REPASA LO QUE SABES1. Aplica la propiedad distributiva o saca factor común, y opera.

a) −4 ⋅ (5 + 7) b) 24 ⋅52 − 23 ⋅53 + 22 ⋅54

2. Expresa la superficie y el volumen de un brik de zumo dependiendo de su longitud, l; anchura, a, y altura, h. Ayúdate de un dibujo.

3. Justifica cuál de estas expresiones es un monomio. Indica cuáles son el coeficiente, las variables y el grado.

a) 3 xy4 b) 7x3 yz2

5 c)

3xz3

y2 d) 3x2 −

1

2y2

4. Realiza estas operaciones con monomios.

a) 3x2 y −5yx2 b) 6 x3 y2 ⋅2

3xy2t c) −30a5 : 6a2

5. Aplica el método más adecuado para resolver estas ecuaciones.

a) 2x2 + 5x − 3 = 0 b) 3x2 + 5x = 0 c) 9x2 − 4 = 0

3 POLINOMIOS

El lenguaje algebraico facilita la comprensión del mundo físico, económico, tecnológico… Ayuda a expresar relaciones entre magnitudes, a simplificar la investigación de propiedades, a construir demostraciones… Las fórmulas que escribimos utilizando letras para representar cantidades variables, indeterminadas o desconocidas, como la fórmula del interés simple o compuesto, son expresiones algebraicas.

De entre todas ellas, los polinomios y las fracciones algebraicas son las más sencillas y fascinantes. Con ellas se generan gráficos por ordenador utilizados en el diseño de la carrocería aerodinámica de un deportivo o de las montañas del paisaje, los gestos de un personaje o la melena de una princesa en una película de animación.

IDEAS PREVIAS

❚❚ Traducción al lenguaje

algebraico de enunciados.

❚❚ Operaciones y propiedades

de los números reales.

❚❚ Monomios. Operaciones.

❚❚ Resolución de ecuaciones

de primer y segundo

grado.

map4e8

43

Niccolo Fontana (1499-1557), apodado Tartaglia por su tartamudez  debida a una herida que sufrió cuando era niño,  fue un matemático italiano que descubrió un método para resolver ecuaciones.

Matemáticas en el día a día ][

3 Polinomios

44

Aprenderás a…❚● Identificar monomios y polinomios y sus elementos.

❚● Calcular el grado de un monomio y un polinomio.

Si escribimos un polinomio de la forma:

P ( x ) = an xn + ... + a1x + a0

Los números an , …, a1 , a0 son los coeficientes del polinomio.

❚❚ an es el coeficiente principal.

❚❚ a0 es el término de grado 0 o término independiente.

Si todos los ai son distintos de 0 en el polinomio, decimos que este es completo.

Lenguaje matemático

1. MONOMIOS Y POLINOMIOS. VALOR NUMÉRICOPablo se dedica a elaborar cajas de cartón. Uno de los formatos es el ortoedro. Las dimensiones dependen de la altura, x, que se elija. Todas las juntas van reforzadas con una protección plástica y las cajas se elaboran sin tapa.

Para saber cuánto material se necesita para elaborar la caja, es necesario conocer la longitud del perímetro que va a proteger y su área.

❚❚ Perímetro: 2 ◊ (2x ) + 6 ◊ x = 4 x + 6 x = 10 x

❚❚ Área:

3 rectángulos: 3 ⋅ (2x ) ⋅ x = 3 ⋅2 ⋅ x ⋅ x = 6 x2 2 cuadrados: 2 ⋅ x ⋅ x = 2x2

Total: 6 x2 + 2x2 = (6 + 2) ⋅ x2 = 8 x2

Estas dos expresiones son monomios.

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, por una o más variables con exponente natural o cero, que forman la parte literal.

El grado es la suma de los exponentes de las variables de la parte literal.

Para determinar el precio de la caja, sumamos el coste del cartón más la protección plástica y 1 € fijo por la elaboración.

Cartón: 1,50 €/m2 → 1,5 ⋅8 x2 = 12x2 Plástico: 0,50 €/m2 → 0,5 ⋅10 x = 5 x

El coste total es la suma de estos monomios. Es un polinomio de grado 2.

P ( x ) = 12x2 + 5 x + 1

Un polinomio es la suma de dos o más monomios de distinto grado. Estos monomios se llaman términos.

El grado del polinomio es el mayor de los grados de sus términos.

Conociendo este polinomio, es fácil determinar el precio de la caja a partir de sus dimensiones. Si mide medio metro de ancho, x = 0,5, el precio sería:

P (0,5) = 12 ⋅0,52 + 5 ⋅0,5 + 1 = 3 + 2,5 + 1 = 6,5 La caja costaría 6,50 €.

El número que se obtiene al sustituir la variable, x, por un valor, a, en un polinomio, P(x), se llama valor numérico y se escribe P(a).

Términos

`` Simplifica esta operación con monomios 2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5x2 y2 + 9xy. Indica el grado del polinomio resultante y calcula su valor numérico para x = 3, y = −1.

Solución

Calculamos la suma de los términos semejantes sumando los coeficientes y manteniendo la parte literal.

2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5 x2 y2 + 9xy = −5 x2 y2 − 2x2 y + 6xy2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5 x2 y2 + 9xy = −5 x2 y2 − 2x2 y + 6xy2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5 x2 y2 + 9xy = −5 x2 y2 − 2x2 y + 6xy2x2 y − 3xy − 4 yx2 −5 x2 y2 + 9xy = −5 x2 y2 − 2x2 y + 6xy

P (3,-1) = -5 ◊ 32 ◊ (-1)2 - 2 ◊ 32 ◊ (-1) + 6 ◊ 3 ◊ (-1) = -5 ◊ 9- 2 ◊ (-9) + 6 ◊ (-3) = -45 + 18-18 = -45

EJERCICIO RESUELTO

Grado 4 Grado 3 Grado 2 Grado del polinomio P(x, y): 4

45

3Actividades

Indica cuáles de estas expresiones algebraicas son monomios o polinomios y cuáles ni lo uno ni lo otro.

a) −5 xy3 c) 7 xy2

z3 e) 7x5

b) a4 b23 d) 12− a5 f) −3xy + 2 y

Copia y completa la tabla.

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

3a4 b2c3 O O O

−x3 yz2 O O O

5 xy2

2O O O

Recuerda y escribe las definiciones de monomio semejante y de opuesto de un monomio. Indica cuáles de los siguientes monomios son semejantes a 3a2 b5c. ¿Cuál es el opuesto?

a) a2 b5 c) −13ab5c2 e) 3b5 a2c

b) −3a2 b5c d) a2 b5c

2 f) 18abc

Resuelve estas operaciones con monomios. ¿Se obtiene siempre un monomio?

a) −6 x3 + 17 x3 −5 x3 d) 6ab ⋅5

4a2c ⋅ −

2

15b2c2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) −6 x3 + 17 x2 −5 x3 e) 3x3 y − 4 x2 ⋅2xy

c) 5 xy3 ⋅ −2x2 y3( ) f) −a5 b3c

4−

5

6a3 bc ⋅3a2 b2

Calcula e indica las propiedades que aplicas.

a) −2x5( )3 b) 6a2 b( )5 c) −3x4 y3( )4

Realiza estos cocientes de monomios, si es posible. Si no, indica el cociente en forma de fracción.

a) 36 x5 : −9 x3( ) c) −7 y3 :1

2y3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) 12a3 : 5a( ) d) 24 x4 : 6 x7( )

1

2

3

4

5

6

Enumera los términos y coeficientes de estos polinomios. Indica su grado, su coeficiente principal, el término independiente y si es o no completo.

a) P ( x ) = 7 x3 -5 x

b) Q ( x ) = 4 x4 - 2 +7

2x3

c) R ( x ) = 7 x −5 x9 + 3x5

Calcula el valor numérico en cada caso.

a) M (a, b ) = -4 ab2, para a = 2, b = 3

b) N (x, y ) =3

5x2 y3, para x = 5, y = −2

c) P ( y ) = 9 y3 − 8 y2 + 3 y −1, para y = −2

d) Q ( x ) = −12x5 −7 x3 + 2x + 6, para x = −1

2

7

8

`` Enumera los términos de este polinomio e indica el grado, el coeficiente principal y el término independiente. ¿Es un polinomio completo?

P ( x ) = 11x3 - 3x4 - 21+ 5x2

Solución

Ordenamos el polinomio según sus grados de mayor a

menor: P ( x ) = -3x4 + 11x3 + 5 x2 - 21

Por orden, sus términos y coeficientes son:

Grado Término Coeficiente

4 −3x4 −3

3 11x3 11

2 5x2 5

1 No tiene. 0

0 −21 −21

❚❚ El grado de P(x) es 4, el mayor de los grados.

❚❚ Su coeficiente principal es −3.

❚❚ El término independiente es −21.

Es un polinomio incompleto (no tiene término de grado 1).

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOObserva este mosaico hexagonal de dos unidades de lado. ¿Cuántas teselas se han utilizado en su elaboración?

a) Calcula cuántas teselas serían precisas para realizar un mosaico como este con tres teselas en cada lado.

b) ¿Y para uno de 10 teselas de lado?

c) Encuentra un monomio que exprese el número de teselas necesarias para elaborar un mosaico de lado n.

9

3 Polinomios

46

2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOSLas operaciones con polinomios se realizan respetando la jerarquía y las propiedades de las operaciones con números reales, así como las propiedades de las potencias.

Aprenderás a…❚● Calcular la suma y el producto de polinomios.

❚● Sacar factor común en un polinomio.

