Parte 1

Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios de la forma:

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0

• an: números lR (acompaña a x) (coeficiente)

• n: exponentes – números lN (no negativos no decimales no fracciones no radicales)

• x: indeterminados(o parte literal)

Grado de un polinomioEl grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.Polinomio de grado ceroP(x) = 2Polinomio de primer gradoP(x) = 3x + 2Polinomio de segundo gradoP(x) = 2x2+ 3x + 2Polinomio de tercer gradoP(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2Polinomio de cuarto gradoP(x) = x4 + x3 − 2x2+ 3x + 2

•Polinomio completo Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3

•Polinomio ordenado Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor o de menor a mayor grado.P(x) = 2x3 + 5x − 3

•Polinomio nuloEl polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.

•Polinomio homogéneoEl polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.P(x) = 2x2 + 3xy

•Polinomio heterogéneoLos términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.P(x) = 2x3 + 3x2 − 3

Especialización de un polinomio

Especializar un polinomio significa reemplazar la variable (X) por un valor determinado.

Por ejemplo:

Especializar en X= ½ =10,5

MULTIPLICACIÓN CON POLINOMIOS

SUMA DE POLINOMIOS

RESTA DE POLINOMIOS

DIVISION DE POLINOMIOS

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1- Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4xP(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2- Agrupamos los monomios del mismo grado.P(x) + Q(x) = (2x3 + 2x3 )− 3 x2 + (5x + 4x) − 3

3- Sumamos los monomios semejantes.P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de un número por un polinomioEs otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomioSe multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de polinomiosP(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4xSe multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) == 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =Se suman los monomios del mismo grado.= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12xSe obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Divisibilidad de Polinomios• División de un polinomio entre un monomio: Se dividen cada uno de los monomios del numerador entre el monomio del denominador. Resolución: Se divide el monomio de mayor grado del dividiendo entre el monomio de mayor grado del divisor, colocando el resultado en el cociente. Posteriormente se multiplica el monomio cociente por cada unode los monomios del divisor y se colocan debajo del dividendo (debajo de los monomios de igual grado), con elsigno cambiado. Posteriormente se suman entre sí, y se le añade el siguiente término del dividendo. Se repite el proceso hasta que el resto sea de grado inferior al del divisor. Para comprobar la división se verifica la igualdad.

Ejemplo

EJEMPLO DE DIVISION

El cuadrado de un binomio es igual al primer termino al cuadrado mas el doble producto del primer termino por el segundo mas el segundo termino al cuadrado.

(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2

Ej:

a)x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

b)(2x − 3)2 = (2x)2 − 2· 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

El cubo de un binomio es igual al primer termino al cubo mas el triple producto del primer termino al cuadrado por el segundo mas el triple producto del primer termino por el segundo al cuadrado mas el segundo termino al cubo.

(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3

Ej:

a) (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 = x 3 + 9 x2 + 27 x + 27

b) (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Cuadrado de un Binomio El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse geométricamente cuando los valores son positivos. Construimos un cuadrado de a unidades de lado, es decir, de lado a. Construimos un cuadrado de b unidades de lado, es decir, de lado b. Construimos dos rectángulos de largo a y ancho b. Uniendo estas 4 figuras formaremos un cuadrado de (a+b) unidades de lado. El área de éste cuadrado es (a+b)(a+b)=(a+b) 2 , y esta área está formada por un cuadrado de área a2, un cuadrado de área b2 y dos rectángulos de área ab cada uno, o sea 2ab. Podría resumirse en calcular el área de un cuadrado de (a+b) de lado, por lo que debemos elevar al cuadrado este valor según la fórmula del área del cuadrado que es A=L

Cubo de un binomioEl cubo de la suma de dos cantidades puede representarse geométricamente cuando los valores son positivos. Construimos un cubo de a unidades de lado, es decir, de lado a. Construimos un cubo de b unidades de lado, es decir, de lado b. Construimos 3 rectángulos de a2bConstruimos 3 rectángulos de ab2

Se puede resumir en calcular el volumen de un cubo de (a+b) de lado, por lo que debemos elevar al cubo este valor según la fórmula del volumen del cubo, que es V=L3

Florencia Paz, Juan Pablo Vasquez, Pamela Araoz, Dana Villa, Lucas Zeitune, Carina Mansilla . 1°2° Economía. 2011

Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

http://www.vitutor.net/1/0_14.html

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm

Libro de estudio: Matemática I . Ed. Santillana Perspectivas.