polinomios-factorización y función polinómica - 2014

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COLEGIO UNIVERSITARIO CENTRAL

“Gral. José de San Martín” MATEMÁTICA IV– 2014

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS

Para dividir dos monomios debes tener en cuenta cómo se dividen potencias de la misma base. En general, am : an = am-n

Por ejemplo, si quieres dividir los monomios 24x4y2z3 y 8xy, no tienes más que dividir por un lado los coeficientes, y por el otro las letras:

Otros ejemplos de

divisiones de monomios son:

−15x3y4z2 : (5x2y2z)= −3xy2z El cociente de los dos monomios da como

resultado otro monomio.

21x2y5 : (3x3y) = 7x−1y4 El cociente de estos monomios no es otro monomio, ya que tiene un exponente negativo.

El cociente de dos monomios (cuando es posible) es igual a otro monomio que tiene: Como coeficiente, el cociente de los coeficientes de los monomios dados.

Como parte literal, la expresión que resulta de realizar todas las divisiones de potencias de potencias de igual base.

En general, la división de un polinomio entre un monomio solo podrá realizarse cuando todos los términos del polinomio sean divisibles por el monomio.

Por ejemplo:

y4xz6xy2

xy8

xy2

yzx12

xy2

xy8yzx12 2222

xy

1x2yx5 2

Sí, se puede realizar la división

No se puede realizar la división, ya que el segundo término y el tercero no se pueden dividir por xy

33031214324

3..8

24

8

24yzxzyx

xy

zyx

2



DIVISIÓN ENTERA ENTRE POLINOMIOS ¿Recuerdas cómo se dividen números enteros?

625 32

- 32 19 305

- 288 17/

En toda división se cumple que:

D= d . C + R 625= 32 . 19 + 17

Donde: D = dividendo; d = divisor; C = cociente; R = resto

De igual forma se realiza la división de polinomios. Observa el siguiente ejemplo:

En una división de polinomios, se cumple que los polinomios dividendo D(x), divisor d(x), cociente C(x) y resto R(x), se relacionan del siguiente modo:

D(x) d(x)

D(x) = d(x) . C(x) + R(x)

R(x) C(x)

Buscamos un monomio que al multiplicarlo por

el primer término del divisor x2, de cómo

resultado 2x4

El monomio buscado es 2x2 ya que:

2x2 . x2 = 2x4

Multiplicamos el monomio 2x2 por TODO el

divisor: 2x2 . (x2 +1) = 2x4 + 2x2

Colocamos este resultado 2x4 +0x3+2x2

debajo del dividendo agrupando los términos

según el grado de cada uno

Restamos el polinomio 2x4 +0x3+2x2

al polinomio original , para ello cambiamos de

signo a cada término

Bajamos el resto de los términos del polinomio

dividendo y repetimos el proceso

2 x4 + x3 – 4x2 – 2x + 5 x2 +1

-2x4 - 0x3 - 2x2 2x2 + x - 6

0x4 + x3 - 6x2 - 2x

- x3 – 0x2 - x

0x3 – 6x2 – 3x + 5

+6x2 – 0x + 6

0x2 – 3x +11/

3



Actividades de aplicación:

ACTIVIDAD 1

Resuelve las siguientes divisiones:

1) (6x3 -12x2 + 3x) : (-3x)=

2) (-6x4 +3/2x3 - 2x2) : (-1/3 x2)=

ACTIVIDAD 2

Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

1) (2+ x3 - 6 x2) : (1/3 x + 1)=

2) (2 x5 + x4 -3 x3 +x2) : (x3 - x +1) =

3) (2x +2x4 -3) : (-2 x + x2)=

TEOREMA DEL RESTO

Un tipo de divisiones muy habituales son aquellas en las que el divisor es un polinomio de la forma x- a

En este tipo de divisiones podemos utilizar el teorema del resto. Este teorema

permite calcular el resto de la división sin que sea necesario llegar a realizarla.

Teorema del resto: El resto de la división D(x) : (x − a) se obtiene al sustituir el valor de a en

el polinomio D(x): R = D(a)

Dado que el divisor d(x) = (x - a), su grado es 1. Por lo tanto el grado del resto

R(x), debe ser menor que el grado del divisor. En consecuencia el grado de

R(x) es cero, o bien R(x) = 0. En ambos casos R(x) es un número real y

podemos expresarlo simplemente “r”.

