polinomios horner
TRANSCRIPT
Raices de polinomios
Programación Numérica
Definición
Un polinomio de grado n es una expresión de la forma:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... +a1x + a0
Donde an <> 0
Teorema (teorema fundamental del álgebra): Si P(x) es un polinomio de grado n >= 1, entonces P(x) = 0 tiene al menos una raíz (posiblemente compleja).
Corolario
Si P(x) es un polinomio de grado n >= 1, entonces existen constantes únicas x1, x2, ... xk, posiblemente complejas, y enteros positivos m1, m2, ..., mk, tales que:
k
ii nm
1
kmk
mmn xxxxxxaxP ...)( 21
21
y
Método de HornerSea
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... +a1x + a0
Si bn = an y
bk = ak + bk+1x0 para k = n – 1, n – 2, ..., 1, 0
Por tanto b0 = P(x0). Más aún, si
Q(x) = bnxn–1 + bn-1xn-2 + ... +b2x + b1
Entonces
P(x) = (x – x0) Q(x) + b0
Ejercicios
Evaluar:
P(x) = 2x4 – 3x2 + 3x – 4 en x0 = –2
P(x) = 7x5 + 6x4 – 6x3 + 3x – 4 en x0 = 3
P(x) = – 5x6 + 3x4 + 2x2 – 4x en x0 = –1
Método de Horner en Cdouble horner(double p[],int n, double x){ double y = p[0]; int i; for(i = 1; i<n; i++){ y = x*y + p[i]; } return y; }
double eval(double p[],int n, double x){ double s = 0; int i; for(i = 0; i<n; i++){ s = s + p[i]*pow(x,n-i-1); } return s; }
Evaluación de la derivada
Dado que:
P(x) = (x – x0) Q(x) + b0
donde
Q(x) = bnxn–1 + bn-1xn-2 + ... +b2x + b1
Derivando
P’(x) = Q(x)+(x – x0)Q’(x)
En x = x0,
P’(x0) = Q(x0)
Evaluación de la derivada en C
void hornerDer(double p[],int n, double x,double &y,double &z){ y = p[0]; z = p[0]; int i; for(i = 1; i<n-1; i++){ y = x*y + p[i]; z = x*z + y; } y = x*y + p[n-1];}
Método horner
Entrada: grado n, a0, a1, ..., an, x0
Salida: y =P(x0), z = P’(x0)
1. y = an //calcule bn para P2. z = an //calcule bn-1 para Q3. Para j = n –1, n – 2, .... , 14. y = x0*y + aj 5. z = x0*z + y6. y = x0*y + a07. regresar y, z
Método de Horner en Matlabfunction [y,z]=Horner(x,x0)%x es un vector con los coeficientes%de P(x)%regresa en y el polinomio y en z%la derivada evaluados en x0[muda n] = size(x);y = x(1); %calcule bn para P. z = x(1); %calcule bn-1 para Qfor j = 2:n-1, y = x0*y + x(j); z = x0*z + y;endy = x0*y + x(n);
Método de Newton para polinomios
Se puede aplicar el método de Newton para polinomios evaluando el polinomio y su derivada mediante el método de Horner.
