notas polinomios

P O L I N O M I O S

1

* Definición de polinomios.

Un polinomio es una expresión del tipo

n

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = ∑ akxk

k=1

donde an , an-1 , … , a1 , a0 son los coeficientes del polinomio.

n es un número entero no negativo e indica el grado del polinomio.

an es el coeficiente principal ó director y a0 es el término independiente.

* Valores de un polinomio.

Cuando sustituimos la variable x por un número determinado, obtenemos un valor de dicho polinomio el

que corresponde a ese valor.

Por ejemplo, para P(x) = 3x2 + 2x – 1 el valor correspondiente a x = 1 es P(1) = 3(1)2 + 2(1) – 1 = 4

Si graficamos todos los valores posibles de x y p(x)

en un plano Cartesiano de dos dimensiones,

obtenemos la gráfica de ese polinomio.

Así, en nuestro ejemplo, la gráfica se vería así:

P O L I N O M I O S

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* Polinomio cero.

Cuando en un polinomio P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 todos los coeficientes an son ceros,

entonces dicho polinomio recibe el nombre de “polinomio cero”. Un polinomio de este tipo no tiene grado

definido.

* Clasificación de Polinomios.

Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de sumandos ó términos que los componen.

Así, tenemos monomios: P(x) = c , P(x) = 3x , P(x) = 4x2 , P(x) = 5x3

binomios: P(x) = ax + c , P(x) = 3x4 – x , P(x) = 4x3 + 3

trinomios: P(x) = ax2 + bx + c , P(x) = 3x2 – 2x + 1 , P(x) = 3x4 – 2x3 + 5x2

Después del cuarto término, se denominan genéricamente polinomios.

* Grado de un Polinomio.

Como ya se mencionó, el grado de un polinomio lo determina el mayor exponente que contenga con

coeficiente distinto de cero.

Así, tenemos polinomios de grado 0: P(x) = c , P(x) = 2 , P(x) = - 3 , P(x) = 5

polinomios de grado 1: P(x) = ax + c , P(x) = – x , P(x) = 4x + 3

polinomios de grado 2: P(x) = ax2 + bx + c , P(x) = 3x2 – 2x , P(x) = 3x2 – 5

polinomios de grado 3: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d , P(x) = 4x3 – 5x , P(x) = 3x3 + 7

P(x) = anxn + an-1x

n-1 + … + a1x + a0 es un polinomio de grado n.

P O L I N O M I O S

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* Igualdad de Polinomios.

Decimos que dos polinomios

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 y Q(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b1x + b0

son iguales cuando an = bn , an-1 = bn-1 , … , a1 = b1 , a0 = b0

* Ejercicio. Determine los valores de a, b y c para que los siguientes polinomios sean iguales.

P(x) = 12x4 + 5x2 + 3x y Q(x) = (2a + b)x6 + 2cx4 + 5x2 + (a+1)x

Para que sean iguales se debe cumplir que 2a + b = 0 , 2c = 12 , 5 = 5 y a + 1 = 3

De donde observamos que c = 6 , a = 2 y para el valor de b, sustituimos a = 2 en 2a + b = 0 por lo que

b = - 4

* Suma de Polinomios.

Si se requiere realizar la suma de dos polinomios P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 y

Q(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b1x + b0 debemos sumar los términos semejantes conservando la

potencia que tienen

P(x) + Q(x) = ( an + bn )xn + ( an-1 + bn-1 )x

n-1 + … + ( a1 + b1 )x + ( a0 + b0 )

* Ejercicio. Determine la suma de los siguientes polinomios

P(x) = x4 - 4x2 + 3 y

Q(x) = 2x5 - 2x4 + 5

P(x) = 2x6 + 3x3 - 4x y

Q(x) = -8x6 + 5x3 + 8

P(x) = 3x3 + 2x2 + 3x - 4 y

Q(x) = 2x3 + 2x2 - 5x + 1

P O L I N O M I O S

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* Producto de un escalar por un Polinomio.

Si se requiere realizar el producto de un escalar k por el polinomio P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x +

a0 debemos multiplicar cada uno de los coeficientes por k conservando la potencia que tienen

k P(x) = k an xn + k an-1 x

n-1 + … + k a1 x + k a0

* Ejercicio. Determine el producto de los siguientes polinomios por un escalar

P(x) = x4 - 4x2 + 3

por 3

P(x) = 2x6 + 3x3 - 4x

por - 4

P(x) = 3x3 + 2x2 + 3x - 4

por 4

* Producto de dos Polinomios.