Podemos escribir, entonces:

D(x) = (x − a) . C(x) + r

D(a) = (a − a) . C(a) + r

0

0

Luego: D(a) = r

4



Aquí tienes algunos ejemplos de aplicación del teorema del resto:

DIVIDENDO D(x)

DIVISOR

x − a

RESTO

R = D(a)

−3x4 + 4x2 + 5x x − 2 D(2) = −3 · 24 + 4 · 22 + 5 · 2 = −22

x4 + 3x3 + 2x − 7 x + 3 D(−3) = (−3)4 + 3(−3)3 + 2(−3) − 7= −13

x3 − 7x2 + 11x − 5 x − 5 D(5) = 53 − 7 · 52 + 11 · 5 − 5 = 0

En la división de la última fila, (x3 − 7x2 + 11x – 5) : (x – 5), el resto es igual a

cero. En este caso decimos que es una división exacta. Es decir que el

polinomio dividendo es divisible por el polinomio divisor. O que el polinomio

dividendo es múltiplo del polinomio divisor.

ACTIVIDAD 3

Calcula el resto de las siguientes divisiones:

1) ( 5x2 – 2x + 4) : (x+ 3)=

2) ( 12x4 – 5x2 +2x - 5) : (x - 2)=

REGLA DE RUFFINI

Cuando un polinomio se divide por un binomio de la forma (x –a) se puede

aplicar un método llamado regla de Ruffini que consta de los siguientes pasos:

Dividamos ( −3x4 + 4x2 + 5x) por (x − 2 ):

1) Completemos el polinomio dividendo D(x) −3x4 + 0x3 + 4x2 + 5x + 0

2) Coloquemos en forma horizontal y consecutivamente los coeficientes de

todos los términos del polinomio -3 0 4 5 0

3) Ubicando en forma de cruz el opuesto del término independiente 2

-3 0 4 5 0

2

5



4) Se ubica el primer coeficiente, a partir de él se multiplica por el opuesto

del término independiente (en este caso:2) y el resultado se suma al

siguiente coeficiente

-3 0 4 5 0

2 -6

-3 -6

5) Se repite el proceso tantas veces como coeficientes hay hasta llegar al

ultimo, en donde quedara expresado el resto

-3 0 4 5 0

2 -6 -12 -16 -22

-3 -6 -8 -11 Resto

Coeficientes del cociente

Por lo tanto de la división entre D(x) = −3x4 + 4x2 + 5x y d(x) = (x - 2),

el cociente es C(x) = -3x3 – 6x2 – 8x – 11 (observa que tiene un grado

menos que el dividendo) y el resto es r = -22

ACTIVIDAD 4

Resuelve las siguientes divisiones:

b) (x4 + 2x3 –x2 + x – 2) : (x2 + 1)=

c) (x4 +3x3 – 2x2 + 4) : (x2 – x)=

d) (x3 – 125) : (x2 + 5x + 25) =

ACTIVIDAD 5

Resuelve las siguientes divisiones aplicando regla de Ruffini:

a. (-x4 + 2x3 + x -3) : (x+1) =

b. (16x2 – 2x4 – 3x – 2) : (x + 3) =

c. ( x5 + 32) : ( x + 2) :

d. (1/3 x4 – 2x2 + 3) : ( x + 1) =

-22

6



ACTIVIDAD 6

Si P(x) se divide por Q(x) = x3 + x – 1, se obtiene cociente

C(x)= 3x2 – 4x – 3 y resto R(x)= 9x2 + 4x -1. Calcula P(x).

ACTIVIDAD 7

Si P(x)= 10x3 – 5x2 + 3x – 1 se divide por Q(x), se obtiene cociente C(x)= 10x –

5 y resto R(x)= 23x – 11. Calcula Q(x).

ACTIVIDAD 8

Se sabe que al dividir (x3 – 2x2 – ax +6) por (x-3), la división es exacta. ¿Cuál es

el valor de a?.

ACTIVIDAD 9

¿Cuánto debe valer a, para que al dividir (2x3 – x2 + 10x +a) por (x+1/2) la

división sea exacta?