Presta atención

Se conservan las propiedades de las operaciones con números.

Suma

❚❚ Conmutativa

P ( x ) + Q( x ) = Q( x ) + P ( x )

❚❚ Asociativa

P ( x ) + Q( x ) + R( x )[ ] == P ( x ) + Q( x )[ ] + R( x )

❚❚ Elemento neutro: O( x ) = 0

P ( x ) + O( x ) = P ( x )

❚❚ Elemento opuesto: -P ( x )

P ( x ) + -P ( x )[ ] = O( x )

Multiplicación

❚❚ Conmutativa

P ( x ) ◊Q( x ) = Q( x ) ◊ P ( x )

❚❚ Asociativa

P ( x ) ◊ Q( x ) ◊ R( x )[ ] == P ( x ) ◊Q( x )[ ] ◊ R( x )

❚❚ Elemento unidad: I ( x ) = 1

P ( x ) ◊ I ( x ) = P ( x )

❚❚ Elemento inverso: P-1 ( x )

P ( x ) ◊ P-1 ( x ) = 1

Propiedad distributiva

P ( x ) ◊ Q( x )+ R( x )[ ] == P ( x ) ◊Q( x ) + P ( x ) ◊ R( x )

La propiedad distributiva del producto con respecto a la suma permite multiplicar un monomio por un polinomio, pero también sacar factor común.

Así, si queremos sacar factor común en un polinomio, buscamos qué factor se repite en todos los términos.

Por ejemplo, en el polinomio P ( x ) = 10 x4 -15 x3 -5 x2 + 5 x observamos que:

❚❚ Todos los coeficientes son múltiplos de 5.

❚❚ Las partes literales tienen al menos una x.

P ( x ) = 5 ◊ 2 ◊ x3 ◊ x -5 ◊ 3 ◊ x2 ◊ x -5 ◊1◊ x ◊ x + 5 ◊1◊ x

De este modo, podemos extraer los factores 5 y x.

P ( x ) = 5x ◊ 2x3 - 3x2 - x + 1( )

`` Considera los polinomios:

❚❚ P ( x ) = x5 -5x3 + 7x2 + 1

❚❚ Q( x ) = x3 - 3x2 + 2

❚❚ R( x ) = 2x2 + 5x - 3

Calcula el polinomio resultante de:

2 ◊ P ( x )-Q( x ) ◊ R( x )

Solución

Para operar con polinomios, respetamos la jerarquía y sumamos o multiplicamos los términos, monomios, de cada polinomio, aplicando las propiedades de los números reales.

1 Resolvemos las multiplicaciones.

Para multiplicar un número por un polinomio, multiplicamos ese número por cada uno de los términos del polinomio, aplicando la propiedad distributiva.

2 ◊ P ( x ) = 2 ◊ x5 -5 x3 + 7 x2 +1( ) = 2x5 -10 x3 + 14 x2 + 2

Para multiplicar polinomios, recurrimos también a la propiedad distributiva y multiplicamos cada término del primer factor por todos los términos del segundo factor.

Q ( x ) ◊ R ( x ) = x3 - 3x2 + 2( ) ◊ 2x2 + 5 x - 3( ) == 2x5 + 5 x4 - 3x3 - 6 x4 -15 x3 + 9 x2 + 4 x2 + 10 x - 6 == 2x5 - x4 -18 x3 + 13x2 + 10 x - 6

2 Resolvemos sumas y restas teniendo en cuenta que la resta es la suma del opuesto del sustraendo.

Para ello, vamos agrupando términos semejantes.

2 ◊ P ( x )-Q ( x ) ◊ R ( x ) == 2x5 -10 x3 + 14 x2 + 2( )- 2x5 - x4 -18 x3 + 13x2 + 10 x - 6( ) == 2x5 -10 x3 + 14 x2 + 2- 2x5 + x4 + 18 x3 -13x2 -10 x + 6 == x4 + 8 x3 + x2 -10 x + 8

EJERCICIO RESUELTO

47

3Actividades

Sean los polinomios:

P ( x ) = 3x4 -5 x + 2

Q ( x ) = x3 -7 x2 - 4 x + 10

R ( x ) = -2x4 + 5 x2 + 6 x

Calcula:

a) P ( x ) + Q ( x ) d) P ( x )-Q ( x ) + R ( x )

b) Q ( x )- R ( x ) e) P ( x )- Q ( x ) + R ( x )[ ]

c) P ( x ) + Q ( x ) + R ( x ) f) P ( x )- Q ( x )- R ( x )[ ]

Estudia el grado y el coeficiente principal de la suma de estos polinomios para los distintos valores de a y n.

P ( x ) = ax3 -5 x2 + 7 x + 8

Q ( x ) = -4 xn + 6 x2 -11x

Justifica qué grado puede tener la suma de dos polinomios, P(x) y Q(x), según sean los grados y los coeficientes principales de los sumandos.

Considera los siguientes polinomios y calcula:

a) -4P ( x ) + R ( x ) + 2Q ( x )

b) Q ( x )- 3x2 ◊ R ( x )

c) 5 x3 ◊ R ( x )- 2x ◊ P ( x )

Calcula el producto de estos polinomios.

P ( x ) = 3x3 + 4 x2 + 10 x + 5

Q ( x ) = -2x2 + 5 x - 3

¿Qué grado tiene el resultado?

Explica por qué el grado del producto de dos polinomios es la suma de los grados de los factores. Comprueba el resultado con tres ejemplos.

10

11

12

❚ P (x ) =5x5 +x4 +2x-3

❚ Q (x ) =9x5 -x4 -2x3 -5x2 +x

❚ R (x ) =3x3 -x-2

13

14

Fíjate en estos polinomios.

P ( x ) = -3x2 + 5 x -1

Q ( x ) = 3x - 6 R ( x ) = -5 x + 1

Resuelve, a continuación, las operaciones indicadas.

a) R ( x )- 2x ◊ P ( x )

b) 6 x2 ◊Q ( x )- 3x ◊ R ( x )

c) 6R ( x )-Q ( x ) ◊Q ( x )

d) 5P ( x )-Q ( x ) ◊ R ( x )

Simplifica estas expresiones algebraicas.

a) 5

3⋅ 6 x2 − 9 x + 2( )− 4 x ⋅ 2x + 1( )

b) 6 x2 + 2x −7( ) ⋅ −2x + 5( )

c) −5 ⋅ 2x − 3( ) ⋅ x + 2( ) ⋅ 3x −1( )

d) 5 x − x ⋅ 2x2 −5( ) + 1− x( ) ⋅ −3x2 + 2( )

e) 12x − 3x ⋅ x2 − 2x + 3( ) + 2x −1( ) ⋅ x + 3( )

Saca factor común en estos polinomios.

a) P ( x ) = 5 x5 - 2x4 + 6 x3

b) Q ( x ) = 35 x4 - 21x2 + 14 x

c) R (x, y ) = 6 x2 y2 - 3xy2 + 9 x2 y

Pilar elabora pulseras que vende a 3 € en la tienda de otra artesana. El cuero necesario para elaborar 10 pulseras le cuesta 7 € y cada cierre son 0,30 €. Además, a la artesana le paga 120 € mensuales por la distribución (Considera 1 mes = 30 días).

a) Calcula el coste de material de cada pulsera.

b) Halla el coste diario por distribución.

c) Determina dos polinomios: uno que exprese el coste diario de x pulseras fabricadas, C ( x ), y otro para los ingresos obtenidos por x pulseras vendidas, l ( x ).

d) Establece el polinomio que permite calcular los beneficios diarios obtenidos por la venta de x pulseras, B ( x ).

e) ¿Cuántas pulseras debería vender Pilar al día para no tener pérdidas?

15

16

17

18

DESAFÍOSigue estas instrucciones y prueba con ternas diferentes:

❚❚ Escribe tres números consecutivos.

❚❚ Multiplica los dos de los extremos.

❚❚ Eleva al cuadrado el del medio.

a) Escribe los resultados en una tabla. Puedes ayudarte de una hoja de cálculo para organizar la información y hacer las cuentas.

b) Fíjate bien en los resultados de la tabla y escribe tus observaciones.

c) Expresa la relación que hayas constatado utilizando el lenguaje algebraico.

d) Demuestra algebraicamente que la relación es cierta.

19

3 Polinomios

48

3. POTENCIAS DE POLINOMIOS. IDENTIDADES NOTABLES

Para algunos productos particulares, conocemos fórmulas que permiten simplificar el cálculo; se trata de las identidades notables.

❚❚Cuadrado de una suma: (a + b )2 = a2 + 2ab + b2

❚❚Cuadrado de una diferencia: (a- b )2 = a2 - 2ab + b2

❚❚Suma por diferencia: (a + b ) ◊ (a- b ) = a2 - b2

Las dos primeras son potencias de polinomios. La potencia de un polinomio, igual que la de un número, es la forma abreviada de escribir el producto de un polinomio por sí mismo.

P ( x ) ◊ ...n veces

◊ P ( x ) = [P ( x )]n

Son interesantes las potencias de un binomio de la forma a + b. Podemos calcular algunas potencias y buscar regularidades que nos permitan simplificar los cálculos.

Las potencias (a + b)0 y (a + b)1 son evidentes, y (a + b)2 ya la conocemos. Calculamos (a + b)3 fijándonos bien en los pasos.

(a + b )3 = (a + b )2 ⋅ (a + b ) == a2 + 2ab + b2( ) ⋅ (a + b ) = a2 ⋅ (a + b ) + 2ab ⋅ (a + b ) + b2 ⋅ (a + b ) == a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 == a3 + (1+ 2 ) ⋅ a2b + (2 + 1) ⋅ ab2 + b3 == a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Calculamos potencias sucesivas y buscamos patrones en los coeficientes y partes literales de cada término.

