polinomios espoeciales
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COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Ao SecundariaLGEBRA3er Ao Secundaria
I)OBJETIVOS ESPECFICOS
1.1Definir y clasificar expresiones algebraicas.
1.2Resolver problemas relacionados a polinomios especiales.
II)PROCEDIMIENTOS
a)Motivacin
Acerca del lgebra podemos afirmar actualmente lo siguiente: Es una rama de las matemticas que estudia a la cantidad del modo ms general posible y las operaciones que con ella se realizan en los diferentes conjuntos numrico.
Para estudiar a la cantidad del modo ms general posible, el lgebra empela constantes y variables.
b) Contenido Terico
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
I.CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas se pueden clasificar segn la naturaleza de sus exponentes o por el nmero de sus trminos.
(SEGN LA NATURALEZA DE SU EXPONENTE
A.Expresiones Algebraicas Racionales
Son aquellas cuyas variables no estn afectadas de radicales o exponentes fraccionarios. Estas expresiones se subdividen en:
a)Racionales enteras.- Son aquellas expresiones en las que al transponer todas las variables al numerador, sus exponentes resultan ser enteros y positivos ( o cero).
Ejm: 2x2y3; ;
b)Racionales fraccionarias.- Son expresiones en donde por lo menos una de sus variables aparece en el denominador, o si estn en el numerador, alguna de ellas aparece con exponente entero negativo.
Ejm: ; 3xy;
B.Expresiones Algebraicas Irracionales
Estas expresiones se caracterizan por que sus variables estn afectadas de radicales o exponentes fraccionarios.
Ejm: ; ;
(SEGN EL NMERO DE TRMINOS
A.Monomios.- Son expresiones algebraicas racionales enteras en donde no existe nexos de suma o resta, tratndose entonces de un solo trmino.
Ejemplos: 8x5y3; 2x; 5
B. Polinomios.- Un polinomio es la unin de dos o ms monomios a travs de sumas o restas.
Ejemplos: 3x2 2x + x3 + 8; x2 + x 1;
x + 2
Nota: si un polinomio tiene 2 trminos recibe el nombre de binomio; si tiene 3, recibe el nombre de trinomio. Si tiene "n" trminos se le denomina polinomio de "n" trminos.
II.GRADO DE LAS EXPREIONES ALGEBRAICAS
A.Grado.- Es aquel exponente numrico (no variable) racional positivo o negativo que afecta a una variable tomada como base.
B.Clases de Grado
a.Grado Relativo (G.R.)
Con respecto a una de las variables.
b.Grado Absoluto (G.A.)
Con respecto a todas sus variables
GRADO DE UN MONOMIO
a) Grado Relativo
Se refiere a una de sus variables y est determinada por el mayor exponentes que posee dicha variable; para ello la expresin debe estar previamente reducida o simplificada.
As el monomio: A(x,y,z) = 6x2y5z8
Con respecto a "x" es de 2do grado
Con respecto a "y" es de 5to grado
Con respecto a "z" es de 8vo grado
b)Grado Absoluto
Se calcula sumando algebraicamente los exponentes de sus variables.
As el monomio M(x,y,z) = 3x3y2z5
tiene por Grado Absoluto (G.A.)=3+2+5=10
Importante:
El grado de toda constante siempre es cero
Ejemplo:
(Si P(x) = 24, su grado es cero por ser constante.
(Si P(x) = 0. Este es el nico polinomio cuyo grado es indefinido.
GRADO DE UN POLINOMIO
a) Grado Relativo
Se refiere a una de las variables y est determinado por el mayor exponente que afecta a dicha letra en todo el polinomio.
As el polinomio:
F(x;y;z) = 2x2y4z3 3x3y2z + 5x5yz2
Es: Con respecto a "x" de 5to grado.
Con respecto a"y" de 4to grado
Con respecto a"z" de 3er grado.
b) Grado Absoluto
Se calcula el trmino de mximo grado.
As el polinomio:
Tiene por grado 11.
REGLAS PARA LOS GRADOS DE LAS DIFERENTES OPERACIONES ALGEBRAICAS
En el siguiente cuadro se muestra como obtener los grados de las diferentes operaciones.
OperacinGrado Resultante
MultiplicacinSe suman los grado de los factores
DivisinSe resta el grado del dividendo menos el grado del divisor
PotenciacinSe multiplica el grado de la base por el exponente
RadicacinSe divide el grado del radicando entre el ndice del radical
POLINOMIOS ESPECIALES
Son aquellos polinomios que poseen caractersticas particulares que los diferencian de otros. Estos son:
A.Polinomio Homogneo
Es aquel cuyos trminos estn constituidos por ms de una variable y presentan el mismo grado.
Ejemplo: P(x; y) = 2xy4 3x3y2 + y5 es un
Polinomio homogneo cuyo grado de homogeneidad es 5.
B.Polinomio Ordenado
Cuando los exponentes de la variables que se toma como referencia, guardan cierto orden, ya sea ascendente o descendente.
Ejemplo: P(x; y) = x5y 2x3y2 + 6xy3 es ordenado en forma decreciente respecto a "x"; y en forma creciente respecto a "y".
C.Polinomio Completo
Es aquel que contiene todos los exponentes de la variable que se toma como referencia, desde el mayor exponente hasta el exponente cero inclusive (trmino independiente).
Ejemplo: P(x) = 3x + 4x2 + 2x3 11 es completo de 3er grado y tiene 4 trminos.
Importante:
En todo polinomio completo se cumple que el nmero de trminos es igual al grado del polinomio aumentado en una unidad.
# trminos = Grado + 1
D.Polinomio Idnticos
Son aquellos cuyos trminos semejantes poseen el mismo coeficiente.
Ejemplo: Si P(x) = ax3 + bx2 + c y
Q(x) = mx3 + nx2 + p
Son idnticos [P(x) ( Q(x)], se cumplir que:
a = m ; b = n ; c = p
E.Polinomios Equivalentes
Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes adoptan el mismo valor numrico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables.
Ejemplo:
Dado los polinomios:
P(x; y) = (x+y)2 + (xy) ( Q(x; y) = 2(x2+y2)
Si ambos admiten el mismo valor numrico para cualquier valor de "x" ( "y", entonces sern equivalentes; veamos.
Hagamos x = 3 ; y = 2
En P(x; y) : P(3; 2) = (3+2) + (3 2) = 26
En Q(x; y) : Q(3; 2) = 2(32+22) = 26
Por lo tanto: P(x; y) ( ( Q(x; y)
F.Polinomio Idnticamente Nulo
Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su valor es cero para cualquier valor de la variable.
Ejemplo: Si: P(x) = ax4 + bx + c, es idnticamente nulo, se cumplir : a = 0 ; b = 0
y c = 0
Y se podr representar as: P(x) ( 0
(Propiedades Adicionales en los Polinomios
1. Valor Numrico de un Polinomio
Es el valor que adquiere el polinomio cuando se le asigna determinados valores a sus variables.
Ejemplo1:Si: P(x) = x2 3x + 2
( P(1) = 12 3(1) + 2 = 0
( P(2) = 22 3(1) + 2 = 0
( P( 2) = ( 2)2 3( 2) +2= 12
Ejemplo2:Si: P(x) = 4x + 3; hallar P(3x 5)
En este caso reemplazamos x por 3x 5
( P(3x 5) = 4(3x 5) + 3 = 12x 17
Ejemplo3: Sea F(x 1) = 19x + 1; hallar F(x)
Solucin:
(Mtodo de cambio de variable
x 1 = y ( x = y + 1
( f(y) = 19(y + 1) + 1 = 19y + 19 + 1
( f(y) = 19y + 20
(Mtodo de formacin de variable en el segundo miembro:
f(x 1) = 19x+ 1 = 19x 19 + 20
( f(x 1) = 19(x 1) + 20
( f(y) = 19y + 20 , cambiamos y por x:
f(x) = 19x + 20
2.Para todo polinomio se cumple que su suma de coeficientes se obtiene reemplazando a la variable o variables con las cuales se est trabajando por la unidad.
3.Anlogamente, el trmino independiente (T.I.) se obtiene reemplazando a la (s) variables (s) por cero.
EJERCICIOS DE CLASE
01.Seale verdadero o falso:
I)
es irracional
II)3xy + y2 es racional entera
III)
es racional fraccionaria
a) VFVb) VFFc) VVVd) FFF
e) VVF
02. Seale la alternativa que representa a una expresin algebraica racional fraccionaria.
a)
b)
c) (x2)3d) e)
03.Es una expresin algebraica racional entera, excepto:
a)
b)
c) (x2d) e) 1
04.Hallar el grado absoluto de la expresin:
x2y + x3yz xyz + x3y3
a) 2b) 3c) 6d) 9
e) 15
05.Son trminos semejantes:
a) 5b2 y 5a2b) 3a2bc y 3a2b c) 99a2 y
d) a2 + b y a + b2
e) N.A.
06.Hallar el valor de "n" para que el grado de (2xn+2y)3 sea 18.
a) 1b) 3c) 4d) 5
e) 7
07.Hallar el valor de a para que el grado del siguiente polinomio sea 9.
3xa+1y 4a+2xay 5x2
a) 6b) 7c) 8d) 9
e) 15
08.Calcule el grado de:
a) 2b) 3c) 6d) 9
e) 0
09.Si el grado relativo a "x" es 9. Dar el grado relativo a "y", en:
P(x, y) = 21x3yn 8(xy)3n xny5
a) 5b) 7c) 9d) 11
e) 13
10.En la siguiente adicin de monomios:
Calcular a + b + c
a) 3b) 5c) 6d) 9
e) 14
11.Cul es el grado absoluto de?
P(x, y) = 3x6y2 + 2x5y3 8x4y2 + 9y9 7x2y2
a) 8b) 9c) 12d) 15
e) N.A.
12.Cul de las siguientes expresiones no es el tipo racional fraccionaria.
a)
b)
c)
d)
e) N.A.
13.Hallar A b para que el polinomio:
Ax4 + (B 3)x2 + bx + A
Sea de grado 1
a) 0b) 2c) 3
d) 4
e) 5
14.Respecto a x, la expresin:
a) Es de 1er gradob) Es de 2do gradoc) es de 3er grado
d) Es de 6to gradoe) Es de 8vo grado
15.Si: (a + 2)x2a + 3 y3b 1;
(b 3)xa+5 y2a+b3
Son semejantes; su suma es:
a) 2x7y2b) x5y3c) 3x3y7
d) 2x7y3e) 5x4y316. Si el grado absoluto de:
P(x, y) = x2ayb+2 3xayb+1 + xayb
Es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables. Calcular el grado relativo a "y".