ACTIVIDAD 10

Calcula el valor de “a”, para que el polinomio P(x)= 3 x3 + 5 x2 – a x + 1, al ser dividido

por (x + 2) dé resto 8

ACTIVIDAD 11

Señala V o F en cada caso:

a) x = 1 es raíz del polinomio P(x) = 3 x4 – 2 x3 – 1

b) x = -3 es raíz del polinomio P(x) = 2 x2 + 7 x + 3

c) x = 5 es raíz del polinomio P(x) = x2 – 4 x + 4

d) x = 0 es raíz del polinomio P(x) = 7 x3 – 2 x2 + x

e) x = -2 es raíz del polinomio P(x) = 4 x3 + 8 x2 - 5x - 10

Observa los casos que fueron verdaderos y escribe un divisor posible de P(x) en cada

caso.

En general, decir que:

P(a) = 0 equivale a decir que P(x) es divisible por (x – a)

P(a) = 0 equivale a decir que x = a es raíz de P(x)

Luego, P(x) es divisible por (x – a) sí y sólo si x = a es raíz de P(x)

Entonces P(x) = (x – a) . C(x)

siendo C(x) el cociente de la división de P(x) por (x-a)

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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Si P(x) es de grado uno, , P(x) tiene una raíz real

Por ejemplo:

P(x) = 5x – 2 Para calcular la raíz de P(x) planteamos la ecuación

5x – 2 = 0 5

2x

Por lo tanto 5

2x es raíz de P(x) pues 0

5

2P

Si P(x) es de grado dos, , P(x) tiene a lo sumo dos raíces reales. Esto significa que

P(x) puede tener dos raíces reales, una o ninguna.

Hemos visto muchos ejemplos de esto en el desarrollo de las funciones cuadráticas y las ecuaciones de segundo grado.

Recuerda que un polinomio es mónico o normalizado si su coeficiente principal es 1.

Para factorizar un polinomio, generalmente hay que combinar TÉCNICAS DE

FACTORIZACIÓN que veremos a continuación.

Factor Común

Si en todos los términos del polinomio existe uno o varios factores comunes (que pueden

ser números o letras), entonces pueden extraerse como factores comunes con el menor exponente con que aparecen en el polinomio.

Ejemplo:

x2 - 2x + x3 = x .(x – 2 + x2) Recuerda que extraer factor común es el procedimiento recíproco a la aplicación de la propiedad distributiva. Observa que lo que está dentro del

paréntesis es el resultado de dividir cada uno de los términos del polinomio original entre x (que es el factor común)

Todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real

Un polinomio P(x) Є R[x] de grado “n” tiene a lo sumo “n” raíces reales

Decimos que un polinomio de coeficientes reales está factorizado en

R[x], si puede escribirse como producto entre su coeficiente principal

y polinomios reales mónicos de grado 1 o de grado 2 sin raíces reales.

8



Atención:

Para normalizar un polinomio, se debe sacar como factor común el coeficiente principal.

Ejemplo: P(x) =

2

3x23x2 22

Factor Común por Grupos de igual número de términos

En algunos casos el factor común será un polinomio, para estos casos se procederá de la

siguiente manera:

Ejemplo 1:

P(x) = x5 – 2 x4 – 3 x + 6

P(x) = (x5 – 2 x4 )+(– 3 x + 6)

x4 -3

P(x) = x4 (x – 2) – 3(x – 2)

P(x) = (x – 2).(x4 – 3)

Ejemplo 2:

Q(x) = 3x3 + 3x2 + 2x + 2 = (3x3 + 3x2 )+(2x + 2) = …………………………………=

= ………………………………………………

ACTIVIDAD 12

Extrae factor común o factor común por grupos según corresponda:

a) P(x) = 358 xx

3

2x

2

1

b) S(x) = 15x6 – 25 x3 + 10x2=

c) Q(x) = x3 + 3x2 – 5x - 15 =

d) P(x) = x28

9x

40

21x

16

15 34 =

e) Q(x) = x6 + 2x5 + x4 + 2x3 + 2x + 4=

Observa que no existe un factor que sea común a todos los

términos

Se forman grupos de igual cantidad de términos, de

forma tal que en cada uno de ellos haya un factor

común

En cada término aparece el mismo factor, (que es

un polinomio) el cual debe extraerse nuevamente

como factor común

Al sacar nuevamente factor común, la expresión

queda factorizada a través del factor común por

grupos

9



x 2

x 3

f) T(x) = x4 – x3 + x – 1 =

g) S(x) = 2x5 – x4 + 6x3 – 3x2 + 8x – 4 =

Trinomio Cuadrado Perfecto

x2 2ax + a2 = ( x a )2

Ejemplo 1:

