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Expresiones algebraicas

Alfonso López Asprilla, matemáticas 8º Lectivo 2020 pág. 1

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS En aritmética solo trabajamos con números, en álgebra trabajaremos

generalmente con expresiones algebraicas que son expresiones que combinan números y letras (variables), separadas con los signos más

(+) o menos )( , que representan las cantidades y operaciones

realizadas entre ellas. Nos sirven para representar áreas, volúmenes, procesos económicos,

situaciones de la física, de la química etc.

Ejemplos:

1.1. TERMINO: es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados por el signo (+) o )( .

Así: y5 , mxy9 .

1.1.1. Partes de un término.

El término consta: de una parte numérica, llamada coeficiente, una parte literal,

constituida por variables y sus exponentes naturales. Ejemplo:

En el término 718x .

El coeficiente es el 18

La parte literal es 7x

! Ojo ¡Si un término "no tiene" coeficiente se sobreentenderá que es el 1 (uno)

En el término 6y :

El coeficiente es 1

La parte literal es 6y

BLO

QU

E 1



1.2. CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

1.2.1. Monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término,

como: 4329 lbx , 26x

1.2.2. Binomio es una expresión algebraica que consta de dos términos, como: 22 yx

1.2.3. Trinomio es una expresión algebraica que consta de tres términos, como 22 2 yxyx .

1.2.4. Polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un término,

como: 4328 mbx , 98 3432 hpmbx

1.3. TERMINOS SEMEJANTES. Dos o más términos son semejantes si tienen la misma parte literal, (elevada a

los mismos exponentes).

Ejemplos:

bx 28 y bx 265 (son semejantes; mismas letras elevadas a los mismos

exponentes)

zpm24 y pzm27 (son semejantes, el orden no interesa)

tr 25 y rt9 (no son semejantes, tienen las mismas letras pero no tienen

iguales exponentes ya que la r del primer término tiene exponente dos (2) y la r del segundo término tiene exponente uno(1).

1.3.1. Reducción de términos semejantes.

Reducir términos semejantes tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos que sean semejantes.

Para reducir términos semejantes se operan los coeficientes y se coloca la misma parte literal.

Ejemplos: Reducir los siguientes términos semejantes: aaaa 8)53(53

mmmmmm 15)5631(563

xxxx 7)1118(1118

abcabcabcabc 9)1120(1120

babababa 3333

14

1

2

1

7

3

2

1

7

3

no se olvide que:

14

1

14

76

2

1

7

3



Reducir el polinomio cbbcacba 6209865

Se reducen por separado cada clase. aaa 1495

bbbb 66 cccc 13208

Nos queda: cba 1314

GeoGebra: Es un software libre, útil para la enseñanza y aprendizaje de geometría, álgebra y cálculo.

Nociones iniciales GeoGebra Una vez instalado el programa, para poder ejecutar el programa se hace doble clic en el icono

correspondiente.

La ventana principal de GeoGebra

contiene en la parte superior una barra de

título, una barra de menús, la barra de herramientas, en la

parte central encontramos las

diferentes vistas por defecto aparece la

vista algebraica y la vista gráfica.

En la zona de Vista Gráfica, se realizan las construcciones de las gráficas.

La Vista Algebraica que se encuentra a la izquierda de la pantalla, en ella aparece la información algebraica de los objetos dispuestos en la Vista Gráfica.

Se pueden generar otras vistas, desplegando el menú vista (Vista hoja de Cálculo, vista Cálculo simbólico (CAS), vista gráfica 3D etc.).

El campo de entrada, se encuentra en la parte inferior de la pantalla, permite introducir directamente desde el teclado números, definir operaciones,

coordenadas, ecuaciones y comandos. Para iniciar porque vamos a realizar operaciones utilizaremos la vista Cálculo simbólico (CAS).

Despliegue el menú vista y de clic en Cálculo simbólico (CAS), y luego cierre las vistas algebraicas y vista gráfica.