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) N.A.
17.dado el trmino:
2xa-1yaz2a. Si su grado absoluto excede en 9 a su grado relativo a "x". Hallar su grado relativo a "y".
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) N.A.
PROBLEMAS PROPUESTOS IV
01.Calcular (a-b) si el monomio:
M(x; y) = 5x2a+bya+2b
Tiene: G.A. = 15 y G.R.(x) = 8
a) 1b) 1
c) 2
d) 2
e) 3
02.De que grado es la expresin?
E = 2xy + (x y)2 + x2 y2
a) 2b) 1c) 0
d) Indefinidoe) N.A.
03.Dado el polinomio
2xa+2y2 3xa+1 yb + 52x6yb1 , si su grado absoluto es 10 y su grado relativo a "y" es 4. hallar su grado relativo a "x".
a) 3b) 4c) 5
d) 6
e)7
04.Hallar el valor de "a" para que el grado del polinomio 3xa + 1 4a + 2xay 5x2 sea 9.
a) 7b) 5c) 6
d) 8
e) 4
05.Hallar el coeficiente del monomio
Si su G.A. es 10 y el grado relativo a "x" es 7.
a) 1b) 2c)
d) 3
e) 9
06.Se tiene los polinomios P y Q. Determinar el grado absoluto de Q si se sabe que el grado absoluto del polinomio P es 16 y el menor exponente de "y" en el polinomio Q es 4.
P = 5xm + 11yn - 3 3xm + 7yn + 2 + 7xm + 2yn + 1
Q = 4x2m + 6yn + 2 3x2m + 2yn + 7 5x2myn + 10
a) 20b) 21c) 22
d) 24
e) N.A.
07.Si G.P.(x) = 3 ( G.Q.(x) = 4
Cul es el grado de la expresin?
a) 46
b) 47
c) 48
d) 49
e) 50
08.Marque la alternativa que representa una expresin algebraica racional fraccionaria.
a)
b)
c)
d) 3x3 + 2y4 e)
09.Marque la alternativa que representa una expresin algebraica racional entera.
a)
b)
c)
d) 2x3 3y 1e) N.A.
10. Cul es el grado del polinomio?
P(x) = xn - 1 + xn - 3 + x5 - n
Si se sabe que tiene tres trminos.
a) 2b) 3c) 4
d) 5
e) Hay dos respuestas.
11.Si el siguiente polinomio es homogneo:
P(x; y) = x5 + xny2 + xmy4 + yr - 1
Hallar: m+ n + r
a) 5b) 7
c) 9
d) 10
e) 12
12.El polinomio:
P(x; y) = ax3 a2x2y + a3xy2 a4y3
a)Es heterogneo, ordenado y completo.
b)Es homogneo, ordenado y completo.
c)Es homogneo, ordenado e incompleto.
d)No es homogneo, no es ordenado ni completo.
e) N.A.
13.Si el polinomio es completo:
P(x) = xn+1 + 3xn+2 + xn+3 + 5
Hallar "n"
a) 1b) 0
c) 1
d) 2
e) 3
14.Hallar 2a + b, s se tiene que:
(2a b)x2 + 4bx + 2c ( 7x2 + 20x 5
a) 21b) 17
c) 19
d) 11
e) 13
15.Si el polinomio:
P(x) = 20xm 6 mxn m + 3 + 3pxp n + 5
Es completo y est ordenado en forma creciente.
Calcular.
a) 10b) 15
c) 20
d) 25
e) P(1)
16.Si el polinomio:
3x3ym + 8xny4 + mxmym + n 6
es homogneo, hallar el grado del polinomio:
2x2mym+n + 3xnym+n 4x3m
a) 12b) 14
c)17
d) 19
e) 20
17.Sea f(x) = x2 + 3
Si: = 8. Hallar f(a):
a) 26b) 28
c) 30
d) 32
e) 34
18.Siendo: F(x+1) = 3x2 +7x 9
Determinar : F(x 3)
a) 3x2 17x + 11
b) x2 11x + 7
c) 3x2 2z + 1
d) 2x2 9x + 11
e) N.A.
19.Determinar "m" con la condicin que el trmino independiente del producto (m ( 0):
(x + 3)2 (x + 2)3 (x m)2 (x2 + 5)
sea 1440
a) 1b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
20. Hallar "K" si se cumple la siguiente identidad:
(x + y)7 x7 y7 ( Kxy(x + y) (x2 + xy + y2)2
a) 6b) 8
c) 7
d) 5
e) 10
TAREA DOMICILIARIA
01.Si: f(x + 3) = (x 1) (x + 2) + 3
Calcular: f(2) + f(1)
02.Si el grado relativo de "m" es 9. Dar el grado absoluto del polinomio P(m; n).
P(m; n) = 21m3yn 7(mn)3n mny503.Clasifique las siguientes expresiones algebraicas:
I.
II.
III. IV.
V.
04.Si el grado del polinomio: P(x) = (25x2 + 7)n (100x3 1) (2x5 1) Es 49.
Calcular el valor de
05.Si el polinomio: 5a3bm + 10anb4 + mambm + n 6 es homogneo, hallar el grado del polinomio:
2a2mbm+n + 3anbm+n 4a3m06.Si el polinomio es completo:P(y) = yn+1 + 8yn+2 + yn+3 + 11.
Hallar: n2 +2n 5
OPERACIONES CON POLINOMIOSI.OBJETIVOS ESPECFICOS
1.1Efectuar correctamente las operaciones de adicin y/o sustraccin de polinomios.
II. PROCEDIMIENTOS
A)MOTIVACION
En nuestro mundo existen muchos misterios que el hombre, a travs de aproximaciones, trata de desentraar. Es la lucha constante de los estudios de las ciencias.
Las matemticas tienen sus misterios, sus incgnitas, pero a pesar de ello es posible sumar, restar, multiplicar, dividir; en fin realizar operaciones con cantidades desconocidas, solo estn representados!, pero se pueden realizar las operaciones con estas cantidades abstractas.
B)CONTENIDOS TERICOS
OPERACIONES CON POLINOMIOS
1.ADICIN DE POLINOMIOS
Para efectuar dicha operacin, escribimos los polinomios, uno bajo el otro, o uno al costado del otro y se procede a reducir trminos semejantes.
Ejemplo:
Si: M = x2 + 3x2-8 ; N = 4x3-4x2-x+2
P = 2x2-8x+3
Calcular : M + N + P
Colocamos un polinomio debajo del otro, tratando que los trminos semejantes estn en una misma columna.
as:
(+)
1.SUSTRACCIN DE POLINOMIOS
Para efectuar esta operacin, lo transformamos en una adicin reemplazando el sustraendo por su opuesto.
Ejemplo:
Hallar Q(x) H(x), sabiendo que:
Q(x) = 8x7 5x2 + 6 x4
H(x) = 3x2 x 2x4 + 7x7Para hallar la DIFERENCIA, los escribimos:
Q(x) H(x)
(8x7 5x2 + 6 x4) - (3x2 x 2x4 + 7x7)
*Eliminando los signos de coleccin:
8x7 5x2 + 6 x4 - 3x2 + x + 2x4 - 7x7*Reduciendo trminos semejantes:
x7 8x2 + 6 + x4 - x
*Ordenando el polinomio diferencia:
x7 + x4 8x2 + x + 6. Rpta.
PRCTICA DE CLASE 02
I.Hallar la suma de:
a)4a + 5b - 3c ; a - b + 2c ; a + b
b)a + b c; a b + c; a + b + c
c)2x + y + z; x y + 2z; 5y 2z + z
d)m + 3n + 2p; 2m 3n + p; 3m 2n 3p
e)x2 3x + 5; 2x2 + 5x + 8; 12x2 8x 6
f)3x2y2 y2 + 2x2 ; 5x2 +2x2y2 3y2 ;
2y2+3x2 4x2y2
g)(a2 + 2ab c2) (b2 + 4ac + 2a2)
h)2m
i) [x+y+{(2x+y) - [y x +(2x y)] y}]
j) [ { ( x+(y + z) + y) z}+ x] x+y+ z
k)
II.Hallar el producto de multiplicar.
a)(x + y - z) por (x + y + z)b)(m2 + mn) por (m - m2n + 1)
c)a2 ab + b2) por (a + b)d)2x + y por x + y + 3
e)3ax-1 +2ax por 3ax+1 2ax 1III.Efectuar:
a)(a + b - 1) (a - b + 1)
b)(x + 2) (x -1) + (x - 2)(x +3) - (x + 2)(x +3)
c)2(x - 1)2 - 3(x - 2)2 - 2(x - 1)2
d)(2x - 1)2 - 3(x + 3) - (x - 1)(x - 2) (x - 3)
IV.Simplificar las siguientes expresiones:
a)5(x - 2) - 2(x - 5)
b)3x - [5x - (2x - 2) + 5] - 12
c)
d)2x - [3x - [2y + 5x) + y] + 3x - 2
e)
PROBLEMAS PROPUESTOS (II)
01.Sustraer 2x + 8 de 3x2 6x + 7
a) 3x2 + 8x + 1b) 3x2 + 8x 1
c) 3x2 8x 1
d) 3X2 8X 1 e) 3x2 + 8x + 1
02.Efectuar:
(x + 1) (x + 2) + (x 1) (x 2) + 2x(1 x)
a) 2(x +2)
b) 2x + 1
c) 2(x 1)d) 2(x + 1)e) N.A.
03.De m2 sustraer la suma de 3mn 6 y
3m2 8m + 5
a) 2m2 5mn 1
b) 2m2 + 5mn + 1c) 2m2 + 5mn + 1
d) 2m2 5mn 1
e) N.A.
04.Hallar A . B, si:
A = x2 + xy + y2
B = x2 xy + y2
a) x4 + 2xy +4x2y2 y4
b) x4 + x2y2 + y4 c) x8 + xy + 2x2y2 + 4x4y4 + 8y8
d) x4 xy y2 2y4
e) N.A.
05.Simplificar:
E = [x +{(x + y) [ x + (y z)] y}] 2y+2z
a) x y + z
b) x + y + zc) x + y z d) x y ze) N.a.
06.Simplificar la expresin:
[ 3m {n +[ m + (2m n) ( m + n)] + 3n]} + 3m]
a) m + 2nb) m n c) 2m n d) m n e) 0
07.Si: A = x2 xy 2y2
B = 3x2 4y2 + 4xy
C = x2 + y2 3xy
Calcular: B + C 2A
a) 2xy y2
b) 3xy + y2c) 3xy + y2d) 4xy x2e) N.a.