P(x) = x2 + 6x + 9 = x2 + 2.3.x + 32 = ( x + 3 )2

x 3 Bases de los cuadrados

Ejemplo 2:

Q(x) = x2 - 4x + 4 = x2 - 2.2.x + 22 = ( x - 2 )2

Bases de los cuadrados

Ejemplo 3:

R(x) = x2 + 8x + 9 = x2 + 2.4.x + 32 No es trinomio cuadrado perfecto

3 4

Cuatrinomio Cubo Perfecto

x3 + 3ax2 + 3a2x + a3 = ( x + a )3

Trinomio Cuadrado Perfecto:

Desarrollo del cuadrado del binomio

Cuadrado de un binomio:

Expresión factorizada del trinomio cuadrado perfecto

x2 2ax + a2 = ( x a ) ( x a ) = ( x a )2

Cuatrinomio Cubo Perfecto:

Desarrollo del cubo del binomio

Cubo de un binomio:

Expresión factorizada del cuatrinomio cubo perfecto

x3 3ax2 + 3a2x a3 = ( x a ) ( x a ) ( x a ) = ( x a )3

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x -1

x -2

( x + a )3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

( x - a )3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3

Ejemplo 1:

P(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3.2.x2 + 3.22.x + 23 = ( x + 2 )3

x 2 Bases de los cubos

Ejemplo 2:

Q(x) = x3 - 3x2 + 3x - 1 = x3 - 3.1.x2 + 3.12.x - 13 = ( x - 1 )3

Bases de los cubos

Ejemplo 3:

R(x) = x3 - 4x2 + 8x - 8 x3 - 3.2.x2 + 3.22.x - 23

6 4 y 12 8

ACTIVIDAD 13

Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

a) x2 – 2x + 1 = (x + 1)2 ( ……. )

b) x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 ( ……. )

c) x2 + 2x - 1 = (x - 1)2 ( ……. )

d) 1 + 3x2 – 3x – x3 = (x - 1)3 ( ……. )

e) x3 - 27x2 + 9x – 27 = (x - 3)3 ( ……. )

f) x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3 ( ……. )

No es cuatrinomio

cubo perfecto

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ACTIVIDAD 14

Expresa cada polinomio como trinomio cuadrado perfecto o cuatrinomio cubo perfecto factorizado según corresponda:

a) P(x) = 1x4x4 2

b) R(x) = 64x48x12x 23

c) Q(x) = 125x75x15x 23 d) S(x) =

9

4x

3

4x2

e) T(x) = 1x2

3x

4

3x

8

1 23 f) L(x) = 8

1x

4

3x

2

3x 23

Suma y resta de potencias de igual exponente

Para un polinomio de la forma P(x) = nn ax existen cuatro posibilidades

1º) P(x) = nn ax y n es impar

2º) P(x) = nn ax y n es impar

3º) P(x) = nn ax y n es par

4º) P(x) = nn ax y n es par

Analizaremos un ejemplo de cada posibilidad:

1º) P(x) = x5 + 32 = x5 + 25

Se buscan las raíces de P(x):

x5 + 32 = 0 x = -2

Por el teorema del resto: P(-2) = 0 (x + 2) es divisor de P(x)

Aplicando regla de Ruffini dividimos P(x) por (x + 2)

Luego, P(x) = ………………………………..…… . (x + 2)

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2º) P(x) = x3 – 27 = x3 – 33


x3 – 27 = 0 x = 3

Por el teorema del resto: P(3) = 0 (x - 3) es divisor de P(x)

Aplicando regla de Ruffini dividimos P(x) por (x - 3)

Luego, P(x) = ………………………………..…… . (x - 3)

3º) P(x) = x4 +81 = x4 + 34

No tiene raíces reales:

x4 +81 = 0 x4 = -81

Luego, P(x) No tiene divisores de la forma (x + 3) o (x – 3)