Si se requiere realizar el producto de dos polinomios P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 y

Q(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b1x + b0 debemos multiplicar cada término del polinomio P(x) con cada

uno de los términos de Q(x) y después sumar los términos semejantes conservando la potencia que tienen,

lo que nos indica que el grado del nuevo polinomio P(x) ▪ Q(x) será la suma de los grados de P(x) y de

Q(x)

Por ejemplo, si queremos el producto de P(x) = x2 + x + 1 y Q(x) = x3 - x + 1

Tenemos P(x) ▪ Q(x) = x5 - x3 + x2 + x4 - x2 + x + x3 - x + 1 = x5 + x4 + 1

* Ejercicio. Determine el producto de los siguientes polinomios

P(x) = 3x4 + 2x2 - 3 y

Q(x) = x5 - 2x4 + 4x

P(x) = x6 - 2x3 + 2x y

Q(x) = x6 + 2x3 + 1

P(x) = 2x3 - 3x2 - x - 2 y

Q(x) = x3 + 2x2 + 5x - 1

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* División de dos Polinomios.

Si se requiere realizar la división de dos polinomios P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 y

Q(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b1x + b0 debemos tener en cuenta que las potencias de mayor exponente

dominan en dicha operación, y que generalmente, el polinomio que divide, debe ser de grado menor ó igual

al que es dividido.

Así, recordando la división de dos polinomios, ordenamos los polinomios de mayor a menor grado,

completando con ceros donde no exista coeficiente para una potencia en particular, y procederíamos

dividiendo el mayor del dividendo con el mayor del divisor, por lo que tendríamos:

8x - 14 que también puede escribirse así:

x + 2 │ 8x2 + 2x - 1

- 8x2 - 16 x 8x2 + 2x - 1 = 8x - 14 + 27

0 - 14x - 1 x + 2 x + 2

+ 14x + 28

0 + 27

El ejemplo anterior nos muestra que al dividir un polinomio de grado n, entre otro de grado m, que puede

ser de menor ó igual grado que del primero, obtenemos un nuevo polinomio de grado n - m como resultado,

más un elemento residual que puede ó no ser divisible entre el divisor.

Entonces, podemos decir que cuando efectuamos la división de dos polinomios P(x) y Q(x), donde el grado

de Q(x) es menor ó igual al de P(x), llegamos a

P(x) = C(x) + R(x) donde C(x) es el polinomio cociente y R(x) es el polinomio residual

Q(x) Q(x)

Lo anterior también lo podemos escribir así: P(x) = C(x) ▪ Q(x) + R(x)

Donde R(x) es un polinomio irreductible.

P O L I N O M I O S

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En particular, si el polinomio Q(x) = ( x - a ) que es un polinomio irreductible de grado 1, tendríamos

P(x) = C(x) ▪ ( x - a) + P(a) que se conoce como Teorema del Residuo.

Esto me indica que un polinomio P(x) de grado n, siempre se podrá dividir entre un polinomio irreductible

( x - a ) y el resultado será un nuevo polinomio C(x) de grado n - 1 y el polinomio residual siempre será de

grado cero, por lo que es un número constante e igual a P(a).

Si el residuo es cero, decimos que el polinomio P(x) es divisible entre ( x - a )

* Teorema del factor.

Si un polinomio P(x) se puede expresar como producto de polinomios de grado mayor que cero, se dice

que cada uno de esos polinomios es factor de P.

Automáticamente, el polinomio residual P(s) = 0

Por ejemplo, P(x) = x3 - 1 = ( x - 1 ) ( x2 + x + 1 )

P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6 = ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 3 )

P(x) = x2 - x - 6 = ( x + 2 ) ( x - 3 )

* División Sintética.

Cuando realizamos la división de dos polinomios, llevamos a cabo un proceso que, a medida que el grado

aumenta, nos conduce a un proceso largo y tedioso:

x5 - 3x2 + 2x - 1

x + 2 │ x6 + 2x5 + 0x4 - 3x3 - 4x2 + 3x - 2

- x6 - 2x5

0 + 0 + 0 - 3x3

+ 3x3 + 6x2

0 + 2x2 + 3x

- 2x2 - 4x

0 - x - 2

+ x + 2

0 + 0

P O L I N O M I O S

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Si lo observamos, hay términos que sólo se van arrastrando, y no influyen en el resultado en los pasos

intermedios.

