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UNIDAD 2: Expresiones Algebraicas

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Unidad 2

Expresiones Algebraicas

A - DEFINICIONES Expresión literal: Es la reunión de letras (variables) y cifras (números reales) combinados entre sí y sometidos a operaciones matemáticas. Expresión algebraica: Es toda expresión literal en la que aparece una combinación finita de las siguientes operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplos:

x + y ; xy2

yx 22 ;

3322 bab3ba3a

Expresión algebraica entera: Es toda expresión algebraica en las que las operaciones matemáticas de que se compone son las siguientes: suma, resta, multiplicación y potenciación con exponente natural. Ejemplos:

ax2 + bx + c ; x2 – 2xy + y2 ; cx + d

Expresión algebraica fraccionaria o fracción algebraica: Es el cociente de dos expresiones algebraicas enteras, siendo la segunda no nula. el numerador y el denominador de la fracción se llaman dividendo y divisor respectivamente. Ejemplos:

1x

1xx2

2

2

;

22

32

yx

xxxy2

Monomio: Es toda expresión entera en la que no intervienen las operaciones de suma ni de resta. Ejemplos:

ba3 2 ; zxy

3

1 3

Coeficiente de un monomio: Es el número real que precede al monomio. Ejemplos:

ba3 2 ; zxy

3

1 3 tienen por coeficientes, respectivamente 3 y – 1 / 3.

Monomios semejantes: Dos monomios son semejantes cuando tienen las mismas letras o variables con los mismos exponentes, es decir, cuando difieren solamente por los coeficientes. Ejemplos:

yx4 2 ; yx

5

6 2


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Grado de un monomio: Es el número natural de sus factores literales; es decir, la suma de los exponentes de todas sus letras o variables. Ejemplo:

El monomio 232 zyx9 es de 7mo. grado.

Polinomio: Es la suma algebraica de monomios llamados términos del polinomio. Cuando el polinomio tiene sólo dos términos se llama binomio, cuando tiene sólo

tres términos se llama trinomio, etc.

Ejemplos:

bax ; yx son binomios;

22 yxy2x es un trinomio;

5x2x3x2 34 es un polinomio.

Grado de un polinomio: Es el mayor de los grados de los monomios que componen el polinomio. se simboliza con: gr [p(x)]. Ejemplo:

p(x) = 5x2x3x2 34 es de 4to grado o gr [p(x)] = 4

q(x) = 3x7 2 es de 2do grado o gr [q(x)] = 2

Polinomio homogéneo: Es todo polinomio en el que todos sus términos son del mismo grado. Ejemplo:

22 yxy2x4 es un polinomio homogéneo de 2do grado

Polinomio ordenado respecto a una de sus letras (o variables): es cuando los términos del polinomio están dispuestos de modo que los exponentes de dicha letra ordenatriz o variable vayan aumentando o disminuyendo sucesivamente desde el primer término hasta el último. La ordenación será creciente o decreciente, según que los exponentes de la letra ordenatriz o variable vayan de menor a mayor o viceversa. Ejemplo:

El polinomio 8ax4x2ax5x7 22463 ordenado en forma decreciente

respecto de la variable x será:

8ax4x7x2ax5 22346

Polinomio completo: Es todo polinomio que contiene términos de todos los grados de la letra ordenatriz o variable elevado hasta el grado cero. Ejemplo:

El polinomio 1x5 puede completarse de la forma:

1x0x0x0x0x 2345

Valor numérico de una expresión algebraica: Es el número real que resulta de reemplazar las letras o variables por números determinados y ejecutar las operaciones en la expresión dada.


22

Ejemplos:

El valor numérico de la expresión: yx

yxy2x 22

para x=3 , y=2

Es igual a 5, pues: 55

25

23

22.3.23 22

Observación: Una expresión algebraica tiene un valor numérico para cada sistema de valores que se atribuyan a sus variables, siempre que las operaciones a las cuales están sometidas, sean posibles. Ejemplo:

La expresión 2x

6x4x2

carecerá de valor numérico para x=2, por no ser

posible la división cuando el divisor es nulo.