4º) P(x) = x4 – 16 = x4 – 24


x4 – 16 = 0 2x2x 1 y 2x2

Por el teorema del resto: P(2) = 0 (x - 2) es divisor de P(x)

y P(-2) = 0 (x + 2) es divisor de P(x)

Aplicando regla de Ruffini dividimos P(x) por (x - 2) y luego su cociente por (x + 2)

P(x) = …………………………………………… . (x – 2)

Luego, P(x) = ………………………………..…… (x + 2) . (x – 2)

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Resumiendo:

P(x) = nn ax Divisor/es

n impar

nn ax (x + a)

nn ax (x – a)

n par

nn ax (x + a) y (x – a)

nn ax No tiene divisores de la forma (x a)

Nota:

La diferencia de cuadrados es un caso particular de resta de potencias de exponente

par.

P(x) = x2 – 9 = x2 – 32 = (x – 3)(x + 3)

P(x) = x4 – 25 = (x2)2 – 52 = (x2 – 5)(x2 + 5)

P(x) = x2 – 49 = x2 – 72 = (x – 7)(x + 7)

ACTIVIDAD 15

Expresa los siguientes polinomios como producto:

a) V(x)=1 – x2 =

b) Q(x) = 32

1x5 =

c) N(x) = 256

1x 4 =

d) M(x) = x6 – 64=

e) T(x) = 81

1x 4 = f) S(x) = 125 x3 - 27 =

g) P(x) = x7 + 1=

h) R(x) = x5 – 1=

ACTIVIDAD 16

Factoriza, normalizando previamente:

a) T(x) = 3x2 – 27

25=

b) S(x) = - 5x2 + 5

81=

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c) Q(x) = 4

7x2 –

7

4=

d) P(x) = 2x3 + 54=

e) M(x) = 3x5 – 96 =

f) L(x) = 4x2

1 3 =

Teorema de Gauss

Para hallar las raíces racionales de P(x) = a xn + b xn-1 + c xn-2 + … + d

Se buscan los divisores del término independiente y del coeficiente principal.

Se buscan las posibles raíces : q

p

Todo polinomio P(x), de grado n, de n raíces reales, puede factorizarse como:

Siendo a el coeficiente principal de P(x) y

x1 , x2 , … , xn sus n raíces reales.

Ejemplo:

Para hallar las raíces racionales de P(x) = 2x3 – 3x2 – 8x – 3

Buscamos los divisores del término independiente: Div(-3)= 1; -1 ; 3 ; -3

Buscamos los divisores del coeficiente principal: Div(2)= 1 ; -1 ; 2 ; -2

Posibles raíces: 1 ; -1 ; 2

1 ;

2

1 ; 3 ; -3 ;

2

3 ;

2

3

Especializamos el polinomio P(x) por las posibles raíces, para saber cuál/es son

verdaderamente raíces (Teorema del resto)

Si el polinomio P(x), de grado n, con coeficientes enteros y término

independiente no nulo, admite una raíz racional q

p"" (fracción

irreducible) , entonces “p” es divisor del término independiente y “q” lo es

del coeficiente principal.

Divisores del término independiente

Divisores del coeficiente principal

P(x) = a (x – x1)(x – x2) … (x – xn)

15



P(-1) = 0 x1 = -1 es raíz

P

2

1 = 0 x2 =

2

1 es raíz

P(3) = 0 x3 = 3 es raíz

El polinomio P(X) es de grado 3, por lo tanto tendrá a lo sumo tres raíces.

Luego,

Un polinomio

tiene una raíz múltiple si al descomponerlo en función de sus raíces hay factores

iguales. El orden de multiplicidad de la misma está dado por el exponente del factor.

ACTIVIDAD 17

Indica la multiplicidad de las raíces de los siguientes polinomios:

a) P(x) = -4 (x – 3)2 (x + 3)2 c) T(x) = 24

33

3

xx

b) Q(x) = 2(x + 1)5 . x2 d) M(x) = (x + 4)(x + 1)4

ACTIVIDAD 18

Hallen las raíces de los siguientes polinomios y factorícenlos. Clasifica sus raíces: a) P(x) = - x3 + 4x2 – x – 6 =