Existe otro método conocido como división sintética, en el cual no escribimos ninguna potencia de x.

Primero ordenamos el polinomio del mayor grado al menor grado.

x6 + 2x5 + 0x4 - 3x3 - 4x2 + 3x - 2

Segundo, escribimos los coeficientes sin las potencias de x, completando las potencias que no aparecen con

coeficientes ceros.

1 2 0 - 3 - 4 3 - 2

Tercero, escribimos el término independiente del binomio divisor, pero con el signo cambiado

1 2 0 - 3 - 4 3 - 2 │ - 2

Cuarto, dejamos dos espacios horizontales para trabajar

1 2 0 - 3 - 4 3 - 2 │ - 2

Quinto, el coeficiente inicial lo bajamos

1 2 0 - 3 - 4 3 - 2 │ - 2

1

Sexto, multiplicamos este coeficiente 1 por el divisor - 2 y escribimos el resultado debajo del siguiente

coeficiente por dividir, y hacemos la suma algebraica de los coeficientes verticales.

1 2 0 - 3 - 4 3 - 2 │ - 2

- 2

1 0

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Repetimos este paso hasta completar todos los coeficientes.

1 2 0 - 3 - 4 3 - 2 │ - 2

- 2 0 0 6 - 4 2

1 0 0 - 3 2 - 1 0

Al terminar, tendremos los coeficientes del polinomio cociente, ordenados desde xn - 1 hasta x0, y el último

número es el residuo de la división.

1 2 0 - 3 - 4 3 - 2 │ - 2

- 2 0 0 6 - 4 2

1 0 0 - 3 2 - 1 0

C(x) = x5 - 3x2 + 2x – 1 con R(x) = 0

* Ejercicio. Realice la división sintética de los siguientes polinomios

P(x) = 2x3 - 5x2 - 14x + 8

entre Q(x) = x - 4

P(x) = x3 - x2 - 17x - 15

entre Q(x) = x + 3

P(x) = x7 + 2x6 - 2x4 - 4x3 + 4x + 8

entre Q(x) = x + 2

P(x) = 3x3 - 8x2 + 9x - 10

entre Q(x) = x - 2

* Raíces de un polinomio.

Recordando el teorema del factor, si un polinomio P(x) se puede expresar como producto de polinomios de

grado mayor que cero, se dice que cada uno de esos polinomios es factor de P.

Por ejemplo, P(x) = x3 - 1 = ( x - 1 ) ( x2 + x + 1 )

P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6 = ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 3 )

P(x) = x2 - x - 6 = ( x + 2 ) ( x - 3 )

Y en donde se cumple que el polinomio residual P(s) = 0

Esto me dice que si P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6 = ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 3 ) , entonces los valores de

x = - 1 , x = 2 y x = - 3 cumplen con P(s) = 0.

A estos valores, que cumplen con P(s) = 0 se les conoce como las raíces de un polinomio

P O L I N O M I O S

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Una de las primeras aplicaciones de conocer las raíces de un polinomio, es el hecho de que en la gráfica de

ese polinomio sobre un plano cartesiano XY, es en las raíces donde y = 0, por lo que es donde el polinomio

corta al eje X.

Para P(x) = x2 - 6x + 8

= ( x - 4 ) ( x - 2 )

Por lo que sus raíces son

x = 2 y x = 4

Otra importante aplicación es que para un polinomio P(x), podemos encontrar sus factores lineales

irreductibles como binomios donde el término independiente es justamente una de sus raíces con signo

cambiado.

P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6 = ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 3 )

Lo anterior es un proceso muy útil para simplificar operaciones algebraicas que involucran cocientes de

polinomios.

P O L I N O M I O S

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* Teorema fundamental del algebra.

“Todo polinomio de grado n con coeficientes en los complejos, tiene exactamente n raíces complejas”

Esto me indica que todo polinomio puede ser escrito como producto de polinomios irreductibles de la forma

( x - z ) en donde z es un número complejo.

Si un número complejo z = a + b i es una raíz de P(x) entonces su conjugado z* = a - b i también es

una raíz de P(x). (SÓLO EN POLINOMIOS DE GRADO PAR.)

Por lo tanto, las raíces complejas con término imaginario, siempre vienen en pares. (SÓLO APLICABLE

PARA POLINOMIOS DE GRADO PAR CON COEFICIENTES EN LOS REALES)

Las raíces puramente reales pueden presentarse solas.

Las raíces complejas z = a + b i pueden presentarse solas en polinomios de coeficientes complejos.