Operaciones con polinomios 1) Suma:

3xy4yxyxxy3yx3yxxy 333333333

2) Resta:

3yx2xy2xyyxxy3yx3yxxy 3333333333

3) Producto:

a) Producto de un polinomio y un monomio: Se utiliza la propiedad distributiva:

cdbdadd.cba

Ejemplo:

xy6yx2yx2xy2.3yxxy 244233

b) Producto de dos polinomios: Se utiliza la propiedad

cebeaecdbdade).cba(d.cbaed.cba

Ejemplo:

2xx2.1xx2x3 223

21xx2x3x.1xx2x3x21xx2x3 2323223

2x2x4x6xxx2x3x2x2x4x6 232342345

2x3x7x10x7x6 2345

Nota: La ordenación de los polinomios facilita el cálculo del producto. Se tiene, por ejemplo, la siguiente disposición práctica:


23

2x3x7x10x7x6

2x2x4x6

xxx2x3

x2x2x4x6

2xx2X

1xx2x3

2345

23

234

2345

2

23

4) Cociente de dos polinomios:

En general cuando se divide un entero positivo p por un entero positivo s, obtenemos un único cociente q y un residuo r que satisfacen:

rq.sp donde 0 < r < s

Un resultado análogo, llamado algoritmo de división para polinomios se enuncia de la siguiente manera:

El algoritmo de división para polinomios:

Sea f(x) y q(x) polinomios con g(x) 0 , entonces existen polinomios únicos

q(x) y r(x) tales que:

)x(r)x(q).x(g)x(f

Donde, r(x) es 0, o tiene un grado menor al grado de g(x). Llamamos a f(x) dividendo, a g(x) divisor, a q(x) cociente y a r(x) residuo. Cuando r(x)=0, entonces, entonces f(x)=g(x).q(x) y g(x) es un factor de f(x). En este caso se dice que f(x) es divisible por g(x). Observación: Si g(x) es un polinomio de primer grado, entonces el resto o residuo r(x) es un polinomio de grado cero, es decir, un número real.

Ejemplo: Consideremos una disposición práctica para f(x):g(x)

_ 3223 a2xa7ax2x8

22 aax3x4

xa2ax6x8 223 ax2

322 a2xa5ax4

322 axa3ax4

32 axa2

con lo cual q(x)= 2x-a y r(x)= 32 axa2

Por otro lado se puede verificar que:

g(x).q(x)+r(x) = (22 aax3x4 )( ax2 ) + (

32 axa2 ) =

32322223 axa2axa2xa3ax6ax4x8 =

3223 a2xa7ax2x8 = f(x)


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Nota: Cuando f(x) y g(x) no sean polinomios completos, conviene a los efectos del cálculo, completarlos previamente.

c) Cociente de un polinomio entero en la variable x por otro de primer

grado de la forma: x – a Ra :

Sean f(x) = 1x)x(gy3xx3

En este único caso, en que, el polinomio g(x) es un polinomio de primer grado se puede calcular la división a través del siguiente procedimiento: División práctica o Regla de Ruffini: (es imprescindible que el polinomio dividendo sea completo) Permite conocer el cociente q(x) y el resto r(x) de la división de f(x) por x – a.

Ejemplo: 2x:2x7x9x6x5 234

El cociente q(x): es otro polinomio en x, de grado igual a la unidad menor que el polinomio dividendo, y el resto r, un polinomio de grado cero.

1)x(fgr)x(qgr ; 0)x(rgr (es un nº real)

Para realizar la división aplicando la regla práctica de Ruffini, se ordena y completa el polinomio dividendo f(x), según potencias decrecientes de x, los coeficientes del cociente q(x) y del resto r resultan de:

5 -6 -9 7 2 2 10 8 -2 10

5 4 -1 5 12

Cociente: q(x) = 5xx4x5 23 3)x(qgr

Residuo o resto: r = 12 0rgr

Los coeficientes se obtienen: 1er. coeficiente: 5

2do. coeficiente: 4)6()2(5

3er. coeficiente: 1)9()2(4 Coeficientes del divisor q(x)

4to. coeficiente: 57)2)(1(

Residuo o resto: 122)2(5

Teorema del residuo

Cuando un polinomio f(x) se divide por x – a, el residuo r es el valor del polinomio en x = a, esto es, r = f(a). Demostración: Si se divide el polinomio cociente f(x) por el binomio x – a se tiene:

f(x) = q(x).(x – a) + r

Si se calcula el valor numérico de f(x) para x = a, se obtiene:

f(a) = q(a)(a – a) + r = 0 + r = r

Se concluye:

f(a) = r


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Ejemplo:

Determine el residuo cuando f(x) = 2x7x9x6x5 234 se divide por

x – 2.

Según el teorema del residuo: r = f(2)

= 2)2(7)2(9)2(6)2(5 234

= 12

Se dice que un número a es cero o una raíz de un polinomio f(x) si f(a) = 0. En

este caso, 0)a(fr y se deduce por tanto, según lo anteriormente dicho que

se puede escribir el polinomio f(x) como:

)ax)(x(q)x(f

Esto nos permite enunciar el siguiente teorema:

Teorema del factor Un número a es una raíz de un polinomio f(x) sí y sólo sí x – a es un factor de f(x). Por tanto, cuando a es raíz de f(x), x – a es un factor. Y viceversa, si x – a es un factor de f(x), entonces f(x) tiene la forma: f(x) = q(x)(x – a) En este caso vemos que: f(a) = q(a)(a – a) = 0

Ejemplo:

Determinar si x + 1 es factor de f(x) = 1x6x5x 24

Si se calcula: 111)1(6)1(5)1()1(f 24

Puesto que 0)1(f se concluye que: x + 1 no es un factor de f(x).