(a + b )0 = 1

(a + b )1 = 1◊ a + 1◊ b

(a + b )2 = 1◊ a2 + 2 ◊ ab + 1◊ b2

(a + b )3 = 1◊ a3 + 3 ◊ a2 b + 3 ◊ ab2 + 1◊ b3

(a + b )4 = 1◊ a4 + 4 ◊ a3 b + 6 ◊ a2 b2 + 4 ◊ ab3 + 1◊ b4

Todos los términos tienen el mismo grado, el exponente de la potencia, y los exponentes de las variables varían de uno en uno desde an b0 hasta a0 bn.

Los coeficientes que se obtienen al sumar los términos semejantes coinciden con los coeficientes contiguos de la fila anterior. La estructura que forman los coeficientes se conoce como triángulo de Tartaglia o triángulo de Pascal.

Aprenderás a…❚● Calcular potencias de polinomios.

❚● Utilizar las identidades notables.

`` Desarrolla estas potencias de binomios utilizando el triángulo de Tartaglia.

a) x2 + 3( )4 b) 2x −5( )3

Solución

a) x2 + 3( )4 = 1⋅ x2( )4 + 4 ⋅ x2( )3 ⋅31 + 6 ⋅ x2( )2 ⋅32 + 4 ⋅ x2( )1 ⋅33 + 1⋅34 == x8 + 12x6 + 54 x4 + 108 x2 + 81

b) 2x -5( )3 = 2x + -5( )[ ]3 =

= 1◊ 2x( )3 + 3 ◊ 2x( )2 ◊ -5( ) + 3 ◊ 2x( )1 ◊ -5( )2 + 1◊ -5( )3 == 8 x3 - 60 x2 + 150 x -125

EJERCICIO RESUELTO

49

3Actividades

Desarrolla aplicando las identidades notables.

a) 2

3x + x2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

c) 2x3 −3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 2x3 +

3

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) 3

4x2 − 6 y

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

d) −5 x − 8( ) ⋅ −5 x + 8( )

Resuelve y simplifica.

a) 2x + 1( )2 − 2x −1( )2

b) x2 + 5 x( )2 − x ⋅ x −5( )2

c) 3x − 2( ) ⋅ x −1( )2 + 2x ⋅ x + 3( ) ⋅ x − 3( )

d) x2 + 1( )2 ⋅ x2 −1( )2 + 2x2 ⋅ x2 + 1( )

Copia y completa estas igualdades.

a) § + 3x( )2 = 36 x4 + § + 9 x2

b) §− 2 y2( )2 = 3x2 −§+§

c) § +x

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 9− 2x + §

d) x + §( ) ⋅ x −§( ) = §− 2

20

21

22

Justifica si estos polinomios corresponden al desarrollo de alguna identidad notable. Indica cuál.a) x2 + 2x + 1 c) 4 x2 + 12x + 9b) 4 x2 − 4 x + 1 d) x2 −5

23

Expresa estos polinomios como el cuadrado de un binomio más o menos un monomio.a) x2 + 5 x + 25

b) 4 x2 −12x

c) x6 + x3 + 4

d) 25 x4 −10 x2

Calcula estas potencias de polinomios desarrollando los productos.

Halla la expresión desarrollada del cuadrado de un trinomio cualquiera: a + b + c

Completa el triángulo de Tartaglia hasta la décima fila. ¿Cuál es el exponente de la potencia (a + b )n que tiene esos coeficientes en su desarrollo?

Calcula estas potencias de binomios.

a) x + 3( )5 c) 2x + 1( )4 e) x +2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

b) y −7( )3 d) −2x + y( )5 f) x3 −5 x( )3

Rebeca asegura que, si añade un metro a la arista de un cubo, el volumen aumentará un metro cúbico. ¿Tiene razón? ¿Por qué? Haz un dibujo de la situación.

24

25

a) (3x2 − 5x + 1)2 c) (3 − x)3

b) (x2 + x + 1)3 d) (2x + y)4

26

27

28

29

`` Justifica si este polinomio corresponde al desarrollo de alguna identidad notable. ¿Cuál?

9y 4 − 6 y2 x + x2

Solución

1 Pensamos qué identidad notable podría ser.

El polinomio 9 y 4 − 6 y2 x + x2 podría ser el desarrollo del cuadrado de una diferencia, pues tiene tres términos y solo uno es negativo.

2 Identificamos sus términos.

❚❚ En este caso, sus términos cuadrados son:

9 y 4 = 3 y2( )2 x2 = x( )2

❚❚Comprobamos que: 2 ⋅3 y2 ⋅ x = 6 y2 x

El polinomio es el desarrollo de: 3 y2 − x( )2

9 y 4 - 6 y2 x + x2 = 3 y2 - x( )2

EJERCICIO RESUELTO

`` Expresa el polinomio x2 + x + 4 como el cuadrado de un binomio más o menos un monomio.

Solución

Determinamos la identidad notable. El polinomio x2 + x + 4 podría ser el cuadrado de una suma:

x2 = ( x )2 4 = 22

Sin embargo:

( x + 2)2 = x2 + 4 x + 4

Por consiguiente, ajustando lo que sobra:

x2 + x + 4 = ( x + 2)2 - 3x

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍO

Calcula: 52 − 42 82 − 72 102 − 92 142 − 132

a) Continúa hasta que puedas predecir el resultado para cualquier par de números que se diferencien en una unidad. Establece una conjetura.

b) Traduce al lenguaje algebraico tu conjetura y demuéstrala.

c) Comprueba qué ocurre si los números se diferencian en dos unidades, en tres… Generaliza.

30

3 Polinomios

50

4. DIVISIÓN DE POLINOMIOSPara hallar el cociente de dos polinomios, procedemos igual que en el caso de la división de números naturales.

1 Al dividir números naturales, hallamos el cociente entre las cifras de mayor valor. En los polinomios, una vez ordenados dividendo y divisor, calculamos el cociente entre los monomios de mayor grado de cada uno de ellos.

8 4 0 31 8x2 − x − 2 2x − 1

2 4x

2 Multiplicamos el cociente por el divisor y restamos el producto al dividendo.

8 4 0 31 8x2 − x − 2 2x − 1

− 6 2 2 − 8x2 + 4x 4x

2 2 0 3x − 2

3 Repetimos el proceso con el nuevo dividiendo hasta que el resto sea menor que el divisor. En el caso de los polinomios, repetimos hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.

8 4 0 31 8x2 − x − 2 2x − 1

− 6 2 27 − 8x2 + 4x 4x + 3/2 = C(x)

2 2 0 3x − 2

− 2 1 7 − 3x + 3/2

3 − 1/2 = R(x)

Tanto en la división de números naturales como en la de polinomios se cumple que D = d ⋅ C + R. Vamos a comprobarlo.

840 = 31 ⋅ 27 + 3 8 x2 − x − 2 = (2x −1) ⋅ (4 x + 3/2)−1/2

840 = 837 + 3 8 x2 - x - 2 = 8 x2 - x - 3/2-1/2

Para cada par de polinomios, P ( x ) y Q ( x ) , con Q ( x ) distinto del polinomio nulo, existen dos polinomios, C ( x ) y R ( x ), tales que:

P ( x ) = Q( x ) ◊C ( x ) + R( x )

El grado del polinomio cociente, C ( x ), es igual a la diferencia entre el grado del polinomio dividendo, P ( x ) , y el polinomio divisor, Q ( x ) .

El grado del polinomio resto, R ( x ), es menor que el grado del polinomio divisor.

Si R ( x ) = 0, la división es exacta, es decir, Q ( x ) es divisor de P ( x ) .

Grado 1

Aprenderás a…❚● Realizar la división de polinomios.

❚● Conocer y utilizar la relación entre los términos de la división.

Presta atención

La igualdad:

P ( x ) = Q( x ) ◊C ( x ) + R( x )

es una identidad. Se cumple para cualquier x = a:

P (a) = Q(a) ◊C (a) + R(a)

`` Resuelve P ( x ) : Q( x ) dados los polinomios P ( x ) = 6 x4 + x2 + 10 x + 2 y Q( x ) = 2x2 - 2x + 3.

Comprueba el resultado.

Solución

Para dividir polinomios procedemos como en la división de números naturales.

Al finalizar la división comprobamos que se cumple la propiedad de la división.

EJERCICIO RESUELTO

map4e9

Grado 0

51

3Actividades

Observa estos cocientes entre polinomios y monomios e indica de forma razonada, sin resolver la división, cuáles son exactos.

a) x6 − 3x4 −5 x3

5 x c)

6 x17 + 4 x9 − 8 x6

−2x4

b) 6 x4 − 9 x2 − 3x

3x2 d)

−23x5 −17 x4 + x3

−5 x3

Compruébalo y, si la división es exacta, expresa el cociente como:

C ( x ) =P ( x )

Q ( x )

Calcula el cociente y el resto de estas divisiones y expresa la división de la siguiente forma:

P ( x )

Q ( x )= C ( x ) +

R ( x )

Q ( x )

a) 15 x2 − 3x( ) : 3x −1( )

b) 12x2 −5( ) : 6 x + 3( )

c) −14 x3 + 19 x2 −7( ) : −2x2 + 3x + 1( )

d) x4 + x3 − 2x2 −5 x + 3( ) : x2 + x + 1( )

e) 18 x4 - 9 x3 + x2 + 3x + 1( ) : 3x -1/2( )

f) −2x5 + 7 x4 −5 x3 + 1( ) : x3 − 2x2 + 3( )

Sin realizar la división, comprueba que C ( x ) = 5 x2 - 2x + 1 y R ( x ) = -5 x + 7 son, respectivamente, el cociente y el resto de la división:

10 x4 + 21x3 − 23x2 + 6 x + 4

2x2 + 5 x − 3

Determina el dividendo de una división con:

❚❚Divisor: Q ( x ) = 5 x2 + 3x - 2

❚❚Cociente: C ( x ) = 4 x -1

❚❚Resto: R ( x ) = 5 x -7

Calcula el divisor de una división en la que:

❚❚El dividendo es P ( x ) = 2x5 - 2x4 - x2 -1.