Este teorema nos garantiza que las raíces existen, aunque no nos indica cómo se hallan éstas. Sin embargo,

es un hecho importante puesto que asegura que estamos buscando algo que en realidad existe.

* Técnicas para buscar raíces.

Existen muchas técnicas y trucos para encontrar las raíces de un polinomio, aunque no reglas generales

aplicables a la solución de todos.

Por ejemplo, resolver una ecuación del tipo x + 3 = 0 es un proceso muy simple y nos conduce a x = - 3

Lo anterior es aplicable a todos los polinomios de grado 1.

* Ejercicio. Determine las raíces de los siguientes polinomios

P(x) = x + 8

P(x) = x - 3

P(x) = 4x - 2

P(x) = 2x + 5

P O L I N O M I O S

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Para polinomios de grado 2, tenemos varios planteamientos, dependiendo de cómo está estructurado el

polinomio.

P(x) = ax2 + bx + c P(x) = ax2 + bx P(x) = ax2 + c P(x) = ax2

Veamos el caso más simple: P(x) = ax2 . Al hacer ax2 = 0 tenemos que sin importar el valor de a ≠ 0

las únicas raíces posibles son x1 = 0 , x2 = 0

Como son iguales, se dice que son raíces múltiples, ó que el polinomio tiene multiplicidad de raíces.

Analicemos P(x) = ax2 + bx. Aquí, al no existir término independiente, podemos factorizar una x, lo

que nos lleva a x ( ax + b ) = 0

Automáticamente una raíz es x = 0, y la otra se resuelve al despejar x en ax + b = 0

Por lo que las raíces resultaron x1 = 0 , x2 = - b/a

Revisemos ahora P(x) = ax2 + c. En este caso, debemos despejar x de ax2 + c = 0

Entonces x = +√ - c / a donde si - c / a > 0 tenemos dos raíces reales,

si - c / a < 0 tenemos dos raíces imaginarias.


P(x) = x2 - 8

P(x) = x2 + 3x

P(x) = 4x2

P(x) = x2 + 16

P O L I N O M I O S

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Un caso más elaborado es P(x) = ax2 + bx + c que puede resolverse usando algún método de

factorización.

Por ejemplo, para P(x) = x2 + 4x + 4 tenemos x2 + 4x + 4 = 0 que es un trinomio cuadrado

perfecto, por lo que se puede escribir x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2 = 0 y nos conduce a dos raíces iguales

con valor x = - 2

Tomemos ahora P(x) = x2 - x - 6 donde x2 - x - 6 = 0 que es un trinomio de segundo grado, que

se puede escribir x2 - x - 6 = ( x + 2 ) ( x - 3 ) = 0 y nos conduce a dos raíces con valor x1 = - 2 y

x2 = 3

Pero, ¿qué hacemos cuando no es posible utilizar una factorización? Esto se resolvió hace varios siglos con

la llamada fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

Para ax2 + bx + c = 0 se tiene que x = - b + √ b2 - 4 a c

2a

Si b2 - 4 a c > 0 tendremos dos raíces reales diferentes

Si b2 - 4 a c = 0 tendremos dos raíces reales iguales

Si b2 - 4 a c < 0 tendremos dos raíces complejas conjugadas


P(x) = x2 - 6x + 9

P(x) = x2 + 2x - 8

P(x) = 4x2 + 4x - 3

P(x) = 4x2 - 4x + 1

P(x) = x2 + 2x + 2

P(x) = 2x2 + 3x + 1

P(x) = 18x2 + 9x - 2

P(x) = 4x2 + 4x - 24

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* Raíces de Polinomios múltiplos.

Sean los polinomios P(x) y Q(x) donde Q(x) = k P(x) con k en IR. Se verifica que las raíces de

P(x) son las mismas raíces de Q(x).

Lo anterior nos ayuda a trabajar con coeficientes enteros en vez de fraccionarios.

Por ejemplo P(x) = x2 + ½ x - 1/9 podemos escribirlo como Q(x) = 18 P(x) = 18x2 + 9x - 2

Las raíces de Q(x) son x1 = 1/6 y x2 = - 2/3 y son las mismas raíces de P(x)

Entonces P(x) = ( x + 2/3 ) ( x - 1/6 ) y

Q(x) = 18 ( x + 2/3 ) ( x - 1/6 ) = ( 18x + 12 ) ( x - 1/6 ) = ( x + 2/3 ) ( 18x - 3 )

Nota: sus gráficas no son iguales, aunque sí cortan

en el mismo lugar al eje X.