Utilizando GeoGebra sume las siguientes expresiones algebraicas.

pypypypyi 284 )

babaii 33

2

1

7

3 ) (Para agregar exponentes, pulse alt+94)

cbbcacbaiii 6209865 )

1) Abra un nuevo archivo en el programa. 2) En el menú vista, despliegue la opción Cálculo Simbólico (CAS),cierre la vista

algebraica y la vista gráfica.

3) Digite pypypypy 284 luego de enter, aparecerá py13

4) Digite baba 33

2

1

7

3 luego de enter, aparecerá ba 3

14

1

5) Digite cbbcacba 6209865 luego de enter, aparecerá

cba 1314

Ejercicios:

Reducir los términos semejantes, verifique su respuesta usando Geogebra:

aaa 539)1 xxx 62)2 mnmnmn 592)3

yyyy 569)4 xpxpxp 61019)5 mxmxmxmx 5283)6

22

2

1

3

2)7 aa mmm

2

1

4

1

5

3)8 zyzyzy 222

4

1

8

3)9

baba 4697)10 52095)11 xx mnmnm 686)12



1.4. VALOR NUMERICO

El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al

sustituir o reemplazar las variables (letras) por los valores numéricos dados y efectuar luego las operaciones indicadas.

Ejemplo: Encontrar el valor numérico de la expresión PG 47 sabiendo que

500G 200P

Sustituimos en la expresión dada la G por 500 y la P por 200 queda así:

43008003500)200(4)500(7 .

Ejemplo: Encontrar el valor numérico de la expresión 22 2 baba para 2a ,

3b . Sustituimos la a por 2 y la b por 3 queda así:

2233222 (Primero se resuelve las potencias)

259124

Ejemplo: La conversión de grados centígrados a grados Fahrenheit se realiza mediante la siguiente expresión algebraica (formula).

325

9 00 CF .

Convierta C030 a la escala Fahrenheit.

Solución

32305

9 00 CF Puede simplificar.

FC

F 00

0 863254325

270

Luego C030 equivale a F086

Luego

Ejemplo: Si se invierte P pesos al r por ciento, la cantidad de dinero A al

término de un año es: rPA 1 .

¿Cuánto dinero se acumulará al final del año, si la inversión inicial P es de

0001000$ a una tasa de interés r del %2,4 ?.

Solución Si en la expresión rPA 1 sustituimos la P por 0001000$ y la r por 042,0 ,

obtenemos el valor numérico de .A 000 000 000 1042042,11000042,011000 A

Acumulará al final del año: 000 1042$



Utilizando GeoGebra , Hallar el valor numérico de la expresión

cbaba 22 2 cuando 1a , 3b , 5c

1) Abra un nuevo archivo en el programa.

2) En el menú vista, despliegue la opción Cálculo Simbólico (CAS),cierre la vista algebraica y la vista gráfica.

3) Digite cbbaa 22 *2

4) En las herramientas de clic en el botón sustituye 5) Aparece un menú contextual , complételo con los valores de cba ,, dados

y de clic en , aparecerá el resultado 40.

Nota: Al escribir ab2 hágalo así: ba *2 , para diferenciar cada variable ba, ;

si no lo hace GeoGebra, considera la variable como si fuera ab .

Ejercicios:

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para: 1a 3b 5c 2d 3x 4m ,

Usando GeoGebra , verifique sus respuestas.

cbaba 22 2)1 22 2)2 dcdc 22)3 acadc

dbcbaa 22)4 cbma 2)5 22)6 mba

2)7

2attvd i ; si

seg

mv i 8 , segt 4 ,

23

seg

ma

movilelrecorrequeciadisd tan

mghE p )8 ; si m = 0,8 hg , h = 15 m , 2

8,9

seg

mg ( pE : energía potencial)



2. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1. Suma de polinomios. El perímetro de una figura geométrica se

calcula sumando las medidas de todos sus lados.

