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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

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  • FACTORIZACIN DE

    POLINOMIOS

  • De la misma forma que descomponemos un nmero en factores primos:30 = 2 . 3 . 5Ahora descompondremos un polinomio en sus factores primos:Ejemplo:x2 + x - 6 = (x 2) . (x + 3)

  • Son polinomios primos aquellos que slo son divisibles entre s mismos y la unidad.Ejemplos de polinomios primos:xx + 1x - 22x + 1x2 + 1x4 + 2En general son primos todos los polinomiosde la forma (x a)

  • Si tomamos el ejemplo inicial:x2 + x - 6 = (x 2) . (x + 3)Observamos que si sustituimos la x por 2 se anular el primer factor.As mismo se anular el segundo factor si la sustituimos por -3.En ambos casos se anular el producto resultante, es decir El VALOR NUMRICO DEL POLINOMIO.x = 2 x = -3Estos nmeros reales son las RACES del polinomio

  • Definicin de RAZ de un polinomio:Cada uno de los valores reales que sustituidos por la x anulan el valor numrico del polinomio.Si a1 , a2 , a3 , son races de un polinomio, se cumple que:P (x) = k . (x a1) . (x a2) . (x a3) . Estos son los factores primos en los que se descompone el polinomioAtencin a este factor k

  • P (x) = k . (x a1) . (x a2) . (x a3) . Cmo podemos hallar las RACES de un polinomio?Como las races son los valores de la x que anulan el polinomio, las hallaremos anulando dicho polinomio, es decir:P(x) = 0Resolviendo la ecuacinVeamos varios ejemplos:O tanteando que valores de x anulan el valor numrico del polinomioP(a) = 0

  • Ejemplo 1Si P(x) es un polinomio de segundo grado:P(x) = x2 + x - 6Slo tenemos que resolver la ecuacin x2 + x 6 = 0Si las soluciones de la ecuacin son:P(x) = (x -2) . (x +3)y - 3 son las RACES del polinomiopor lo que ya podemos factorizarlo:x = 2x = - 3

  • Ejemplo 2SeaP(x) = 2x2 + 3x - 2Atencin a este coeficienteResolvemos la ecuacin:P(x) = 0Como las soluciones sonx = 1/2x = -2Casi tenemos factorizado P(x):P(x) = ? (x 1/2) .(x+2)Lo conseguiremos aadiendo el coeficiente del trmino de mayor grado:P(x) = 2 (x 1/2) .(x+2)2

  • Ejemplo 3SeaP(x) = x2 - 10x + 25Si observamos con atencin, vemos que es el desarrollo de un producto notable: P(x) = x2 - 10x + 25(x)2-2.x.5+52a2 2ab + b2(a b)2En este casoPor lo queP(x) = (x 5)2Nos ahorraremos mucho trabajo si sabemos distinguir los PRODUCTOS NOTABLES.

  • Ejemplo 4Si queremos factorizar o hallar las races de un polinomio de GRADO SUPERIOR A DOS, siempre nos queda EL MTODO DE RUFFINIP(x) = x3 +2x2 x- 2SeaSI conseguimos una divisin exacta de P(x) entre un binomio del tipo (x a)Es decir de resto 0Podremos factorizar el polinomio, aplicando:Dividendo = Divisor Cociente P(x)= (x a) Cociente (x)

  • P(x) = x3 +2x2 x- 2En el caso de nuestro polinomio ejemploConseguimos una divisin exacta entre (x 1)12-1-211320132 P(x)= (x a) Cociente (x) x3 + 2x2 x - 2 =(x 1)As conseguimos el primer factor primo de P(x):. (x2 + 3x + 2)

  • P(x) = (x a) Cociente (x) Como conseguimos encontrar esta raz a ?Siempre lo buscaremos entre los divisores enteros del trmino independiente de P(x)P(x) = x3 +2x2 - x - 2En el ejemplo:Divisores de -2Tantearemos por Ruffini cuales de estos BINOMIOS son divisores de nuestro polinomio P(x), es decir dan resto cero en la divisin.

  • P(x) = x3 +2x2 - x - 2Comenzaremos tanteando por las races ms pequeas:12-1-21120132Probamos con el 13= RestoComo la divisin es exactax = 1 es raz del polinomioP(x) = (x - 1) . (x2 + 3x +2) Siempre podemos ahorrar tanteos si antes comprobamos para que valores de x se anula el valornumrico de P(x)

  • P(x) = (x - 1) . (x2 + 3x +2) Seguimos DESCOMPONIENDO EN FACTORES PRIMOS el polinomio cociente obtenidoC(x) = x2 + 3x + 2 Como es un polinomio de grado 2tenemos dos opciones a elegir:OPCIN A Resolver la ecuacinx2 + 3x + 2 = 0OPCIN BSeguir tanteando por RuffiniEsta opcin es la mejor

  • Divisores de 2Si elegimos la OPCIN BC(x) = x2 + 3x + 2 Seguir tanteando por RuffiniSeguimos buscando otra vez entre TODOS los divisores del trmino independiente13211614Probamos con el 14(x-1) NO es divisor de C(x)

  • 132-110-1-2Probamos con el -12(x+1) es divisor de C(x)C(x) = x2 + 3x + 2 Volvemos a aplicar la regla:Dividendo = Divisor CocienteC(x) = x2 + 3x + 2Las races del polinomio C(x) son:x = -1x = -2= ( x + 1). (x +2)

  • Resumiendo todo el Ejemplo 4:Partamos del polinomioP(x) = x3 +2x2 x- 2P(x) = (x 1) . (x2 +3x + 2)P(x) = (x 1) . (x + 1) . (x + 2)C(x) = x2 + 3x + 2 = (x + 1) . (x + 2)Dividiendo entre (x 1):Como acabamos de comprobar:Finalmente

  • Tambin podemos resumirlo as:P(x) = x3 +2x2 x- 2P(x) = (x 1) . (x2 +3x + 2)P(x) = (x 1) . (x + 1) . (x + 2)12-1-211201323-110-1-22Las races de P(x) son 1 , -1 y -2.