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* Raíces de Polinomios con grado mayor a 2.

Para polinomios de grado mayor a 2, no es tan simple encontrar fórmulas de resolución generales (aunque

se conocen fórmulas para los polinomios de 3° y 4° grado), por lo que debemos buscar otras técnicas que

sean aplicables a estos polinomios.

* Teorema de la Raíz Real.

“Todo polinomio de grado impar, con coeficientes en los Reales, tiene al menos una raíz real”

Esto es consecuencia del hecho que las raíces complejas con término imaginario siempre vienen en pares

conjugados.

Las raíces irracionales también se presentan siempre en pares. (SÓLO PARA POLINOMIOS DE

COEFICIENTES EN LOS REALES)

* Regla de los signos de Descartes.

“El número de raíces reales positivas de un polinomio P( x ) = 0 es igual al número de cambios de signo de

término a término, ó menor a dicha variación en un número par”

“El número de raíces reales negativas de un polinomio P( - x ) = 0 es igual al número de cambios de signo

de término a término, ó menor a dicha variación en un número par”

Para aplicar esta regla, debemos escribir los términos del polinomio en orden descendente de acuerdo con

el grado que poseen. Los coeficientes ceros no se consideran como cambio de signo.

Por ejemplo para P(x) = x2 + x - 12 Como es de grado 2, tiene 2 raíces.

Revisando los cambios de signo para

P( x ) = x2 + x - 12

Cambio de + a - en el tercer término.

Como presentó 1 cambio de signo, tiene 1 raíz real

positiva.


P( - x ) = ( - x )2 + ( - x ) - 12 = x2 - x - 12

Cambio de + a - en el segundo término.


negativa.

Entonces, concluimos que tiene dos raíces reales: una positiva y otra negativa.

P O L I N O M I O S

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Por ejemplo para P(x) = x3 - 4x2 + x + 6 Como es de grado 3, tiene 3 raíces.


P( x ) = x3 - 4x2 + x + 6

Cambio de + a - en el segundo término.

Cambio de - a + en el tercer término.

Como presentó 2 cambios de signo, tiene 2 ó 0

raíces reales positivas.


P( - x ) = ( - x )3 - 4( - x )2 + ( - x ) + 6

= - x3 - 4x2 - x + 6

Cambio de - a + en el último término.


negativa.

Entonces, concluimos que tiene tres raíces: dos positivas y otra negativa o

dos imaginarias y otra negativa.

* Ejercicio. Determine el número posible de raíces reales positivas, reales negativas y complejas con

término imaginario, para cada uno de los siguientes polinomios

P(x) = x2 - 6x + 9

P(x) = x2 + 2x - 8

P(x) = 4x2 + 4x - 3

P(x) = x2 + 2x + 2

P(x) = 2x3 - 4x2 - 10x + 12

P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x - 6

P O L I N O M I O S

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* Posibles raíces racionales de un polinomio.

Si tenemos un polinomio P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 con coeficientes Enteros y s es una

raíz racional de P(x), entonces

s = r donde r es un divisor del término independiente a0

q q es un divisor del término director an

Esto nos indica que si P(x) tiene coeficientes enteros, y si tiene raíces racionales, ellas tienen relación con

el término independiente y el término director.

Por ejemplo: determinar las posibles raíces racionales de P(x) = 2x3 - 4x2 - 10x + 12

El término independiente es 12 que tiene posibles divisores + 1 , + 2 , + 3 , + 4 , + 6 , + 12

El coeficiente director es 2 que tiene posibles divisores + 1 , + 2

Entonces tenemos posibles raíces racionales: + 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

Haciendo los cocientes

posibles raíces racionales: + 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 , 1 , 1 , 3 , 2 , 3 , 6

2 2

Y simplificando los términos repetidos

posibles raíces racionales: + 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 , 1 , 3

2 2

P O L I N O M I O S

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Para conocer quién de ellas es una raíz, podemos evaluarlas en P(x)

x - 12 - 6 - 4 - 3 - 2 - 1.5 - 1 - 0.5

P(x) - 3900 - 504 - 140 - 48 0 11.25 16 15.75

x 0.5 1 1.5 2 3 4 6 12

P(x) 6.25 0 -5.25 -8 0 36 240 2772

De la tabla tenemos que las raíces del polinomio son x1 = - 2 , x2 = 1 , x3 = 3

En la práctica, empezamos buscando las raíces

entre los valores más cercanos al cero.