❚❚El cociente es C ( x ) = 2x2 -1.

❚❚Y el resto, R ( x ) = ( x/2)− 2.

Indica de forma razonada los posibles grados de los polinomios cociente y resto obtenidos al dividir un polinomio de grado 7 entre un polinomio de grado 2.

Divide y comprueba el resultado.

a) −x4 + 2x2 −1

x2 + 2 b)

x4 −1

x2 − x + 1

31

32

33

34

35

36

37

Un polinomio, P ( x ), es divisor de otro, Q ( x ), si la división es exacta. Decide si P ( x ) = -2x2 + 3x -1 es o no divisor de los siguientes polinomios.

a) Q ( x ) = -6 x3 + 5 x2 + 3x - 2

b) Q ( x ) = -4 x4 + 8 x3 + x2 - 2x

c) Q ( x ) = -2x4 + 3x3 + x2 + 3x + 1

d) Q ( x ) = -4 x5 + 6 x4 + 2x3 - 4 x2 + 1

e) Q ( x ) = −2x4 + x3 + 6 x2 −7 x + 2

Escribe en cada caso un polinomio que cumpla las condiciones que se dan.

a) Polinomio de primer grado y divisible entre 7x − 3.

b) Polinomio de primer grado, divisible entre 7x − 3 y con 63 como coeficiente principal.

c) Polinomio de segundo grado, divisible entre 7x − 3 y entre 2x + 1.

d) Polinomio de segundo grado, divisible entre 7x − 3 y entre 2x + 1 y con 28 como coeficiente principal.

Reflexiona: ¿cuántos polinomios de segundo grado hay divisibles entre 7x − 3 y 2x + 1?

38

39

Aplica la propiedad fundamental de la división para simplificar estas operaciones.

a) 2x3 +3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

3+

1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b) 3x4 −

1

27

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : 2x −

2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

40

`` Aplica la propiedad fundamental de la división para simplificar esta operación.

3

2x2 −

13

5x +

2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

2−

1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Solución

Para que los coeficientes sean enteros, multiplicamos el dividendo y el divisor por el m.c.m. (2, 5) = 10.

15 x2 − 26 x + 4( ) : 5 x − 2( )

Al multiplicar los dos términos, el cociente no varía y el resto queda multiplicado por 10.

15x2 − 26x + 4 5x − 2

− 15x2 + 6x 3x − 4 = C(x)

− 20x + 4

20x − 8

− 4 → R(x) = −4

10=−2

5

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍO

Calcula qué valores deberían tener a y b para que el polinomio P ( x ) = 6 x4 -5 x3 + x2 + ax + b sea divisible por Q ( x ) = 3x2 + 2x -1.

41

3 Polinomios

52

5. REGLA DE RUFFINICuando dividimos un polinomio cualquiera entre un binomio de la forma x − a, podemos utilizar un algoritmo que simplifica la realización de dicha división. Se trata de la regla de Ruffini.

Vamos a dividir el polinomio 3x3 + 4x2 − 2 por el binomio x + 2 aplicando la regla de Ruffini y comparándolo con la división de polinomios:

1 Colocamos los coeficientes del dividendo ordenados según su grado, prescindiendo de las partes literales y escribimos un cero allí donde falte un término.

❚❚Podemos identificar cada término por su posición, empezando por el término independiente.

❚❚Escribimos el valor de a junto a la línea vertical y bajo la línea inferior situamos el coeficiente principal.

3x3 + 4x2 − 1 x + 2 3 4 0 −1

3x2 −2

3

2 En la división, multiplicamos el cociente por el divisor y el resultado lo restamos al dividendo. Así, el término de mayor grado se anula, y lo que importa para continuar es que sumamos al término siguiente el cociente multiplicado por a, en este caso −2.

Por eso, en la regla de Ruffini colocamos el resultado debajo del coeficiente del término siguiente.

3x3 + 4x2 − 1 x + 2 3 4 0 −1

−3x3 − 6x2 3x2 −2 −6

− 2x2 − 1 3 −2

3 Repetimos el proceso hasta completar la división.

3x3 + 4x2 − 1 x + 2 3 4 0 −1

−3x3 − 6x23x2 − 2x −2 −6 4

− 2x2 − 1 3 −2 4

2x2 + 4x

4x − 1

Observamos que el último número es el resto de la división, y los demás números son los coeficientes del cociente ordenados según el grado de los términos.

3x3 + 4x2 − 1 x + 2 3 4 0 −1

−3x3 − 6x23x2 − 2x + 4 −2 −6 4 −8

− 2x2 − 1 3 −2 4 −9

2x2 + 4x

+ 4x − 1

− 4x − 8

− 9

La regla de Ruffini es un algoritmo que permite dividir polinomios cuando el divisor es un binomio de la forma x − a.

Dividendo

Cociente

El coeficiente principal del cociente es el mismo que el del dividendo, pues el divisor tiene siempre 1 como coeficiente principal.

Cociente

Resto de grado 0

Aprenderás a…❚● Aplicar la regla de Ruffini para dividir un polinomio entre el binomio x − a.

Presta atención

Al dividir entre x − a un polinomio de grado n y coeficiente principal 1, el cociente será siempre un grado menor que el del dividendo y con el mismo coeficiente principal que este. Además, el resto siempre será una constante, grado 0.

53

3Actividades

Escribe cuáles son el dividendo y el divisor de estas divisiones representadas con la regla de Ruffini. Calcula el cociente y el resto.

a) 2 −3 −5

3 O O

O O O O

b) −3 5 0 −3

−1 O O O

O O O O O

c) 1 0 −3 0 −6

2 O O O O

O O O O O O

Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini.

a) 2x2 − 3x −12

x − 4 d)

x4 + 5 x3 + 25

x + 3

b) −2x5 + 5 x3 + x2 + 16

x − 2 e)

x4 − 625

x −5

c) 7 x4 −14 x2 + 49

x + 2 f)

x5 + x3 + x

x + 1

Resuelve y comprueba.

a) 3x3 − x + 2( ) : x −1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) 6 x4 −7 x3 + 4 x2 −1( ) : x −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

c) 3x3 + 8 x2 + 2x −1( ) : x +2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

d) 10 x3 + 7 x2 −1( ) : x +1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Transforma estas divisiones en otras equivalentes con coeficientes enteros. Calcula después el cociente y el resto con la regla de Ruffini.

a) x2

2−

2x

3−

5

6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

6−

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) x3

3− x +

2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

15+

2

15

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

c) x4 +5 x3

2−

3x

4+

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

x

4+

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

42

43

44

45

Aplica la propiedad fundamental de la división para hallar el cociente y el resto con la regla de Ruffini.

a) 27 x3 − 45 x2 + 21x − 3( ) : 3x −1( )

b) 4 x4 − 6 x3 −12x2 −10( ) : 2x −5( )

c) 18 x3 − 2x + 10( ) : 3x + 4( )

d) 10 x3 − x2 + 3( ) : 5 x + 2( )

Resuelve esta división aplicando la regla de Ruffini. Explica cómo lo haces.

3x4 + 5 x3 + 3x −7( ) : −x − 2( )

Calcula m para que las divisiones sean exactas.

a) 2x5 −5 x4 + m

x − 3 c)

−x5 + mx + 1

x + 1

b) 3x3 + mx − 8

x − 2 d)

mx2 + 8 x −10

x + 5

Halla el valor de m para que el resto de la división 2x5 + mx3 + 3( ) : x + 2( ) sea 15.

Averigua el valor de a para que el polinomio P ( x ) = 3x2 -12 sea divisible por x − a.

46

47

48

49

50

`` Aplica la propiedad fundamental de la división y resuelve con la regla de Ruffini.

(4x3 − 5x + 1) : (2x + 3)

Solución

Dividimos ambos términos por 2 para conseguir que el divisor sea de la forma x − a.

2x3 −5

2x +

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : x +

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

De este modo, podemos aplicar la regla de Ruffini.

2 0 5/2 1/2

−3/2 −3 9/2 −3

2 −3 2 −5/2

Los cocientes de ambas divisiones son iguales.

C ( x ) = 2x2 - 3x + 2

El resto de la división original es:

R ( x ) = 2 ◊ (-5/2) = -5

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍO

Calcula: x2 −1( ) : x −1( ) x3 −1( ) : x −1( ) x4 −1( ) : x −1( ) x5 −1( ) : x −1( )

Prueba con otros ejemplos similares y observa los resultados. Indica cómo es el cociente xn −1( ) : x −1( ) .

Divide ahora los cocientes anteriores por x + 1. ¿En qué casos la división es exacta? ¿Cuál es el cociente en esos casos? Escribe lo que observas.

51

3 Polinomios

54

6. TEOREMA DEL RESTO. TEOREMA DEL FACTOR. RAÍCES DE UN POLINOMIO

Fran ha dividido el polinomio P ( x ) = -3x3 + x2 + 8 por x − 2 y ha obtenido estos polinomios como cociente y resto, respectivamente.

