Factorización  de  Polinomios  1. Halla  un  polinomio  de  grado  4  cuyas  raíces  sean   −1,0,2{ }  y  el  dos  sea  una  raíz  doble  

de  dicho  polinomio.    

2. Inventa  un  polinomio  de  grado  dos  que  tenga  como  raíces:   r1 =

35  y   r2 = 5  

 3. Dados  los  polinomios   A(x) = 4x4 − 3x2 + 5x + 7 ,   B(x) = 3x3 − 2x2 + 6x − 3  y    

C(x) = 2x2 − x + 4 ,  calcular:  

a. A x( ) + 2 ⋅B x( )− 3⋅C x( )    

b. A x( ) ⋅C x( )  

c. A x( ) :C x( )  

4. Desarrolla  los  siguientes  productos  notables  :  a. 3x2 + 5b2( )2   b. 5a − 8a2( )2   c. 25a2 − x2y2 =    

 

5. Realiza  la  siguiente  división:  

P(x)Q(x)

 donde:  

a. P x( ) = x5 − x4 − 9x3 + x2 + 20x +12  y   Q x( ) = x3 + x2 − 4x − 4  

b. P x( ) = x5 +10x4 + 7x3 − 74x2 −8x + 64  y   Q x( ) = x3 − 2x2 − x + 2  

c. P x( ) = 2x4 −19x3 + 40x2 − 26x + 4  y   Q x( ) = 2x2 −5x + 3    

6. Encuentra  las  raíces  de  los  siguientes  polinomios  y  factorízalos    

a. P x( ) = 4x4 −8x3 +5x2 − x  

b. P x( ) = 4x4 + 4x3 − x2 − x  

c. P x( ) = 16x4 − 20x3 + 2x2 + 2x  d. P x( ) = x5 − 7x3 − 2x2 +12x + 8  e. P x( ) = x3 − 2x2 − x + 2  

f. P x( ) = x4 + 3x3  

g. P x( ) = x2 − 4x − 32  

h. P x( ) = 4x2 + 4x +1  

i. P x( ) = x3 − x2 −5x − 3  

j. P x( ) = x3 − 3x2  

k. P x( ) = x2 +12x + 32  

l. P x( ) = 4x2 + 48x +128  

m. P x( ) = x3 −5x2 − x +5  

n. P x( ) = x2 −100  

o. P x( ) = 2x2 − 4x −16  p. P x( ) = 3x5 − 48x    q. P x( ) = x4 + 2x3 + 8x +16    r. P x( ) = 4x2 −12x − 7

 7. Simplifica  las  siguientes  fracciones  algebraicas:  

a. xxx

xx2323

23

2

+−+−   b.

mz4y3 −mz2ym(z2y2 − zy)  

Teorema  del  Resto    

8. Hallar  el  cociente  y  el  resto  de  la  siguientes  división:     )1(:)234( 34 ++−− xxxx  9. Hallar   k  para  que  al  dividir     x4 − 2kx3 + x2 − 4kx + 9      por     x +1  el  resto  sea  igual  a  −7 .  10. Calcula  el  valor  de  “a  ”  para  que  la  división:   2( 3) : ( 5)x ax x− + − sea  exacta.    11. Calcula  m  y  n    para  que  la  división  del  polinomio   P(x) = x3 − 2x2 + mx + n  entre   x + 3  

sea  exacta  y  entre   x −1  sea  entera  y  de  resto  28.  12. Halla  los  valores  de  m  y  n  para  que  el  polinomio   R x( ) = mx3 − nx2 − 36  sea  divisible  

entre   x + 3  y     x − 2 .  Luego  escribe  el  polinomio.  13. Halla  el  valor  de   k  para  que  el  polinomio   R(x) = 2x3 − kx2 +16  sea  divisible  entre  

x − 4 .    

14. Sean  los  polinomios:   P x( ) = x3 − 4x2 +5x − 2  y       Q x( ) = x3 − 3x2 + 2x .      

a. Halla  las  raíces  de  ambos  polinomios.  b. El    m.c.m.   P x( ),Q x( )( )  y  el  M.C.D.   P x( ),Q x( )( ) .  c. Realiza  la  siguiente  operación  y  simplifica  el  resultado    

x +1( )2

Q x( ) − x2 −1x ⋅P x( ) =  

15. Sean   P(x) = x3 − x2 − x +1  y   Q(x) = x3 − x .  Calcula  las  raíces  de  ambos  polinomios,  el  m.c.m.   P x( ),Q x( )( )  y  el  M.C.D.   P x( ),Q x( )( ) .  

16. Sean  los  polinomios:   P x( ) = x4 −18x3 +81x2  y       Q x( ) = x2 −81 .  Halla  las  raíces  de  

ambos  polinomios,  el  m.c.m.   P x( ),Q x( )( ) ,  y  el  M.C.D.   P x( ),Q x( )( ) .  17. Realiza  las  siguientes  operaciones.  Simplifica  los  resultados  

a. 2 2 2

3 3 3 2:1 4 3

x xx x x x x+ −⎛ ⎞+ =⎜ ⎟− − + −⎝ ⎠

 

b. 3 2

3 2

- 4 22 - 24 32x x x x

x x x x+ −− =

+ +  

c.

1822 1

2

xxxxx

−

−=+−

+

  d.

11

111

x

xx

x

−

−=

− ++

  e.

11

2 12

xxxxx

−

−=+−

+

f. 2 2

4 3 2 3 2 2

x 6 x 9 3x 7x 16x 12 x 5x 6 x 3

x xx x x

− − − −− − =+ + + + + +

 

g. 2 2

3 2 3 2 3 2

x 2 3 x 16 3 7x x 2 x 6x 8 2

x xx x x x x

− − − −− − =+ − + + + −

 

h. 2 2

3 2 3 3

x 10 25 x 2 1 3 6x -2x 13 10 x

x x xx x x x

− + − + −− − =− − − −

 

i. x2 − 2x +1x −1

− x + 2 =  

j. 1x2 − 4

− xx + 2

+ 3x2 − 2x

=  

k. x2 + 2x +1x2 −1

⋅ x4 −1x2 +1

=  

l. 1− 7x+ 11x2

− 5x3

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥: 1x− 2x2

+ 1x3

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=  

m. 2

1 4 2·2 4 2 2 8

aa a a

+− =− + −

 

n. =−

−+

⋅− 24

2

2

2

2

2

xyxm

yxy

xym