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CUADERNILLO DE ACTIVIDADES

Prof. Álvarez, Sonia y Pastori, Silvia

Apellido y Nombres:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INSTITUTO ESPÍRITU SANTO

MATEMÁTICA 4° AÑO

2



3

PROGRAMA DE MATEMÁTICA(4º AÑO)

Unidad Nº 1: Expresiones Algebraicas Enteras * Conceptos, generalidades. * Monomios. Polinomios. Clasificación. Grado de un polinomio. * Valor numérico * Polinomios: generalidades. Operaciones. * Regla de Ruffini. Teorema del Resto Unidad Nº 2: Función Lineal * Función lineal. Gráfica * Ecuación explícita y segmentaria. * Rectas paralelas y perpendiculares. * Reconstrucción de la ecuación * Intersección de rectas Unidad Nº 3: Factorización de Polinomios * Los 6 casos de factoreo de polinomios. * Teorema de Gauss Unidad Nº 4: Función Cuadrática * Función cuadrática: gráfica y generalidades. * Ecuación polinómica. Gráfica * Ecuación canónica * Ecuación factorizada * Ecuación de 2º grado. Unidad Nº 5: Números Reales. Radicales aritméticos * Operaciones en Q * El número irracional. * Radicales aritméticos: propiedades y operaciones. * Racionalización de denominadores Unidad Nº 6: Números Complejos * Número imaginario. * Módulo de un complejo, complejos conjugados. * Operaciones. * Ecuaciones



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UNIDAD Nº 1: EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS 1. Escribe V o F. Justifica las expresiones falsas:

a) La expresión 𝑥3 + 8 + 𝑥4 tiene grado 3.

b) La expresión 𝑥3 −1

3𝑥 + 1 está ordenada.

c) La parte literal de la expresión 1

5𝑥3 es 𝑥.

d) El polinomio 0𝑥4 + 𝑥2 − 5 tiene grado 4. e) Los trinomios siempre tienen grado 3. 2. Javier dice: “Si el grado de un polinomio se expresa con la letra n, la cantidad de términos de distinto grado de ese polinomio no puede superar el número 𝑛 + 1”. ¿Tiene razón? Analiza varios ejemplos para llegar a una conclusión. 3. Escribe un polinomio que corresponda a esta anotación: “Q(x) es un trinomio de grado 4, su coeficiente principal es 9; su término independiente es -6 y tiene un término cúbico con coeficiente 0,3”. ¿Es posible dar más de un polinomio como respuesta? ¿Por qué? 4. Escribe un análisis similar al del ejercicio anterior para los siguientes polinomios:

a) 𝑃(𝑥) = −7𝑥5 + 6𝑥3 + √2 b) 𝑅(𝑥) = 𝑥 + 1

c) 𝑆(𝑥) = −5

6𝑥6 +

3

5𝑥4 − 𝑥3 − 1

5. Se mezclaron algunas expresiones polinómicas con otras que no lo son. a) Rodea las que son polinomios y explica por qué las otras no lo son.

𝐴(𝑥) =2

5− 5𝑥 𝐵(𝑥) = 6√𝑥 + 5 𝐶(𝑥) = √5𝑥4 + 0,7𝑥2 − 5𝑥

𝐷(𝑥) =𝑥+2

𝑥+4 𝐸(𝑥) =

𝑥+2

0,4 𝐹(𝑥) = 2𝑥 + 5𝑥−3



8

b) Indica el grado y el coeficiente principal de los polinomios

6. Considera el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥2𝑎3−12 + 𝑥2 + 2 : a) ¿Cuánto debe valer a para que 𝑃(𝑥) tenga grado 4? b) ¿Qué grado tiene 𝑃(𝑥) si 𝑎 = 3? c) ¿Puede ser 𝑎 = 1 para que 𝑃(𝑥) continúe siendo un polinomio? ¿Por qué? 7. Calcula el valor numérico de cada polinomio 𝑃(𝑥) para los valores dados y rodea los que sean raíces de 𝑃(𝑥): a) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 5 1 -1 0 5 -5 b) 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 13𝑥2 + 36 2 -2 0 3 -3

c) 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 − 6 √2 -2 0 - √2 1 8. Aldana dice que el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥6 + 8 no tiene raíces reales y que esto puede saberse sin necesidad de hacer cálculos. ¿Tiene razón? ¿Por qué? 9. Indica cuáles de estos polinomios tienen 0 como raíz. Piensa cómo podrías darte cuenta sin necesidad de hacer ningún cálculo y redacta una conclusión. a) 𝑃(𝑋) = −3𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 b) 𝑄(𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥 + 1 c) 𝑅(𝑥) = −𝑥 + 2𝑥4 d) 𝑆(𝑥) = 3𝑥4 − 2𝑥2 + 5𝑥3

e) 𝑀(𝑥) = 𝑥7 − 2𝑥3 +3

4− 𝑥 f) 𝑇(𝑥) =

1

2𝑥3 + 4𝑥4 − 2𝑥 + 𝑥5

10. Siendo: 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥2 − 𝑥 + 7 ; 𝑄(𝑥) = −2𝑥3 + 4𝑥2 − 6𝑥 − 5 y

𝑅(𝑥) = 𝑥4 +2

3𝑥3 − 4𝑥2 +

3

4𝑥 , calcula:

a) 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) = d) 1

2𝑅(𝑥) −

1

3𝑃(𝑥) =

b) 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = e) 𝑃(𝑥) − [1

2𝑄(𝑥) + 12𝑅(𝑥)] =

c) 2𝑃(𝑥) + 3𝑅(𝑥) + 𝑄(𝑥) =



9

11. Dado el polinomio 𝑃(𝑥) = −3𝑥3 + 4𝑥2 − 2𝑥 + 5, piensa: a) Un polinomio 𝑆(𝑥) para que 𝑃(𝑥) + 𝑆(𝑥) = 0. ¿Cómo son P(x) y S(x)? b) Un polinomio T(x) para que 𝑃(𝑥) − 𝑇(𝑥) = 0. ¿Cómo son P(x) y T(x)? 12. Comprueba, con ejemplos, que 𝑃(1) + 𝑄(1) es igual a (𝑃 + 𝑄)(1). 13. Escribe el polinomio reducido del perímetro de cada figura:

a) rectángulo abcd cuyos lados son cmxab2

33 y cmxbc 24

b) trapecio isósceles sabiendo que

Bl

cmxxb

cmxxB

3

2

936

6153

2

2

c) triángulo isósceles abc en el que 𝑎𝑐̅̅ ̅ = 2𝑥2 − 3𝑥 + 4, 𝑐𝑏̅̅ ̅ = 𝑥2 − 5𝑥 + 2 y 𝑎𝑐̅̅ ̅ ≅ 𝑎𝑏̅̅ ̅ 14. a) Calcula 𝑃(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) en cada caso:

a1) 𝑃(𝑥) =1

6𝑥4 +

2

3𝑥3 − 4𝑥2 𝑄(𝑥) = 6𝑥

a2) 𝑃(𝑥) = −8𝑥2 + 4𝑥 − 10 𝑄(𝑥) = 0,5𝑥4

a3) 𝑃(𝑥) = 5𝑥5 +6

5𝑥3 − 11𝑥 𝑄(𝑥) =

2

5𝑥3

b) Compara los grados de cada factor con el del producto, completa la tabla y elabora una conclusión: 15. Resuelve las siguientes multiplicaciones de polinomios:

𝑔𝑟[𝑃(𝑥)] 𝑔𝑟[𝑄(𝑥)] 𝑔𝑟[𝑃(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥)]

a1

a2

a3



10

a) (−𝑥2) ∙ (6𝑥3 − 3𝑥2 + 12𝑥) = b) (−4

3𝑥2 +

12

5𝑥 − 6) ∙ (

3

4𝑥4) =

c) (𝑥3 − 𝑥 + 1) ∙ (𝑥2 − 𝑥) = d) (−2

3𝑥 + 𝑥3) ∙ (2𝑥 − 3𝑥2 + 1) =

e) (2𝑥 − 3𝑥2 + 1) ∙ (−2𝑥3 −1

2+ 3𝑥) = f) (3𝑥2 + 5) ∙ (3𝑥2 − 5) =

g) (3

4𝑥3 +

1

6𝑥) ∙ (

3

4𝑥3 −

1

6𝑥) = h) (5𝑥6 −

1

2𝑥2) ∙ (5𝑥6 +

1

2𝑥2) =

16. Escribe el polinomio reducido del área de las siguientes figuras: a) triángulo isósceles con base 𝑏 = 3𝑥 + 7 𝑐𝑚 y altura ℎ = 𝑥 − 5 𝑐𝑚

b) un rectángulo cuyo ancho es 3𝑥 + 4 𝑐𝑚 y su largo es 1

3𝑥 − 2 𝑐𝑚

c) un rombo cuyas diagonales son 𝐷 = 12𝑥 − 8 𝑐𝑚 y 𝑑 =3

4𝐷

17. ¿Para qué valores de a y b se cumple la siguiente igualdad? Explica cómo lo resuelves.