−3 1 0 8

C ( x ) = -3x2 -5 x -10 R ( x ) = -122 −6 −10 −20

−3 −5 −10 −12

El resto es una constante, y, al calcular el valor numérico de P ( x ) para x = 2, observa que ambos valores coinciden.

P (2) = -3 ◊ 23 + 22 + 8 = -12

Esta coincidencia llama su atención y, al reescribir todas las operaciones, comprueba que, efectivamente, el resto y el valor numérico coinciden.

−3 1 0 8

2 −3 ⋅ 2 −3 ⋅ 22 + 1 ⋅ 2 −3 ⋅ 23 + 1 ⋅ 22

−3 −3 ⋅ 2 + 1 −3 ⋅ 22 + 1 ⋅ 2 −3 ⋅ 23 + 1 ⋅ 22 + 8 = P(2)

Para demostrar que este resultado se cumple siempre que dividimos un polinomio cualquiera, P ( x ), por x − a, aplicamos la prueba de la división.

P ( x ) = ( x - a ) ◊C ( x ) + R

Al sustituir por x = a, resulta:

P (a ) = (a- a ) ◊C (a ) + R = 0 + R = R

Teorema del resto. El valor numérico de un polinomio, P ( x ), para x = a, coincide con el resto de la división del polinomio P ( x ) por el binomio x − a, es decir:

R = P (a )

Entonces, si el valor numérico del polinomio en x = a es cero, P (a ) = 0 , el resto al dividir por x − a será cero y el polinomio P ( x ) se podrá expresar como producto de dos factores, x − a, y el cociente C ( x ).

P ( x ) = ( x - a ) ◊C ( x )

En ese caso, decimos que a es una raíz del polinomio.

Si el valor numérico de P ( x ) para x = a es igual a cero, es decir, si P (a ) = 0 , se dice que a es una raíz del polinomio.

Teorema del factor. Si x = a es una raíz del polinomio P ( x ) , dicho polinomio es divisible por x − a, es decir, x − a es un factor de P ( x ) .

P ( x ) = ( x - a ) ◊C ( x )

Aprenderás a…❚● Identificar el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x − a como el valor numérico para x = a.

❚● Reconocer si un binomio de la forma x − a divide a un polinomio.

❚● Saber si un número es raíz de un polinomio.

Presta atención

Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores de su término independiente.

`` Determina si el polinomio P ( x ) = 2x2 - 7x + 6 es divisible por x + 2.

Solución

Para saber si el polinomio es divisible por x + 2, hallamos el resto de la división, es decir, determinamos el valor numérico de P ( x ) para x = −2.

P (-2) = 2 ◊ (-2)2 -7 ◊ (-2) + 6 = 28 ≠ 0

Como P (-2) ≠ 0, el resto no es cero, luego x = −2 no es raíz del polinomio y x + 2 no es divisor de P ( x ) .

EJERCICIO RESUELTO

55

3Actividades

Decide cuáles de los siguientes números son raíces del polinomio:

P ( x ) = 2x4 + 7 x3 -11x2 - 22x + 24

a) x = 1 c) x = 3 e) x = −1

2

b) x = −1 d) x = −2 f) x =3

2

Calcula el valor del resto de estas divisiones sin realizarlas.

a) −5 x3 + 2x − 6( ) : x + 2( )

b) 2x3 −10 x + 7( ) : x − 3( )

c) −4 x6 + 9 x3 − 2( ) : x −1( )

d) 6 x4 − 3x3 + 2x − 4( ) : x −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Calcula mediante la regla de Ruffini el valor numérico de los siguientes polinomios para:

❚❚a = 1

❚❚a = 0

❚❚a = −2

❚❚a = −2

3a) P ( x ) = -3x3 + 4 x2 -7 x

b) Q ( x ) = 9 x4 + 6 x3 −5 x2 + 7

¿Qué característica posee un polinomio que tiene como raíz x = 0?

Decide de forma razonada si x − 3 es divisor de estos polinomios.

a) P ( x ) = 2x4 + 3x3 -17 x2 - 27 x - 9

b) Q ( x ) = x3 + x2 -5 x + 3

c) R ( x ) = 5 x3 -15 x2 + 2x - 6

Si las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros dividen al término independiente, demuestra que el polinomio P ( x ) = 6 x4 + 11x2 -10 no tiene raíces enteras.

Encuentra todos los divisores de la forma x − a del polinomio P ( x ) = x4 + x3 -7 x2 - x + 6, donde a es un número entero.

52

53

54

55

56

57

58

Halla el valor de m para que 3 sea raíz de:

P ( x ) = 3x3 - x2 + mx -15

Determina el valor de m para que el resto de

−2x4 + mx3 −11x2 −5( ) : x − 3( )

sea 13.

59

60

Encuentra todas las raíces reales de los siguientes polinomios.

a) P ( x ) = 5 x2 - 3x - 2

b) Q ( x ) = x2 + x + 1

c) R ( x ) = -12x2 - x + 6

d) S ( x ) = x2 -5

Calcula las raíces de estos polinomios.

a) P ( x ) = 2x ◊ x -5( ) ◊ x + 1( ) ◊ x - 3( )

b) Q ( x ) = 3- x( ) ◊ x + 6( ) ◊ 2x -1( )

c) R ( x ) = -5 x ◊ x + 2( ) ◊ 5 x - 6( ) ◊ x2 - 9( )

61

62

`` Encuentra las raíces de estos polinomios.

a) P ( x ) = 6 x2 - x - 2

b) Q( x ) = 3x2 + 2

Solución

Las raíces de un polinomio son los valores de a que hacen P (a ) = 0 . Si igualamos los polinomios a cero, las soluciones de las ecuaciones resultantes serán las raíces del polinomio.

a) Resolvemos 6 x2 − x − 2 = 0:

x =1± 1+ 48

12→

x1 =8

12=

2

3

x2 =−6

12= −

1

2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

P ( x ) tiene dos raíces reales, 2

3 y −

1

2.

b) Resolvemos 3x2 + 2= 0:

x2 = −2

3→ x = ± −

2

3Q ( x ) no tiene raíces reales.

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍODemuestra.

a) El polinomio P ( x ) = 3x2 + 6 x - 45 tiene dos raíces enteras, x = −5 y x = 3. Justifica por qué ambas son divisores de −45.

b) Considera el polinomio de segundo grado P ( x ) = b2 x2 + b1x + b0 , con coeficientes enteros, y demuestra que, si a es una raíz entera del polinomio, P (a ) = 0, entonces a divide al término independiente, b0.

c) Generaliza la demostración anterior para un polinomio de grado n cualquiera con coeficientes enteros.

63

3 Polinomios

56

7. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSEn algunos cálculos con polinomios, como la determinación del máximo común divisor o el mínimo común múltiplo de varios polinomios, primero necesitamos descomponerlos como producto de factores irreducibles.

Son irreducibles los polinomios que no se pueden dividir más, como ocurre con los números primos.

Por ejemplo, para factorizar el polinomio P ( x ) = 6 x5 + 15 x4 + 15 x3 + 9 x2 + 3x:

1 Sacamos factor común si es posible. En este caso, todos los sumandos tienen el factor x y todos los coeficientes son múltiplos de 3.

6 x5 + 15 x4 + 15 x3 + 9 x2 + 3x = 3x ⋅ 2x4 + 5 x3 + 5 x2 + 3x + 1( )

De los dos factores, el segundo, de grado cuatro, se puede factorizar más.

2 Para encontrar los divisores de la forma x − a buscamos las raíces de los polinomios. Así, el resto, P (a ), será 0. Las raíces enteras, si las hay, dividen al término independiente. En este caso solo es preciso probar con ±1.

❚❚ Para x = 1 tenemos:

Como el resto no es 0, x = 1 no es raíz.

❚❚ Para x = −1 resulta:

En este caso, x = −1 es raíz y x + 1 es un factor de P ( x ) . Hemos descompuesto el segundo factor como producto de otros dos.

6 x5 + 15 x4 + 15 x3 + 9 x2 + 3x = 3x ⋅ x + 1( ) ⋅ 2x3 + 3x2 + 2x + 1( )

3 Repetimos el proceso, en este caso para el tercer polinomio, de tercer grado. Ya sabemos que el 1 no es raíz, así que probamos otra vez con −1.

2 3 2 1

−1 −2 −1 −1

2 1 1 0

Obtenemos de nuevo el mismo factor.

6 x5 + 15 x4 + 15 x3 + 9 x2 + 3x = 3x ⋅ x + 1( )2 ⋅ 2x2 + x + 1( )

Repetimos el procedimiento, pero ya no obtenemos resto 0. Para intentar descomponer el último factor, buscamos sus raíces: P (a ) = 0 . Igualamos el polinomio a 0 y resolvemos la ecuación asociada.

2x2 + x +1 = 0 → x =−1± 1− 8

2=−1± −7

2 → No tiene raíces reales.

El factor 2x2 + x + 1 es irreducible. Por tanto, el polinomio factorizado es:

P ( x ) = 3x ◊ x + 1( )2 ◊ 2x2 + x + 1( )

P ( x ) solo tiene tres raíces reales: 0 del primer factor, −1 del segundo factor, que como aparece dos veces la raíz es doble y el tercer factor no tiene.

Son polinomios irreducibles los de primer grado y aquellos de grado par que no tengan raíces reales.

Para factorizar un polinomio, se saca factor común si es posible y se buscan divisores irreducibles.