08.Hallar:
a) 0
b) 2m2nc) 4m2n
d) 4m2ne) N.a.
09.Dados. P = (p 1)x2 + 3x + 3y
Q = 5x2 3(x + y)
Si: P Q se reduce a 6(x + y). Hallar el valor de p.
a) 3
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
10.Simplificar:
a) 0
b) x
c) x
d) 7x
e) 7x
I.OBJETIVOS ESPECIFICOS:
1.1.Determinar el producto de dos expresiones algebraicas.
II.PROCEDIMIENTOS
A. MOTIVACIN
En esta sesin se tratar de la operacin algebraica llamada multiplicacin y la manera de efectuarla. Recuerda que la habilidad para el manejo de las expresiones algebraicas, con precisin y rapidez, es requisito satisfactorio en las aplicaciones del lgebra.
B.DESARROLLO
La multiplicacin es una operacin que tiene por objeto, dadas dos expresiones algebraicas hallar una tercera llamada producto.
La multiplicacin se caracteriza por medio de cinco leyes o propiedades anlogas a las de la adicin.
Ley de la Existencia:
La multiplicacin es siempre posible.
Ley de la Unicidad:
Para dos nmeros dados cualesquiera a y b, existe un nmero c y slo uno tal que ab=c.
Ley Conmutativa:
Si a y b son dos nmeros cualesquiera entonces ab=ba.
Ley Asociativa:
Si a,b y c son tres nmeros cualesquiera entonces: ab) c = a (bc)
Propiedad Multiplicativa de la Igualdad:
Si a,b y c son nmeros cualesquiera tales que a=b entonces ac=bc.La multiplicacin y la adicin estn relacionadas por medio de la importante propiedad llamada:
Propiedad Distributiva:
Dados a,b y c tres nmeros cualesquiera entonces:
a(b+c) = ab+ac
Regla de los Signos:
La regla de los signos es consecuencia de los teoremas siguientes:
*El producto de un nmero positivo por un nmero negativo es un nmero negativo
*El producto de dos nmeros negativos es un nmero positivo.
En general:
El producto de un nmero cualesquiera de factores es positivo si no hay factores negativos o bien si el nmero de los factores negativos es par, el producto sern negativo si el nmero de factores negativos es impar.
Ejemplo:
a) ( 4 ) ( - 2) = - 8b) ( - 2) ( - 3) = 6
En la multiplicacin de expresiones algebraicas es conveniente utilizar las siguientes leyes de los exponentes para calcular los trminos del producto.
I. Multiplicacin de Monomios
Para multiplicar monomios, primero se multiplican los signos de acuerdo a la regla dada, despus se multiplican los coeficientes y a continuacin la parte literal teniendo en cuenta las leyes de los exponentes.
1. Efectuar:
2. Efectuar:
3. Efectuar:
II.Multiplicacin de un Monomio por un Polinomio
El procedimiento utilizado es una consecuencia inmediata de la propiedad distributiva.
Ejemplos:
Efectuar :
Efectuar:
III. Multiplicacin de Polinomios
Para la multiplicacin de polinomios tambin se aplica la propiedad distributiva, es decir se multiplica cada trmino del primer polinomio por cada trmino del segundo polinomio, luego se reducen trminos semejantes si los hubiera. Ejemplo:
Multiplicar:
3x 2 por 4x 5
Resolucin :
(3x- 2).(4x- 5)=12-15x 8x+10=12-3x+10
Multiplicar :
por
Resolucin:
(2-3).(2-3-2x-1) =
=4-6-4-2+ 6+9+6x +3
= 4 - 6- 6+5-2+6x+3
Por lo laborioso que resulta, la reduccin de trminos semejantes, es conveniente escribir los factores uno debajo del otro, estando ordenados ambos segn las potencias de una cierta variable.(colocando un cero por cada trmino que falta, con la finalidad de guardar su lugar), luego colocar los productos parciales en columnas de modo que los trminos semejantes aparezcan uno debajo del otro para facilitar su reduccin.
Ejemplos:
Multiplicar : 3x 2 por 4x 5
Resolucin :
3x 2
4x 5
12x2 8x
15x + 10
12x2 23x + 10
Multiplicar : 2x4 3x3 2x 4 por 2x2 1
Resolucin
2x4 3x3 + 0 2x 1
2x2 0 3
4x6 6x5 + 0 4x3 2x2
6x4 + 9x3 + 0 + 6x + 3
4x6 6x5 6x4 + 5x3 2x2 + 6x + 3
Estos productos tambin se pueden obtener mediante el proceso conocido como Multiplicacin de Coeficientes Separados. Este proceso consiste en formar una tabla de doble entrada, escribiendo en la primera fila los coeficientes de uno de los factores y en la primera columna, los coeficientes del otro factor; en la interseccin de cada fila con cada columna, el producto del coeficiente que encabeza la fila por el coeficiente que encabeza la columna.
Finalmente, cada coeficiente del producto es la suma de los productos que pertenecen a una misma diagonal, excepto los extremos.
Ejemplos:
Multiplicar : 3x 2 por 4x 5
Resolucin.
x3 2
412 8
5 1510
Multiplicar : 2x4 3x3 2x 1 por 2x2 3
Resolucin:
x2- 30- 2- 1
24- 60- 4- 2
000000
369063
Finalmente el producto ser:
4x6 6x5 6x4 + 5x3 2x2 + 6x + 3
PRCTICA DE CLASE 03
1. Multiplicar los siguientes Monomios
a) (- 15x2 y) . (- 3x3 y2 z5)
b) (5x3 y2) . (6x5 y2) . (- 11xz4)
c) (3/8 x5 y9) . (- 10/11 x4 y5 z3)
d) (- 3/5 xy2) (- 8/9 x3 z2) (- 15/2 x3 y3 z6)
2. Efecte las siguientes multiplicaciones de Monomios por polinomios
a) 3a2 b (5a2 2ab + b2)
b) - 2a3 b2 (5a3 2ab + 6)
c) 3/8 x2 y (4x3 y 12/7 xy3 z 16/9 y5 z4)
3. Multiplique los siguientes polinomios, ordenando los factores uno debajo del otro
a) (2x2 5x + 9) (6x2 3x + 11)
b) (x3 x + 3) (x2 8 + 2x)
c) (8x3 + 5 7x) (2x3 + 7 3x + 4x2)
4. Multiplique los polinomios del ejercicio 3 de la comprobacin, por el mtodo de coeficientes separados.
5. Efecte las siguientes multiplicaciones y halle el producto de la suma de los coeficientes con exponente par, por la suma de los coeficientes con exponente impar.
a) (3x2 5x + 7) (2x2 + 6x 9)
b) (x2 11x + 7) (x3 7x2 + 6x 3)
c) (x+5) (2x2 5x + 6)
d) (x + 8) (x 3) (x2 5x + 7) (x 1)
6. Efecte las siguientes multiplicaciones:
a) (3x2 5xyz2 + 6y3 z5) (2x2 3xyz +7y2 z3)
b) (5/3 x2 y 3/7 xy2 z + 11y4 z4) (6x2 14xyz + 6z2)
c) (x2 xy + y2) (5x2 3xy + 7y2) (x3 2x2 y + y3)
PROBLEMAS PROPUESTOS III
1. Al multiplicar los polinomios:
A(x) = 2x4 x2 + 2x 3 y
B(x) = 3x3 6x2 + 1.
Sealar el menor coeficiente del polinomio producto.
a) 2
b) 21
c) 12
d) - 3
e) 6
2. Completar la siguiente tabla del producto de dos polinomios.
x- 32- 1
- 4
4- 8
12
Sealando la suma de los coeficientes positivos del polinomio producto.
a) 12b) 22c) 19
d) 25
e) N.a.
3. Completar la siguiente tabla del producto de dos polinomios y seale la suma de los coeficientes del polinomio producto.
x2- 34
1-5-1
6
- 4
a) 6
b) - 3
c) 15
d) - 9
e) 5
4. Al multiplicar los polinomios : A(x) = x2 +x + 1 ; B(x) = x + 3.
Se obtiene : P(x) = x3 + ax2 + bx + c.
Hallar el valor de : a + b c
a) 6
b) 4
c) 5
d) 7
e) N.a.
5. Hallar el coeficiente del trmino de grado 5 del producto total en:
(3x5 1 + 2x4) (3 + 4x 2x2) (x2 + 1)
a) 12
b) 13
c) 17
d) 19
e) N.a.
6. Hallar m para que en el producto resultante, el termino de grado 4 tenga como coeficiente 21.
(mx3 mx + 3x4 3 + 5x2) (4 + 3x2 + 2x3 x)
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) N.a.
7. Hallar m para que en el producto resultante, el trmino de grado 3 tenga como coeficiente 7.
(mx + 3x2) (mx2 3x + 1) (x m)
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) N.a.
8. Hallar el grado absoluto del producto total en
(x22 + 1) (x23 +1) (x24 + 1) .....
20 factores en total
a) 610b) 620
c) 630
d) 440
e) 800
09. Hallar el grado absoluto del producto total en:
(x2 + 1) (x12 + 1) (x36 +1) (x80 + 1) ......
10 factores en total
a) 3025b) 3045c) 3065
d) 3410
e) 385
10.Indicar el producto de los coeficientes de uno de los factores de:
(4x + 1) (12x + 1) (3x + 1) (2x + 1) 36
a) 42b) 420c) 70
d) 700
e) 500
TAREA DOMICILIARIA
1.Efectuar las multiplicaciones de los siguientes polinomios:
a) (x2 + x + 1) (x2 x + 1)
b) (6m7 m2 + 2) (3mn + m4)
c) (5x2 + 3x 2) (6x3 x + 1)
2.Seale el resultado de multiplicar la suma de
2x x2 + x3 con x2 x3 + 3; con el resultado de la diferencia de 3x2 + x + 6 con 3x2 x 1, al resultado final restarle : 4x (x + 5).
3.Dadas las siguientes expresiones:
A = 2(x2 + x + 2) (x 1) + 3(x + 1) (x2 1)
B = 2(x2 x + 2) (x + 1) + 3(x 1) (x2 + 1)
Indicar el valor de: (A + B) 4x + 6
4.Si se sabe que:
A = 2(x2 + x + 1) (x + 1) + 2x
B = 2(x2 x + 1) (x 1) 2x
Calcular: A B 4x 4
I.OBJETIVOS ESPECFICOS.
1.Identificar los productos notables a partir de los factores. As como el reconocimiento de los factores a partir del producto.
2.Aplicar los productos notables en la solucin de problemas.
II.PROCEDIMIENTOS.
