simplificar la expresión
se obtiene
( )
( )
( )
( )
2) El mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones
es
( ) ( ) ( ) ( )
3) El resultado de
es
( ) ( )
( )
( )
4) Una expresión equivalente
a es
( )
( )
( )
( )
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5) La expresión es
equivalente a
( )
( )
( )
( )
6) El mínimo común múltiplo de los denominadores de
es
( ) ( ) ( ) ( )
7) El resultado de
es
( )
( )
( ) ( ) 8) El mínimo común múltiplo
de los denominadores de
es
( ) ( ) ( ) ( )
9) Una expresión equivalente
a es
( ) ( )
( )
( )
10) El resultado de
es
( )
( )
( )
( )
11) El resultado de
es
( ) ( )
( )
( )
12) Una expresión
equivalente a es
( )
( )
( )
( )
13) La expresión es
equivalente
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( )
( )
( )
( )
14) El resultado de
es
( )
( )
( )
( )
15) El resultado de
es
( )
( )
( )
( )
16) La expresión es
equivalente a( ) ( )
( )
( )
17) La expresión
es equivalente
a
( ) ( )
( )
( )
18) Al simplificar
se
obtiene
( )
( )
( )
( )
19) El resultado de
es
( )
( )
( )
( )
20) El resultado de
es
( )
( )
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( ) ( )
Examen de prácticaI parte desarrolloResuelva cada ejercicio en
forma completa y ordenada.
a) Resuelva por medio de una ecuación el siguiente problema “La diferencia de dos números es 2 y su multiplicación es 63”. Determine los números. (5pts)
c) Resuelva la ecuación (5x-2)(5x+2) = 9x e indique el conjunto solución 6pts
c) Resuelva la ecuación (3x-3)2 -5 = (x + 1) e indique el conjunto solución 5pts
d) Resuelva la ecuación 3 +4x2 + 5x = 0 e indique el conjunto solución 3pts
e) Resuelva la ecuación e indique el
conjunto solución 6pts
II Parte respuesta breve 10pts
Responda en el espacio lo que se pide
Para cada expresión determine el M.C.M de los polinomios dados.
a) Para el polinomio el M.C.M
es el siguiente
b) Para el polinomio el M.C.M es el
siguiente
c) Para el polinomio el M.C.M es el
siguiente
d) Para el polinomio el M.C.M es
el siguiente
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e) Para el polinomio el M.C.M es el
siguiente
f) Para el polinomio el M.C.M es
el siguiente
g) Para el polinomio el M.C.M
es el siguiente
h) Para el polinomio el M.C.M es el
siguiente
i) Para el polinomio el M.C.M es el
siguiente
j) Para el polinomio el M.C.M es el
siguiente
III parte selección única. 8 Pts (1 Pts cada opción correcta).Escriba un punto ortográfico en el paréntesis de la opción correcta de la siguiente forma (•), si se equivoca escriba un asterisco en la opción incorrecta, así (*)
El producto de dos números naturales consecutivos es 30 , si x es
el mayor de ellos una ecuación que determina los números es
( ) ( ) ( ) ( ) Dos números suman 24 y
su producto es 140, si “x” representa al mayor, una ecuación que resuelve la ecuación es
( ) ( ) ( ) ( ) El M.C.M de los
denominadores de la suma de fracciones racionales
corresponde a
( ) 30x2
( ) 450x2
( ) x2
( ) 15x2
El valor numérico del discriminante de la ecuación es
( ) 69( ) 65( ) -65( ) 61 Para una ecuación de la
forma donde a,b,c son números reales,
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si el se puede asegurar que
( ) tiene una solución real( ) tiene dos soluciones reales distintas( ) no tiene soluciones reales( ) tiene tres soluciones reales El conjunto solución de la
ecuación es( )
( )
( )
( )
El valor numérico del discriminante de la ecuación es
( ) 37( ) -61( ) 61( ) -37
Para una ecuación de la forma donde a,b,c son números reales, no tiene soluciones reales, un posible valor para el discriminante es
( ) 1( ) -2( ) 0( ) 4