Aprenderás a…❚● Descomponer un polinomio como producto de factores irreducibles.

Presta atención

Las raíces se cuentan con su multiplicidad. Si un factor aparece dos veces, la raíz es doble; si aparece tres veces, es triple…

Teorema fundamental del álgebra

Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.

Lenguaje matemático

2 5 5 3 1

1 2 7 12 15

2 7 12 15 16

2 5 5 3 1

−1 −2 −3 −2 −1

2 3 2 1 0

57

3Actividades

Expresa estos polinomios de grado 2 como producto de factores, si es posible. Presta atención al coeficiente principal.

a) P ( x ) = -2x2 - 4 x + 6

b) Q ( x ) = 6 x2 -5 x - 4

c) R ( x ) = 2x2 + 2x + 1

d) S ( x ) = -2x2 + 3x + 5

64

Factoriza estos polinomios sacando factor común si es posible y aplicando las identidades notables.

a) P ( x ) = 3x3 -12x2 + 12x

b) Q ( x ) = 4 x5 - 4 x4 + x3

c) R ( x ) = 3x3 -3

4x

d) S ( x ) = 6 x5 - 30 x3

Factoriza al máximo estos polinomios. ¿Cuáles son sus raíces? ¿Cuántas tienen?

a) P ( x ) = x3 + 2x2 -5 x - 6

b) Q ( x ) = 2x3 + 5 x2 -11x + 4

c) R ( x ) = -2x4 + 4 x3 + 18 x2 - 36 x

d) S ( x ) = 3x5 - 9 x4 - 27 x3 -15 x2

65

66

Termina de factorizar estos polinomios e indica cuáles son sus raíces. ¿Qué grado tiene cada uno y cuántas raíces?

a) P ( x ) = x4 -1( ) ◊ 4 x2 + 4 x + 1( )

b) Q ( x ) = 6 x2 + 7 x -10( ) ◊ 15 x2 + 4 x - 4( )

c) R ( x ) = x4 - 2x2 + 1( ) ◊ 2x2 - x - 3( )

d) S ( x ) = 3x2 - 9 x( ) ◊ 25 x2 - 4( )

Halla un polinomio de tercer grado tal que:

❚❚ Sea divisible por x + 1.

❚❚ Una de sus raíces sea x = 3.

❚❚ Su término independiente sea 0.

Busca tres polinomios de segundo grado que sean divisores de P ( x ) = 5 x3 + 12x2 -11x - 6 .

Comprueba que los binomios x + 1 y x − 1 dividen a P ( x ) = 2x3 + 3x2 - 2x - 3. ¿Divide entonces x2 − 1 a P ( x )? ¿Por qué?

67

68

69

70

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos polinomios.

a) P ( x ) = x3 - 3x + 2 y Q ( x ) = x3 - x2 - 4 x + 4

b) P ( x ) = 4 x3 + 6 x2 + 2x y Q ( x ) = 2x4 - x3 - x2

71

`` Factoriza sacando factor común y aplicando las identidades notables.

P ( x ) = 5x4 - 30 x3 + 45x2

Solución

Todos los sumandos tienen el factor x2 y todos los coeficientes son múltiplos de 5.

5 x4 − 30 x3 + 45 x2 = 5 x2 ⋅ x2 − 6 x + 9( )

El segundo factor podría ser el desarrollo del cuadrado de una diferencia. Los términos al cuadrado son:

x2 = x( )2

y 9 = 32

Además, coincide: 6 x = 2 ⋅3 ⋅ x

Por tanto, es el cuadrado de x − 3 y:

P ( x ) = 5 x2 ◊ x2 - 6 x + 9( ) = 5 x2 ◊ x - 3( )2

EJERCICIO RESUELTO

`` Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos polinomios.

P ( x ) = 5x4 -5x2 y Q( x ) = 2x3 - 4 x2 + 2x

Solución

Factorizamos los polinomios.

P ( x ) = 5 x2 ◊ ( x + 1) ◊ ( x -1) Q ( x ) = 2x ◊ ( x -1)2

Hallamos el máximo común divisor multiplicando los factores comunes con el menor exponente.

m.c.d. (P, Q ) = x ◊ ( x -1) = x2 - x

Determinamos ahora el mínimo común múltiplo multiplicando los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.

m.c.m. (P , Q ) = 2 ◊ 5 ◊ x2 ◊ ( x -1)2 ◊ ( x + 1) == 10 x5 -10 x4 -10 x3 + 10 x2

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOEn un polinomio con coeficientes enteros, ¿qué restricción tienen las raíces enteras? Escríbelo.

a) Observa este polinomio factorizado. ¿Cuáles son sus raíces? ¿Hay alguna entera?

P ( x ) = (2x −1) ⋅ (3x + 2) ⋅ (5 x − 3) = 30 x3 −13x2 −13x + 6

b) Compara el numerador y el denominador de las distintas raíces con los coeficientes del polinomio. ¿Qué restricciones tienen las raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros?

c) Busca información sobre el teorema de las raíces racionales.

72

Dados los polinomios P ( x ) = -12x4 + 4 x2, Q( x ) = 2x2 − x y R ( x ) = 3x2 - 2, calcula 2 ◊ P ( x )-Q( x ) ◊ R ( x )[ ]2 .

2 ⋅ P ( x )−Q ( x ) ⋅ R ( x )[ ]2 = 2 ⋅ −12x4 + 4 x2 − 2x( )− 2x2 − x( ) ⋅ 3x2 − 2( )2 == 2 ⋅ −12x4 + 4 x2 − 2x( )− 2x2 − x( ) ⋅ 9 x4 −12x2 + 4( ) == −24 x4 + 8 x2 − 4 x − 18 x6 − 9 x5 − 24 x4 + 12x3 + 8 x2 − 4 x( ) == −24 x4 + 8 x2 − 4 x −18 x6 + 9 x5 + 24 x4 −12x3 − 8 x2 + 4 x = −18 x6 + 9 x5 −12x3

Polinomios. OperacionesTen en cuentaUn polinomio es la suma de dos o más monomios de distinto grado llamados términos.

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos.

Aplica la regla de Ruffini para realizar esta división: 2x3 − 9x + 3( ) : x − 2( )

2 0 −9 3

Divisor: x − 2 2 4 8 −2

2 4 −1 1 Resto:1

Cociente: 2x2 + 4x − 1

El resto coincide con el valor numérico del dividendo en el 2: P (2) = 2 ◊ 23 - 9 ◊ 2 + 3 = 1

Regla de Ruffini. Teorema del restoTen en cuentaTeorema del resto

El valor numérico de un polinomio, P ( x ), para x = a, coincide con el resto de la división de P ( x ) : ( x - a).

R = P (a )

¿QUÉ3 tienes que saber?

Factoriza el polinomio: P ( x ) = 3x3 + x2 - 8x + 4

Las raíces enteras están entre los divisores de 4: ±1, ± 2, ± 4{ }

P (1) = 3 ◊13 + 12 - 8 ◊1+ 4 = 0 → 1 es una raíz de P ( x ), y x − 1 es un factor.

P (-2) = 3 ◊ (-2)3 + (-2)2 - 8 ◊ (-2) + 4 = 0 → −2 es una raíz de P ( x ), y x + 2 es un factor.

Aplicamos la regla de Ruffini:

P ( x ) = ( x -1) ◊ ( x + 2) ◊ (3x - 2)

Las raíces de P ( x ) son 1, −2 y 2

3.

Factorización de polinomiosTen en cuentaTeorema del factor

Si x = a es una raíz del polinomio P ( x ), x − a es un factor de P ( x ).

3 1 −8 4

1 3 4 −4

3 4 −4 0

−2 −6 4

3 −2 0

Calcula el valor numérico del polinomio para los valores que se indican. ¿Hay alguno que sea raíz?

P (x) = 2x3 + 3x2 − 8x −12

a) a = 0 b) a = 2 c) a = −1 d) a = −3

2a) P (0) = 2 ⋅03 + 3 ⋅02 − 8 ⋅0−12 = −12 → No es raíz.

b) P (2) = 2 ⋅23 + 3 ⋅22 − 8 ⋅2−12 = 16 + 12−16−12 = 0 → Sí es raíz.

c) P (−1) = 2 ⋅ (−1)3 + 3 ⋅ (−1)2 − 8 ⋅ (−1)−12 = −2 + 3 + 8−12 = −3 → No es raíz.

d) P −3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 2 ⋅ −

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

+ 3 ⋅ −3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

− 8 ⋅ −3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−12 = −

54

8+

27

4+

24

2−12 = 0 → Sí es raíz.

Valor numérico. RaícesTen en cuenta❚❚ El número que se obtiene al sustituir un valor, a, en un polinomio, P ( x ), se llama valor numérico, P (a ).

❚❚ Si el valor numérico de P ( x ) para x = a es igual a cero, P (a) = 0 , se dice que a es raíz del polinomio.

58

Enumera los términos y coeficientes de estos polinomios. Para cada uno de ellos, indica:

❚❚ Su grado.

❚❚ El coeficiente principal.

❚❚ El término independiente.

