Matemáticas

MATEMÁTICAS.

1

Sesión No. 2

Nombre: Polinomios y expresiones racionales

Contextualización Los polinomios son expresiones algebraicas que son las de mayor uso y

aplicación en cualquiera de las áreas de las matemáticas, tal es el caso del

cálculo diferencial e integral. En esta sesión aprenderemos a identificar y

clasificar los polinomios y sus tipos de factorizaciones, también trabajaremos con

las expresiones racionales las cuales representan a dos polinomios que se están

dividiendo para aprender a simplificarlas.

Una de las características principales de los polinomios y de toda expresión

algebraica es su grado exponencial, es por esta razón que aprenderemos a

identificar y trabajar expresiones algebraicas con Exponentes enteros y

calcularemos sus raíces reales.

Extraído de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/images/polynomial.gif solo para fines educativos.

MATEMÁTICAS.

2

Introducción al Tema En matemáticas existen muchas expresiones algebraicas pero las mayormente

utilizadas son los polinomios.

Los polinomios se forman de n términos, donde cada termino se compone de un

coeficiente (número), una variable (letra) y un exponente.

Con estas expresiones algebraicas podemos realizar cualquier operación

aritmética que necesitemos, así como también podemos factorizar o simplificar

con la ayuda de las leyes de los exponentes.

Extraído de: http://2.bp.blogspot.com/-F0wyVZrArRE/TZjBYo8LQmI/AAAAAAAAAAg/gXT5zQUUJZ8/s1600/POLINOMIOS%25286%2529+-+operaciones.jpg solo

para fines educativos.

MATEMÁTICAS.

3

Explicación Polinomios y factorización

Un polinomio es una expresión que se forma con constantes, variables y

exponentes, que están combinados a través de las operaciones aritméticas de

sumas, restas y multiplicaciones,… pero no divisiones.

Los exponentes solo pueden ser números enteros positivos incluido el 0.

No puede tener un número infinito de términos.

La siguiente imagen nos ilustra un ejemplo de una expresión polinomial:

Extraído de: http://laprofematematica.com/blog/wp-content/uploads/2010/02/elemento_polinomio-2.jpg solo para fines educativos.

Las operaciones que se pueden realizar con los polinomios son las mismas

operaciones aritméticas que conocemos tales como las suma, resta,

multiplicación y división y cada una de ellas se resuelven bajo ciertas

características.

Suma y resta de polinomios.

Realiza la suma de 3x3 – 2x2 + x -5 y 4x3+5x2+8x-12

Primeramente acomodamos nuestros polinomios en suma:

MATEMÁTICAS.

4

(3x3 – 2x2 + x -5) + (4x3+5x2+8x-12)

Eliminando los paréntesis las expresiones nos quedan:

3x3 – 2x2 + x -5+4x3 + 5x2 + 8x - 12

Y ahora juntamos términos semejantes para realizar la operación que entre ellos

existe:

(3+4)x3 +(-2+5)x2 + (1+8)x +(-5-12)

7x3 + 3x2 + 9x -17 éste es el resultado de la suma de polinomios

Ahora sí utilizamos estos mismos polinomios para restar la solución será:

(3x3 – 2x2 + x -5) – (4x3+5x2+8x-12)

El signo menos si afecta a todos los términos que están después de él, así que

se deberá de afectar este polinomio cambiando cada uno de sus signos en cada

término:

3x3 – 2x2 + x -5 - 4x3- 5x2 - 8x+12

Y ahora al juntar términos semejantes nos quedará:

(3-4)x3 +(– 2-5)x2 + (1-8)x +(-5+12)

-x3 -7x2 -8x+7 éste será nuestro resultado.

Multiplicación de polinomios:

Realizaremos la multiplicación de los siguientes polinomios:

(x+4)(x2+4x+4) para resolver la multiplicación se deberá multiplicar el primer

término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo

polinomio:

x(x2) = x3 cuando tenemos términos semejantes multiplicándose se suman los

exponentes

MATEMÁTICAS.

5

x(4x)= 4x2

x(4)= 4x

y ahora el segundo término por cada t´rrmino del segundo polinomio

4(x2)= 4x2

4(4x)=16x

4(4)= 16

Ahora juntamos términos semejantes:

4x2 + 4x2 = 8x2

4x + 16x = 20x

Solamente acomodamos los términos con el mayor grado iniciando la expresión:

8x2 + 20x +16

Para factorizar polinomios hay varios métodos:

1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación

respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

Ejemplo: factoriza 3x2+x, se tiene de factor común “x” por lo tanto:

x(3x+1) es la factorización.

2. Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia.

Se basa en la siguiente fórmula:

Ejemplo: factoriza 4x2 – 25, esta expresión nos muestra que sus dos

términos son cuadráticos y entre ellos hay una resta (diferencia), lo cual

caracteriza a este tipo de factorización por lo tanto:

(2x + 5)(2x – 5) son los factores de nuestra expresión.

MATEMÁTICAS.

6

3. Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un

binomio. Se basa en las siguientes fórmulas:

y

Ejemplo: factorice x2 – 6x +9, para solucionar este trinomio primero debemos

de comprobar que su primer y tercer término tengas raíces cuadradas.

xx =2

y 39 = por lo tanto si es un trinomio

cuadrado perfecto ahora sólo se acomodan los términos como nos muestra

la fórmula: (x – 3)2

Expresiones racionales.

Las expresiones racionales nos representan la división de dos polinomios: )()(

xQxP

Con las expresiones racionales podemos simplificar a través de factores los

polinomios hasta reducir la expresión a su más mínima forma.

Por ejemplo: Simplifica 3

962

−+−

xxx

33

)3)(3(3)3(

396 22

−=−

−−=

−−

=−

+− xx

xxxx

xxx

Aquí como tenemos dos

términos iguales al de abajo se elimina uno con el de abajo así que ésta es la

expresión que nos queda de la simplificación.

Exponentes enteros y raíces reales

Los exponentes enteros positivos representan la abreviatura del producto de n

factores (xn) a la letra n se le llama exponente y a la “x” se le llama base.

Si rn = x donde n es un entero positivo, entonces r es una raíz n-ésima de x. Por

ejemplo 32 = 9 y así 3 es la raíz segunda (por lo general llamada raíz cuadrada)

MATEMÁTICAS.

7

de 9. Algunos números no tienen una raíz n-ésima que sea un número real, por

ejemplo los números negativos (-4,-9-16) no tienen raíces reales.

La raíz n-ésima principal de x la denotamos como n x

Existen algunas leyes de los exponentes que nos ayudan a dar solución a las

operaciones con polinomios.

Tabla de algunas leyes de los exponentes:

Ejemplos del uso de las leyes de los exponentes:

Simplifique:

1. x6x9 = x6+9 = x15

2. w4w8 = w4+8=w12

3. 17

8

107

62

yx

yyxx

=

4. ( )( ) 10

10

25

52

25

52

yx

yx

yx

x

x

==

MATEMÁTICAS.

8

Conclusión Los polinomios son las expresiones algebraicas mayormente utilizadas, se

manejan como ecuaciones y como funciones para el cálculo diferencial e integral,

con estas expresiones podemos realizar cualquier operación aritmética que

necesitemos y también podemos factorizarlas para reducir una forma de

expresión de tipo polinomial.

Las leyes de los exponentes se trabajan siempre que se esté realizando algún

proceso u operación con un polinomio.

En la siguiente sesión estudiaremos las Ecuaciones cuadráticas otra forma de

manejar los polinomios.

Extraído de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Ecuaci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica.svg/250px-

Ecuaci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica.svg.png solo para fines educativos.

MATEMÁTICAS.

9

Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer

tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Videos que ayudan a entender más claramente los polinomios y su factorización:

• Math2me. Conceptos importantes de los polinomios. Recuperado el día

07 de abril del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=K7YOYztqaWY

• Tareas plus. Suma y resta de polinomios. Recuperado el día 07 de abril

del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=TiBL2zfO310

Video de simplificación de expresiones racionales y uso de la factorización:

• AcademiaVazquez. Simplificación de fracciones algebraicas (expresiones

racionales). Recuperado el día 07 de abril del

2014: https://www.youtube.com/watch?v=mLflDFKp_sY

Video de las leyes de los exponentes:

• Math2me. Leyes de los exponentes. Recuperado el día 07 de abril del

2014: https://www.youtube.com/watch?v=6jNWN-o0__Y

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá

desarrollar los ejercicios con más éxito.

MATEMÁTICAS.

10

Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de los polinomios, su factorización

resuelve:

I.- Factorice:

a) 9y2 – 3y

b) x2 + 3x -4

c) 16t2 – 25s2

II.- Simplifique y exprese todas las respuestas en términos de exponentes

positivos.

a) X5 X-4

b) (x15)2

c) �𝑤2𝑠3

𝑦�3

d) 4x3y-4x5

Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la

plataforma.

MATEMÁTICAS.

11

Bibliografía

Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales

y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.