xxxxPerímetro 2323

En este polinomio los términos son semejantes, luego se pueden reducir a

un solo término algebraico, adicionando sus coeficientes y escribiendo la misma parte literal, queda xPerímetro 10

En la práctica (en columna) para sumar polinomios se colocan los polinomios uno debajo del otro de modo que los términos semejantes queden en columna; se

hace la reducción de los términos semejantes, separándolos unos de otros con sus propios signos

Ejemplo:

En este rectángulo sus dimensiones están medidas en metros, se representan mediante las expresiones que vemos en la figura, hallar su perímetro:

Sabemos que hay que sumar sus lados.

Semejantes bajo se términos semejantes

1042

47

15

47

15

2

2

2

xx

x

xx

x

xx

Perímetro: 1042 2 xx

BLO

QU

E 2



Ejemplo:

1)Sumar : ba , cba 32 y ba 54

Podemos organizar la suma de esta manera.

ba

cba 32

ba 54

cba 7

2)Sumar: 22 43 yxyx ; 22 365 yxxy ; 22 986 xxyy

Si los polinomios que se suman pueden ordenarse con relación a una misma letra, deben ordenarse todos con relación a una misma letra antes de sumar:

En este caso vamos a ordenar en orden descendente con relación a la x

22 43 yxyx

26x xy5 23y 29x xy8 26y

2817 yxy

Utilizando GeoGebra , Sume los siguientes polinomios : 22 43 yxyx , 22 365 yxxy , 22 986 xxyy


2) En el menú vista, despliegue la opción Cálculo Simbólico (CAS), cierre la vista


3) Digite entre paréntesis cada uno de los polinomios y luego de enter y aparecerá

el resultado xyy 178 2 , ya ordenado.



Ejercicios:

Halle las sumas y verifique sus resultados utilizando Geogebra.

cba 23)1 ; cba 32 cba 547)2 ; cba 647

pnm )3 ; pnm 539)4 yx ; 4 yx ; 945 yx 22)5 nm ; 243 nmn ; 22 55 nm 33)6 xx ; 54 2 x ; 64 23 xx

22 3)7 yxyx ; 22 32 xxyy ; 22 3 yxyx 22 3)8 baba ; 225 baab ; 22 28 abab

9) Sabemos que el perímetro es la suma de los lados de una figura geométrica,

de su contorno. Hallar el perímetro de cada figura.

2. Resta de polinomios.

Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de

los términos del sustraendo. (Se utiliza el polinomio opuesto).

Ejemplo: De zyx 34 restar 652 zx se identifica tanto el minuendo

como el sustraendo.

zyxMinuendo 34: ¸ 652: zxSustraendo

Se escribe zyx 34 )652( zx destruya paréntesis.

zyx 34 652 zx

Identifique los términos semejantes y redúzcalos.

( xxx 224 ; También zzz 45 ) nos queda: 6432 zyx

Ejemplo: Restar 658 22 axxa de 478 22 axxa

Se escribe: 658478 2222 axxaaxxa (destruir paréntesis)

658478 2222 axxaaxxa (Reduzca los términos semejantes), nos

queda: 101216 22 axxa



Utilizando GeoGebra , i) De ba 8 Restar 43 a

ii) Restar pnm de pmn 543



3) Digite primero el minuendo ba 8 restar el sustraendo 43 a , de

enter y el resultado es 411 ba

4) Para el segundo ejemplo, digite primero el minuendo en este caso es pmn 543 restar el sustraendo pmn 543 de enter y el

resultado es: pnm 423

Nota: utilice siempre los paréntesis para evitar errores.