❚❚ Si es completo o no.

a) P ( x ) = -3x5 + 7 x3 - 3 + x7

b) Q ( x ) = 1- 2x6 + 4 x12

c) R ( x ) = 5 x3 - 8 x10 - 3x

d) S ( x ) = 23x5 - 3 + 4 x3 + 6 x2

Calcula el valor numérico de estos monomios y polinomios para los valores que se indican.

a) M (a, b, c ) = -7abc , a =2

3, b = -

3

5, c =

5

7

b) N ( x , y ) =3xy

8, x = 2, y = -2

c) P ( x ) = -x3 - x2 + x - 4, x = -1

d) Q ( x ) = -5 x4 + 4 x3 + 50, x = -2

e) R ( x ) =1

9x3 +

1

6x2 -

3

2, x = 3

Operaciones con polinomios

Considera los polinomios:

P ( x ) = -5 x3 - 2x2 + 7

Q ( x ) = -x3 + 4 x - 6

R ( x ) = 2x3 - x2 - x + 3

Calcula:

a) -Q ( x ) + R ( x )

b) R ( x )- P ( x )- 3Q ( x )

c) P ( x )- [Q ( x )- 2R ( x )]

d) P ( x )- 2 ◊ [Q ( x )- R ( x )]

Simplifica las siguientes expresiones algebraicas.

a) 3 ⋅ x3 −5 x2 + 2x + 1( )−5

2x ⋅ −6 x + 3( )

b) −x3 + 2x2 −1( ) ⋅ −5 x2 − 3( )

c) 6 ⋅ x − 3( ) ⋅ x + 2( ) ⋅ 2x −5( )

d) −7 ⋅ x3 − 2x2 −1( ) + 2x ⋅ x −1( ) ⋅ x + 1( )

e) −x + 2x ⋅ x − 3( ) ⋅ x + 2( )− 4 x2 ⋅ 2x −1( )

Saca factor común en estos polinomios.

a) P ( x ) = 3x5 -5 x4 - 2x2

b) Q ( x ) = -30 x7 + 10 x5

c) R ( x , y ) = -6 x3 y3 + 2x2 y 4 + 4 x3 y2 - 8 x2 y2

78

79

80

81

82

Monomios y polinomios. Valor numérico

Escribe tres monomios semejantes a 17x5y2. ¿Cuál sería el opuesto?

Realiza estas operaciones con monomios cuando sea posible.

a) −4 xy2 − 9 x2 y

b) −4 xy2 − 9 y2 x

c) x

3⋅3x3

4

d) 8

3a6 ⋅2ab3

e) ab2c

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

− ab2 −3

4b3c2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

f) 9 x2 y3 −18 x5 y 4 :6

5x3 y

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Dados los monomios:

M ( x ) = 60 x9 y N ( x ) = -5 x6

a) Determina el grado de M ( x ) y N ( x ).

b) Calcula el producto M ( x ) ◊ N ( x ) .

c) Halla el cociente M ( x ) : N ( x ) .

Compara los grados de M ( x ) y N ( x ) con los grados de su producto y su cociente. Explica qué observas.

Simplifica estas operaciones con monomios. Indica si el resultado es un monomio o un polinomio y de qué grado.

a) −18 x2 − 3x + 3x3 −5 x ⋅6 x2 + (4 x )2

b) 3

4x3 ⋅

2

9x2 −5 x3 −

1

6x5 −7 x3 +

2

3x2

c) 5 y2 ⋅3

4y3 − 4 y5 − 3 y ⋅

y2

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

d) 5 xy3 − 2x3 y − 3x3 y + 7 xy − 4 xy3 + 6 x3

e) 3 y ⋅ −7 x2( ) + x ⋅8 xy − 3x( )2 ⋅ y

f) 5

6xy ⋅2 yz −7 x ⋅3z ⋅

y

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

− 4 xy ⋅z

6

Agrupa los términos semejantes en estos polinomios y ordénalos. ¿Qué grado tienen?

a) P ( x ) = 3x6 - 4 x3 + 2-11x3 -7 x5 + 3 + x6 - x2

b) Q ( x ) = -x3 - x2 + 1- 2x + 3x2 + x + x3 - 2

c) R ( x ) =3

2x2 -5 +

5

3x +

1

3x2 - x

d) S ( x ) = −1

2x2 + 2x + 5−

5

4x + x2

e) T ( x ) =3

2x4 +

2

3x2 −

2

3x3 −

1

2x2 −

5

2x4

73

74

75

76

77

Actividades Finales 3

59

60

3 Polinomios

Calcula el cociente y el resto de estas divisiones.

a) 3x2 - 2/15 x + 1/3( ) : 5 x - 3( )

b) −14 x3 −13x2 + 4 x + 1( ) : 7 x + 3( )

c) 4 x3 −16 x2 + 10 x + 10( ) : 4 x2 − 6 x −5( )

d) −x6 + x2 + 3x − 4( ) : x2 + 2( )

Divide y comprueba el resultado.

a) 3x3 − 2

x2 + x − 4 b)

−2x4 − 3x3 + 3x2

2x2 + x

Calcula el dividendo de una división sabiendo que el divisor es Q ( x ) = 3x2 + 2x -1; el cociente, C ( x ) = -4 x + 2/3, y el resto, R ( x ) = -4/3 x + 5/3.

Comprueba, sin realizar la división, que C ( x ) = x2 + x −1 y R ( x ) = -3x + 1 son el cociente y el resto de la división:

2x4 − x3 − 4 x2 + x

2x2 − 3x + 1

Dados los polinomios:

P ( x ) = -10 x4 + 3x3 + x2 -5 x

Q ( x ) = -2x3 + x2 -1a) Comprueba que el polinomio Q ( x ) no es divisor

de P ( x ) .

b) Modifica P ( x ) para que lo sea.

Escribe un polinomio de segundo grado divisible entre (2x + 5) y (3 − 2x) cuyo término independiente sea −3.

Regla de Ruffini

Realiza estas divisiones aplicando la regla de Ruffini.

a) −2x2 −7 x + 3

x + 4 c)

3x4 −5 x2 −10

x − 2

b) 2x3 + 11x2 −10

x + 5 d)

x6 − 60

x + 2

Resuelve estos cocientes mediante la regla de Ruffini.

a) 25 + 10 x2 −15 x + 3x3( ) : x + 5( )

b) 3− x2( ) : x − 2( )

c) 3x + x4 + 2− x3( ) : 1+ x( )

d) −50 x + 20− 2x4( ) : 3 + x( )

Aplica la propiedad fundamental de la división y calcula el cociente y el resto.

a) 12x3 − 2x2 + 6( ) : 2x + 1( )

b) 4 x2 −5( ) : 2x − 3( )

c) 12x4 − 2x3 − 2( ) : 3x + 1( )

d) 4 x2 + x − 2( ) : 5 x − 2( )

89

90

91

92

93

94

95

96

97

Halla el polinomio que determina el área, en decímetros cuadrados y en función de la longitud de la base, de un marco que se puede elaborar con un listón de madera que mide 2 m.

Desarrolla aplicando las identidades notables.

a) 5 y + 2( )2 c) −x3 −5 x2( )2

b) −a4 + 5b( )2 d) −x − y5( ) ⋅ x − y5( )

Resuelve y simplifica.

a) x +1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ x −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− x −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

b) 2x + 2( )2 − x + 3( ) ⋅ 2x −1( )

c) 3 ⋅ 3x + 5( ) ⋅ 2x − 3( ) + x + 3( )2 ⋅ x − 3( )2

Justifica si estos polinomios corresponden al desarrollo de alguna identidad notable. Indica cuál.

a) x6 + 10 x4 + 25 x2 c) 3− x4

b) x4 − 2x2 y + y2 d) x6

9−

x4

4

Calcula estas potencias de binomios.

a) x + 2( )6 c) 3x + 5( )3 e) x2 + y( )5

b) x −1( )7 d) −3x + 1( )4 f) x − y3( )4

Fíjate en la remodelación proyectada para una plaza cuadrada. Determina la expresión algebraica que indica la superficie de la plaza después del ensanche en función de sus dimensiones actuales.

Modifica el dibujo para que corresponda al cuadrado de una suma. ¿Coinciden ambas expresiones?

83

84

85

86

87

10788

61

Actividades Finales 3

Averigua si x = −2 es raíz de alguno de los siguientes polinomios.

a) P (x) = 5 x4 − 20 x2 − x + 1

b) Q (x) = 3x3 −7

2x2 −7 x + 4

c) R (x) = −x5 + x3 − x2 − x

d) S (x) = −2x4 + 7 x3 − 2x2 −14 x + 12

Sea el polinomio:

P ( x ) = 2x3 + mx2 + nx + 2

a) Averigua los valores de m y n para que tenga como raíces x = 2 y x = −1.

b) ¿Tiene alguna otra raíz? ¿Cuál?

Considera el polinomio:

P ( x ) = 3x3 − 6 x2 + mx − 4

Calcula m para que sea divisible por x − 2.

Determina el valor de m para que el resto de la

división −2x3 + mx + 6( ) : x + 2( ) sea −4.

Expresa estos polinomios de grado 2 como producto de factores, si es posible.

a) P ( x ) = 15 x2 + 11x + 2

b) Q ( x ) = -3x2 + 2x -7

c) R ( x ) = -4 x2 + 15 x - 9

d) S ( x ) = 3x2 -15 x - 42

Factoriza estos polinomios sacando factor común todo lo que sea posible y aplicando después las identidades notables.

a) P ( x ) = 50 x3 + 40 x2 + 8 x

b) Q ( x ) = 24 x5 -54 x3

c) R ( x ) =4

27x2 −

10

9x +

25

12

d) S ( x ) =125

9x3 -

5 x

4

Factoriza al máximo los siguientes polinomios. ¿Cuáles son sus raíces?

a) P x( ) = x3 −5 x2 + 7 x − 3

b) Q x( ) = 5 x3 −7 x2 − 28 x + 12

c) R x( ) = −7 x6 − 42x5 − 21x4 + 70 x3

d) S x( ) = 5 x5 + 55 x4 + 205 x3 + 305 x2 + 150 x

Termina de factorizar estos polinomios.

a) P x( ) = 10 x2 − 3x −1( ) ⋅ 6 x2 + 5 x − 4( )

b) Q x( ) = x2 + 10 x + 25( ) ⋅ 18 x2 − 9 x − 2( )

c) R x( ) = 16 x4 − 81( ) ⋅ x2 + 2x − 3( )

d) S x( ) = x2 −9

25x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 9 x2 + 6 x + 1( )

106

107

108

109

110

111

112

113

Transforma la siguiente división de modo que sea resoluble aplicando la regla de Ruffini.