A.MOTIVACIN.
Para llevar a cabo cualquier multiplicacin se debe utilizar la ley distributiva de los nmeros reales, es decir:
a(b + c) = ab + ac (b + c) a = ba + ca
Pero par mayor nmero de trminos esta ley se debe ampliar o buscar mtodos prcticos que permitan realizar operaciones con mayor facilidad como la regla del cuadro de doble entrada, que es de mucha utilidad para multiplicar polinomios completo y ordenado en forma decreciente de una variable tal como se muestra:
Sean los polinomios:
P(x) = x2 + 2x + 3;
Q(x) = 2x3 + 4x2 5x + 2
Luego se ubican los coeficientes en un cuadro de doble entrada:
P
Q123
2
4
5
2
Y se completa el cuadro colocando en cada casillero los productos de los coeficientes de P y Q segn corresponda:
P
Q123
2246
44812
5 5 10 15
2246
Bien sabemos que el grado del producto de P y Q es 5 y los coeficientes se toman sumando diagonalmente los resultados del cuadro.
Finalmente como el producto PQ tiene igual caracterstica que: P y Q tenemos:
P(x)Q(x)=2x5 + 8x4 + 9x3 + 4x2 11x + 6
A pesar de esto para los ejercicios que tengan una o ms variables se pueden emplear algunas multiplicaciones cuyos resultados adoptan formas fciles de reconocer los cuales reciben el nombre de PRODUCTO NOTABLE.
B.CONTENIDO TERICO.
PRODUCTOS NOTABLES.-
Son ciertos productos que se determina sin necesidad de efectuar la multiplicacin; cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccin utilizando para ello identidades algebraicas.
Debe tener presente que los diferentes productos notables que se exponen en el presente mdulo sern de mucha utilidad cuando est cursando estudios superiores, por lo que trata de retener su desarrollo y aplicarlo con precisin.
La siguiente es una lista de los principales PRODUCTOS NOTABLES:
1.Binomio al Cuadrado:
(a+b)2=a2+2ab+b2
(ab)2=a22ab+b2
Observaciones:
( a b)2 = (a + b)2 = ( b + a)2
( a + b)2 = (a b)2 = ( b a)22.Binomio Suma por Binomio Diferencia:
(a+b) (ab)=a2b23.Identidades de Legendre:
(a + b)2 + (a b)2 = (a2 + b2)
(a + b)2 ( a b)2 = 4ab
4.Binomio Al cubo:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)
(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3
(a b)3 = a3 b3 3ab (a b)
5.Multiplicacin de un Binomio con un Trinomio:
(a + b) (a2 ab + b2) = a3 + b3
(a b) (a2 + ab + b2) = a3 b36.Multiplicacin de Binomios con Trmino Comn:
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc
7.Trinomio al cuadrado:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
8.Trinomio al Cubo:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2(b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc
(a + b + c)3 = a3 + b3 +c3 + 3(a + b) (a + c) (b + c)
(a + b + c)3 = a3 + b3+ c3 + 3(a + b + c) (ab + bc + ac) 3abc
9.Identidades de Lagrange:
(ax + by)2 + (ay bx)2 = (a2 + b2) (x2 + y2)
(ax+by+cz)2 + (aybx)2 + (az+cx) + (bzcy)2 = (a2+b2+c2) (x2+y2+z2)
10.Identidad de Argand:
(a2+ ab + b2) (a2 ab + b2) = a2 + a2b2 + b211.Identidad de Gauss:
a3 + b3 + c3 3abc = (a+ b + c) (a2 + b2 + c2 ab ac bc)
12.Identidades Condicionales:
(Si a; b; c ( R:
a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc entonces: a = b = c
(Si a + b + c = 0 ; entonces:
a2 + b2 + c2 = 2(ab + ac + bc)
a3 + b3 + c3 = 3abc
a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + a2c2)
PRCTICA DE CLASE
01.Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I.(x + y) (y x) = x2 y2
II.(x + 2) (x 3) = x2 + x 6
III.(x + y) (x2 2xy + y2) = x3 + y3
a) VVVb) VFVc) FFF
d) FVF
e) FFV
02.Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I.(3n + 1) (3n 1) = 32n 1
II.(x + y)3 (x y)3 = x6 y6
III.(A + B)2 + (A B)2 = 2(A2 + B2)
a) VFVb) FVFc) FFV
03.Simplificar:
(x + a) (x a) (x2 ax + a2) (x2 + ax + a2)
(x6 + a6) (x12 + a12) + a24
a) a24b) x24c) x12
d) a12
e) a18
04.Calcular:
(x + 9)2 (x + 13) (x + 5) (x + 10) (x + 9)
(x + 16) (x + 3)
a) 21/8b) 2/7 c) 3/4
d) 8/21
e) 4/7
05.Simplificar:
a) 8
b) 0c) 1
d) 2
e) 4
06.Simplificar:
a) y2b) x2c) y
d) x
e) xy
07.Simplificar:
(x + 1) (x 1) (x + 2) (x + 4) + 2x(x + 3) x2(x + 3)2
a) 8
b) 8 c) 4
d) 4
e) 2
08.Calcular:
a) 2b) 4c) 6
d) 8
e) 10
09.Simplificar:
(a + b)(a2 + b2)(a3 b3)(a2 ab + b2) . (a4 a2b2 + b4) + b12
a) 12b) b12c) a24
d) b24
e) N.A.
10.Simplificar:
(a2 + 5)(a2 5)(a4 5a2 + 25)(a4 + 5a2 +25) (a 125) + 31250
a) 125 a6b) 250 a6c) 25 a6
d) 125
e) N.A.
11.Indica el resultado de efectuar:
a) 2b) 6c) 8
d) 10
e) 12
12.Reducir:
a) a2b) ac) a3
d) a6
e) N.A.
13.Al reducir:
(a + b)3(a b)3 (a2 b2)(a4 + a2b2 + b) + 3a4b2
a) 3a2b4b) 3a4b2c) 3a6b414.Al reducers:
(x + 1)(x 2)(x + 3)(x 4) (x + 2)2(x 3)2 + 2(x2 x)
la expresin resultantes es:
a) 36b) 24c) 12x
d) 24x 1e) 12
PROBLEMAS PROPUESTOS (V)
01.Efectuar: (x + 2)2 2(x + 1)2 + x2
a) 1b) 2c) 3
d) 4
e) 1
02.hallar: 5(2 + )3 14 (1 + )3
a) 1b) 2c) 3
d) 4
e) 5
03.Calcular:
a) 2
b) 2
c) 2
d) 2
e)
04.Reducir:
a) ab) a2c) b
d) b2
e) ab
05.Hallar:
a) 2b) 3c) 4
d) 5
e) 6
06.Efectuar:
(x2 + 5x + 5)2 (x + 1) (x + 2)(x + 3)(x + 4)
a) 1b) 2c) 3
d) 4
e) 5
07.Reducir:
(a + b + c)3 (a + b)3 3(a + b)(a + b + c)c
a) a3b) b3c) c3
d) 2a3
e) 2b308.Efectuar:
(a+b+c)(a+b+d) + (b+c+d)(a+c+d) (a+b+c+d)2
a) ab + cd
b) ac + bd
c) ad + bcd) a2 + b2 + c2 + d2
e) (a + b)(c + d)
09.Realizar:
E = (a2+aab+b+b2)2 (a2aabb+b2)2
a) 2(a2 + b2)b) (a2 b2) (4)
c) 4(a3 + b3)d) 4(a3 b3)
e) 2(a2 + ab + b2)
10.Simplificar:
a) xb) x4c) 1
d) x2
e) 1
I.OBJETIVOS ESPECFICOS.
1.Conocer los mtodos de divisin de polinomios.
2.Buscar la aplicacin de la divisin a captulos posteriores.
3.Hallar los restos de algunas divisiones en forma directa.
II.PROCEDIMIENTOS.
A.MOTIVACIN.
La operacin de la divisin aparece y se desarrolla conjuntamente con los nmeros quebrados al llamarles nmeros ruptos (rotos) y emple la raya de quebrado para separar el numerador del denominador. En el siglo XVI aparece la reduccin de quebrados a un comn denominador por medio de M.C.M.
La divisin de polinomios se simplifica cuando aparecen los trabajos de Guillermo Homer y Paolo Rufino; donde se muestran esquemas que hacen que la divisin de polinomios sea mas sencilla.
La divisin de polinomios tiene mayor aplicacin en la teora de ecuaciones. A continuacin desarrollaremos una aplicacin importante del Homer al clculo de la suma de las potencias de las races de una ecuacin polinominal.
Ejemplo:
Sea polinomio; P(x) = x3 x2 + 11x 6 donde se sabe que las races son: x1 = 1; x2 0 2; x3 = 3 ahora obtendremos el polinomio: P(x) = 3x2 12x + 11 (llamado tambin la derivada de P (x)).
Luego dividimos: por Homer.
Lo que se obtiene en el cociente representa:
13 - 12 11
6
- 11
6 18 - 33 18
36 - 66 36
84 - 154 84
.
.
3 6 14 36 .....
( ( ( (
S0 S1 S2 S3
Lo cual se verifica tendiendo en cuenta que: x1=1; x2=2; x3=3; como se plante al inicio.
B)CONTENIDOS TERICOS
DIVISIN DE POLINOMIOS
Definicin
Es aquella operacin donde a partir de dos polinomios llamados dividendo y divisor se obtienen otros dos polinomios llamados cociente y residuo; donde estos 4 polinomios cumplen la siguiente identidad:
D(x) ( d(x) q(x) + R(x)
Donde :
D(x) = Polinomio Dividendo
d(x) = Polinomio Divisor
q(x) = Polinomio Cociente
R(x) = Polinomio Resto Residuo
Adems: Grado [d(x)](Grado [R(x) ( R(x)=0
PROPIEDADES DEL GRADO
(GR [d(x)] ( GR [d(x)]
(Mximo GR [R(x)] = GR [R(x)] 1
(GR [q(x)] = GR [D(x)] GR [d(x)]
Clasificacin de la Divisin
A.Divisin Exacta ( R (x) ( 0
Del algoritmo D(x) ( d(x)q(x) + R(x)
(
B.Divisin Inexacta ( R (x) ( 0
Del algoritmo D(x) ( d(x)q(x) + R(x)
(
Mtodo para dividir
Para dividir polinomios; se van a desarrollar dos mtodos:
A.Mtodo de Homer
Este mtodo utiliza coeficientes separados de acuerdo al esquema.