El esquema sería
n
nn
n
nnn xQ
xPx
xPxP
xx '1
Newton para polinomios en C
double NewtonPol(double p[],int n,double x0,double ee, int ni){ int i=0; double f,df,x = x0,error; while(i<ni){ hornerDer(p,n,x,f,df); x = x0 - f/df; error = fabs((x-x0)/x); if(error<=ee) return x; i++; x0 = x; } std::cout << "No solución en " << i << " pasos\n"; return x;}
La Clase Hornerclass Horner{
int n;double a[],y,z;Horner(double[] a1){
n = a1.length;a = a1;
}public double val(){return y;}public double der(){return z;}public void evalua(double x0){
y = a[n-1];z = a[n-1];for(int j = n-2; j>0; j--){
y = x0*y + a[j];z = x0*z + y;
}y = x0*y + a[0];
}}
Ejemplo de llamadaclass HornerMain{ static public void main(String[] args){ double pol[] = new double[5];// P(x)=2*x^4-3*x^2+3*x-4 pol[0]=-4; pol[1]=3; pol[2]=-3; pol[3]=0; pol[4]=2; Horner h = new Horner(pol); h.evalua(-2); System.out.println(“P(-2) = "+h.val()); System.out.println("P’(-2) = "+h.der()); }}
Método de Newtonclass NewtonPol{ double p,tol; double a[]; NewtonPol(double[] a1, double x0_1,double tol_1){ p = x0_1; a = a1; tol = tol_1; } public double resuelve(){ Horner h=new Horner(a); double f=1, d; while(f>tol){ h.evalua(p); f = h.val(); d = h.der(); p = p - f/d; } return p; }}
Ejemploclass NewtonHornerMain{ static public void main(String[] args){ double pol[] = new double[5]; pol[0]=-4; pol[1]=3; pol[2]=-3; pol[3]=0; pol[4]=2; NewtonPol h = new NewtonPol(pol,-2,1e-5); System.out.println("raiz = "+h.resuelve()); }}
Método de Müller
Utiliza tres aproximaciones: x0, x1, x2.
Determina la siguiente aproximación x3 encontrando la intersección con el eje x de la parábola definida por los puntos (x0,f(x0)), (x1,f(x1)), (x2,f(x2)).
x0 x1 x2 x3
f
Método de Müller
Se considera el polinomio
P(x) = a(x – x2)2 + b(x – x2) + c
Se puede encontrar a, b y c resolviendo
f(x0) = a(x0 – x2)2 + b(x0 – x2) + c
f(x1) = a(x1 – x2)2 + b(x1 – x2) + c
f(x2) = a(x2 – x2)2 + b(x2 – x2) + c
Método de Müller
Se llega a
)( 2xfc
102120
202
21212
20 )()()()(xxxxxx
xfxfxxxfxfxxb
102120
21202021 )()()()(xxxxxx
xfxfxxxfxfxxa
Método de Müller
Para minimizar el error al resolver la cuadrática P(x) = 0, se calcula x3 con
acbbsignob
cxx
4)(
2223
El proceso se reinicia tomando ahora x1, x2, y x3.
Müller en Ccomplex<double> muller(double p[], int n, complex<double> x0,complex<double>x1,complex<double>x2,double tol,int ni){ complex<double> q,h,h1,h2,d1,d2,d,b,D,E; int i; h1 = x1 - x0; h2 = x2 - x1; d1 = (horner(p,n,x1) - horner(p,n,x0))/h1; d2 = (horner(p,n,x2) - horner(p,n,x1))/h2; d = (d2 - d1)/(h2 + h1); i = 3; while(i <= ni){ b = d2 + h2*d; D = pow((b*b - 4.0*horner(p,n,x2)*d),0.5); if(abs(b - D) < abs(b + D)) E = b + D; else E = b - D; h = -2.0*horner(p,n,x2)/E; q = x2 + h; if( abs(h) < tol) return q;
Müller en C x0 = x1; x1 = x2; x2 = q; h1 = x1 - x0; h2 = x2 - x1; d1 = (horner(p,n,x1) - horner(p,n,x0))/h1; d2 = (horner(p,n,x2) - horner(p,n,x1))/h2; d = (d2 - d1)/(h2 + h1); i++; } std:cout <<"Fallo después de “<< ni <<“ iteraciones\n";}