  • EJEMPLOS DE FACTORIZACIONESVamos a factorizar Recordemos los pasos a seguir:Podemos sacar factor comn? NoEs identidad notable?NoEs ecuacin de segundo grado?NoLuego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos RuffiniP(x) = x3 - 3x - 2

  • P(x) = x3 - 3x - 210-3-2Los divisores del trmino independiente, - 2son: 1, - 1, 2, - 2.Probemos con el 1111 11 -2-2-4Como no nos da 0, el 1 no es raz y tendremos que probar con otro nmero. Probemos con el -1.1-1-2 0-1-1 1 2En este caso como nos da 0, el -1 es raz del polinomio-11-2 0-1 2Luego el -1 sale de nuevo raz.x + 1x + 1Adems tenemos x - 2Continuamos probando con el -1.

  • Recopilando los datos obtenidos nos han salido como polinomios divisores de P(x):x + 1,x + 1,x - 2As P(x) quedar factorizado como:P(x) = x3 - 3x 2 = (x + 1)(x + 1)(x - 2)Esta es una de las formas de factorizar este polinomio, mediante Ruffini. Otra sera:Sus races son:-1,-1,2El -1 ya haba salido como raz al aplicar Ruffini pero podemos tener alguna ms igualando a 0 los dems polinomios divisoresx 2 = 0x = 2

  • P(x) = x3 - 3x - 2Aplicaramos Ruffini:Resolvemos la ecuacin de segundo grado. x2 x 2 = 0x = -1x = 2El conjunto de todas las races son: -1, -1, 2.-1x + 1-1x + 12x - 2As P(x) queda factorizado:x3 - 3x 2 = (x + 1)(x + 1)(x - 2)

  • P(x) = 6x4 9x3 33x2 + 18xPodemos sacar factor comn? S, se repite 3x en todos los monomios que forman P(x).Es identidad notable?NoEs ecuacin de segundo grado?NoLuego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos Ruffini.P(x) = 6x4 9x3 33x2 + 18x = 3x(2x3 3x2 11x +6)Ahora nos centraremos en factorizarComenzamos a factorizar siempre hacindonos las mismas preguntas

  • 2x3 3x2 11x +6Los divisores del trmino independiente, 6, son: 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6.Comenzaramos probando con el 1.111 -2-2 -13-13-7Como no da cero borraramos y probaramos con otro divisor de 6.Probaramos con el -1 y el 2 y comprobaramos que el resto no es 0. Sin embargo con el -2 da 0.-22-4 -714 3-6 0As, P(x) = 6x4 9x3 33x2 + 18x quedar factorizado:P(x) = 6x4 9x3 33x2 + 18x = 3x(2x3 3x2 11x +6) = = 3x(x + 2)(x2 7x +3)Luego si -2 es raz, un divisor de P(x) es: x + 2 Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es: x2 - 7x + 3 Por lo tanto: (2x3 3x2 11x +6) = (x + 2)(x2 7x +3)

  • Para acabar de factorizar tomaremos 2x2 -7x +3 y hallaremos sus races. Igualamos a 0 el polinomio y resolvemos la ecuacin:2x2 -7x +3 = 0Las soluciones obtenidas sern: x1 = 3 x2 = Por lo tanto 2x2 -7x +3 =x - 3x 1/2(x 3)(x )As P(x) = 6x4 9x3 33x2 + 18x quedar factorizado:P(x) = 6x4 9x3 33x2 + 18x = 3x(2x3 3x2 11x +6) = = 3x(x + 2)(2x2 7x +3) = 3x (x + 2)(x 3) (x -1/2) 22Por qu ponemos el 2? Porque si slo multiplicamos (x 3) (x ), el coeficiente de mayor grado no quedara 2x2, sino x2.

  • Recopilemos toda la informacin obtenida: -2x + 2 3x - 31/2x 1/2Pero falta otra raz! P(x) = 3x (x + 2)(x 3)(x -1/2) 2Como tenemos la x como factor, si igualamos a 0 dicho factor, obtenemos x = 00x

  • P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 - 12x2Podemos sacar factor comn? S, x2.Es identidad notable?NoEs ecuacin de segundo grado?NoLuego como es un polinomio de grado cuatro, utilizaremos Ruffini.P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 12x2 = = x2 (x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12)Ahora factorizamos:Hagmonos las preguntas:

  • x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12Los divisores del trmino independiente, 12, son: 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6, 12, -12.Comenzamos probando con el 1.Luego el 1 es raz del polinomio, y as un divisor de P(x) es . Probaramos con el 1, -1, 2, -2, 3 y comprobaramos que el resto no es 0. Sin embargo con el -3 da 0.Luego si -3 es raz, otro divisor de P(x) es: Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es: x2 + 4 Por lo tanto: (x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12) = (x -1)(x +3)(x2 + 4)134 12 1 1 3 4-310 4-3 0120-120x + 3 x - 1

  • Para acabar de factorizar tomaremos x2 + 4 y hallaremos sus races, resolviendo la ecuacin:x2 + 4 = 0 Dicha ecuacin no tiene soluciones reales, luego el polinomio queda factorizado:P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 12x2 = = x2 (x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12) == x2 (x -1) (x +3) (x2 + 4)Sus races son: 0,1,-3,