Ejercicios:

Usando GeoGebra , verifique sus respuestas. De: 1) yx 34 Restar yx 34 2) ba 8 Restar 43 a

3) 623 xx Restar 645 2 xx 4) xyyx 322 Restar xyxy 43 22

Restar:

1) ba de ab 2) 22 63 baba de 22 85 aabb

3) zyx de zyx 63 4) pnm de pmn 543

3. Multiplicación de expresiones algebraicas. 3.1. Multiplicación de monomios.

No olvide de la ley de los signos (ya sabe que + por + da +; que - por - da +; que + por - da - además - por + da -).

Recuerde que 17107 2)2(2 ; 9123 4)4(4

No olvidar que 10 a 1450

Observar la propiedad distributiva )()()( cabacba

)4(3)5(3)45(3

Ejemplo: En una fábrica de cortinas, uno de los modelos está diseñado de manera que el largo de la cortina debe ser igual al triple del ancho. .Cual es la expresión que muestra el área de este modelo de cortina?

Para calcular el área de la cortina, se debe multiplicar su ancho por su largo. Si determinamos que el ancho corresponde a la variable x , entonces el largo será

x3 ; por lo tanto, la expresión del área es xxA 3. .



La multiplicación se resuelve de la siguiente manera:

1. Se multiplican los coeficientes de los términos: 331 .

2. Se multiplica la parte literal de los términos: 2xxx .

3. Se expresa el área de la cortina: 23xA

En general, al multiplicar dos expresiones algebraicas, se aplica la propiedad de las

potencias de igual base y la ley de los coeficientes.(se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de cada variable). Ejemplos:

Multiplicar 22a por 34a

Multiplicamos los coeficientes 2 y 4 nos da 8. Sumamos los exponentes de la variable a ; que son 2 y 3 la suma da 5.

Luego ( 22a )( 34a ) = 58a .

Multiplicar: 2xy por 345 ymx

Multiplicamos los coeficientes 1 y 5 nos da 5 (no olvide que menos por

menos da más) Sumamos los exponentes de la x ; que son 1 y 4 la suma da 5.

Sumamos los exponentes de la y ; que son 2 y 3 la suma da 5

Luego ( 2xy )( 345 ymx ) = 555 ymx

Multiplicar: ba 2

3

2 por ma 3

4

3

Multiplicamos los coeficientes 3

2 y

4

3 nos da

12

6

2

1: quedadoSimplifica

Luego

ba 2

3

2

ma 3

4

3= bma 5

2

1 (no olvide simplificar).

Ejercicio: Halle el área de la siguiente figura Solución:

La figura se puede descomponer en dos cuadrados, uno de 4x de lado y otro de lado x.

Entonces, la superficie de la figura de la se obtiene al resolver la siguiente expresión:

xxxx 44

(Se resuelve la expresión y se obtiene:

2

22

17

16

44

x

xx

xxxx



Por lo tanto, el área de la figura se representa con la expresión: 217x

Multiplicar: )2( a )3( 2ba )( 3ab

Multiplicamos los coeficientes 2; 3 ; y 1 nos da 6 (más por menos, menos

y menos por menos mas). Sumamos los exponentes de la a ; que son 1; 2 ; y 1 la suma da 4.

Sumamos los exponentes de la b , que son 1 y 3 la suma da 4 .

Luego )2( a )3( 2ba )( 3ab = 446 ba

Ejercicios: Resuelva las siguientes multiplicaciones

xx 32)1 2 224)2 abba 235)3 xyyx

15452 73)4 bxabxa 9696 77)5 twmtwm ypkypk 53 98)6

yxayx 4232

5

3

3

2)7

nmanm 2323

5

4

8

1)8

5243

6

5

5

3)9 byayx

))()(3()10 232 xayxx ))(5)(4()11 2232 ayxaa

maxax 423

5

3

3

2

2

1)12

3.2. Multiplicación de un monomio por un polinomio. Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada

término del polinomio. (Aplicando la ley distributiva de la multiplicación)

Ejemplos:

Multiplicar: 24ax por 763 2 xx

Tendremos 24ax ( 763 2 xx )= 24ax ( 23x )+ 24ax ( x6 )+ 24ax (7 )