Resumen:

Ejemplos: Utilizando la Regla de Ruffini se obtienen las siguientes divisiones exactas:

f(x) g(x) q(x) = f(x):g(x)

22 ax ax ax

22 ax ax ax

33 ax ax 22 aaxx

33 ax ax 22 aaxx

44 ax ax 3223 axaaxx

44 ax ax 3223 axaxx

55 ax ax 432234 axaxaaxx


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Ejercitación

1) Hallar el valor de los siguientes polinomios para: x = -3 ; x = 1/2 ; x = 0

a) 6x5x 2

b) 24x3x.2 2

c) 32 x6x3x

d) 1xxxx 234

e) )1x()1x( 2

2) Determinar si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios.

En caso afirmativo dar su grado y coeficiente principal.

a) x83

b) 7yyy 3123

c) 1ttt 134

d) )18z4z5(z 32

e) 103 x

2

1x.7x23

f) 4r

3) Ejecutar las operaciones indicadas y expresar el resultado como un

polinomio estándar.

a) 1x2x3x7x4x5x3 2325

b) 1y9y4y58y7y3y 2323

c) x2x4x31x2x 242

d) x8x2x14xx7x3 24567

e) v6v4v2 2

f) 5yy4y2y 22

4) En las siguientes expresiones utilizar el algoritmo de la división para

dividir f(x) por g(x). Expresar el resultado en la forma: f(x) = q(x)g(x) + r(x)

a) 8x)x(g;7x4x)x(f 2

b) 1xx)x(g;1x4x7x5)x(f 223

c) xx3)x(g;2xx27)x(f 23

d) 2x)x(g;7xx3)x(f 4

e) 3

1x)x(g;xx4x6)x(f 345

5) Aplicar la Regla de Ruffini para dividir f(x) por g(x). Identificar el

cociente q(x) y el residuo r(x).

a) 2x)x(g;5xx2)x(f 2


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b) 1x)x(g;1x9x)x(f 3

c) 2x)x(g;16x)x(f 4

d) 1x2)x(g;2x3x2x4)x(f 23

6) Utilizar la Regla de Ruffini, para hallar un valor de k tal que f(x) sea

divisible por g(x).

a) 1x)x(g;k9x2kx)x(f 24

b) 2x)x(g;4kx2kxx)x(f 23

7) Aplicar el teorema del residuo para hallar r, cuando f(x) se divide por

g(x).

a) 2x)x(g;6x4x2)x(f 2

b) 2

1x)x(g;2x5x4x)x(f 23

c) 3x)x(g;5x3x2xx)x(f 234

8) Determinar si el polinomio dado g(x) es un factor del polinomio f(x).

a) 4

1x)x(g;2x8x3x3)x(f 23

b) 2

3x)x(g;3x4x2xx2)x(f 234

c) 2,0x)x(g;1x5x2x10xx5)x(f 2345

RESPUESTAS EJERCITACIÓN

1) a) 6;4

15;30 b) 24;2

4

15

2

3;259 c) 0;

2

1;192

d) 1;16

11;121 e) 0;

4

1;12

2) a) Polinomio grado 1. coeficiente principal: 8 b) No es polinomio. c) No es polinomio. d) Polinomio de grado 5, coeficiente principal: 5 e) No es polinomio. f) No es polinomio.

3) a) 6683 235 xxxx b) 726 23 yyy

c) 153 24 xx d) 148273 24567 xxxxxx

e) 2 vvv 248 23 f) 2014234 yyyy

4) a) f x x 4 x 8 25( ) ( )( )

b) 11x21)12x5)(1xx()x(f 2

c) 24)39)(3()( 2 xxxxxf

d) 57)251263)(2()( 23 xxxxxf

e) 9/1)3/1366)(3/1()( 234 xxxxxxf


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5) a) 32)( xxq ; r = 11

b) 10)( 2 xxxq ; r = -11

c) 842)( 23 xxxxq ; r = 32

d) 544)( 2 xxxq ; r = -1/2

6) a) k = -1/5 b) k = ½ 7) a) 6 b) 29/8 c) 76 8) a) No es factor b) Si es factor c) Si es factor.


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C- FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Definición: Factorizar un polinomio es transformarlo en un producto de factores. Se tienen los siguientes casos:

CASO 1: Factor común: Un factor común de un polinomio es un MCD de todos sus términos.