4 x2 −10 x −5( ) : −2x + 6( )

¿Cómo lo haces? Determina el cociente y el resto.

Determina el valor de m para que el polinomio P ( x ) = 3x4 - 2x3 + m sea múltiplo de x + 1.

Calcula el valor de m para que el resto de la división −x4 + mx3 + 14( ) : x + 3( ) sea −4.

Calcula cuáles de estos números son raíces del polinomio P ( x ) = 5 x3 + 3x2 -12x + 4 utilizando la regla de Ruffini.

a) x = 2 d) x = 4

b) x = 1 e) x = −1

5

c) x = −2 f) x =2

5

Teorema del resto. Raíces de un polinomio. Factorización

Comprueba si x + 1 es un factor de los siguientes polinomios.

a) P ( x ) = 3x3 - 2x2 + x + 6

b) Q ( x ) = 3x5 + 3x4 - x3 - x2 + 5 x + 5

c) R ( x ) = 5 x4 -5 x3 - 3x2 + 5 x - 2

Determina cuánto tendría que valer m para que estas divisiones sean exactas.

a) 2x3 − x2 + mx − 6( ) : x − 3( )

b) 4 x3 + mx2 − x + 6( ) : x − 2( )

c) x4 −5 x2 + mx + 4( ) : x + 2( )

Determina todas las raíces enteras del polinomio:

P (x) = 2x5 + x4 −15 x3 + 5 x2 + 13x − 6

¿Es eso suficiente para factorizarlo? ¿Por qué?

Averigua si x = −1 y x = 1 son raíces de los siguientes polinomios.

a) P (x ) =3x6 -4 x5 -7x3 +5x +3

b) Q (x ) =-5x4 -2x3 -4 x2-3x +4

c) R (x ) =2x5 -5x3 + x2 +3x-1

d) S (x ) =-5x4 + x3 +2x2-x +3

Observa las operaciones que has realizado y describe una estrategia rápida para determinar si 1 o −1 son raíces de un polinomio.

98

99

100

101

102

103

104

105

3 MATEMÁTICAS VIVAS

62

En el taller de Óscar se fabrican ventanas de aluminio de todo tipo. Para elaborar un ventanal rectangular fijo, se necesitan dos tipos de aluminio, uno más resistente para los tramos verticales y otro menos resistente para los tramos horizontales. Además, hay que elegir el tipo de cristal que se desea poner.

COMPRENDE

Fíjate en los precios de los dos tipos de aluminio y en el de los cristales.

a. ¿De qué depende el precio de la ventana? ¿Qué datos necesitas conocer?

b. Calcula cuánto costaría un ventanal que midiese 120 cm de ancho por 150 cm de alto con cristal simple. Explica cómo lo haces.

c. ¿Y si midiese 150 cm de ancho y 120 cm de alto? ¿Tendría la misma superficie?

d. ¿Qué es más barato: una ventana más larga o una más alta?

1

COMUNICA

RESUELVE

PIENSA Y RAZONA

RELACIONA

Encuentra una fórmula que permita calcular los precios del ventanal variando las dimensiones.

a. ¿Cuántas variables necesitas incluir en la expresión? Defínelas. Haz un esquema del ventanal con sus dimensiones y di lo que necesitas medir.

b. Escribe un polinomio que permita calcular el precio del marco. ¿Qué grado tiene?

c. Escribe un monomio que permita calcular la superficie del cristal. Modifícalo para que te dé el precio si se encarga cristal doble. ¿De qué grado es? ¿Por qué?

d. Utiliza las dos expresiones anteriores para encontrar un polinomio que permita calcular el precio de un ventanal con cristal doble dependiendo de las dimensiones.

e. Elabora una hoja de cálculo que determine los precios al introducir las dimensiones. Escribe el largo y el ancho en las dos primeras columnas para hallar el valor numérico del polinomio en la tercera.

2

REPRESENTA

MODELIZA

UTILIZA LAS TIC

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

63

3El precio de una ventana

REFLEXIONA

Ruth está reformando su casa y quiere colocar en el salón un gran ventanal con aislamiento acústico que ilumine la estancia y que ocupe una superficie de 3 m2. Ha pedido presupuesto y le han dicho que el precio dependerá de las dimensiones de su ventana.

a. Si la superficie de la ventana está fijada, ¿qué relación hay entre el alto y el ancho? Tantea con varios valores y escribe una fórmula que relacione ambas medidas.

b. A partir de la fórmula anterior consigue una expresión algebraica que diga cómo se calcula la altura del ventanal si conocemos la anchura.

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

c. Reescribe el polinomio anterior que calculaba el precio de la ventana y adáptalo a las nuevas condiciones y al precio del tipo de cristal. Sustituye la altura por la fórmula que la relaciona con la anchura. ¿Cuántas variables necesitas ahora? ¿Es un polinomio?

d. Reduce la expresión a una única fracción.

e. Ruth tiene pensado abrir un hueco en la pared de entre 1,5 m y 2,5 m de ancho. Con la ayuda de una hoja de cálculo y la expresión anterior calcula el precio de distintas opciones.

f. Representa gráficamente los datos obtenidos en la tabla.

g. Observa las posibilidades y elige una buena opción. ¿Cuáles te parecen mejores? ¿En qué te has fijado?

3

RESUELVE

MODELIZA

UTILIZA LAS TIC

REPRESENTA

ARGUMENTA

TRABAJO

COOPERATIVO

TAREAObservad este folleto de un taller que fabrica envases para líquidos. Todos los envases son prismas rectos de base cuadrada y tienen una capacidad de 1 L. Elaborad una expresión algebraica que permita calcular el precio del envase teniendo en cuenta lo que cuestan los materiales y dependiendo de cómo varía el lado de la base.

Organizad en una tabla los distintos valores de la expresión y, con ayuda de una gráfica, decidid cuál parece el envase más barato.

3 Polinomios

64

Para calcular con rapidez el producto de dos binomios de la forma x − a, nos fijamos en cómo se realiza el producto:

( x - a) ◊ ( x -b ) = x2 -ax-bx + ab = x2 -(a + b )x + ab

El coeficiente principal es 1, el coeficiente de grado 1 coincide con el opuesto de a + b, y el término independiente es ab.

Por ejemplo:( x - 4) ◊ ( x - 6) = x2 -( 4 + 6)x + 4 ◊ 6 = x2 -10 x + 24

( x - 2) ◊ ( x + 5) = x2 -(2-5)x + 2 ◊ (-5) = x2 + 3x-10

CM1. Calcula mentalmente estos productos.

a) ( x - 3) ◊ ( x -7) d) ( x + 3) ◊ ( x - 2)

b) ( x -1) ◊ ( x - 9) e) ( x + 4) ◊ ( x + 3)

c) ( x - 4) ◊ ( x + 1) f) ( x + 1) ◊ ( x + 2)

CM2. Revisa el método anterior y modifícalo para calcular mentalmente estos productos.

a) (2x - 3) ◊ ( x -1) c) (5 x + 1) ◊ ( x - 3)

b) ( x -1) ◊ (3x + 2) d) (3x + 1) ◊ ( x + 3)

CÁLCULO MENTAL Estrategia para MULTIPLICAR DOS BINOMIOS

AVANZA Factorización de polinomios con dos variables

Para factorizar polinomios con dos variables, utilizamos algunos de los métodos que conocemos para expresiones de una sola variable:

❚ Sacar factor común

❚ Aplicar identidades notables

Veamos ejemplos de cada uno de ellos.

❚ Sacando factor común

Para factorizar el polinomio P x , y( ) = −5 y3 + 10 xy − y2 + 2x :

1 Agrupamos los términos según tengan una u otra variable y sacamos factor común en los términos que sea posible.

10x y + 2x -5y3 - y2 = 2x ◊ 5 y + 1( )- y2 ◊ 5 y + 1( )

2x ⋅ 5y + 1( )− y2 ⋅ 5y + 1( )= 2x − y2( ) ⋅ 5y + 1( )

2 Comprobamos si coincide algún factor en los sumandos obtenidos.

P x , y( ) = 2x − y2( ) ⋅ 5 y + 1( )

❚ Buscando identidades notables

Para factorizar el polinomio Q x , y( ) = 4 x2 − 4 xy2 + y 4 :

1 Observamos si el polinomio puede coincidir con el desarrollo de alguna de las identidades notables.

¿Se trata del cuadrado de una diferencia? 4 x2 − 4 xy2 + y 4 = 2x( )2 − 2 ⋅2x ⋅ y2 + y2( )2 = 2x − y2( )2

2 Identificamos los términos y transformamos las sumas en productos.

Q x , y( ) = 2x − y2( )2

A1. Factoriza estos polinomios sacando factor común.

a) −2xy2 − 2x2 y

b) 4 x5 + 3x2 y + 8 x3 + 6 y

A2. Factoriza estos polinomios buscando identidades notables.

a) y2 + 2xy + x2 b) 16 x6 − 9 y2