= 412ax 324ax 228ax

Multiplicar: xb22 por 43223 54 xbxxbxb

Tendremos

xb22 ( 43223 54 xbxxbxb )= xb22 ( xb3 ) xb22 ( 224 xb ) xb22 ( 35bx ) xb22 ( 4x )

= 252 xb + 348 xb 4310 xb + 522 xb

Ejercicios: Multiplicar

1) 244 ma por 223 85 abbaa 2) yax 3 por 223 64 xyyxx

3) 896 2234 xaxaa por 33bx 4) 5786 234 xxxx por 323 xa

5) cabcbabcacab 42223352 764 por 3222 cba

6) 3223

4

3

5

1

3

2xyyxyx por 3

4

3xy



3.3. Multiplicación de polinomios.

Para multiplicar polinomios se multiplican todos los términos de los dos factores y

se reducen los términos semejantes.

Ejemplos:

Multiplicar: 3a por 1a

Ordenamos los dos factores con relación a una letra. Tenemos: 3a 3a 1a 1a

)(aa + )(3 a o sea 2a + a3

)(1 a )3(1 a 3

322 aa

Se multiplicaron todos los términos de los dos factores ordenando de tal suerte que los términos semejantes queden debajo de los términos semejantes.

Multiplicar: mn 98 por mn 64

Ya están ordenados

Tenemos mn 98 mn 98 mn 64 mn 64

)8(4 nn )9(4 mn 232n nm36

)6(8 mn )9(6 mm nm48 254m

232n nm12 254m

Se puede realizar de manera horizontal, se multiplica cada término del primer

polinomio por cada término del segundo y se reducen los términos semejantes.

22 543648326496486498 mnmnmnmnmmnnmnmn

Se reducen los términos semejantes: 22 541232 mnmn

Utilizando GeoGebra, Hallar el producto de 22 yxyx por yx



3) Digite 22 * yyxx * yx

4) En las herramientas de clic en el botón desarrolla

5) Nos da 33 yx

Nota: Digite yx * en vez de xy



Ejercicios:

Halle el producto y usando GeoGebra , verifique sus respuestas. 1) yx 23 por yx 82 2) ba 75 por ba 3

3) nm 56 por mn 4) 37 y por y211

5) 22 yxyx por yx 6) 223 mmm por aam

7) Calcule las siguientes áreas: i) Área del rectángulo mayor ii) Área del rectángulo menor

iii) El área sombreada.

8) Calcule el área de la cruz en blanco

9) El prisma rectangular tiene las dimensiones que muestra la figura. a. Halle el polinomio que representa el área de la

base. b. Determina un polinomio que represente el

volumen del prisma rectangular.



1. PRODUCTOS NOTABLES

Se llaman Productos Notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección; sin

necesidad de realizar la multiplicación paso a paso.

1.1. Cuadrado de la suma de dos cantidades. 2ba

Sabemos que elevar al cuadrado significa multiplicar dos veces la

cantidad por sí misma. (No olvide que por ej: 255552

).

De igual manera al elevar al cuadrado ba equivale a multiplicar la

cantidad por si misma así: bababa 2

Efectuemos el producto paso a paso:

ba

ba

aba 2

2bab

22 2 baba

O sea que 2222 bababa

Luego el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el

cuadrado de la segunda cantidad

Ejemplo: Escribir por simple inspección:

23m

Cuadrado de la primera cantidad .............................................. 2m

El duplo de la primera por la segunda cantidad ........... mm 6)3)((2

Cuadrado de la segunda cantidad .................................... 932

Luego 963 22 mmm

Ejemplo:

Escribir por simple inspección.

26 ba

Cuadrado de la primera cantidad ................................... 22366 aa

El duplo de la primera por la segunda cantidad ....... abba 12))(6(2

Cuadrado de la segunda cantidad .................................... 22bb

Luego 22212366 bababa

BLO

QU

E 3



1.2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. 2ba

Utilizando un proceso similar al anterior en este caso los signos dan intercalado

;;

Es decir 2222 bababa

Ejemplo: Escribir por simple inspección.