NOTA:
K = Grado de Divisor
Ejemplo:
Dividir:
Primero completamos los polinomios:
D(x) ( 2x5 x4 + 2x3 + 5x2 + 0x + 2
D(x) ( 2x3 x2 + 0x + 5
Llevamos al esquema:
1 2 - 1 2 5 0 2
1
0
- 5 1 0
0 0
2- 5
0 0
1 0 - 5
1 0 1 1 0 - 3
q (x) R (x)
q(x) = 1x2 + 0x + 1 = x2 + 1
R(x) = 1x2 + 0x 3 = x2 3
B.Mtodo de Ruffini
Es una consecuencia del mtodo de Homer que se aplica cuando el divisor es de la forma:
d(x) = ax + b; a ( 0; de acuerdo al esquema:
Donde:
Ejemplo:
Dividir:
como estn completos y ordenados llevamos al esquema:
3x-1=0 3 8 -6 13 17 -13
X = 1/3 1 3 -1 4 72
3 9 -3 12 21 6 5
q(x) Falso R(x)
q(x) verdadero =
q(x) = 1x5 + 3x4 1x3 + 4x2 + 7x + 2
R(x) = 5
Teorema del Resto
Este teorema nos permite hallar el resto de una divisin en forma directa; de acuerdo al enunciado:
Sea P(x) un polinomio no constante; entonces el resto de dividir P(x) entre:
(x a) es P(a).
Demostracin:
Del algoritmo: P(x) ( (x a)q(x)+R para
X = a ( P(a) = 0q(a) + R ( P(a) = R
Ejemplo:
Sea P(x) un polinomio no constante.
(El resto de es P(5)
(El resto de es P(4)
Procedimiento Prctico
I. Igual a cero el divisor.
II. Reemplazar en el denominador.
Ejemplo:
Hallar el resto de :
I. x 2 = 0 ( x = 2
II. Resto = 25 + 2 1 = 33
Generalizacin del Teorema del resto
El teorema del resto tambin se aplica para divisores de la forma: ax + b; a ( 0; y para divisores de grado mayor que uno de acuerdo al siguiente procedimiento:
I. Se iguala a cero el divisor y se despeja lo ms conveniente.
II. Se reemplaza en el numerador; hasta obtener un polinomio de grado menor que el grado del divisor el cual ser el resto.
Ejemplo:
Hallar el resto de:
Resolucin:
Por el T.R. Generalizado:
I. x2+5x1 = 0 ( x2+5x = 1
II. Resto = (x2+5x+4) (x2+5x+6)+x24
(1) (1)
= (5) (7) + x2 4
1 5x
= 35 + 1 5x 4 = 5x + 32
( Resto = 5x + 32
PRCTICA DE CLASE
BLOQUE I: Divisin de monomios
01.
02.
03.
BLOQUE II: Divisin de un polinomio
01.
02.
03.
BLOQUE III: Mtodo Convencional
01.
02.
03.
BLOQUE IV: Dividir por el mtodo de HORNER
01.(x4 + 3x3 5x2 + 3x 10
entre (x2 + x 2)
02.(6x5 + 4x4 + 5x3 + 8x2 7x 5
entre (3x2 + 2x + 1)
03.(2x5 + 3x4 + 3x3 + 2x2 8x 11
entre (x2 + 2x + 1)
04.
BLOQUE V: Dividir por el mtodo de RUFFINI.
01.(5x5 + 16x4 15x3 + 2x 8) : (x + 4)
02.(4x4 5x3 + 6x2 + 7x + 18) : (x + 1)
03.(8x3 9x2 2x +4) : (x 2)
04.(2x3 10x 15) : (x 3)
BLOQUE VI: Hallar el resto que resulta de dividir (utilizar el TEOREMA DEL RESTO)
01.(2x3 10x 15) : (x 3)
02.(2x4 + 3x3 4X + 2) : (x 2)
03.(160x4 24x3 + 6x + 1) : (2x + 1)
04.(18x3 4x2 + 4x + 5) : (2x 1)
05.[(x2n (2n + 3)x + 2(n + 3)] : (x 1)
PROBLEMAS PROPUESTOS (VI)
01.Al dividir 8x4 + 2x3 + 3x2 13x + 8) entre
(4x 1) se obtiene un cociente, que tiene por suma de coeficiente a:
a) 4b) 3c) 21d) 1
e) 5
02.El resto que se obtiene al dividir:
6x6 3x5 + 2x4 + 33x3 + 8x2 6x + 4 entre
x3 2x2 + 3x + 1 es:
a) 3x + 2b) x2 + 10c) x2 20x
d) x 20
e) N.A.
03.Al dividir:
4x5 + 2x4 + 2x3 x2 + 4x entre
2x3 + 3x2 x + 2 el cociente es:
a) 2x2 2x + 5b) 2x2 + 3x 2c) 2x2 x + 5
d) 2x2 + x 2
e) N.A.
04.Calcular el resto en:
(4x3 2x2 + 10x 4) entre (2x 1)
a) 4b) 1c) 2
d) 5
e) 6
05.Si la divisin de:
6x4 5x3 7x2 + Ax + B entre
3x2 + 2x 2 es exacta. Entonces el valor de A + 2B es:
a) 8b) 6c) 4
d) 5
e) 0
06.Al dividir:
el trmino independiente del cociente es:
a) 8b) 4c) 2
d) 1
e) N.A.
07.Si la divisin de:
, es exacta
Entonces el valor de a + b + c es:
a) 53b) 48c) 6
d) 32
e) N.A.
08.Si al dividir:
el resto que se obtiene es:
2x2 + 4x. Entonces calcular:
E = a + b + c 5d.
a) 9b) 8c) 4
d) 3
e) N.A.
09.Si al dividir:
el resto que se obtiene es:
3x2 2x + 1. Entonces a + b + c es:
a) 2b) 10c) 12
d) 14
e) 16
10.Al dividir:
a) 12b) 15c) 17
d) 10
e) N.A.
TAREA DOMICILIARIA
Realizar las siguientes divisiones:
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.(8x4 20x3 + 3x 5) : (x 1)
09.(4x5 11x3 + 6x 7) : (x )
Hallar el resto que resulta de dividir:
10.(x40 + 5x39 + 6x38 4x2 9x + 10 ) : (x + 2)
11.(x128 2x127 + x2 2x + 3) : (x 2)
12.(x1998 + 5x1997 + x2 + 5x + 1) : (x + 5)
PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA01.Suma de Coeficientes: Para determinar la suma de coeficientes de un polinomio, se hacen la variable o variables iguales a 1.
Cuando el polinomio tiene una sola variable se tiene:
02.Teorema Independiente: Para calcular el trmino independiente de un polinomio, respecto a una variable, se hace la mencionada variable igual a CERO. Cuando el polinomio tiene una sola variable se tiene:
Trmino independiente: P(0)
03.Si un polinomio P(x) al ser dividido entre (x a) deja por resto cero, dicho polinomio es divisible entre dicho binomio. Esto se manifiesta as:
P(x) es divisible entre (x a)
04.Si un polinomio P(x) es divisible separadamente entre varios binarios, dicho polinomio ser divisible entre el producto de ellos, lo cual se expresa de la manera siguiente;
Luego:
05.Si un polinomio P(x) es divisible por el producto de varios binomios, dicho polinomio P(x) ser divisible separadamente por cada uno de ellos, lo cual se expresa de la siguiente; manera:
Observacin:
Este principio es recproco al anterior.
06.En toda divisin, si al dividendo y al divisor se multiplica por una misma cantidad diferente de cero, el cociente no se altera, sin embargo el resto queda multiplicado por dicha cantidad.
Si se desea hallar el resto original, se divide el resto obtenido entre la cantidad por la cual se haba multiplicado.
As tenemos:
Sea: , multiplicando por m
El resto es ahora: R m
Luego:
07.En toda divisin, si se divide al dividendo y divisor por una misma cantidad diferente de cero, el cociente no se altera, sin embargo el resto queda dividido por dicha cantidad.
Si se desea obtener el resto original se multiplica el resto obtenido por la cantidad por la cual se dividi:
As tenemos:
Sea , dividiendo entre m, se obtiene:
El resto ahora es:
METODO DE WILLIAM G. HORNER
Pasos a seguir:
1)Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado.
2)Coeficientes del divisor ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado, con signo contrario, salvo el primero.
3) Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los dems coeficientes del divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal.
4)Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar las columnas finales una vez obtenidos todos los coeficientes del cociente.
ESQUEMA GENERAL
La lnea divisoria se colocar separando tantos trminos de la parte final del dividendo como lo indique el grado del divisor.
OBSERVACIN: Si la divisin origina un cociente exacto, entonces el residuo es un polinomio nulo (todos sus coeficientes son cero).
Ejemplo:
Dividir :
La variable se agrega de acuerdo al grado del cociente y del resto, se tiene:
Q(x ; y) = 2x3 - x2y + xy2 + 3y3
R(x ; y) =-7x3y4 + 2x2y5 + 9xy6 - y7
METODO DE PAOLO RUFFINI
Se utiliza para dividir polinomios y cuyo divisor es un binomio de primer grado de la forma: (ax+b).
Tambin podra ser cualquier otro divisor que puede ser llevado o transformado a la forma antes mencionada.
Pasos a seguir:
1) Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o completado con respecto a una variable.
2)Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero.
3)Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente anterior se ha multiplicado por ( y colocado en la siguiente columna.
4)Resto de la divisin que se obtiene de sumar la ltima columna.
ESQUEMA GENERAL
Ejemplo 01: Dividir :
Por Ruffini :
Como : Grado (Q) =5 - 1=4, confeccionamos el cociente :
Q(x) = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43
R(x) = 87
OBSERVACION: Si en el divisor (ax+b), a(1 ; luego de dividir por Ruffini los coeficientes del cociente deben dividirse entre a para obtener el cociente correcto.
Ejemplo 02: Dividir :
Por Ruffini :
Q =4 - 1=3 ; (Q ( nos indica el grado del cociente)
Confeccionamos el cociente :
Q(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1 ; R = 8
OBSERVACION: Si el divisor es de la forma (axn+b), para proceder a dividir por Ruffini todos los exponentes de la variable en el dividendo deben ser mltiplos del exponente de la variable del divisor. Luego de verificar esto, se procede como en los ejemplos anteriores.
Ejemplo 03: Dividir :
Solucin:
40, 30, 20, 10 son mltiplos de 10, entonces es posible aplicar el Mtodo de Ruffini.
Q =40 - 10=30, los exponentes de la variable en el cociente disminuyen de 10 en 10.