int main() { double pol[]={16,-40,5,20,6}; complex<double> x0(0.5,0.0),x1(-0.5,0.0),x2(0.0,0.0); complex<double> raiz = muller(pol,5,x0,x1,x2,0.0001,20); cout << raiz << "\n"; system("PAUSE"); return 0; }
Horner complejo
complex<double> horner(double p[],int n, complex<double> x){ complex<double> y = p[0]; int i; for(i = 1; i<n; i++){ y = x*y + p[i]; } return y; }
Método de Müller en Matlab% metodo de Muller para obtener una solución para f(x)=0function p = muller(f,x0,x1,x2,tol,ni)h1 = x1 - x0;h2 = x2 - x1;d1 = (polyval(f,x1) - polyval(f,x0))/h1;d2 = (polyval(f,x2) - polyval(f,x1))/h2;d = (d2 - d1)/(h2 + h1);i = 3;while i <= ni b = d2 + h2*d; D = (b*b - 4*polyval(f,x2)*d)^0.5; if abs(b - D) < abs(b + D) E = b + D; else E = b - D; end h = -2*polyval(f,x2)/E; p = x2 + h; if abs(h) < tol return; end
Método de Müller en Matlab
x0 = x1; x1 = x2; x2 = p; h1 = x1 - x0; h2 = x2 - x1; d1 = (polyval(f,x1) - polyval(f,x0))/h1; d2 = (polyval(f,x2) - polyval(f,x1))/h2; d = (d2 - d1)/(h2 + h1); i = i + 1;endfprintf('Fallo después de %d iteraciones',ni);
EjemploP(x) = 16x4 – 40x3 + 5x2 + 20x + 6
x0 = 0.5 x1 = -0.5 x2 = 0.0
i xi P(xi)
3 -0.555556 + ( -0.598352)i -29.400701 + ( 3.898725)i
4 -0.435450 + ( -0.102101)i 1.332225 + ( 1.193097)i
5 -0.390631 + ( -0.141852)i 0.375058 + ( 0.670168)i
6 -0.357698 + ( -0.169926)i -0.146750 + ( 0.007446)i
7 -0.356051 + ( -0.162856)i -0.001840 + ( -0.000538)i
8 -0.356062 + ( -0.162758)i 0.000002 + ( -0.000001)i
Ejemplox0 = 2.5 x1 = 2.0 x2 = 2.3
i xi P(xi)
3 1.960592 + ( 0.000000)i -0.611310 + ( 0.000000)i
4 1.970564 + ( 0.000000)i 0.007455 + ( 0.000000)i
5 1.970447 + ( 0.000000)i 0.000029 + ( 0.000000)i
x0 = 0.5 x1 = 1.0 x2 = 1.5
i xi P(xi)
3 1.287855 + ( 0.000000)i -1.376275 + ( 0.000000)i
4 1.237459 + ( 0.000000)i 0.126945 + ( 0.000000)i
5 1.241605 + ( 0.000000)i 0.002193 + ( 0.000000)i
6 1.241677 + ( 0.000000)i -0.000001 + ( 0.000000)i
Raíces de no lineales en Matlabfzero(FUN, x0) – encuentra la raíz de FUN cerca al punto x0. Ejemplos: FUN puede especificarse usando @: X = fzero(@sin,3)regresa pi. X = fzero(@sin,3,optimset('disp','iter')) regresa pi, usa la tolerancia por omisión y despliega información de las iteraciones. FUN puede ser una función en línea: X = fzero(inline('sin(3*x)'),2);
Polinomios con Matlab
polyval(P, x) – evalua el polinomio P en el punto x. El polinomio se especifica como un vector donde P(1) es el coeficiente de la potencia más alta y P(length(P)) es el término independiente.
polyder(P) – obtiene la derivada delpolinomio P.
con(A, B) – multiplica el polinomio A por el polinomio B.
[Q R] = deconv(A, B) – divide los dos polinomios A y B y almacena el cociente en Q y el residuo en R.
roots(P) – encuentra todas las raices reales y complejas del polinomio P.
Método de BairstowEl enfoque de Bairstow es el de utilizar el Método de Newton para ajustar los coeficientes r y s en la cuadrática x2 – rx + s hasta que sus raíces sean también raíces del polinomio que se quiere resolver.