232 34 ba

Cuadrado de la primera cantidad .......................................... 422 164 aa

El duplo de la primera por la segunda cantidad ............. 3232 24)3)(4(2 baba

Cuadrado de la segunda cantidad .......................................... 623 93 bb

Luego 6324232 9241634 bbaaba

Ejercicios: Escribir por simple inspección

1) 2yx 2) 2231 x 3) 232 yx 4) 243 83 ba

5) 265 54 nm 6) 21210 10yx 7) 232 nm 8) 253 98 xyx

1.3. Cubo de un binomio 3ba

Sabemos que elevar al cubo significa multiplicar tres veces la cantidad por sí

misma. (No olvide que por ej: 12555553

).

De igual manera al elevar al cubo ba equivale a multiplicar la cantidad por si

misma así: babababa 3

Efectuemos el producto paso a paso: ba

ba

aba 2

2bab

22 2 baba

ba

223 2 abbaa

322 2 babba

3223 3 3 babbaa



O sea que 32233 33)( babbaaba

Luego el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera cantidad por la segunda, más el

triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda.

Ejemplo: Por simple inspección hallar:

3)2( m

Aplicando la definición:

Observa cómo se determina el cubo del binomio )( ba .

El primer término elevado al cubo: 33mm

El triple del cuadrado del primer término por el segundo: 22623 mm

El triple del primer término por el segundo al cuadrado: mm 12232

• Se expresa el segundo término elevado al cubo: 823

Luego 8126)2( 233 mmmm

1.4. Cubo de la diferencia de dos cantidades. 3ba

Utilizando un proceso similar al anterior en este caso los signos dan intercalado

,;;;

Es decir 3223333 babbaaba

Ejemplo: Por simple inspección hallar:

32 3yx

Aplicando la definición:

322223232 3)3(3)3(33 yyxyxxyx 32246 27279 yyxyxx

Ejercicios: Escribir por simple inspección

1) 34a 2) 3231 x 3) 332 mx 4) 343 53 ba



1. División de expresiones algebraicas.

1.1. División de monomios.

Raquel hizo un mantel rectangular cuya área se expresa como 24x y

se sabe que el largo del rectángulo es 2x. • Cual es el ancho del mantel?.

Sabemos que olargo.anchA anchoxx .24 2

Como se necesita hallar el ancho del mantel, se necesita dividir las dos cantidades conocidas. Entonces se obtiene esto:

xx

x2

2

4 2

Después, se simplifican las cantidades enteras y se restan los exponentes. Por lo

tanto, el ancho del mantel es 2x. (Recordemos la división también se cumple la ley de los signos).

Igualmente 6

3

9

22

2 ; también 15

5

5 0

8

8

6

3

9

xx

x

Para dividir monomios se dividen los coeficientes, a continuación se colocan las

letras poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tenga en el divisor.

Ejemplos:

Dividir 238 ba entre ab2

Queda: baab

ba 223

42

8

( 112 y 213 ojo )

Dividir pba 344 entre ba2

Queda: pbaba

pba 22

2

34

44

( 213 y 224 ojo )

3220 ymx entre 34xy

Queda: mxxy

ymx5

4

203

32

112 ojo ya sabemos que 10

3

3

yy

y (el 1 como factor se

suprime)

BLO

QU

E 4



Dividir : cba 32

3

2 entre bca 2

6

5

2

2

32

5

4

6

53

2

b

bca

cba

Simplifique: 5

4

15

12 ,ojo 10

2

2

aa

a, 1c

c

c 0

El volumen del salón esta expresado con: 6 22ba y el área del piso esta

expresado con 3 2ab ¿Cuál es la altura del salón de clase?.