(𝒂𝑥 − 7) ∙ (5𝑥 + 𝒃) = 10𝑥2 − 29𝑥 − 21 18. Calcula las siguientes potencias:

a) (4𝑥3)3 = b) (−2𝑥4)5 c) (−1

4𝑥2)

3

=

d) (3𝑥 + 4)2 = e) (𝑥3 − 2𝑥)2 = f) (3

2𝑥2 + 2)

2

=

g) (2𝑥 + 3)3 = h) (𝑥2 − 2𝑥)3 = i) (3

2𝑥2 + 1)

3

=

19. a) Calcula 𝑃(𝑥): 𝑄(𝑥) en cada caso:

a1) 𝑃(𝑥) =1

6𝑥4 +

2

3𝑥3 − 4𝑥2 𝑄(𝑥) = 6𝑥2

a2) 𝑃(𝑥) = −2𝑥2 + 8𝑥 𝑄(𝑥) = 0,5𝑥

a3) 𝑃(𝑥) = 4𝑥6 +6

5𝑥5 − 𝑥4 𝑄(𝑥) =

2

5𝑥3



11

b) Compara los grados de cada polinomio con el del cociente, completa la tabla y elabora una conclusión: 20. Resuelve las siguientes divisiones, sin olvidar de escribir el cociente y el resto: a) (2𝑥3 − 4𝑥2 − 5𝑥 − 3): (𝑥 + 1) b) (5𝑥3 − 4𝑥 − 3): (𝑥2 − 𝑥)

c) (2𝑥5 + 𝑥4 − 3𝑥3 + 𝑥2): (𝑥3 − 𝑥 + 1) d) (𝑥3 − 6𝑥2 + 2): (1

3𝑥 + 1)

e) (𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥2): (2𝑥2 − 3𝑥) f) (1

2𝑥5 −

1

4𝑥 +

1

3𝑥3) : (1 + 2𝑥 + 𝑥2)

21. Completa el cuadro 22. Aplica regla de Ruffini y verifica con el teorema del resto: a) (3𝑥 − 1 + 2𝑥3): (𝑥 − 2) = b) (3𝑦4 − 5𝑦3 + 2𝑦2 − 3𝑦 + 3): (𝑦 + 1) = c) (−𝑎5 + 12𝑎3 − 15𝑎2 − 16): (𝑎 + 4) = d) (2𝑏3 − 2𝑏2 + 𝑏 + 5): (𝑏 − 3) = e) 𝑦3: (𝑦 − 5) =

f) (𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 +1

3) : (𝑥 −

1

3) =

g) (1

3𝑥4 − 2𝑥2 + 3) : (𝑥 + 1) =

𝑔𝑟[𝑃(𝑥)] 𝑔𝑟[𝑄(𝑥)] 𝑔𝑟[𝑃(𝑥): 𝑄(𝑥)]

a1

a2

a3

dividendo divisor cociente resto

a 9𝑥4 − 100 3𝑥2 − 10

b 2𝑥 + 5 3𝑥2 − 7 2𝑥

c 𝑥2 − 16 𝑥 − 4 0



12

23. Aplica el teorema del resto para determinar si 𝑃(𝑥) es divisible por 𝑄(𝑥). Explica lo realizado. a) 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥 + 2 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 2 b) 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 12 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 6

c) 𝑃(𝑥) =3

2𝑥3 + 4𝑥2 + 3 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2

24. ¿Qué valor debe tener m para que cada polinomio 𝑃(𝑥) sea divisible por el binomio 𝑄(𝑥) correspondiente? Justifica lo realizado. a) 𝑃(𝑥) = −8𝑥2 + 6𝑥 + 𝑚 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 1 b) 𝑃(𝑥) = 𝑚𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 𝑥 + 3 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 3 c) 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 128 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 𝑚

d) 𝑃(𝑥) = 8𝑥5 +1

4 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 𝑚

25. ¿Cuánto debe valer a para que al dividir 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 5𝑥 + 𝑎 por 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 2 se obtenga resto 6? Explica lo realizado. 26. Completa el polinomio 𝑃(𝑥) = −𝑥3 + 2𝑥2 + _____ 𝑥 − 6 para que 𝑥 = −2 sea una de sus raíces. 27. a) ¿Cuál es la expresión reducida de la altura de un rectángulo si su área se expresa con el polinomio 𝐴(𝑥) = 4𝑥2 + 18𝑥 + 18 y su base es 𝑏(𝑥) = 𝑥 + 3? b) El área de un rombo es 𝐴(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6 y una de sus diagonales es 𝑑(𝑥) = 𝑥 − 2. ¿Cuál es su otra diagonal D(x)? c) El área de un triángulo está dada por 𝐴(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 y su base es 𝑏(𝑥) = 2𝑥 − 6. ¿Cuál es la expresión para su altura? 28. Indica si cada afirmación es verdadera o falsa y explica por qué, puedes ayudarte con ejemplos: a) A veces se suman polinomios del mismo grado y se obtiene un polinomio de grado menor.



13

b) Siempre que se resta un polinomio de otro, el resultado es un polinomio de grado menor que el del minuendo. c) Si multiplico dos polinomios no nulos, puedo obtener como resultado un polinomio nulo. d) Si se multiplica un polinomio por su opuesto, se obtiene por resultado el cuadrado de dicho polinomio. e) En una división de polinomios el grado del cociente es igual al grado del dividendo dividido por el grado del divisor. f) Al dividir dos polinomios del mismo grado, el resto es cero. 29. Resuelve los siguientes ejercicios combinados: a) (𝑥 + 1)2 + 2𝑥(𝑥 − 3)+3=

b) (2𝑥 + 3)(−𝑥2) + (𝑥 + 2)3 −1

2𝑥 =

c) (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) + (𝑥 − 1)2 − 2𝑥(𝑥 − 3) = d) 5𝑥2(𝑥2 + 2𝑥 − 1) − 2(−𝑥 + 3) − (3𝑥4 + 𝑥3 + 2𝑥) = e) (2𝑥 − 1)2 + 2𝑥(𝑥 − 2) − (12𝑥4 − 16𝑥3): (2𝑥2) = f) 3(2𝑥3 + 𝑥)2 − 3𝑥2 − (5𝑥3)2 − (5𝑥6 + 3𝑥4) = g) (𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 4): (𝑥 + 1) − (𝑥 + 1)2 + (6𝑥2 − 24𝑥): (2𝑥) = h) 2𝑥3(𝑥2 − 3) + (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) − 4(−𝑥2 + 1) = i) (𝑥 − 3)2 − (𝑥2 − 1). (2𝑥 − 3) + (8𝑥6 − 4𝑥5 + 12𝑥4): (4𝑥3) = j) (𝑥2 + 6𝑥 − 9). (−𝑥) + (𝑥 − 3)2 − (3𝑥2 − 13𝑥 − 10): (𝑥 − 5) =



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EJERCICIOS DE REPASO

1. Clasifica según el número de términos, completa, ordena en forma decreciente, da el coeficiente principal, el término independiente y el grado de los polinomios: a) 𝑃(𝑥) = 6 + 𝑥3 + 3𝑥 − 𝑥2 b) 𝑄(𝑥) = 7𝑥3 − 2𝑥5 + 4 c) 𝑅(𝑥) = 0𝑥4 − 𝑥 + 5𝑥2 2. Dados los polinomios: 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 − 2 , 𝑄(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 6𝑥 + 1 , 𝑅(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 − 4 , calcula: a) 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) − 𝑃(𝑥) b) 𝑃(𝑥). 𝑅(𝑥) c) 𝑃(𝑥) por su conjugado d) ⌊𝑃(𝑥)⌋3 e)𝑄(𝑥): 𝑃(𝑥) f) ⌊𝑃(𝑥)⌋2 3. ¿Cuál de los siguientes valores es raíz del polinomio R(x) del ejercicio anterior?

𝑥1 = 0 𝑥2 = −1 𝑥3 = 2 4. Resuelve: (6𝑥 − 3). (3𝑥 − 1) + (2𝑥 − 1). (2𝑥 + 1) − (3𝑥2 − 2)2 = 5. Resuelve aplicando Regla de Ruffini y verifica con el teorema del Resto:

(1

5𝑥3 +

1

2𝑥2 − 37) : (𝑥 − 5)

6. Calcula el valor de b para que 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑏𝑥2 + 𝑥 + 2𝑏 sea divisible por 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 1 7. ¿Qué polinomio dividido por (2𝑥 − 5) da como cociente (𝑥2 − 2𝑥 − 4) y deja un resto de −25?



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17

UNIDAD Nº 2: FUNCIÓN LINEAL

1. Sea 65)( xxf :

a) Determina )4(f y )2(f

b) Encuentra la pre imagen de 14 y de 23

c) Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados d) ¿Pertenece a esta recta el punto )9;3( ? ¿Por qué?

e) Grafícala a partir de la ordenada al origen y la pendiente.