Q(x) = 3x30 5x20 + 6x10 7
R = 8
TEOREMA DEL RESTO
Enunciado del Teorema del Resto
El residuo de dividir un polinomio Racional y entero entre un binomio de forma (ax+b), es igual al valor que toma dicho polinomio cuando se reemplaza x por (-b/a) es decir:
Si: ax+b = 0, despejando x=
Luego:
P(-b/a) = [a(-b/a) + b] Q(x) + R
P (-b/a) = 0 + R
P (-b/a) = R
Entonces; para calcular el resto se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo.
El resultado obtenido es el resto.
Ejemplo 01
Calcular el resto :
Solucin:
Por el teorema del resto: x- 2 = 0( x =2
R = (2)5 + 3(2) 5 ( R = 33
Ejemplo 02
Calcular el resto :
Solucin:
Por el teorema del resto: 2x3= 0 ( x=3/2
R =
R =
R = ( R =
R = 9 11 ( R = -2
Ejemplo 03
Hallar el resto en:
(3x60 5x45 + 3x30 2x15+x5+7) : (x5 + 1)
Solucin:
Expresando el dividendo en funcin de x5, tenemos:
Por el teorema del resto:
x5 + 1 = 0 ( x5 = -1
El valor obtenido para x5 lo reemplazamos en el dividendo, as:
R=3(-1)125(-1)9+3(-1)6 2(-1)3 + (-1)+ 7
R = 3 + 5 + 3 + 2 1 + 7 ( R = 19
Ejemplo 04
Hallar el resto de:
(5x7 4x6 + 5x4 3x3 + 2x2 5x + 7) : (x2 + 2)
Solucin:
En este caso los exponentes del dividendo no son mltiplos del exponente del divisor. Siendo el divisor de segundo grado, el grado del resto ser de primer grado. (es el mximo valor que puede asumir).
El procedimiento a seguir es el mismo que en el ejemplo anterior.
Expresamos el dividendo en funcin de la potencia x2 :
Por el teorema del resto, igualamos el divisor a cero y hallamos la potencia x2 :
x2 + 2 = 0 ( x2 = -2
Reemplazando en el dividendo tendremos:
R = 5(-2)3x 4(-2)3+5(-2)23(-2)x+ 2(-2)
5x+7
R = 5(-8)x 4(-8)+ 5(4)+ 6x 4 5x + 7
R = 40x + 32 + 20 + 6x 4 5x + 7
R = 39x + 55
Ejemplo 05
Hallar el resto en:
Solucin:
Como el divisor es de la forma x2 + 5x + 6, buscamos en el dividendo las potencias de (x2 + 5x); as:
Hacemos: x2 + 5x + 6 = 0 ( x2 + 5x=6,
en el dividendo tendremos:
R = (-6+7)39 3(-6+5)41 + (-6) + 11
R = 1 3(-1)41 6 + 11
R = 1 + 3 6 + 11 ( R = 9
Ejemplo 06
Hallar el resto luego de dividir:
Solucin:
Factorizando el divisor:
x2 7x + 12 = (x-4)(x-3)
En toda divisin:
D ( d . Q + R, reemplazando los datos:
(x- 3100) + (x- 47) + 6 = (x- 4)(x- 3) . Q(x) + R
2do. grado 1er. grado
(x-3)100+(x-4)47+6=(x-4)(x-3) .Q(x)+(ax+b), ( x
Si x = 3, se obtiene: 5 = 3 a + b . . . (1)
Si x = 4, se obtiene: 7 = 4 a + b . . . (2)
Restando 2 1 : a = 2
b = -1
Luego: R(x) = ax + b ( R(x) = 2x 1
Ejemplo 07
Al dividir F(x) entre (4x2 9)(x+3); se obtuvo como residuo 2(x - 3)2. Hallar el residuo de dividir F(x) entre (2x2 + 9x+ 9).
Solucin:
F(x): (4x2-9)(x+3) ( R = 2(x - 3)2
Luego:
F(x) = (4x2-9)(x+3). Q1 (x) + 2(x- 3)2 .. (()
F(x) : (2x2+9x+9) ( R = ? (primer grado)
F(x) = (2x2+9x+9). Q2 + ax + b . . . . . (()
De (() y (() :
(2x+3)(2x-3)(x+3).Q1+2(x-3)2=(2x+3)(x+3).Q2+
(ax+b)
Si x = -3/2, se obtiene : 81/2 = -3/2 a + b ( (-)
Si x = -3, se obtiene : 72 = - 3 a + b
81/2 72 = -3/2 a + 3a
81 144 = 3 a
-63 = 3 a
a =-21 ; b = 9
Finalmente:
R = - 21x + 9
I.OBJETIVOS ESPECFICOS.
1.Identificar las divisiones que originan un cociente notable
2Proporcionar el desarrollo del cociente notable.
3.resolver situaciones que involucran cocientes notables.
II.PROCEDIMIENTOS
A)MOTIVACIN
Despus de haber estudiado la divisin de polinomios y sus mtodos.
Ahora vamos a examinar algunas divisiones de polinomio cuyos resultados o cocientes se pueden escribir directamente, sin efectuar la divisin propiamente dicha.
Te desafo, efecta las divisiones y da el cociente sin efectuar la divisin:
1) (x 20 + x2) :(x + 5)
2) (2 + 2x3 x2) : ( 1 + x)
3)
B)CONTENIDO TERICO
COCIENTES NOTABLESDefinicin
Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente y el residuo de la divisin se obtienen sin mediar algoritmo correspondiente, o sea sin necesidad de efectuar la operacin.
Estos casos especiales de la forma general:
Condiciones que deben cumplir:
a) Deben tener las bases iguales.
b) Deben tener los exponentes iguales.
As:
Numricamente
ESTUDIO DE LOS CASOS DE LOS COCIENTES NOTABLES
Existen cuatro casos de cocientes notables, que se determinan combinando convenientemente los signos; las cuales son:
PRIMER CASO
a)CALCULO DEL RESTO
Por el teorema del resto:
X a = ( x = a
R = an an = 0
( R = 0
Esto indica que para cualquier valor entero de "n" , ser siempre exacta por lo tanto es un cociente notable.
b)CALCULO DEL COCIENTE
Como se est dividiendo un polinomio de grado n entre uno de primer grado, el cociente resultante ser de grado (n 1).
Entonces:
Para cualquier valor de "n"
Ejemplo
Calcular el cociente en forma directa de:
1)
SEGUNDO CASO:
a)CALCULO DEL RESTO:
x a = 0 ( x = a
R = an + an
R = 2an ( 0
Vemos que en ste caso para cualquier valor de "n" el resto es siempre diferente de cero por lo cual el cociente que se obtiene ser siempre un cociente completo y nunca un cociente exacto.
b)CALCULO DE COCIENTE
Luego el cociente completo es:
TERCER CASO:
a)CALCULO DEL RESTO
x + a = 0 ( x = a
R = ( a)n + an
Si: n = # par ( R = an + an = 2an ( 0 ( cociente completo.
Si: n = # impar ( R = an + an = 0 ( cociente exacto.
b)CALCULO DEL COCIENTE
1)Para n = # par:
R = 2an ( 0
Luego el cociente completo es:
2) Para n = # impar:
R = 0
Luego el cociente exacto es:
CUARTO CASO:
a)CALCULO DEL RESTO:
x + a = 0 ( x = a
R = ( a)n + an
Si: n = # par ( R = an an = 2an ( 0 ( cociente exacto.
Si: n = # impar ( R = an an = 0 ( cociente completo.
b)CALCULO DEL COCIENTE:
1)Para n = # par
Lugar par
R = 0
Luego el cociente exacto es:
2)Para n = ( impar
Lugar impar
R = 2an ( 0
Luego el conciente completo es:
Lugar par
R = 0
Luego el cociente exacto es:
2)Para n = ( impar
Lugar impar
R = 2an ( 0
Luego el conciente completo es:
El signo del ltimo trmino del cociente vera por estar ocupando diferente lugar.
FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES.
Es una frmula que nos permite encontrar un trmino cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables sin necesidad de conocer los dems.
Sabemos que:
t1 t2 t3 t4
Donde:
t1 = xn-1 = xn-a0
t2 = xn-2 = xn-2a1
t3 = xn-3 = xn-3z2
.
.
.
r69 = = xn-69a68
.
.
.
en general:
; (1 ( k ( n)
Donde k es el lugar pedido y n es el exponente de las bases en el numerador.
"O sea EL Exponente de x es igual al exponente comn de las bases menos, el lugar que ocupa y el de a el lugar que ocupa disminuido en 1"
(Regla para el SIGNO
a) Cuando el divisor es de la forma (x a):
Todos son positivos (+)
b) Cuando el divisor es de la forma (x + )m y si:
k = # impar ( (POSITIVO +)
k = # par ( (NEGATIVO )
Ejemplos:
1)
2)
dando la forma adecuada:
(
3)
4) Calcular el 5to trmino del desarrollo de:
Solucin:
- Dando la forma adecuada:
- Aplicando la frmula general:
Tk = nn-kak-1
T5 = (a2b)10-5(x4y3)5-1
(T5 = a10b5x16y12
5) Encontrar el T22 del siguiente desarrollo.
Solucin :
Dando la forma de un cociente notable:
Como el divisor es de la forma (x +a) y el trmino a buscar es par (k) tendr signo negativo (-)
( T22 = - (x5)31-22 (a3)22-1
T22 = - (x5)9 (a3)21
( T22 = - x45a63
PRCTICA DE CLASE
01.Hallar el valor de "n" para que sea C.N.:
a) 2b) 4c) 6d) 8
e) 10
02.Hallar "n" y el nmero de trminos de los siguientes C.N.:
a) 100, 20b) 150, 30c) 250, 50d) 350, 70e) 400, 80
a) 3, 15b) 5, 15c) 6, 15d) 7, 15
e) 8, 15
03.El desarrollo del C.N.: ; tiene 14 trminos. Hallar (R S).
a) 14b) 14c) 98d) 98 e) 0
04.Hallar el tercer trmino del desarrollo del C.N.:
a) a10b16b) a10b18
c) a30b18
d) a15b6
e) a32b2005.Calcular el cuarto trmino del C.N.:
a) x21y6b) x21y5
c) x22y6
d) x10y6e) x21y606.Obtener el valor numrico del tercer trmino del desarrollo de:
Para x = 0,5 e y = x-1 y b = 17
a) 3-1b)3
c) 3
d) 1
e) 1
07.Hallar a.b, sabiendo que el trmino del C.N.:
; es x60y40
a) 600b) 2,400
c) 4,200
d) 35
e) 3,500
08.Dado el C.N.:
indica que lugar ocupa el trmino de grado absoluto 85.
a) 10b) 13
c) 15
d) 17
e) 20
09.Hallar el grado del dcimo del desarrollo de:
a) 32b) 14c) 47
d) 31
e) 20
10.El segundo trmino del C.N.:
; es x16y8. Hallar (a + b)
a) 7b) 9
c) 10
d) 15
e) 8
11.Sabiendo que xay24 es el trmino central del desarrollo del C.N.:
. Calcular: (a + b + c)
a) 10b) 40
c) 59
d) 89
e) 99
12.calcular el nmero de trminos fraccionarios en el C.N.:
a) 10b) 12
c) 14
d) 15
e) 20
PROBLEMAS PROPUESTOS VII
01.Dada la siguiente divisin:
indicar el grado del trmino de lugar 19.
a) 11b) 22
c) 33
d) 19
e) 20
02.Calcular (m-t) sabiendo que el trmino de lugar 29 del cociente notable correspondiente a:
es: xm+t+1yt+80
a) 42b) 37c) 33
d) 84
e) 19
03.La siguiente divisin:
origina cociente notable; calcular los valores que puede adoptar "m".
a) 2 y - 1b) 2 y - 2
c) 1 y 3
d) 4 y 1
e) 2 y 0
04.Halle Ud. "m" si la divisin:
origina un cociente notable:
a) 0b) 1
c) 2
d) 3
e) 8
05.Calcule (a+b) en la divisin que origina cociente notable:
, si tiene 13 trminos.
a) 88b) 66
c) 42
d) 55
e) N.A.