Si conocemos a una de las raíces podemos dividir

el polinomio P(x) entre el polinomio irreductible

( x - s ) para simplificar a P(x) y así buscar a las

demás.

P O L I N O M I O S

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* Resumen del método para obtener las raíces de un polinomio.

1) Ordenar el polinomio de mayor a menor grado. Recordar que el grado del polinomio es el mismo

número de raíces complejas del polinomio.

2) Aplicar la regla de los signos de Descartes para P( x ) y determinar la cantidad posible de raíces

reales positivas.

3) Aplicar la regla de los signos de Descartes para P( - x ) y determinar la cantidad posible de raíces

reales negativas

4) Determinar las posibles raíces racionales del polinomio dividiendo todos los divisores del término

independiente entre todos los divisores del coeficiente del término director.

5) Evaluar las posibles raíces racionales en P( x ) para buscar alguna raíz.

6) Si encontramos una raíz, podremos realizar la división de P( x ) entre ( x - s ) y obtener así un

polinomio de grado n - 1 al de P( x ) y seguir buscando todas las raíces restantes.

7) En caso necesario, hacer un bosquejo de la gráfica del polinomio con los datos de la tabulación.

P O L I N O M I O S

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* Ejercicio. Determine las raíces del polinomio P( x ) = x3 + 6x2 + 12x + 8

P( x ) = x3 + 6x2 + 12 x + 8 Ningún cambio de signo => 0 raíces positivas reales

P( - x ) = - x3 + 6x2 - 12 x + 8 Tres cambios de signo => 3 posibles raíces negativas reales

ó 1 negativa y 2 imaginarias

El término independiente es 8 que tiene posibles divisores + 1 , + 2 , + 4 , + 8

El coeficiente director es 1 que tiene posibles divisores + 1

Entonces tenemos posibles raíces racionales: + 1 , 2 , 4 , 8 = + { 1 , 2 , 4 , 8 }

1 1 1 1

Para conocer quién de ellas es una raíz, podemos evaluarlas en P(x). Recordemos que no tiene raíces

positivas.

x - 8 - 4 - 2 - 1

P(x) - 216 - 8 0 1

De la tabla tenemos que una raíz del polinomio es x1 = - 2 (una raíz negativa)

Tenemos que dividir x3 + 6x2 + 12x + 8 entre x + 2 (empleamos división sintética)

1 6 12 8 │ - 2

- 2 - 8 - 8

1 4 4 0

Entonces P( x ) = x3 + 6x2 + 12x + 8 = ( x2 + 4x + 4 ) ( x + 2 )

P O L I N O M I O S

20

Y resolviendo x2 + 4x + 4 con la fórmula general de segundo grado

x = - 4 + √ 16 - (4)(1)(4) = - 4 + √0 = - 2

2 2

Entonces P( x ) = x3 + 6x2 + 12x + 8 = ( x + 2 )3 = ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x - 2 )

Encontramos que P( x ) tiene raíz con

multiplicidad 3 y es x = - 2

P O L I N O M I O S

21

* Ejercicio. Determine las raíces del polinomio P( x ) = x3 - 2x2 - 11x + 12

P( x ) = x3 - 2x2 - 11 x + 12 Dos cambios de signo => 2 raíces positivas reales

o 2 raíces imaginarias

P( - x ) = - x3 - 2x2 + 11 x + 12 Un cambio de signo => 1 raíz negativa real

El término independiente es 12 que tiene posibles divisores + 1 , + 2 , + 3 , + 4 , + 6 , + 12


Entonces tenemos posibles raíces racionales: + { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 }

Para conocer quién de ellas es la raíz negativa, podemos evaluarlas en P(x)

x - 12 - 6 - 4 - 3 - 2 - 1

P(x) - 1872 - 210 - 40 0 18 20

De la tabla tenemos que una raíz del polinomio es x1 = - 3 (una raíz negativa)

Tenemos que dividir x3 - 2x2 - 11x + 12 entre x + 3 (empleamos división sintética)

1 - 2 - 11 12 │ - 3

- 3 15 - 12

1 - 5 4 0

Entonces P( x ) = x3 - 2x2 - 11x + 12

= ( x2 - 5x + 4 ) ( x + 3 )

Y factorizando

x2 - 5x + 4 = ( x - 4 ) ( x - 1 )

Entonces

P( x ) = x3 - 2x2 - 11x + 12

= ( x + 3 ) ( x - 4 ) ( x - 1 )