2. Indica la pendiente, ordenada al origen y raíz de las siguientes funciones afines: a) 32 xy c) 3y

b) xy 24 d) 0265 yx

3. Grafica las siguientes funciones por pendiente y ordenada al origen:

a) 32

1 xy b) 2 xy

c) xy3

2 d) 2

4

1 xy

4. ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta de ecuación ?12)( xxf

¿Por qué? a) )3;1(p b) )1;1( q

c)

0;

2

1r d) 1;0

5. Escribe la ecuación de la recta R sabiendo que:

a) 3

5a y Rp 7;5

b) 3b y Rp 5;4

c) 4;2p y 1;1q pertenecen a R

d) pasa por

2;

5

3p y

5

7;

5

1q

e) es paralela a 13

1 xy y pasa por 2;3

f) es perpendicular a 32 xy y pasa por 1;2

6. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1;3) y es perpendicular a la recta determinada por los puntos (2;8) y (6;5)



18

7. Halla la ecuación de la recta que tiene ordenada al origen 8 y es paralela a la recta que pasa por los puntos (2;8) y (-2;4) 8. Determina analíticamente si los siguientes puntos están alineados:

16;2,9;1,5;1 cba

9. Grafica las siguientes rectas utilizando los parámetros de la ecuación:

a) 134

yx b) 1

2

3

1

yx c) 1

2

52

yx

10. Expresa las siguientes ecuaciones de rectas en todas las formas posibles:

a) 24

3 xy b) 52 xy c) 1

22

yx

d) 113

yx e) 012 yx f) 064 yx

11. Encuentra la ecuación de las siguientes rectas y grafícalas:

a) A corta al eje X en 20 x y es paralela a la recta 121

yx

b) B es perpendicular a la recta 043 yx y pasa por el punto 5;2

12. Encuentra la ecuación de cada una de las rectas graficadas:

13. La gráfica que representa la función lineal 𝑦 = −1

5𝑥 + 2 es:

0

1

2

3

4

5

6

7

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-4 -2 0 2 4 6



19

14. Determina analíticamente si las siguientes rectas son secantes, paralelas o

coincidentes:

a)

032

013

yx

yx b)

0386

1

8

3

2

1

yx

yx

c)

043

12

yx

xy d)

1

3

1

063

yx

yx

15. Encuentra analíticamente la intersección entre las siguientes rectas:

a) 4

2

3:

12:

2

1

xyR

xyR

b) 1

2

1

2

1:

04:

yxT

yxR

c) 0134:

09152:

2

1

yxR

yxR

16. Halla la intersección entre las rectas H y F sabiendo que H contiene a los

puntos 5;10 y 2;5 y que F es perpendicular a H y contiene al punto 9;2

17. El gráfico que determina p, como solución del sistema: 𝑦 + 𝑥 = 1 es:

𝑦 − 𝑥 = 1

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1 0 1 2

-1

0

1

2

3

-2-10 1 2 3 4 5 6 7

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1 0 1 2 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2



20

18. Problemas de aplicación:

a) El grado Fahrenheit es la unidad de medida de la temperatura en los países

anglosajones, se llama así porque el físico alemán Daniel Fahrenheit construyó en

1714 el termómetro de mercurio (en lugar del de alcohol) y lo graduó con la escala

que lleva su nombre. La escala para convertir una temperatura en grados Celsius

(usada en Argentina y la mayoría de los países) a grados Fahrenheit está dada por

una función afín, a saber: º325

9 CF . Teniendo en cuenta esto:

a1) ¿A cuántos ºF hierve el alcohol si se sabe que lo hace a 78ºC?

a2) ¿A cuántos ºC equivalen 68ºF?

a3) ¿Cuáles son las temperaturas de fusión y de ebullición del agua en ºF?

b) Un empresario que fabrica cierto producto tiene un costo mensual fijo (alquiler

del local, mantenimiento de máquinas, etc.) de $500 mensuales y además $5 por

cada kg de producto fabricado:

b1) ¿Cuál es la función que representa el costo mensual total de la empresa?

b2) ¿Cuál será el costo total mensual si se fabrican 1.500 kg del producto?

b3) ¿Qué significan la pendiente y la ordenada al origen en este caso?

c) La demanda de un artículo determinado se relaciona con el precio de éste

mediante una función lineal. Si, por ejemplo, la función demanda en el mercado de

los lápices está dada por la ecuación pq 4200 , donde q representa la cantidad

demandada y p, el precio de venta:

c1) ¿Cuántos lápices se comprarán si el precio de venta es $2, $3, $10?

c2) ¿Cómo es la pendiente? ¿Qué significa esto?

c3) Representa gráficamente la función demanda de lápices.

d) El departamento de ventas de una empresa informa que durante el primer

bimestre las ventas realizadas estuvieron en el orden de los $35.000 y que en el

segundo, las mismas ascendieron a $55.000. Sabiendo que las ventas se relacionan

con el tiempo mediante una función afín, se pide:

p

-3

-1

1

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

p

-3

-1

1

3

-3 -2 -1 0 1 2 3 p

-3

-1

1

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

p

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3



21

d1) Graficar la función utilizando los datos.

d2) Dar la ecuación de la función

d3) Calcular el monto de venta esperado en el 5º bimestre.



22


1. Escribe la pendiente, ordenada al origen y raíz de las siguientes rectas:

a) 32 xy b) 0243 yx

c) 147

yx d) 01535 yx

2. Completa la tabla:

3. Grafica las siguientes funciones teniendo en cuenta los datos de la ecuación:

a) 147

yx b) 3

4

3 xy

4. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto 1;2 y es perpendicular

a la recta determinada por los puntos 4;1 y 1;3 .

5. Encuentra analíticamente la intersección de las rectas del ejercicio anterior.

Ec. explícita Ec. implícita Ec. segmentaria

5

1

3

1 xy

1

4

7

1

yx

046 yx



23



24



25

UNIDAD Nº 3: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 1. Factor común a) 24𝑥5 + 18𝑥4 − 30𝑥2 = f) 2𝑎𝑏𝑐 + 4𝑎𝑏 − 6𝑎2𝑐 = b) −𝑥4 − 5𝑥3 − 6𝑥2 = g) 16𝑎5 + 6𝑎6 − 2𝑎5𝑏 =

c) 15

16𝑥4 −

21

40𝑥3 −

9

28𝑥 = h) 2𝑥2𝑎 +

2

7𝑥𝑎3 − 4𝑥2𝑎4 =

d) 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 − 𝑥3 = i) 12𝑎2𝑏 − 15𝑎4𝑏2 + 21𝑎2𝑏4 =

e) 1

3𝑥𝑦 −

5

6𝑥2𝑦2 − 3𝑥𝑦2 = j)

3

4𝑚3𝑏2 +

9

16𝑚2𝑏3 −

27

8𝑚𝑏4 =

2. Factor común por grupos

a) 3𝑥 − 𝑥3 + 6 − 2𝑥2 = f) 𝑎2 + 𝑎𝑐 + 𝑎 − 𝑚𝑎 − 𝑚𝑐 − 𝑚 = b) 4𝑥3 − 2𝑥2 + 6𝑥 − 3 = g) 2𝑎2𝑏 − 3𝑎𝑏2 + 4𝑎𝑚 − 6𝑏𝑚 = c) 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥 − 1 = h) 3𝑥2 + 5𝑥𝑦2 − 6𝑥 − 10𝑦2 = d) 𝑥6 + 2𝑥5 + 𝑥4 + 2𝑥3 + 2𝑥 + 4 = i) 7𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦 − 7 − 𝑧2 + 𝑥𝑧2 =

e) 2𝑥5 − 𝑥4 + 6𝑥3 − 3𝑥2 − 8𝑥 + 4 = j) −3

2𝑎2𝑚 + 3𝑚𝑏 +

1

2𝑎2𝑛 − 𝑛𝑏 =

3. Trinomio cuadrado perfecto a) 4𝑥2 − 4𝑥 + 1 = f) 𝑥6 + 4𝑥3 + 4 = b) 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = g) 0,25𝑥2 − 𝑥 + 1 =

c) 𝑥2 + 3𝑥 +9

4= h) 4𝑥2 + 2𝑥𝑦 +

1

4𝑦2 =

d) 1 +4

9𝑥2 −

4

3𝑥 = i) 𝑦8 +

𝑥4

4− 𝑥2𝑦4 =

e) 𝑥2 + 2𝑥 − 1 = j) 9𝑎2 + 6𝑎𝑏 + 4𝑏2 =

4. Cuatrinomio cubo perfecto



26

a) 8𝑥3 − 12𝑥2 + 6𝑥 − 1 = f) 27𝑦2𝑥 + 27𝑦3 + 9𝑦𝑥2 + 𝑥3 = b) 𝑥3 − 12𝑥2 + 48𝑥 − 64 = g) 𝑎6 + 6𝑎4𝑛 + 12𝑎2𝑛2 + 8𝑛3 = c) 125 + 75𝑎 + 𝑎3 + 15𝑎2 = h) 𝑦3 + 3𝑦2𝑥 − 3𝑦𝑥2 − 𝑥3 =

d) 𝑚3 +3

2𝑚2 +

3

4𝑚 +

1

8= i)

1

27𝑥3 −

1

3𝑥2𝑎 + 𝑥𝑎2 − 𝑎3 =

e) 0,008𝑎6 − 0,12𝑎4 + 0,6𝑎2 − 1 = j) 64𝑦3 − 𝑥3 + 12𝑥2𝑦 − 48𝑥𝑦2 = 5. Diferencia de cuadrados a) 25𝑥2 − 4 = f) 0,01 − 25𝑛4𝑚10 = b) 𝑥4 − 36 = g) 2,25𝑥2𝑦6 − 1,69𝑎4 =

c) 4

9𝑎2 − 𝑏2 = h) 25𝑥8 −

4

49𝑦6 =

d) 1 − 𝑚6 = i) 0,4𝑥4 − 1 = e) 𝑥6 − 100 = j) 𝑥2𝑦2 − (𝑥2 + 𝑦2)2 = 6. Binomio de potencias de igual grado a) 𝑥7 − 1 = f) 𝑥6 + 1 =

b) 𝑥5 −1

243= g) 𝑚4 −

1

16=

c) 𝑎3 − 8 = h) 𝑥3 − 𝑎3 = d) 𝑚5 + 32 = i) 27𝑚3 + 8 = e) 𝑥3 + 0,001 = j) 𝑎3 + 𝑏3 = 7. Caso especial a) 𝑥2 + 4𝑥 + 3 = f) 3𝑥2 + 11𝑥 − 4 = b) 2𝑥2 − 4𝑥 − 30 = g) 𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6 = c) 𝑥2 − 2𝑥 − 15 = h) 𝑥3 − 3𝑥 + 2 = d) 𝑥2 + 3𝑥 − 4 = i) 3𝑥3 − 12𝑥2 + 3𝑥 + 18 =