Al dividir el volumen del salón entre el área del piso, obtenemos la altura.

a ab

ba2

3

62

22

, luego la altura del salón es a 2

Ejercicios:

Dividir:

1) 4314 ba entre 22ab 2) 32254 zyx entre 326 zxy

3) 4616 nm entre 35n 4) nm25 entre nm2

5) 328 xa entre 328 xa 6) 867100 cba entre 8620 cb

7) 104616 znm entre yxu znm2 8) 35

3

2zxy entre 3

6

1z

9) 652

8

7cba entre 65

2

5cab 10) 6543 pnm entre 54

3

1npm

1.2. División de un polinomio por un monomio. Se dividen todos y cada uno de los términos del polinomio por el monomio divisor.

(La ley distributiva de la división).

Ejemplo:

Dividir 234 936 xxx entre 23x

Disponemos la operación así:

2

234

3

936

x

xxx 2

4

3

6

x

x +

2

3

3

3

x

x2

2

3

9

x

x = 32 2 xx

Ejemplo:

Dividir 578 91016 mmm entre 22m


2

578

2

91016

m

mmm 2

8

2

16

m

m

2

7

2

10

m

m

2

5

2

9

m

m = 356

2

958 mmm



Ejemplo.

Dividir 43223

2

1

6

5

3

2

4

3yxyyxyx entre y

6

5


y

yxyyxyx

6

52

1

6

5

3

2

4

3 43223

y

yx

6

54

3 3

y

yx

6

53

2 22

y

xy

6

56

5 3

y

y

6

52

1 4

(Simplifique siempre que sea posible). 3223

5

3

5

4

10

9yxyyxx

Ejercicios:

1) xxxx 15105 234 entre x5 2) 223 2086 mnnmm entre m2

3) 83656729 1220108 nmnmnmnm entre 22m

4) xx3

2

2

1 2 entre x3

1 2234

8

3

3

2

4

1)5 nmnmm entre m

4

1

1.3. División de polinomios.

El área del rectángulo es 691735 234 xxxx .Si la longitud de su base es

igual a 235 2 xx , ¿cuál es la altura del rectángulo?

Sabemos que el área del rectángulo es hbA ; conocemos el área y la longitud

de la base, nos preguntan la longitud de la altura

Debemos realizar una división de polinomios. Antes de resolver veamos el procedimiento para dividir polinomios



Ejemplo:

Dividir 144 23 xxx entre 12 x

Para dividir dos polinomios 144 23 xxx entre 12 x se opera de la siguiente forma:

Proceso Operaciones

1. Se ordena y divide el primer término

del dividendo por el primer término del divisor .Obtenemos el primer término del

cociente 22x

144 23 xxx 12 x

22x

2. Multiplique el primer término del

cociente ( 22x ), por cada uno de los términos del divisor y coloque este

producto, cambiando los signos, debajo de los correspondientes términos del

dividendo.

144 23 xxx 12 x 23 24 xx 22x

3.Sume los términos del producto anterior con los correspondientes del dividendo y baje el término siguiente del

dividendo

144 23 xxx 12 x 23 24 xx 22x

xx 26

4.Se divide el primer término del residuo entre el primer término del divisor y se

obtiene el segundo término del cociente

xx

x3

2

6 2

144 23 xxx 12 x 23 24 xx xx 32 2

xx 26

xx 36 2

12 x

5. Repitiendo los pasos anteriores, se halla el último término, del cociente, al

dividir el último residuo por el divisor. Se termina la operación cuando el resto es 0 ó cuando el grado del residuo es

menor que el grado del divisor

144 23 xxx 12 x 23 24 xx 132 2 xx

xx 26

xx 36 2

12 x 12 x 0



Utilizando GeoGebra, Calcula el cociente de 465 23 xxx entre 1x


2) En el menú vista, despliegue la opción Cálculo Simbólico (CAS), cierre la vista algebraica y la vista gráfica.