Con estos coeficientes se determina la cuadrática correspondiente que se utiliza para simplificar la expresión, eliminando estas raíces del conjunto buscado.
El proceso se repite hasta que el polinomio se convierta en uno cuadrático o lineal, momento en que todas las raíces quedan determinadas.
La División Larga de un polinomio
n
i
ii xaxP
0
por x2 – rx – s resulta en un cociente de la forma
n
i
ii xbxQ
0
y un residuo b1(x – r) + b0 tal que
01
2
2
2 brxbxbsrxxxPn
i
ii
Se utiliza la división sintética para obtener la división entre el factor cuadrático:
bn = an
bn–1 = an–1 + rbn
bi = ai + rbi+1 + sbi+2 (i = n – 2,…, 0)
El método se reduce a determinar los valores de r y s que hacen que el factor cuadrático sea un divisor exacto.
Se utiliza el método de Newton-Raphson. Se calculan incrementos r y s para acercarse a la solución.
200
111
bssb
rrb
bssb
rrb
Las derivadas parciales se calculan por un proceso de división sintética similar al utilizado para calcular las b’s.
cn = bn
cn–1 = bn–1 + rcn
ci = bi + rci+1 + sci+2 (i = n – 2,…, 1)
Donde:
sb
crb
c
sb
crb
c
02
01
13
11
,
,
Se resuelven las ecuaciones para r y s y se emplean para mejorar r y s.
Bairstow en Cvoid bairstow(double a[],int nn,double es, double rr, double ss,int maxit, double re[],double im[],int &ier){ double b[nn],c[nn]; double r=rr,s=ss,det,dr,ds,ea1,ea2,r1,r2,i1,i2; int n=nn,i,iter; ier = 0; ea1 = 1; ea2 = 1; do{ if(n<3 || iter>=maxit)break; iter = 0; do{ iter++; b[n] = a[n]; b[n-1] = a[n-1]+r*b[n]; c[n] = b[n]; c[n-1] = b[n-1]+r*c[n]; for(i = n-2; i>=0; i--){ b[i] = a[i]+r*b[i+1]+s*b[i+2]; c[i] = b[i]+r*c[i+1]+s*c[i+2]; } det = c[2]*c[2]-c[3]*c[1];
if(det!=0){ dr = (-b[1]*c[2]+b[0]*c[3])/det; ds = (-b[0]*c[2]+b[1]*c[1])/det; r = r+dr; s = s+ds; if(r!=0) ea1 = fabs(dr/r)*100; if(s!=0) ea2 = fabs(ds/s)*100; }else{ r++; s++; iter = 0; } if(ea1<=es && ea2<=es || iter>maxit) break; }while(true); Quadroot(r,s,r1,i1,r2,i2); re[n] = r1; im[n] = i1; re[n-1] = r2; im[n-1] = i2; n = n-2; for(i=0; i<=n; i++) a[i] = b[i+2]; }while(1); if(iter<maxit) if(n==2){ r = -a[1]/a[2]; s = -a[0]/a[2];
Quadroot(r,s,r1,i1,r2,i2); re[n] = r1; im[n] = i1; re[n-1] = r2; im[n-1] = i2; }else{ re[n] = -a[0]/a[1]; im[n] = 0; } else ier = 1;}void Quadroot(double r,double s,double &r1,double &i1,double &r2,double &i2){ double disc = r*r+4*s; if(disc>0){ r1 = (r+sqrt(disc))/2.0; r2 = (r-sqrt(disc))/2.0; i1 = 0; i2 = 0; }else{ r1 = r/2.0; r2 = r1; i1 = sqrt(fabs(disc))/2.0; i2 = -i1; }}
Tarea
Escriba un programa en C amigable para el usuario que utilice la función bairstow() para encontrar las raíces de un polinomio.
Deberá pedir el grado del polinomio, los coeficientes, los valores iniciales para la función bairstow, el error esperado y el número de iteraciones máximo.
Deberá dar como salida una lista de las raíces del polinomio y/o una indicación de error.