27

e) 2𝑥2 − 7𝑥 + 3 = j) −4𝑥3 + 7𝑥 − 3 = 8. Factorea, indicando el caso aplicado:

a) 𝑚6 −25

144𝑎2𝑏4 = f)

8

27𝑏3 − 2𝑏2 +

9

2𝑏 −

27

8=

b) 2𝑥2 + 𝑥 − 3 = g) 9𝑥2 − 6𝑥𝑚2 + 𝑚4 = c) 𝑎4 − 2𝑎2𝑏3 + 𝑏6 = h) 4𝑥2 − 11𝑥 − 3 =

d) 8𝑚3 − 4𝑚2 +2

3𝑚 −

1

3= i)

1

25𝑥2𝑦3 −

2

5𝑥4𝑦2 +

3

5𝑥𝑦4 =

e) 𝑥9 − 1 = j) 𝑎5 + 𝑏5 = 9. Normaliza y luego factorea:

a) 3𝑥2 −27

25= e)

−𝑥3+27

3=

b) −4𝑥2 + 20𝑥 − 25 = f) 2𝑥3 − 9𝑥2 +27

2𝑥 −

27

4=

c) 16𝑥5 −1

2= g)

1

2𝑥2 + 5𝑥 +

25

2=

d) 7

4𝑥2 −

4

7= h) −

1

3𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 −

8

3=

10. Casos combinados a) 4𝑥4 + 108𝑥 = h) 𝑎3𝑚2 − 𝑚2 + 𝑎3𝑛 − 𝑛 = b) 9𝑥2𝑚2 + 4𝑚2 + 12𝑥𝑚2 = i) 𝑥2𝑦2 + 𝑥2 − 6𝑥𝑦2 + 9𝑦2 − 6𝑥 + 9 =

c) 𝑎3 − 2𝑎2 − 9𝑎 + 18 = j) 2𝑥5 + 3𝑥4 − 2𝑥 − 3 =

d) 1

2𝑥4 − 3𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥 = k)

3

4𝑎2𝑥2 − 3𝑎2𝑥𝑦 + 3𝑎2𝑦2 =

e) 6𝑥4 − 3𝑥3 − 24𝑥2 + 12𝑥 = l) 8𝑥 − 8𝑦 + 4𝑏𝑥 − 4𝑏𝑦 =

f) 𝑚8 −1

32𝑚3 = m)

𝟏

𝟐𝑥4 − 6𝑥3 + 24𝑥2 − 32𝑥 =

g) 4𝑎3𝑏 − 4𝑎𝑏3 = n) 8𝑚3 + 4𝑚2𝑛 − 2𝑛2𝑚 − 𝑛3 =



28



29


1. Factorea indicando el caso aplicado: a) 16𝑎4 − 81𝑏4 = b) 𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 = c) 3𝑚𝑥4 + 5𝑥4 − 20 − 12𝑚 = 2. Factorea, aplicando el caso especial: a) 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 =

b) 2𝑥2 + 𝑥 − 6 = c) 2𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 + 2 =

3. Normaliza y luego factorea:

a) 2𝑥2 + 𝑥 +1

8= b) 3𝑥2 −

1

3=

4. Escribe un polinomio que se factoree combinando los siguientes casos: a) primero y sexto b) segundo y quinto c) primero y cuarto



30



31



32



33

UNIDAD Nº 4: FUNCIÓN CUADRÁTICA

1. Haz un gráfico aproximado de una función cuadrática cbxaxy 2 sabiendo

que:

a)

0

0

0

c

b

a

b)

0

0

0

c

b

a

c)

0

0

0

c

b

a

d)

0

0

0

c

b

a

e)

0

0

0

c

b

a

2. Grafica las siguientes funciones, calculando e indicando en cada caso: raíces, vértice, eje de simetría y ordenada al origen.

a) 22 xxy b) 322 xxy c) 862 xxy

d) 542 xxy e) 12123 2 xxy f) 273 2 xxy

3. ¿En qué forma está expresada cada función cuadrática? ¿Qué significan los distintos parámetros en cada una? Pasa cada ecuación a las demás formas conocidas.

a) 342 xxy b) 322

1 xxy c) 232

2 xy

d) 9124 2 xxy e) 412 xy f) 3

2

52

xxy

g) 344

3 2 xy h) 3

4

14

xxy i) 322 xxy

4. Calcula el discriminante de la función cbxaxxf 2)( y marca con una cruz

donde corresponda:

a b c Δ Raíces reales

distintas

Raíces reales iguales

Sin raíces reales

1 4 4



34

5. Escribe las siguientes funciones en la forma más conveniente, de acuerdo a los datos:

a) El vértice es 2;3 y pasa por el punto 1;0

b) Corta al eje X en 0;1 y 0;4 y pasa por el punto

6

5;4

c) La suma de las raíces es 6

5 , su producto es 1 y 12a

d) Las raíces son 5

21 x ,

2

12 x y la ordenada al origen es 1 .

e) Las raíces suman 3 , el producto de ellas es 2 y 4b

6. Escribe la forma polinómica de las siguientes funciones, teniendo en cuenta los datos del gráfico:

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y

1 3 4

2 22 1

1 0 3

3 6 33



35

ECUACIÓN CUADRÁTICA

7. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a) 3231 22 xxxx

b) xxxx2

1102

2

11

c) 11241 2 xxxx

d) 062 2 xx

e) 223

2325

xxx

f) 06,04,02,0 2 xx

g) 185,022 2 xxxxx

h) 462 2 xxxx

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2


MATEMÁTICA CICLO ORIENTADO

36

8. Plantea y resuelve los siguientes problemas:

a) ¿Cuál es el número, distinto de cero, que sumado a su cuadrado es igual a su cuádruple? b) ¿Cuál es el número tal que la suma entre dicho número y el cuadrado de su consecutivo sea 56? c) Calcula la edad de Lorena sabiendo que el cuadrado de su edad menos las tres cuartas partes del cuadrado de la edad que tendrá el año siguiente es igual a la edad que tenía el año pasado más 43 años. d) Mariano tiene 3 CDs más que Diego y si multiplicamos ambas cantidades obtenemos 1.258. ¿Cuántos CDs tiene cada uno? e) Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos miden

cmx 3 y cmx 4 y su hipotenusa es de cmx 5 f) Calcula la medida de cada lado de un rectángulo si su superficie es de 84 cm2 , su ancho es cmx 7 y su largo, cmx 32 . g) Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función

22000.1)( zzzI , donde z es la cantidad de zapatos que fabrica en el mes. Realiza

el gráfico aproximado de la función y responde: a) ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso? b) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos? ¿Y 375 pares? c) ¿A partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdidas? h) El costo total de producir q paquetes de yerba está dado por la siguiente

función: 25500.1000.100 qqC . ¿Cuántos paquetes de yerba deberán

fabricarse a los efectos de minimizar el costo total? i) Una empresa dedicada a la venta de productos por catálogo considera que las utilidades que se obtengan dependen de que existan más vendedores por zona, ya que así se incrementaría el nivel de ventas. La función de beneficios es:

500.160015 2 xxB , donde x es el número de vendedores asignados por zona. ¿Cuántos vendedores harán máximo el beneficio? ¿Cuál es la utilidad máxima esperada?

9. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones en forma analítica y gráfica:

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 − 3 𝑔(𝑥) = −2𝑥 + 2

b) ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 12 𝑗(𝑥) = 2𝑥 − 13

c) 𝑡(𝑥) = −𝑥2 − 4𝑥 + 12 𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 6

10. Calculen las dimensiones de un rectángulo, cuyo perímetro es de 50 cm, para que su área sea máxima.



37

11. La suma del cuadrado de un número entero y el cuadrado del duplo del consecutivo es 232. ¿Cuál es el número?

12. Calcular la diagonal de un rectángulo sabiendo que la base es igual a las tres cuartas partes de la altura y que el área es 48.

13. Calcular el perímetro de un rectángulo cuya área es 168, sabiendo que la diferencia entre la base y la altura es 2.

14. Calcular la altura de un triángulo de 270.75 de área, sabiendo que la medida de su altura es igual a las dos terceras partes de la medida de la base.

15. El área y el perímetro de un rectángulo son respectivamente 189 y 57. Calcular la longitud de su diagonal.

16. Calculen el o los valores de k para los cuales las siguientes funciones tienen dos raíces reales iguales.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑘𝑥 + 𝑘 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + (𝑘 − 1). 𝑥 − 𝑘

17. Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función 𝐼(𝑧) = 1000𝑧 − 2𝑧2, donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes. Realicen el gráfico aproximado de la función y respondan. a) ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso? b) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos?¿y 375 pares? c) ¿A partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdidas? 18. Si la diferencia entre dos números es 6, ¿cuáles deben ser los números para obtener el menor producto? ¿Cuál es ese producto? 19. En una isla se introdujeron 112 iguanas. Al principio se reprodujeron rápidamente, pero los recursos de la isla comenzaron a escasear y la población decreció. El número de iguanas a los t años de haberlos dejado en la isla está dado por:

𝐼(𝑡) = −𝑡2 + 22𝑡 + 112 (𝑡 > 0) Calculen:

a) La cantidad de años en los cuales la población de iguanas aumentó. b) ¿En qué momento la población de iguanas se extingue?