06.Cul ser el trmino anterior al sexto, del cociente notable originado por.
?
a) 106y10b) x9y7
c) x5y9
d) x10y8
e) 105y807.Seale ud. el quinto trmino del desarrollo de la divisin:
contando de derecha a izquierda.
a) 16a12b) 16a9
C) 8a12
d) 8a15
e) a2108.Simplificar:
a) x40 1 b) x40 + 1
c) x80 1
d) x80 + 1e) N.A.
09.Hallar "m + n", si el t25 del desarrollo de:
a) 8b) 9
c) 10
d) 11
e) 14
10.Si los grados absolutos de todos los trminos van disminuyendo de 3 en 3 y si adems el t40 de su desarrollo tiene grado absoluto 87. Hallar el nmero de trminos, siendo el C.N.:
a) 48b) 50
c) 52
d) 60
e) N.A.
11.Si el siguiente cociente:
calcular el t19.
a) x3a36b) x18a3
c) x3a3
d) x18a36e) x18a3612.En el cociente notable:
, hay un trmino central, que es igual a xcy231. Hallar E = a + b + c
a) 821b) 729
c) 769
d) 901
e) N.A.
TAREA DOMICILIARIA
01.Siendo "n" un nmero natural, calcular el lugar que ocupa el trmino de grado 135 en el siguiente cociente notable.
02. Encontrar los 4 primero trminos del C.N. originado por::
03.En el desarrollo de , el quinto trmino es:
04.En el desarrollo de: , hay un trmino de grado 24, la diferencia de los exponentes de "x" y "a" es:
FACTOR O DIVISORSe denomina as a un polinomio distinto de cero que divide exactamente a otro polinomio.
As por ejemplo:
* Para el polinomio P(x; y) = xy (x-y)(x+y) ; un factor o divisor podr ser el polinomio Q(x; y) =x+y, pues si se divide; P(x,y)/ Q(x,y) se obtendra como residuo cero.
FACTOR PRIMO ( IRREDUCTIBLE)
Se denomina as a aquel polinomio que es divisible por s mismo y por la unidad, se dice tambin que en una expresin no factorizable.
As por ejemplo:
*Para el polinomio: P(x,y) = xy(x-y)(x+y); un factor primo podr ser el polinomio Q(x)= x,
pues este es divisible por si mismo y por la unidad.
POSTULADO:
Todo polinomio lineal de la forma (ax+b) es irreductible en cualquier campo numrico.
NOTA:
Al factor de un polinomio tambin se le llama divisor, que no necesariamente es primo.
NOTA:
Si se cambia de signo a un nmeros par de factores, la expresin no se altera.
Sea F(x) = (x - 4)(2 - x)(x+3)(5 - x)
Si se cambia de signo al factor : (2 - x) y (5 - x); se tendr :
F(x) = (x - 4)(x - 2)(x +3)(x - 5)
FACTORIZACIN
En la multiplicacin algebraica, el propsito es lograr una expresin resultante llamada producto a partir de otras denominadas factores. Al proceso contrario, o sea el transformar una expresin desarrollada o semidesarrollada en el producto indicado de factores (pero no de factores cualesquiera, sino primos) se le denomina FACTORIZACION. Todo lo antes mencionado podemos resumirlo en el siguiente esquema:
multiplicacin
(x+3)(x+4) = x2+7x+12
factorizacin
La factorizacin o descomposicin en factores de una expresin se realiza slo para polinomios.
TEOREMA DE LA FACTORIZACIN UNICA
La representacin factorizada de un polinomio es nica, salvo el orden de los factores.
CRITERIOS DE FACTORIZACIONNo existe un mtodo especfico para factorizar a una expresin, ya que sta puede hacerse por dos o ms procedimientos denominadas tambin criterios.
I. FACTOR COMUN y/o AGRUPAMIENTO DE TERMINOS
Para analizar este criterio, debe tenerse en cuenta lo siguiente:
*Se analiza si toda la expresin tiene uno o ms factores comunes, si estuviesen elevados a exponentes, se extrae el que est elevado al menor.
* En caso que la expresin no tuviese factores comunes deseados entonces necesariamente, se tendr que recurrir a la organizacin de trminos, dicha agrupacin tiene como objetivo conseguir factores comunes.
* Se extrae el factor comn y el otro factor se determina dividiendo cada uno de los
trminos extrados.
Ejemplos:
1. Factorizar : 2a2x + 4ax2 - 6ax
Se observa que: 2ax es el factor comn (monomio)
Entonces; 2a2x + 4ax2 - 6ax = 2ax(a+2x - 3)
2. Factorizar: ax + by +ay + bx
Agrupando de 2 en 2 se observa:
ax + by + ay + bx = a(x + y) + b(x + y)
En cada sumando se repite (x+y): factor comn (polinomio ).
Luego: ax + by + ay + bx = (x + y)(a + b)
3)Factorizar : P(m,n) = mn4 - 5m2n3 + 4m3n2 - 20m4n , e indique un factor.
a) n-5m b) n2+m2 c) n2-4m
d) m2n e) n-m
4) Factorizar: F(x) = a3x3 + a2x2b + a2x2c + a2x2d + abcx +abdx +acd x + bcd
e indique un factor:
a) ax+2c b) x-b c) 2x+c
d) ax+b e) N.a.
II. CRITERIO DE LAS IDENTIDADES.Consiste en emplear adecuadamente los diferentes casos enfocados en los productos notables (Trinomios Cuadrado Perfecto, Diferencia de Cuadrados, Sumas o Diferencia de Cubos, ..etc). Para este caso utilizaran los productos notables en forma inversa, entre los ms importantes ya conocidos:
a2n - b2n = (an +bn )(an - bn)
a3n + b3n = (an +bn )(a2n - an bn + b2n )
a3n - b3n = (an - bn )(a2n + an bn + b2n )
a2n ( 2an bn + b2n = (an ( bn )2
Ejemplos:1) Factorizar : m2 - 4p2 +4mn +4n2
El primer, tercero y cuarto trmino, determinan un trinomio cuadrado perfecto.
Luego: ( m2+4mn +4n2 ) - p2
Entonces: (m+2n)2 - (2p)2
Luego se tiene una diferencia de cuadrados, entonces finalmente tenemos:
m2 - 4p2 +4mn +4n = (m+2n+2p) (m+2n -2p)
2) Factorizar : (1+mx)2 - (m+x)2
e indique cul no es un factor primo.
a) 1+m b) 1+x c) 1-m
d) x-m e) 1-x
3) Factorizar : a(a2 +bc) + c(a2+b2 ) - b3 e indique un factor:
a) a-b+c b) a+b+c c) a2-ab+b2
d) a-b-c e) N.a.
4) Factorizar: x12 - 1 e indique el nmero de factores primos
a) 7 b) 8 c) 6 d) 5 e) N.a.
III.
CRITERIO DEL ASPA SIMPLE
Se emplea para factorizar trinomios de la forma general :
P(x,y) = Ax2m + Bxm yn +Cy2n
El procedimiento a seguir es:
* Se adecua la expresin a la forma antes mencionada
* Se descompone convenientemente los extremos( teniendo cuidado con los signos).
* Se efecta el producto en aspa y se suman los resultados, si este coincide con el trmino central de la expresin, entonces se concluye que los factores sern las sumas horizontales.
Ejemplos:
1) Factorizar :
Luego: x2 +14x + 40 = (x+10)(x+4)
2) Factorizar: 8x2 - 22x + 15 ; e indicar un factor:
a) 4x + 5 b) 2x + 3 c) 4x - 5
d) 4x - 3 e) 2x - 5
3) Factorizar : 8x6 +215x3 y3 - 27y6 ; indique la suma de los factores primos
a) 9x3+26y3 b) 8x3 -27y3 c) 7x3 -28y3
d) 9x3-26y3 e) N.a.
4) Factorizar: (3m2 -4m)2 - 19(3m2-4m) + 60; indique el nmero de factores primos.
a) 2 b) 3c) 4 d) 5 e) 6
TEOREMA:
Todo polinomio de la forma:
P(x) = Ax2 + Bx + C ; {A; B; C} ( Z ( ( A ( 0 es factorizable en las racionales, si y slo si B2 4AC es un cuadrado perfecto.
Ejemplo # 1
2x2 5x + 2 es factorizable?
Solucin:
Veamos: (-5)2 4(2) (2) = 25 16 = 9
Como 9 es cuadrado perfecto ( 2x2 5x + 2, si es factorizable en los racionales.
Ejemplo # 2:
3x2 + x +1 es factorizable en Q?
Rpta: ...............................................................................
NOTA:
Todo polinomio cuadrtico en una variable, si es factorizable, debe admitir el criterio del aspa simple. Si no admite aspa simple, es porque no es factorizable a Q.
IV.
CRITERIO DEL ASPA DOBLE
Se utiliza para factorizar polinomios que adoptan la siguiente forma:
P(x,y) = Ax2m +Bxm yn + Cy2n +Dxm +Eyn + F
Para factorizar se adecua el polinomio a la forma general, en caso falte un trmino este se completar con cero.