Ejemplos:

i) ;yxy2xy4y4xy8yx4 22322

ii) ba2yx)yx(b)yx(a2xybyxa2

CASO 2: Descomposición en grupos de igual números de términos con un factor común en cada grupo. Para emplear este método se empieza por agrupar los términos del polinomio en binomios o trinomios, etc., descomponiendo luego cada uno de estos binomios o trinomios en dos factores de manera de obtener un factor común a todas las expresiones parciales del polinomio.

Ejemplos:

i)

bxaxaxbaxx

abbxaxxabbxaxx 22

ii)

1x2x2x2xx

2xx2x2xx2x

22

2323

CASO 3: Trinomio cuadrado perfecto: Es todo trinomio formado por dos términos que son cuadrados perfectos y un tercer término que es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Ejemplos:

i) ;baab2ba222

ii) ;abbaab2ba2222

iii)

222224 a5yx

3

1a25yax

3

10yx

9

1

CASO 4: Cuatrinomio cubo perfecto Es todo cuatrinomio formado por dos términos que son cubos perfectos, un tercer término que es el triple del cuadrado de la base del primer cubo por la base del segundo, y un cuarto término que es el triplo de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo.


30

Ejemplos:

i) ;baab3ba3ba32233

ii) ;baba3ba3baab3ba3ba322332233

iii)

1a

3

21a2a

3

4a

27

8 23

CASO 5: Diferencia de cuadrados Toda diferencia de cuadrados se puede transformar en el producto de la suma de las bases por la diferencia de las mismas.

Ejemplos:

i) ;bababa 22

ii) ;1a1a1a1a1a1a1a 2222224

iii)

ba3yx2ba3yx2

ba3yx2ab6ba9yxy4x4222222

Caso 6: Suma o diferencia de potencias de igual grado

f(x) g(x) f(x) es divisible por g(x)

mm ax x + a si m es impar

mm ax x – a nunca

mm ax x + a si m es par

mm ax x – a siempre

Ejemplos:

i) 2233 aaxxaxax ;

ii) 2233 aaxxaxax ;

iii) 322344 axaaxxaxax

iv) 322344 axaaxxaxax


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Ejercitación

1) Sacar factor común en las siguientes expresiones:

a) 642 a35a30a25

b) 52432 xa21ax3xa6

c) 52423222 xa75xa105xa30xa15

2) Factorizar por agrupaciones las siguientes expresiones:

a) ;abbxaxx2

b) ;1baab

c) ;bybxayax 2222

d) ;yz9xz6xy6x4 2

e) ;bca14ca7ba10ba5 34223

3) Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

a) ;41aa2

b) ;b9ab2

3

16

a 22

c) ;1a2a 36

d) ;4

aax2x4

22

4) Factorizar los siguientes cuatrinomios cubos perfectos:

a) ;64a144a108a27 23

b) ;ybyaxb3byxa3xa 33222233

c) ;aa3a3a 3456

d) 32 a

8

1a

4

3a

2

31

5) Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados:

a) ;ybxa 2222

b) ;baba222222

c) ;y44

x 22

d) ;b

y

a

x

2

2

2

2

e) ;ba81 44

f) ;yx 88


32

6) Factorizar las siguientes sumas o diferencias de potencias de igual grado:

a) ;ba8 33

b) ;1x5

c) ;zy8x 333

d) 1ba 33

7) Factorizar combinando los distintos casos de factoreo:

a) 22 bm45ba5

b) 223 ab4ba12a9

c) a9xa6xa 325

d) 85 ab48a3

e) 33 xyyx

f) xxxx 234

RESPUESTAS EJERCITACIÓN

1) a) 422 7655 aaa b) 23 723 axxaax

c) 3222 572115 xxxxa

2) a) bxax )( b) ))(1( cba c) ))(( 22 yxba

d) )32)(32( yxzx e) )2)(75(2 baacba

3) a) 2)2/1( a b)

2a

3b4

c)

23 )1( a d)

2

22

ax

4) a) 343 a b) 3byax c) 33 )1( aa d)

3

21

a

5) a) byaxbyax b) 24ab c)

y

xy

x2

22

2

d)

b

y

a

x

b

y

a

x e) bababa 339 22

f) yxyxyxyx 2244

6) a) )bab2a4)(ba2( 22 b) )1xxxx)(1x( 234

c) )zy4xyz2x)(yz2x( 222 d) )1abba)(1ab( 22

7) a) )m3a)(m3a(b5 b) 2)b2a3(a c)

22 )3xa(a

d) )b2a)(b2a)(b4a(a3 2222 e) )yx)(yx(xy

f) )1x()1x(x 2

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