20. Reconstruye la ecuación de 2º grado en cada caso:

a) 2

5

3

121 xx b)

2

31 21 xx c) 5

2

1321 xx



38


1. Grafica las funciones indicando raíces, vértice, ordenada al origen y eje de simetría:

a) 2

542 2 xxy b) 442 xxy

2. Expresa cada función en todas las formas posibles:

a) 1132 2 xxy b) 4142 xy

c) 312

1 xxy

3. Escribe la ecuación polinómica de una parábola cuyo vértice es 6;0 y

sabiendo que el punto 0;3 pertenece a ella.

4. Escribe la ecuación canónica de una parábola sabiendo que la suma de sus raíces es 8 y el producto, 15 y que corta al eje de las ordenadas en el punto 15;0

5. Escribe la ecuación polinómica de una parábola sabiendo que el punto 10;3

pertenece a ella y que sus raíces son 21 21 xx .

6. Completa el cuadro:

Polinomio Polinomio factorizado Raíces

4.2.2 xxxxP

-3,1,0

1682 xxxQ



39



40



41

UNIDAD Nº 5: NÚMEROS REALES 1. Resuelve aplicando la mayor cantidad posible de propiedades: a) (𝑎. 𝑎2)3: 𝑎7 = b) (𝑥5)3: (𝑥. 𝑥)2 = c) (𝑎2. 𝑏3)4: (𝑎. 𝑏)−2 =

d) √√643

= e) √(𝑎 + 𝑏)126= f) √5. √2. √10 =

g) √1

7

3: √49

3= h) √ √𝑥30103

= i) √𝑎3. √𝑎. √𝑎4 =

j) 31

2. 3−2. 32

5. 3 = k) (32 1

2)

4

5= l) 𝑥

2

5 ∶ 𝑥 3

5 =

2. Expresa cada radical como potencia de exponente fraccionario:

a) √5 = b) √𝑥4 = c) √725= d) √𝑎128

= 3. Escribe como radical:

a) 8 1

2 = b) (1

4)

− 3

2= c) 8−

1

3 = d) (−1

4)

3

2=

4. Representa los siguientes radicales en la recta numérica:

a) √5 b) √6 c) √7 d) √21 5. Extrae factores fuera del signo radical:

a) √320 = b) √1353

= c) √9𝑎2𝑏6𝑐7 =

d) √44𝑎𝑥2 = e) √128𝑎5𝑏33= f) √0,064 𝑥11 =

g) √81 𝑚11𝑛16

125

3= h) √

32 𝑥10

𝑦20

4=

6. Introduce factores dentro del signo radical:

a) 2𝑏3√𝑏 = b) 𝑎2𝑏3 √𝑥3

= c) 2𝑎2 √5

𝑎

3 = d) (𝑏 + 2)√

1

𝑏2−4=



42

7. Suma o resta los siguientes radicales:

a) 8√23

− 7 √23

+ 5√23

= b) 6√4𝑥5

+4

3√4𝑥5

−1

2√4𝑥5

=

c) 2√𝑥3

− 3√𝑥5

+ 2√𝑥5

− √𝑥3

= d) 2√24 + √54 + 2√18 − 5√6 =

e) √9𝑥 − √25𝑥 + √49𝑥 = f) 3√8 − 4√18 + 7√50 − √32 =

g) 2𝑎 √𝑎48− 3𝑎 √𝑎36

+ 9√𝑎3 = h) 4√27 −1

2√75 + √108 =

i) √6253

− √813

+ 2√403

+ 3√33

= j) 5 √16𝑚103− 𝑚2 √54𝑚43

+ 𝑚 √128𝑚73=

8. Multiplica o divide los siguientes radicales:

a) √𝑥 𝑦23 . √𝑥2𝑦35= b) √𝑥 𝑦54

: √𝑦23 =

c) √4𝑎. √4𝑎24. √16𝑎316

= d) (−210√𝑎2𝑚3

): (70√𝑎−1𝑚) =

e) 7√𝑥25∙

1

3√𝑥 𝑦23 ∙ 6√𝑥𝑦 = f)

√9𝑥3

√27𝑥24 =

g) 1

8√𝑎 𝑏35

. (−√𝑎3𝑏−24). √8𝑎−1 𝑏

8= h) √8𝑥1312

: √2𝑥34=

i) 2

3√8𝑚2 .3√12 𝑚

3 .

1

6√9𝑚24

= j) √4

5 𝑧

10∙ √0,4 𝑧 ∙ √0,01 𝑧24

=

9. Resuelve las siguientes operaciones combinadas con radicales:

a) (√6 − √2) ∙ (√3 + 1) ∙ 2 =

b) √23

. √163

− 2 . 2 2

3 =

c) √3(√6 − √2)2

− √12 =

d) (2 − √5)2

− 2√10√18 − 8 1

3 =

e) (2

5√273

+1

2√42 +

1

10√263

) : √2 =

f) (√5 + 2)(√5 − 2) − √20 + √8(−3√10) =



43

g) 51

2 + (−√5)3

−2√15

√3+ √7. √35 =

h) 6√2 . 3√23

− 4 √326

+ (10√43

) ∶ 2− 1

6 =

i) √3(−5√3 + 3√2) +√6

2− (2√3 + √2)(2√3 − √2) =

j) 36 1

2 + (√3 + √2)2

− (3

4 √42) ∶ (

1

12 √7) =

k) √𝑥23

. 𝑥12

√√𝑥53 = l) √𝑥 √𝑥 √ 𝑥 =

10. Racionaliza:

a) 2𝑎

√24 = b)

𝑥

√𝑥= c)

𝑥

√𝑥75 =

d) 5

√27= e)

√2𝑥

√2𝑥3 = f)

5ℎ

2 √ℎ3 =

g) √93

√3753 = h)

√3

2+√3= i)

1

√2+√3=

j) 1+√2

2+√2= k)

3

3−√5= l)

7−√5

3+√5=

m) 2√15

√5−√3= n)

√𝑎𝑏

√𝑎+√𝑏= ñ)

√𝑥

𝑥−√𝑥=

11. Racionaliza y luego resuelve:

a) 8

√2+ √98 = b)

9

√3+ √300 = c) 3√63 −

14

√7=

d) √2

3−√2+

1

3+√2= e)

1

√2+

1

√5−

1

√5−√2= f) (

√2

√2+√3)

2

=

12. Resuelve los siguientes ejercicios y racionaliza el resultado si es necesario:

a) 2√2

2+√2+ 6√8

6− 3√18 + 16

1

2 = b) (√2+3)

2. (√2−1)

2

√2=



44

c) 4√3−√3

2√2.√24−√2.√6−3√3= d) [

(√3−1)2

2+√3] : (

1

2)

−1

=

e) √2+

1

2√2−√8

√23

+ √543 =

13. Plantea y resuelve los siguientes problemas:

a) La superficie de un triángulo equilátero es √20 𝑐𝑚2 y la altura,√5 𝑐𝑚. ¿Cuál es su base y su perímetro? b) abcd rombo

𝑎𝑜̅̅ ̅ = 2√2 𝑐𝑚

𝑑𝑜̅̅̅̅ = 2√3 𝑐𝑚 Calcula el perímetro. c) abcd rectángulo

𝑏𝑐̅̅ ̅ = √6 𝑐𝑚

𝑏𝑑̅̅̅̅ = 2√6 𝑐𝑚

Calcula el perímetro y el área de la figura

b

c

o d

a

a b

c d



45

EJERCICIOS DE REPASO 1. Resuelve aplicando propiedades de la potenciación:

a) √𝑥5 3

. (𝑥2)−1: 𝑥−3 = b) (𝑚3.ℎ5)

5. 𝑚2

(𝑚2. ℎ3)4 =

2. Extrae factores fuera del signo radical:

a) √32𝑎4𝑏21 = b) √81𝑥14

𝑦15 3

=

3. Resuelve:

a) 1

2√12 −

1

3√18 + √2 + 5√0,02 =

b) (√4𝑥3

. √2𝑥): √8𝑥2 6

=

c) 91

4 + √3(2 − √3) − (9√27): (3√3) =

d) (√3+1)

2

√27=

e) (3

√5−1)

2

∙ (2

√5+1)

2

=

4. Racionaliza:

a) 2𝑥

3 √4𝑥25 = b) 2√2

3−√18=

5. Escribe un ejercicio combinando al menos tres operaciones diferentes, formado por tres términos y cuyo resultado sea:

a) 4√7 + 5 b) −1

2√3



46



47



48



49

UNIDAD Nº 5: NÚMEROS COMPLEJOS 1. Representa gráficamente los siguientes complejos: a) 𝑧1 = 2 + 3𝑖 b) 𝑧2 = 𝑖 c) 𝑧3 = (5; 0) d) 𝑧4 = (0; −3) e) 𝑧5 = −5 − 2𝑖 f) 𝑧6 = 5 − 2𝑖 2. Halla el valor de las siguientes raíces:

a) √−25 = b) √−8 = c) √−12 = d) √−5 = 3. Halla los valores reales de x e y que verifiquen las siguientes igualdades:

a) (2𝑥 ; 𝑦 + 2) = (4 ; −1) b) (−1

2𝑥 + 3 ; −𝑦 +

1

4) = (0 ; 1)

c) (3𝑥 − 1) + (1 − 𝑦)𝑖 = 2 + 3𝑖 d) (2𝑥 − 5)𝑖 − 4𝑦 + 1 = 3 − 𝑖

e) 2𝑥 + (3𝑦 + 5)𝑖 = 8 + (3 + 𝑦)𝑖 f) 2𝑥 + 2𝑦𝑖 = (𝑥 + 3) +1

2𝑖

4. Halla el módulo y el conjugado de cada número complejo: a) 𝑧1 = 12 + 5𝑖 b) 𝑧2 = 3 − 𝑖 c) 𝑧3 = −4 − 2𝑖

d) 𝑧4 = √2 − √6𝑖 e) 𝑧5 = 6𝑖 f) 𝑧6 = 3 + √5𝑖 5. Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones: a) (−9; 18) + (8; −2) = b) (−4; 3) − (−2; −3) = c) (−8 + 9𝑖) + (6 − 11𝑖) = d) (4 − 7𝑖) − (−2 + 3𝑖)

e) (1

2+ 2𝑖) + (−

1

3+ 4𝑖) − (

1

2− 2𝑖) = f) (1 − 3𝑖) − (2 −

1

2𝑖) + (

1

2− 𝑖) =

6. Calcula las siguientes potencias: a) 𝑖14 = b) 𝑖523 = c) 𝑖116 = d) 𝑖218 = e) (2 − 6𝑖)2 = f) (1 + 2𝑖)3 = g) (1 − 𝑖29)2 = h) (2 + 𝑖35)3 =