(Se toma el primer trinomio y se aplica un aspa simple para comprobar el trmino central (xm yn )
(Seguidamente a los trminos y2n, yn y el trmino independiente se les aplica un aspa simple para comprobar el trmino yn .
(Finalmente se aplica un aspa de extremo a extremo para comprobar el trmino en xm
(Los factores se toman horizontalmente.
Ejemplos:
1) Factorizar : 6x2 +19xy +15y2 -17y -11x + 4
Ordenando el polinomio de acuerdo a la forma general:
6x2 + 19xy + 15y2 - 11x - 17y + 4
comprobaciones:
( I ) : (3x (3y) + (2x)(5y) = 19xy
( II) : (5y)(-1) + (3y)(-4) = -17xy
( III): (3x)(-1) + (2x)(-4) = -11x
Finalmente:
El resultado es (3x + 5y - 4) (2x + 3y - 1)
2).Factorizar: 3x2 +4xy + y2 +4x +2y + 1 ; e indique un factor:
a) x+y-1 b) 3x-y-1 c) x+y+1d) 3x-y+1 e) N.a.
3) Factorizar : 30x2 + 2xy -4y2 +47x -12y + 7 ; e indique un factor:
a) 6x-2y 1 b) 5x-2y-7 c) 5x+2y+7d) 6x+2y-1 e) N.a.
4) Factorizar : 15x2 -22xy + 24x + 8y2 -16y ; e indique la suma de sus factores primos:
a) 8x-6y+9 b) 8x-6y+8 c) 12x-y+10d) 6x-12y+1 e) 4x+y-1
V.ASPA DOBLE ESPECIAL
Se emplea para factorizar polinomios de la forma:
P(x) = Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
(Se adecua el polinomio a la forma general, en caso falle un trmino, este se completar con cero.
(Se descomponen convenientemente los trminos extremo : Ax4 ( E
(El resultado se resta del trmino central: Cx
(Lo que sobre o falte para que sea igual a este, ser la expresin que se tenga que descomponer en las partes centrales de los factores nuevos dos factores
(Luego se aplican dos aspas simples y se toman horizontalmente.
EJEMPLOS:
1) Factorizar:
P(x)= x4 +6x3 + 7x2 + 6x +1
El polinomio est completo y ordenado, entonces, haremos los pasos indicados:
x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
Se observa que: se tiene +2x2
se debe tener +7x2
se necesita 5x2
Pero: 5x2 puede descomponer como: (5x)(x)
(-5x)(-x)
Pero slo una de esas opciones es la conveniente y esa es : (5x) (x), as :
x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
En el aspa II se comprueba: (x2)(x)+(x2 )(5x)=+6x3
en el aspa III se comprueba : (5x)(1) + (x)(1) = +6x2
Luego:
P(x) = (x2 + 5x + 1) (x2 + x + 1)
Por ser polinomio cuadrtico en tres variables de 10 trminos aplicaremos el mtodo del aspa triple (3 veces aspa simple ).
III II I
Comprobacin para cada variable:
I) 6x2 + 19x +15 II) 6y2+21y+15 III) 6x2 + 14xz + 8x2
VII.DIVISORES BINOMICOS O EVALUACION BINMICASe emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, cuya nica condicin fundamental es que acepten al menos un factor de primer grado.
i) Cero de un Polinomio. Es el valor o conjunto de valores que tiene la propiedad anular
(valor numerico cero ) a un polinomio dado.
Ejemplo: Sea:
F(x) = 2x3 + 7x2 - 5x - 4
Si x = 1
( F(1) = 2(1)3 + 7(1)2 - 5(1) - 4 = 0, se anula.
Entonces:
1 ser un cero de F(x).
TEOREMA:
Dado P(x), si el nmero b es un cero de este polinomio, entonces (x b) ser un factor de P(x).
ii) Determinacin de los posibles cero de un polinomio.
* Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad, los posibles ceros estarn dados por los divisores del trmino independiente con su doble signo, Asi:
Si P(x) = x5 - 2x4 +7x3 -3x +2
* Si el primer coeficiente del polinomio es diferente de la unidad, los posibles ceros estarn expresados por:
Posibles cero =
Por ejemplo sea:
P(x) = 2x3 +7x2 - 5x +3
Posibles ceros:
( 1,3 = ( 1, ( 3, ( 1/2, ( 3/2
1,2
III) Procedimiento a seguir para factorizar.* Se determinan los ceros del polinomio
*Se deduce el factor que d lugar al cero del polinomio, mediante el siguiente teorema de la divisibilidad algebraica. Si un polinomio
P(x) se anula para x=a P(a)= 0. Entonces dicho polinomio tendr un factor (x-a)
* El otro factor se determina utilizando la regla de RUFFINI, que se ha de emplear tantas veces como ceros tenga el polinomio; por lo general se recomienda llevarlo hasta un cociente adecuado, para poder aplicar el aspa doble especial o de segundo grado que es ms sencillo de factorizar .
EJEMPLOS:
1. Factorizar : F(x) = x3 - 3x2 +4x - 2
* Tenemos : posibles ceros: (1, ( 2.
Para x=1; F(1) = 13 -3(1)2 +4(1) - 2
F(1) = 1 - 3 + 4 - 2 =0,se anula.
* Entonces tendr un factor (x-1)
* Determinar el otro factor por la regla de Ruffini
Luego : F(x) = (x-1)(x2-2x+2)
2) Factorizar : x4+6x3 -5x2 - 42x+40; e indique un factor :
a) x+1 b) x-4 c) x+5 d) x+2 e) x-5
3) Factorizar : 6x3 -25x2 +23x - 6 ; e indicar la suma de sus factores primos lineales.
a) 5x-1 b) 6x-6 c) 3x+2
d) 4x-3 e) 2x-7
4) Descomponer en sus factores primos:
P(x) = 12x5 - 8x4 - 13x3 + 9x2 +x - 1
a) (x-1)(x+2)(2x+1)2(3x-1)b) (x+1)(x-2)(2x+3)2(x-3)
c) (3x-1)(x+1)(2x-1)2(x+4)d) (x+1)(x-1)(2x-1)2 (3x+1)
e) N.a.
VIII.CRITERIO DE LOS ARTIFICIOS DE CALCULO.
A)CAMBIO DE VARIABLE
Consiste en buscar expresiones iguales, directa o indirectamente (a travs de cierta transformaciones) para luego proceder a un cambio de variable, que permitir transformar una expresin aparentemente compleja en otra mucho ms simple y sencilla.
EJEMPLOS.
1) Factorizar:
P(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +1
Como la expresin no presenta algn factor comn o una forma convenientemente (dos 2 primeros y los 2 ltimos ).
P(x) = (x2+5x+4) (x2+5x+6) +1
Haciendo: x2+5x+4 = m, se tendr :
P(x) = m(m+2) + 1 = m2 +2m + 1 = (m+1)2
Ahora reponiendo la variable original:
P(x) = (x2 +5x+5)22) Factorizar: P(x) = (x-2)(x+3)(x+2)(x-1) +3 ; e indique un factor:
a) x2+x-3 b) x2-x+5 c) x2- x+3
d) x2+x+3 e) x2-x-5
3) Factorizar:
F(x) = (x2+7x+5)2 +3x2 +21x +5 ; indicar el nmero de factores primos:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) N.a.
B.QUITA Y PON O REDUCCION A DIFERENCIA DE CUADRADOS.
Consiste en sumar y restar una expresin (quitar y poner) de modo tal que haciendo ciertas transformaciones (reducciones) adecuadas, se logre una diferencia de cuadrados.
EJEMPLOS:
1) Factorizar : F(n) = n4 + 2n2 +9
La primera intencin sera factorizarlo por el aspa simple, pero no resultara, luego podra intentarse por Identidades, pero no es un trinomio cuadrado perfecto, descartadas estas dos posibilidades; lo factorizamos utilizando el criterio del quita y pon:
F(n) = n4 + 2n2 + 9
2 (n2 ) x (3 ) = 6n2Utilizando el esquema del trinomio cuadrado perfecto, se deduce que en la expresin; para que 2n2 sea igual a 6n2 tenemos que sumarte 4n2, siendo esta la expresin a quitar y poner.
Veamos:
F(n) = n4 + 2n2 + 9 +4n2 +4n2
F(n) = n4 + 6n2 + 9 - 4n2
F(n) = (n2 +3)2 - (2n)2
Diferencia de cuadrados
F(n) = (n2 +3 +2n) (n2+3-2n)
Ordenando: F(n) = (n2 +2n +3) (n2 -2n+3)
2) Factorizar : F(x) = 16x8 - 17x4 + 16 ; e indicar un factor
a) 2x2+x+1 b) 2x2-x+2c) 4x4-7x2-4 d) 2x4-7x2+4 e) 2x2-x-2
3) Factorizar : M(x) = x4 + 324 ; e indicar la suma de coeficiente de un factor primo.
a) 23 b) 20 c) 18 d) 16 e) 14
C. SUMAS Y RESTAS ESPECIALES.
Consiste en sumar y restar una expresin en forma conveniente de modo tal que se obtengan uno de las trinomios (x2+x+1) (x2-x+1) ambos componentes de una diferencia o suma de cubos (x3-1 x3+1); u otra expresin conocida.
Ejemplos:1) Factorizar : F(x) = x5 +x + 1
sumando y restando x2 :
F(x) = x5 + x + 1 + x2 - x2
agrupando en forma indicada.
F(x) = (x2+x+1) + (x5 -x2 )
F(x) = (x2+x+1) + x2 (x3 -1)
F(x) = (x2 +x+1) + x2(x-1)(x2+x+1)
sacando factor comn:
F(x) = (x2+x+1) [1+x2(x-1) ]
Efectuando y ordenando :
F(x) = (x2+x+1) (x3 -x2+1)
2) Factorizar : P(x) = x5+x-1 ; e indicar la suma de coeficiente de los trminos cuadrticos de cada factor primo.
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) 2
3) Factorizar :
F(x) = x10 +x8 +1 ; e indicar un factor primo.
a) x2+x+1 b) x2-x+1 c) x6-x2+1 d) todas e) N.a.
MULTIPLICACIN ALGEBRAICA
I BIMESTRE
EMBED MSDraw.1.01
ALGEBRAICAS POLINOMIOS ESPECIALES
EMBED MSDraw.1.01
PRODUCTOS NOTABLES
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
DIVISIN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
COCIENTES NOTABLES
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
EMBED MSDraw.1.01
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA
FACTORIZACIN EN Q
S3AL31BEl nuevo smbolo de una buena educacin...
S3AL31BEl nuevo smbolo de una buena educacin...
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