3) No hacemos la división directamente, sino que digitamos el comando

divisorPolinomiodividendoPolinomioDivisión ,

4) Digite 465 23 xxx reemplazando polinomio dividendo y digite 1x

reemplazando polinomio divisor.

5) De enter y nos queda: 8 ,12115 2 xx .

Observe: El cociente será: 12115 2 xx y el residuo 8 .

Ejercicios: Efectúe las divisiones, usando GeoGebra , verifique sus respuestas.

1) 322 aa entre 3a 2) 30112 mm entre 6m

3) xx 8152 entre x3 4) 22 26 yxyx entre xy 2

5) xxx 732 34 entre 32 x 6) 101253 25 yyy entre 22 y



1. COCIENTES NOTABLES

Se llaman Cocientes Notables a ciertos cocientes que cumplen

reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección; sin necesidad de realizar la división paso a paso.

1.1. Cociente entre la diferencia del cuadrado de dos cantidades entre la suma o diferencia de esas cantidades.

Sea el cociente: ba

ba

22

efectuemos la división, nos queda.

2a 2b ba

2a ab ba

ab 2b Luego

ba

ba 22

ba

ab 2b 0

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de esas cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

Ejemplos: Resolver los siguientes cocientes notables (sin realizar la división)

Dividir: 22 yx entre yx

yxyx

yx

22

Dividir: 42 x entre 2x

22

42

x

x

x

Dividir: 422 94 nmx entre 232 mnx

2

2

422

3232

94mnx

mnx

nmx

BLO

QU

E 5



Sea el cociente:ba

ba

22


2a 2b ba

2a ab ba

ab 2b Luego

ba

ba 22

ba

ab 2b 0

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la diferencia de esas

cantidades es igual a la suma de las cantidades.


Dividir: 21 x entre x1

xx

x

1

1

1 2

Dividir: 43625 x entre 265 x

2

2

4

6565

3625x

x

x

Dividir: 22zyx entre zyx

zyxzyx

zyx

22

Ejercicios:

Resolver por simple inspección, los siguientes cocientes:

1

1)1

22

x

x

xy

xy

22

)2 2

4

3

9)3

x

x

ba

ba

2

4)4

22

43

86

109

10081)5

ba

ba

5432

10864

2

4)6

yxba

yxba

3

9)7

2

xa

xa

ba

ba

1

1)8

2

nm

nm

2

4)9

2

na

na

1

1)10

2



1.2. Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades

entre la suma o diferencia de esas cantidades.

Sea el cociente: ba

ba

33


3a 3b ba

3a ba 2 22 baba

ba 2 3b Luego

ba

ba 3322 baba

ba 2 2ab

32 bab

32 bab

0

La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el producto de la primera por la

segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad

Ejemplo:

Resolver los siguientes cocientes notables (sin realizar la división)

Dividir: 31 a entre a1

223

111

1aa

a

a

21 aa

Dividir: 33 12527 nm entre nm 53

2233

553353

12527nnmm

nm

nm

22 25159 nmnm



Sea el cociente: ba

ba

33


3a 3b ba

3a ba 2 22 baba

ba 2 3b Luego

ba

ba 3322 baba

ba 2 2ab

32 bab

32 bab

0 La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las

cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad


Dividir: 18 3 a entre 12 a

223

112212

18

aa

a

a

124 2 aa

Dividir: 3343216 y entre y76

223

776676

343216yy

y

y

2494236 yy

Ejercicios: Resolver por simple inspección, los siguientes cocientes:

a

a

1

1)1

3

xy

xy

33

)2 yx

yx

32

278)3

33

74

34364)4

3

a

a

ab

ba

1

1)5

33

b

b

89

512729)6

3

bax

bxa

333

)7 3

93

4

64)8

ba

ba

5

15

75

343125)9

x

x

expresiones algebraicas 1 ue - aldia.net.coaldia.net.co/1expresionesalgebraicas2020.pdf ·...

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