Encontramos que P( x ) tiene raíces x1 = - 3 , x2 = 4 , x3 = 1

P O L I N O M I O S

22

* Ejercicio. Determine las raíces del polinomio P( x ) = x4 - 6x3 + 14x2 - 14x + 5

P( x ) = x4 - 6x3 + 14x2 - 14 x + 5 4 cambios de signo => 4 raíces positivas reales

o 2 reales positivas y 2 imaginarias

o 0 reales positivas y 4 imaginarias

P( - x ) = x4 + 6x3 + 14x2 + 14x + 5 0 cambios de signo => 0 posibles raíces negativas reales

El término independiente es 5 que tiene posibles divisores + 1 , + 5


Entonces tenemos posibles raíces racionales: + { 1 , 5 } (sólo probamos las positivas por la prueba

de los signos de arriba)


x 1 5

P(x) 0 160

De la tabla tenemos que una raíz del polinomio es x1 = 1 (una raíz positiva)

Tenemos que dividir x4 - 6x3 + 14x2 - 14x + 5 entre x - 1 (empleamos división sintética)

1 - 6 14 - 14 5 │ 1

1 - 5 9 - 5

1 - 5 9 - 5 0

Entonces P( x ) = x4 - 6x3 + 14x2 - 14x + 5 = ( x3 - 5x2 + 9x - 5 ) ( x - 1 )

Ahora tenemos que resolver x3 - 5x2 + 9x - 5 = 0 (volvemos a aplicar el método desde el principio)

P( x ) = x3 - 5x2 + 9x - 5 3 cambios de signo => 3 raíces positivas reales

o 1 raíz negativa y 2 imaginarias

P( - x ) = - x3 - 5x2 - 9x - 5 0 cambios de signo => 0 posibles raíces negativas reales



P O L I N O M I O S

23

Entonces tenemos posibles raíces racionales: + { 1 , 5 } (sólo probamos las positivas por la prueba

de los signos de arriba)


x 1 5

P(x) 0 40

De la tabla tenemos que una raíz del polinomio es x1 = 1 (una raíz positiva)

Tenemos que dividir x3 - 5x2 + 9x - 5 entre x - 1 (empleamos división sintética)

1 - 5 9 - 5 │ 1

1 - 4 5

1 - 4 5 0

Entonces P( x ) = x4 - 6x3 + 14x2 - 14x + 5 = ( x2 - 4x + 5 ) ( x - 1 ) ( x - 1 )

Y resolviendo x2 - 4x + 5 con la fórmula general de segundo grado

x = 4 + √ 16 - (4)(1)(5) = 4 + √ - 4 = 4 + 2√ - 1 = 2 + i

2 2 2

Entonces

P( x ) = x4 - 6x3 + 14x2 - 14x + 5

= ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x - 2 - i ) ( x - 2 + i )

Y sus raíces son

x1 = 1 , x2 = 1 , x3 = 2 + i , x4 = 2 - i

La raíz x = 1 tiene multiplicidad 2

P O L I N O M I O S

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* Ejercicio. Determine el valor de k para que ( x + 1 ) sea un factor del polinomio

P( x ) = x4 - x3 + 2 k2 x2 - k x - 3

* Ejercicio. Determine el valor de m para que ( x + 1 ) sea un factor del polinomio

P( x ) = x3 - 4x2 + x + m

* Ejercicio. Determine las raíces del polinomio P( x ) = x6 + 3 x5 - 5 x3 - 3x2 + 1

2 2

Por ser de grado 6 => tiene 6 raíces complejas. Para trabajar coeficientes enteros multiplicamos por 2:

2P( x ) = 2x6 + 3x5 - 5x3 - 6x2 + 2 2 cambios de signo => 2 raíces positivas reales

o 0 raíces positivas y 2 imaginarias

2P( - x ) = 2x6 - 3x5 + 5x3 - 6x2 + 2 4 cambios de signo => 4 raíces negativas reales

o 2 raíces negativas y 2 imaginarias

o 0 raíces negativas y 4 imaginarias


El coeficiente director es 2 que tiene posibles divisores + 1 , + 2

Entonces tenemos posibles raíces racionales: + 1 , 1 , 2

2


x - 2 - 1 - 1/2 1/2 1 2

P(x) 50 0 1.0625 0 - 4 162

De la tabla tenemos una raíz negativa x1 = - 1 y una raíz positiva x2 = 1/2

Tenemos que dividir 2x6 + 3x5 - 5x3 - 6x2 + 2 entre x + 1 (empleamos división sintética)