b) Q(x) = - 4x3 + 7x – 3 =

Polinomio factorizado Raíces Multiplicidad

P(x)= )x(x)x( 32

112

x1 = -1

x2 = 2

1

x3 = 3

Tres raíces simples

Q(x)=(x + 1)2 = (x + 1)(x + 1) x1 = x2 = -1 Una raíz doble

R(x)=(x – 2)3 = (x – 2)(x – 2)(x – 2) x1 = x2 = x3 = 2 Una raíz triple

S(x)= (x + 2)2. (x – 1)3 x1 = x2 = -2 y

x3 = x4 = x5 = 1

-2 es raíz doble y

1 es raíz triple

T(x)= x3. (x + 3) = x.x.x.(x + 3) x1 = x2 = x3 =0 y

x4 = -3

0 es raíz triple y

-3 es raíz simple

P(x) = 2x3 – 3x2 – 8x – 3 = )x(x)x( 32

112

16



c) S(x) = - 4x4 + 12x3 – 7x2 – 3x + 2 =

d) T(x) = x3 – 3x + 2=

e) N(x) = x4 + 6x3 + 8x2 – 6x – 9=

f) D(x) = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 4 =

g) P(x) = x4 – x3 + 64x – 64=

h) M(x) = -4x3 – 4x2 + x + 1=

Combinación de técnicas de factorización

En algunos polinomios se deben aplicar varias veces las técnicas de factorización,

hasta que los factores de la expresión sean primos, es decir, hasta que el polinomio esté

finalmente “factorizado”

Siempre es conveniente comenzar sacando factor común si es posible; y luego

analizar si a algunos de los factores se los puede seguir descomponiendo en nuevos

factores.

Ejemplo 1:

Factor común x2

P(x) = x4 – 2x3 + x2 = x2.(x2 – 2x + 1) = x2. (x – 1)2

Trinomio Cuadrado Perfecto

Ejemplo 2:

Factor común 8 C.A.(completa)

Q(x) = 8x3 – 1 = 8 .

8

13x = 8 .

4

1

2

1

2

1 2 xxx

Resta de Potencias de Igual Exponente

Ejemplo 3:

Factor común por grupos

M(x) = x3 – 3x2 – 4x + 12 = x2. (x – 3) – 4. (x – 3) =

= (x – 3)(x2 – 4) = Diferencia de cuadrados

= (x – 3)(x – 2)(x + 2)

17



Ejemplo 4:

Factor común -3

T(x) = - 3x3 + 15x2 – 24x + 12 = - 3.(x3 - 5x2 + 8x – 4) = Teorema de Gauss

= -3.(x – 1)(x2 – 4x + 4) =

= -3 (x – 1)(x – 2)2 Trinomio Cuadrado

Perfecto

C.A. (aplica T de Gauss)

ACTIVIDAD 19

Expresa cada polinomio en función de sus raíces. Explicita en cada caso cuáles son sus

raíces y su multiplicidad: a) P(x) = x4 – x2 h) Q(x) = - x2 + 100

b) Q(x) = x4

1xx 23 i) S(x) = x3 + 3x2 – 5x - 15

c) M(x) = 26 x16

1x j) R(x) = x6 – 729

d) N(x) = 9

16x2 3 k) P(x) = 6x4 - 3x3 – 24 x2 + 12 x

e) L(x) = 4

9x

4

9xx 23 l) T(x) = x4x6x3x

2

1 234

f) T(x) = 234 x

4

9x3x m) D(x) =

25 x32

3x

4

3

g) P(x) = 4x4 + 16

1- x2

ACTIVIDAD 20

Calcula las medidas de cada arista del prisma recto de la figura, sabiendo que su

volumen es 36 cm3.

x + 1

x + 2

2x – 1

18



ACTIVIDAD 21

Calcula la altura (h) de una pirámide recta de base cuadrada, cuyo volumen es de 2 dm3 teniendo en cuenta los datos que aparecen en la figura.

x – 2

FFUUNNCCIIÓÓNN PPOOLLIINNÓÓMMIICCAA

Una función que tiene como dominio al conjunto de los números reales y cuya

forma es f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ….. + a2 x2 + a1 x + a0 , siendo n un

número natural y los coeficientes an , an-1 , …. , a2 , a1 , a0 números reales,

es una “función polinómica”.

Si an 0, entonces la función es de grado n

Las funciones polinómicas son continuas.