50

7. Resuelve las siguientes multiplicaciones: a) (8 + 2𝑖). (−3 + 𝑖) = b) (5 − 4𝑖). (−3 − 𝑖) =

c) (4; 6). (−2; 3) = d) (√3 + 𝑖). (2√3 + 4𝑖) =

e) (√5 − 𝑖). (√5 + 𝑖) = f) (1

2+ √3𝑖) . (

1

2− √3𝑖) =

8. Resuelve las siguientes divisiones:

a) 4+2𝑖

4−2𝑖= b)

2+𝑖

3−2𝑖= c)

5+3𝑖

1+4𝑖= d)

√6−√10𝑖

√3+√2𝑖=

9. Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

a) (6−2𝑖).(5+3𝑖)

2+2𝑖= b)

3+2𝑖

𝑖+ (6 − 𝑖)2 − 3𝑖2 =

c) (3𝑖50−2𝑖23)

2

2−3𝑖= d) (

5

6∙

6−12𝑖

1+2𝑖)

2

=

e) (−2+2𝑖)2−(5−𝑖)

1−(−2+2𝑖)= f) (−1 − 3𝑖)2 − (3 + 𝑖) ∙ (−2 + 2𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) =

g) (−2+2𝑖)∙(1−2𝑖)−(5−𝑖̅̅ ̅̅ ̅)

(−1−3𝑖)−(3+𝑖)= h)

𝑖−2+|3+4𝑖|−𝑖4−(8𝑖−5)

1+𝑖=

10. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) −2𝑥2 − 24 = 0 b) 𝑥2 + 2𝑥 + 2 = 0 c) (2𝑥 + 1)2 = −9 d) 𝑧 + 𝑖 = 4 + 𝑧𝑖 + 3𝑖 e) 2𝑧 − 3𝑖 + 1 = 𝑧𝑖 − 2 f) 2𝑥 − (𝑦 + 𝑥)𝑖 − 𝑦 = 4 − 2𝑖 g) 3𝑥 + 4𝑖 + 𝑦 = 2𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 + 1 h) 3𝑥𝑖 − 2(𝑥 − 3𝑦) + 𝑦𝑖 = 1

i) −𝑖 +1

2𝑥 − 4𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 + 𝑦 − 2 j) 𝑧2 + 3𝑖𝑧 + 4 = 0



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1. Expresa 𝑧 = √3 + √5𝑖 en forma cartesiana, grafícalo, escribe su conjugado y calcula su módulo 2. Resuelve: a) (1 − 2𝑖) ∙ (3 + 𝑖) − (−4 + 3𝑖) ∙ (−2 + 5𝑖) =

b) (1−2𝑖)2

(5−𝑖)+(−2+2𝑖)=

c) [(3 + 𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ) − (1 − 2𝑖)]3 − (−4 − 3𝑖) =

d) (−2+5𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)−(3+𝑖)

(1−2𝑖)−(4+3𝑖)=

3. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 𝑥2 − 4𝑥 + 13 = 0 b) 𝑧 − 2𝑖 − 3 = 4 − 𝑧𝑖 c) −2𝑦𝑖 + 4𝑦 = 𝑥 − 𝑥𝑖 − 1



52



53

HISTORIA DEL ÁLGEBRA De los números a las letras Se suele pensar que el álgebra comienza cuando se empiezan a utilizar letras para representar números. En realidad la utilización de letras dentro del ambiente matemático es muy vieja. Los griegos escribían los números mediante las letras de su alfabeto: α era 1, β era 2, γ era 3, δ era 4… La numeración romana también utilizaba letras: I, V, X, L, C, M. Pero, en ambos casos, cada letra representaba un número bien determinado. El álgebra comienza, en realidad, cuando los matemáticos empiezan a interesarse por las operaciones que se pueden hacer con cualquier número, más que por los números mismos. Ese cualquier número se representa con una letra y se da, así, el paso de la aritmética, que se interesa por los números concretos, al álgebra. En un principio, las operaciones generales con números cualesquiera se describían con un montón de palabras: ¿Cuánto vale la cosa que, si se triplica y se le añade diez, vale el cuadrado de la cosa? Por el uso de la palabra se le llamó álgebra retórica. Luego, los matemáticos se inventaron una especie de taquigrafía para decir lo mismo, pero en menos espacio: tres veces cosa más diez, es cosa por cosa. ¿Cuánto es la cosa? Se inició así el período del álgebra sincopada, es decir abreviada. La cosa, era el término técnico para la incógnita. Hacia el siglo XVI, los matemáticos ya se habían dado cuenta de que sería mejor tener símbolos para la cosa buscada, es decir, para la incógnita (x) y para los números que intervenían en las ecuaciones cuando no importaba qué números concretos debían ser. En esta época (del álgebra simbólica) el problema anterior ya se expresaba así: ¿Cuánto es 𝑥 si 3𝑥 + 10 = 𝑥2

? Al darse cuenta de que el método para resolver una ecuación como esta sirve igual si, en lugar de 3 y 10, hay otros números cualesquiera, el problema tomó la forma más abstracta: Hallar 𝑥 tal que 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑥2. El comienzo del álgebra: los árabes. El álgebra es, sobre todo, una invención de los árabes, y su expansión hacia Europa en el siglo XII, tuvo lugar gracias al trasvase de cultura que se desarrolló en la península Ibérica hacia este período. Harun al-Rashid, el sultán de Bagdad que aparece en Las Mil y un Noches, fue un gran protector de las ciencias y de las letras, como también su hijo, Al-Mamun. Durante el reinado de este, en el siglo IX, vivió en Bagdad el mejor matemático de la época, Al-Khowarizmi, que escribió, hacia el año 825, una obra titulada Aljabr w’al muqabalah (Ciencia de la restauración y oposición) y que constituía el primer tratado de álgebra. Esta obra fue traducida al latín hacia 1140 por el sevillano Juan de Luna (Johannes Hispaliensis) y, un poco más tarde, por un italiano Gerardo de Cremona, quien vino a



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Toledo para aprender árabe y hacerse así capaz de leer las obras sobre astronomía y otras matemáticas de los árabes. Toledo: centro de la ciencia. Durante los siglos del X al XII, Toledo fue para la ciencia europea el centro fundamental de atracción. Gerberto, el Papa más cultivado científicamente en la historia de la Iglesia, llegó a ser, tal vez, el hombre más culto de su tiempo y, antes de ser Papa, fue enviado a España, a finales del siglo X, para completar su formación. En el siglo XIII, Alfonso X el Sabio instituyó en Toledo la Escuela de Traductores, desde donde la ciencia griega y árabe se esparcen por toda Europa. Los italianos El principal tratado del siglo XIII sobre álgebra fue el Liber quadratorum (1225) de Fibonacci, fuertemente influido, también, por la cultura árabe. Ya en el Renacimiento del siglo XVI, los nombres más importantes son los del italiano Girolamo Cardano –con su Ars Magna (1545), obra que hace época en el desarrollo del álgebra- y el francés Francois Vieta, hombre de leyes que se dedicó como aficionado a las matemáticas con gran éxito. Fue este quien dio el paso decisivo de representar números arbitrarios por letras en las ecuaciones y fórmulas algebraicas. El álgebra y la geometría El álgebra del Renacimiento (siglo XVI), comenzó estudiando a fondo ecuaciones tales como 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, o como 𝑥3 + 𝑝𝑥 = 𝑞. Su gran triunfo, en este período, consistió en obtener una fórmula de resolución de esta última ecuación: la ecuación cúbica. El progreso del álgebra allanó el camino para que Descartes, en 1637, combinase de modo genial geometría y álgebra para tratar, con éxito, muchos problemas geométricos difíciles planteados por los griegos del siglo III a. C. (Euclides, Apolonio, …): su nueva herramienta fue la geometría analítica. Gracias a ella, el álgebra, la geometría y, un poco después (a fines del siglo XVII), el análisis matemático, progresaron rápidamente. M de Guzmán- J. Colera – A. Salvador Matemáticas -Bachillerato 1 - Grupo Anaya S.A, 1987



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LA MATEMÁTICA Y LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA Pitágoras vivió entre los años -572 y -500, es decir, en el siglo VI a.C. Nació en la isla de Samos, de donde huyó durante el reinado del tirano Polícrates; se estableció en Crotona y allí fundó su “Hermandad pitagórica”, una escuela filosófica-matemática, de carácter secreto. El principio básico de esta especie de secta era “todo es número”, ya que trataban de explicar todo lo que ocurría en el universo sobre la base del concepto de número. Los integrantes de la escuela de Pitágoras se reconocían entre sí mediante un símbolo secreto: la estrella de cinco puntas, que se obtiene trazando las diagonales de un pentágono regular. Relacionado con esta figura que los identificaba, descubrieron que si dividían la diagonal de cualquier pentágono regular, independientemente de su tamaño, por la

longitud de su lado, obtenían siempre el mismo número, cuyo valor exacto es (√5 + 1): 2.