2 3 0 - 5 - 6 0 2 │ - 1

- 2 - 1 1 4 2 - 2

2 1 - 1 - 4 - 2 2 0

P O L I N O M I O S

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Entonces 2P( x ) = ( 2x5 + x4 - x3 - 4x2 - 2x + 2 ) ( x + 1 )

Dividimos 2x5 + x4 - x3 - 4x2 - 2x + 2 entre x - 1/2 (empleamos división sintética)

2 1 - 1 - 4 - 2 2 │ 1/2

1 1 0 - 2 - 2

2 2 0 - 4 - 4 0

Entonces 2P( x ) = ( 2x4 + 2x3 - 4x - 4 ) ( x + 1 ) ( x - ½ ) = 2 ( x4 + x3 - 2x - 2 ) ( x + 1 ) ( x - ½ )

Ahora tenemos que resolver x4 + x3 - 2x - 2 = 0 (volvemos a aplicar el método desde el principio)

Q( x ) = x4 + x3 - 2x - 2 1 cambio de signo => 1 raíz positiva real

Q( - x ) = x4 - x3 + 2x - 2 3 cambios de signo => 3 raíces negativas reales

o 1 raíz negativa y 2 imaginarias



Entonces tenemos posibles raíces racionales: + { 1 , 2 }

Para conocer quién de ellas es una raíz, podemos evaluarlas en Q(x)

x - 2 - 1 1 2

Q(x) 10 0 - 4 18

De la tabla tenemos una raíz negativa x1 = - 1

Tenemos que dividir x4 + x3 - 2x - 2 entre x + 1 (empleamos división sintética)

1 1 0 - 2 - 2 │ - 1

- 1 0 0 2

1 0 0 - 2 0

Entonces Q( x ) = ( x3 - 2 ) ( x + 1 )

Resolviendo x3 - 2 = 0 => x3 = 2 por lo que x = 3√2 = 1.2599

P O L I N O M I O S

26

Hasta ahora llevamos 2P( x ) = 2 ( x3 - 2 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - ½ )

Por lo que P( x ) = ( x3 - 2 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - ½ ) y sus raíces son

x1 = ½ , x2 = - 1 , x3 = - 1 , x4 = 3√2

Si P( x ) es de grado 6, debe tener 6 raíces, entonces ¿cuáles son las otras dos?

La respuesta se halla en los números complejos.

Con la última raíz x = 3√2 podemos escribirla como complejo x = 3√2 cis 0°

Que por ser raíz cúbica tiene tres posibles valores en los complejos x = 3√2 cis 0° + 2k

3

Lo que nos da como resultado x4 = 3√2 cis 0° , x5 = 3√2 cis 120° , x6 = 3√2 cis 240°

Que en forma binomial x4 = 3√2 , x5 = - 3√2 + 3√2 √3 i , x6 = - 3√2 - 3√2 √3 i

2 2 2 2

Y escrito con decimales x4 = 1.2599 , x5 = - 0.6299 + 0.8909 i , x6 = - 0.6299 - 0.8909 i

Que completan todas las raíces del polinomio

P( x ) = x6 + 3 x5 - 5 x3 - 3x2 + 1

2 2

x1 = ½ x2 = - 1

x3 = - 1 x4 = 3√2

x5 = - 0.6299 + 0.8909 i

x6 = - 0.6299 - 0.8909 i

P O L I N O M I O S

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* Ejercicio. Determine los valores de A y B del polinomio P( x ) = 2x4 + 5x3 + 3x2 + Ax + B para

que el número complejo - 1 - i sea una raíz. Además encuentre todas las raíces.

* Ejercicio. Determine los valores de a y b para que el número complejo 2 - 5i sea una raíz del

polinomio P( x ) = x4 + ( 1 + 5i )x3 - ( 3 - 15i )x2 + ( - a + 15i )x + ( b - 10i )

* Ejercicio. Determine las raíces del polinomio P( x ) si una de ellas es el número complejo - 2i

P( x ) = x5 + ( 1 + 2i )x4 + ( - 6 + 2i )x3 - ( 14 + 12i )x2 - ( 12 + 28i )x - 24i

* Ejercicio. Determine las raíces del polinomio P( x ) si dos de ellas son x1 = √3 y x2 = - 2i

P( x ) = 6x6 - 12x5 + 12x4 - 12x3 - 66x2 + 144x - 72

notas polinomios

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