𝐷

𝐿= Φ

Habían encontrado el llamado número de oro, al que nosotros llamamos “phi”, en honor al escultor Fidias, que tanto lo utilizó, y representaremos con la letra griega Φ, la inicial del nombre “Phidias”, en griego. Hasta entonces, todos los números conocidos podían expresarse como un cociente entre dos números enteros, siendo el segundo distinto de cero (fracciones)… pero con el número Φ no ocurría lo mismo. Lo mismo sucedió cuando uno de sus discípulos halló la longitud de la diagonal de un

cuadrado, cuyo lado era igual a una unidad. Dicha diagonal medía √2 unidades y este número no se podía expresar como fracción. El descubrimiento de estos números era inexplicable para ellos, atentaba contra su propia concepción del mundo; por eso decidieron ocultarle a la sociedad que habían descubierto un nuevo tipo de números: los números irracionales. Aunque éste no fue el único hallazgo de esta genial escuela de Pitágoras: también se le atribuye la demostración del famoso teorema que lleva su nombre (referido a los triángulos rectángulos) y la creación de la escala musical moderna, relacionando, así, la Matemática con la Música. Mariana Aragón y otros Matemática. Carpeta de Actividades. Entender. Ed Estrada. 2008.

L

D



56

EL HOMBRE QUE CALCULABA (…) Cerca de un viejo albergue de caravanas medio abandonado, vimos tres hombres que discutían acaloradamente junto a un hato de camellos. (…) –Somos hermanos, explicó el más viejo, y recibimos como herencia 35 camellos. Según voluntad expresa de mi padre, me corresponde la mitad; a mi hermano Hamed Namir, una tercera parte y a Harim, el más joven, sólo la novena parte. No sabemos, sin embargo, cómo efectuar la partición, y a cada reparto propuesto por uno de nosotros sigue la negativa de los otros dos. Ninguna de las particiones ensayadas hasta el momento nos ha ofrecido un resultado aceptable. Si la mitad de 35 es 17 y medio, si la tercera parte y también la novena de dicha cantidad tampoco son exactas, ¿cómo proceder a tal partición? -Muy sencillo, dijo el Hombre que Calculaba. Yo me comprometo a hacer con justicia ese reparto, mas antes permítanme que una a esos 35 camellos de la herencia este espléndido animal que nos trajo aquí en buena hora. (…Acá le pide al amigo su único camello. El amigo protesta, porque se quedarán a pie, pero finalmente se lo cede) -Amigos míos, dijo, voy a hacer la división justa y exacta de los camellos, que como ahora ven, son 36. Y volviéndose al más viejo de los hermanos, habló así: -Tendrías que recibir, amigo mío, la mitad de 35, esto es 17 y medio. Pues bien, recibirás la mitad de 36 y, por lo tanto, 18. Nada tienes que reclamar, puesto que sales ganando con esta división. Y dirigiéndose al segundo heredero, continuó: -Y tú, Hamet, tendrías que recibir un tercio de 35, es decir, 11 y poco más. Recibirás un tercio de 36, esto es, 12. No podrás protestar, pues también sales ganando en la división. Y por fin dijo al más joven: -Y tú, joven Harin Namir, según la voluntad de tu padre, tendrías que recibir una novena parte de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro. Sin embargo, te daré la novena parte de 36, o sea, 4. Tu ganancia será también notable y bien podrás agradecerme el resultado. Y concluyó con la mayor seguridad. -Por esta ventajosa división, que a todos ha favorecido, corresponden 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado de 34 camellos. De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos. Uno, como saben, pertenece al bagdadí, mi amigo y compañero; otro es justo que me corresponda, por haber resuelto a satisfacción de todos el complicado problema de la herencia. (…Y los tres hermanos aceptan el reparto propuesto, y se van él y su amigo cada uno en un camello)”. Malba Tahan El hombre que calculaba. 2006



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CASO ESPECIAL: DESCOMPOSICIÓN DE UN POLINOMIO SEGÚN SUS RAÍCES.

Para aplicar este caso es necesario saber cuáles son las raíces del polinomio. Por lo tanto, en primer lugar, estudiaremos cómo encontrar las raíces de un polinomio. Para ello enunciaremos el Teorema de Gauss y la Fórmula resolvente de Baskara. Teorema de Gauss:

El teorema de Gauss afirma que si una fracción irreducible 𝒑

𝒒 es raíz de un polinomio con

coeficientes enteros y término independiente no nulo, entonces p divide al término independiente y q divide al coeficiente principal. Este teorema permite, entonces, buscar las posibles raíces racionales de polinomios con esas características. Ejemplo: Sea 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 + 8𝑥2 + 𝑥 − 3 : Posibles valores de p (divisores de −3): 1 ; −1 ; 3 y −3 Posibles valores de q (divisores de 4): 1 ; −1 ; 2 ; −2 ; 4 y −4

Posibles raíces 𝒑

𝒒 : 1 ; −1 ;

1

2 ; −

1

2 ;

1

4 ; −

1

4 ; 3 ; −3 ;

3

2 ; −

3

2 ;

3

4 ; −

3

4

Para saber si alguno de estos valores es raíz de 𝑃(𝑥), se calcula el valor numérico de 𝑃(𝑥)

para 𝑥 =𝑝

𝑞 .

Por ejemplo: 𝑃(1)= 4. 13 + 8. 12 + 1 − 3 = 4 + 8 + 1 − 3 = 10 → 𝒙 = 𝟏 no es raíz de 𝑷(𝒙) 𝑃(−1)= 4. (−1)3 + 8. (−1)2 + (−1) − 3 = −4 + 8 − 1 − 3 = 0 → 𝒙𝟏 = −𝟏 es raíz de 𝑷(𝒙)

Una vez encontrada una raíz se puede seguir probando con los demás números 𝑝

𝑞 de la

lista, pero es más conveniente “bajar el grado” del polinomio antes de seguir buscando las raíces. ¿Qué significa esto? Como 𝑥 = −1 es raíz, 𝑃(𝑥) es divisible por (𝑥 + 1); al hacer la división, con la regla de Ruffini, el cociente obtenido 𝐶(𝑥) tiene un grado menos y entonces 𝑃(𝑥) puede escribirse así: 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1). 𝐶(𝑥) 𝟒 𝟖 𝟏 − 𝟑 −1 − 4 − 4 3 4 4 − 3 0 → 𝐶(𝑥) = 4𝑥2 + 4𝑥 − 3 → 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1). (4𝑥2 + 4𝑥 − 3)



58

Como las raíces de 𝐶(𝑥) también son raíces de 𝑃(𝑥), se continúa buscando las raíces de

𝐶(𝑥), pues así la “lista” de valores 𝑝

𝑞 suele reducirse.

Cuando el polinomio 𝐶(𝑥) al que se llega es de segundo grado, se pueden buscar las raíces usando la fórmula resolvente de Baskara que se explica a continuación: Fórmula resolvente de Baskara: Una ecuación cuadrática completa tiene la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 siendo a, b y c distintos de cero. Una manera de resolver estas ecuaciones es aplicar la fórmula resolvente de Baskara:

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Por ejemplo: Si se quieren encontrar las raíces de la ecuación 4𝑥2 + 4𝑥 − 3 = 0, se aplica Baskara de la siguiente manera:

𝑥1,2 =−4±√42−4.4.(−3)

2.4 𝑥1,2 =

−4±√16+48

8 𝑥1,2 =

−4±√64

8

𝑥2 = −3

2

𝑥1,2 =−4±8

8

𝑥3 =1

2

¿Cómo factorear un polinomio por el caso especial? Para factorear un polinomio de grado n con coeficientes enteros y término independiente no nulo, primero se buscan las raíces, usando el teorema de Gauss y la fórmula de Baskara. El polinomio se escribe entonces como el producto de su coeficiente principal por factores de la forma (𝑥 − 𝑥𝑛) en los cuales 𝑥𝑛 es el valor de cada raíz encontrada. En general: 𝑃(𝑥) = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2) … (𝑥 − 𝑥𝑛) En el ejemplo: 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 + 8𝑥2 + 𝑥 − 3

𝑃(𝑥) = 4. (𝑥 + 1). (𝑥 −1

2) . (𝑥 +

3

2) pues las raíces son 𝑥1 = −1 𝑥2 = −

3

2 𝑥3 =

1

2

Algo más acerca de las raíces de un polinomio: Todo polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces. Puede suceder que esas raíces sean distintas o iguales. Si las raíces “se repiten”, es decir, hay raíces iguales, se dice que dicha raíz es múltiple. Si no, es simple. Si un polinomio tiene una o más raíces múltiples, en su factorización aparecerán factores repetidos, entonces se usa la potenciación. Ejemplo: Sea 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 − 3



59

1º) Aplicando el teorema de Gauss las posibles raíces son: −1 , 1 , − 3 , 3 Probamos con 𝑥 = −1: 𝑃(−1) = (−1)3 − (−1)2 − 5. (−1) − 3 𝑃(−1) = 0 → 𝑥1 = −1 es raíz de P(x) 2º) Dividimos P(x) por (𝑥 + 1): 𝟏 − 𝟏 − 𝟓 − 𝟑 −1 − 1 2 3 1 − 2 − 3 0 → 𝐶(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 3º) Buscamos ahora las raíces de 𝐶(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 con la fórmula de Baskara:

𝑥2,3 =−(−2)±√(−2)2−4.1.(−3)

2.1 𝑥2,3 =

2±√4+12

2 𝑥2,3 =

2±√16

2

𝑥2 = −1

𝑥2,3 =2±4

2

𝑥3 = 3 Como vemos la raíz 𝑥1 = −1 está repetida, entonces es raíz múltiple (de multiplicidad 2). 4º) El polinomio factoreado es: 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 − 3 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 3). (𝑥 + 1)2



60

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R) El conjunto de los números reales (R) está formado por los números racionales (Q) y los irracionales (I). Los reales se grafican sobre una recta denominada recta real. A cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa, esto significa que con los números reales se completa la recta numérica (que no completan los racionales).

Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente entre dos números enteros, el segundo de ellos no nulo. Existen dos maneras de escribir un mismo número racional: como fracción o en forma decimal; ambas designan exactamente el mismo número. La expresión decimal de un número puede tener una cantidad finita de cifras decimales significativas (decimal exacto) o bien tener infinitas cifras decimales que se repiten indefinidamente (decimal periódico puro o mixto). Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como un cociente entre dos números enteros, y se caracterizan por tener infinitas cifras decimales no periódicas. Algunos tipos de números irracionales importantes son los siguientes: *Los resultados de las raíces no exactas de números racionales:

√2 = 1,414213562 … √43

= 1,587401052 … √345

= 2,024397458 … También son irracionales los resultados de operar un número irracional con números racionales, por ejemplo:

1 + √3 = 2,732050808 … √7−3

9= −0,039360965 …

*Los números que se determinan o “inventan” a partir de una ley de formación: 4,369121518 … 0,123456789 … −25,1223334444 … *El número π: es el número que aparece en la fórmula usada para calcular la longitud y la superficie de un círculo. Se define como la relación entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro. Su expresión decimal es 3,1415926535…, aunque en la práctica se utilizan como valores aproximados el 3,14 o el 3,1416. Los griegos, en un principio, creyeron que era racional, pero más tarde sospecharon que podía no serlo. Sin embargo, su irracionalidad no se probó hasta el siglo XVIII. *El número Φ: es el número que los griegos pitagóricos obtuvieron como relación entre la

diagonal y el lado de un pentágono regular. Es igual a 1+√5

2= 1,6180339887 … y fue

llamado número de Fidias, y, más tarde, número de oro. Se usa con frecuencia en el arte. *El número e: es, posiblemente, el número más importante en las matemáticas superiores. Su valor es 2,718281… Es el número de Nepper, y es la base del logaritmo natural o neperiano (concepto que se estudiará el año siguiente). Aparece en fórmulas que describen por ejemplo: ciertos procesos de crecimiento (de una bacteria, de una población vegetal, etc), la desintegración radiactiva, la curva que describe una cadena o hilo flexible que cuelga sujeto de sus extremos.



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PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Y LA RADICACIÓN EN LOS REALES Potenciación: Potencia de exponente cero: 𝑎0 = 1 siendo 𝑎 ≠ 0

Potencia de exponente negativo: 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛 siendo 𝑎 ≠ 0

Producto de potencias de igual base: 𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 Cociente de potencias de igual base: 𝑎𝑛: 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 Potencia de potencia: (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛 .𝑚 Distributividad respecto de la multiplicación: (𝑎 . 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛. 𝑏𝑛

Distributividad respecto de la división: (𝑎 ∶ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛: 𝑏𝑛 o bien: (𝑎

𝑏)

𝑛

=𝑎𝑛

𝑏𝑛

Radicación: La radicación se puede expresar como una potenciación de exponente fraccionario:

Ejemplos: √3 = 31

2 √𝑥23= 𝑥

2

3 √1

𝑥5

4= 𝑥−

5

4

Raíz de raíz: √ √𝑎 𝑚

𝑛

= √𝑎𝑛 . 𝑚

Simplificación de índices y exponentes: √𝑎𝑚 𝑛

= √𝑎𝑛 ∶ 𝑐𝑛 ∶ 𝑐 siendo 𝑐 ≠ 0

Amplificación de índices y exponentes: √𝑎𝑚 𝑛

= √𝑎𝑛 . 𝑐𝑛 . 𝑐 siendo 𝑐 ≠ 0

Distributividad respecto de la multiplicación: √𝑎 . 𝑏 𝑛

= √𝑎𝑛

. √𝑏𝑛

Distributividad respecto de la división: √𝑎 ∶ 𝑏 𝑛

= √𝑎𝑛

∶ √𝑏𝑛

o bien: √𝑎

𝑏

𝑛=

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛

√𝑎𝑚𝑛= 𝑎

𝑚𝑛



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EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS 1. Resuelve las siguientes operaciones con polinomios en más de una determinada: a) (4𝑥5 + 3𝑥4𝑦 + 2𝑦5) − (3𝑥5 − 𝑦5) − (2𝑥4𝑦 − 1 + 𝑥5) = b) (2𝑚3 − 3𝑛3) + (4𝑚2𝑛 − 6𝑚𝑛2) − (𝑚3 + 3𝑚2𝑛 + 3𝑚𝑛2 + 𝑛3) = c) (𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3). (𝑎 − 𝑏) = d) (8𝑥3 + 4𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦3). (2𝑥 − 𝑦) =

e) (1,5𝑥3 + 𝑦4). (1,5𝑥3 − 𝑦4) =

f) (𝑝3 − 3𝑝2𝑞 + 3𝑝𝑞2): (𝑝2 − 2𝑝𝑞 + 𝑞2) =

g) (3

5𝑚3 − 𝑚2𝑛 +

17

20𝑚𝑛2 −

1

3𝑛3) : (𝑚 −

1

2𝑛) =

h) (3𝑎 − 5𝑏)2 + (𝑎 + 3𝑏)2 + (2𝑎 − 4𝑏). (2𝑎 + 4𝑏) =

i) 2𝑥(2𝑦 + 𝑥) − 3𝑦(2𝑦 − 𝑥) + 𝑥(2 − 𝑦) =

j) 𝑥2(𝑎 − 1)2 − (𝑎𝑥 + 3). (𝑎𝑥 − 3) + 2𝑎 (𝑥 −3

2)

2

=

2. Factorea los siguientes polinomios: a) 𝑎4 − 1 =

b) 1

3𝑎𝑏2𝑐 −

5

9𝑏3𝑐3 +

7

12𝑎2𝑏2 =

c) 3𝑎𝑥 + 6𝑎𝑦2 + 5𝑥 + 10𝑦2 = d) 𝑎3 + 9𝑎2𝑐 + 27𝑎𝑐2 + 27𝑐3 = e) 𝑛5 + 1 =

f) 1

4𝑥2 − 0,01 =

g) 1

4𝑎2 − 3𝑎𝑏 + 9𝑏2 =

h) 5𝑚𝑛 + 10𝑚3 + 𝑛 + 2𝑚2 =

i) 𝑚4𝑛2 −1

9𝑝2 =

j) 5𝑥𝑦2 +5

3𝑥3𝑦3 + 10𝑥3𝑦2 =

3. Factorear combinando sucesivamente los casos de factoreo que sean necesarios: a) 12𝑥2 − 3 = b) 5𝑧3𝑚4 − 80𝑧3 =

c) 5𝑎4 + 30𝑎3 + 45𝑎2 = d) 𝑎6𝑏5 − 𝑎4𝑏7 =



63

e) 3𝑥3𝑦2 + 9𝑥𝑦2 + 𝑥2𝑦3 + 3𝑦3 = f) 𝑝4 − 8𝑝2 + 16 = g) 𝑥6 − 1 =

h) 𝑥6 − 3𝑥4 + 3𝑥2 − 1 = i) 3𝑥3 − 1 =

j) 10

3𝑎4𝑏 +

2

3𝑎3𝑏 + 5𝑎3𝑏2 + 𝑎2𝑏2 =

4. Resuelve las siguientes operaciones con radicales:

a) (1

4√20 − 2√45 + √125) . 2√5 =

b) (√300 +1

3√18 −

2

5√27 + √8) . √2 =

c) (√100𝑎 − 2√225𝑎 ). √𝑎3

=

d) (3√2 − 1)2

+ (4√2 + 1)2

+ 3√2. √43

=

e) √2. √2

3. √43

√18−5√8=

f) (√2+3)

2. (√2−1)

2

√2=

g) √18𝑏 − √450𝑏

√32𝑏 4 =

h) (√3 +1

2) (√12 −

1

2) +

√27

√3=

i) (√2 +

1

2√2 − √8)

√23

+ 3 √23 =

j) (√75 +

1

4 √12).√√3

(√2−1) (√2+1) √3=

4. Racionaliza:

a) 1

√8= b)

3

√25 = c)

𝑥2

√𝑥= d)

𝑎𝑏 √𝑏3

√𝑎𝑏23 =

e) 1

√3−1= f)

2

√2+1= g)

1

√5−√6= h)

𝑎−𝑏

√(𝑎−𝑏)23 =

cuadernillo de actividades - …espiritusantocordoba.org/material/2017/nmedio/4º año 2017...

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