Para determinar el comportamiento de una función polinómica respecto del eje X (eje de

abscisas), hay que factorizar el polinomio, f(x)= a0(x – x1)(x – x2)…(x – xn), y

determinar el orden de multiplicidad de sus raíces.

Si el orden de multiplicidad de la raíz es par, la gráfica de la función toca al

eje X pero no lo atraviesa.

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

f(x)=2(x+3)2

x=-3 raíz de orden 2

h = x + 3

19



-2 -1 1 2 3 4 5 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

Si el orden de multiplicidad de la raíz es impar, la gráfica de la función

atraviesa al eje X.

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

f(x)= 4)2x(4

1

x=2 raíz de orden 4

f(x)=(x – 2)3

x=2 raíz de orden 3

f(x)=2(x + 1)5


20



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

ACTIVIDAD 22

Indica según el gráfico si las raíces de las funciones graficadas son de orden par o impar:

a) b)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

c) d)

-4 -3 -2 -1 1 2

1

2

3

4

5

x

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

f(x)=2

1(x + 1)2.(x – 3)


x= 3 raíz de orden 1

21



ACTIVIDAD 23

Marca con una cruz el gráfico correspondiente a la función indicada en cada caso:

a) f(x) = (x + 1)(x + 3)(x – 2)2

b) g(x) = x (x – 2)(x + 3)3

22



ACTIVIDAD 24

Encuentra la fórmula de cada una de las siguientes funciones polinómicas

a) Función de grado 4; x1=3 es una raíz doble; x2=2 es una raíz doble ; f(-1)=2

b) Función de grado 3; x1=-5 es una raíz simple; x2=-1 es una raíz doble ; f(0)=4

c) Función de grado 3; interseca al eje X en los puntos (-2 ; 0) , (-1 ; 0) y

0;

2

1;

f(-3)=-14

d) Función de grado 4; an=3

2 ; f(2)=0 ; x1=

3

1 es una raíz doble; x2=3 es una raíz

simple

Gráfico aproximado de una función polinómica

Para realizar el grafico aproximado de una función polinómica se debe:

Hallar la ordenada al origen, la que está determinada por el término

independiente y es el punto (0 ; a0).

Factorizar el polinomio:

a) Las raíces indican las intersecciones con el eje X

b) El orden de multiplicidad de las raíces indica si la gráfica rebota o atraviesa el

eje X.

Hallar los conjuntos de positividad y de negatividad, para lo cual se buscan

valores del dominio entre dos raíces consecutivas para determinar si la función es

positiva o negativa en ese intervalo.

Ejemplo:

f(x) = 2

3x

2

1x

2

9x

2

9x 234

Ordenada al origen:

2

3;0

Factorización del polinomio

f(x) = 3x1x2

1x

2

a) Intersecciones con el eje X:

x1 = 2

1 ; x2 = -1 ; x3 = -3

b) Orden de multiplicidad:

23



x1 = 2

1 raíz simple la gráfica atraviesa el eje X

x2 = -1 raíz doble la gráfica rebota en el eje X

x3 = -3 raíz simple la gráfica atraviesa el eje X

Conjuntos de positividad y de negatividad:

f(-4) = 2

81

2

3)4(

2

1)4(

2

9)4(

2

9)4( 234 > 0

f(-2) = 2

5

2

3)2(

2

1)2(

2

9)2(

2

9)2( 234 < 0

f(0) = 2

3 < 0

f(1) = 82

3)1(

2

1)1(

2

9)1(

2

9)1( 234 > 0

Por lo tanto: C+ =

;

2

13; ; C- =

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

raíz simple

x3 = -3

raíz doble

x2 = -1

raíz simple

x1 = 1/2

ACTIVIDAD 25

Completa las siguientes frases, correspondientes al análisis de f(x) = x3 + 2x2 – x – 2

a) La intersección de la gráfica con el eje Y es …………………

b) La función factorizada tiene la forma ……………………………………………….

c) La raíz x1 = …………. es una raíz ………………………………………..; x2 = ………….. es

una raíz …………………………………. y x3 = ……………. es una raíz ………………….…….

d) f(-3) = ………….. ; f

2

3= ……………; f(0) = …………… y f(2) = ……………

e) El conjunto de positividad de la función es ………………………………………………..

f) El conjunto de negatividad de la función es ………………………………………………..

2

1;11;3

24



Marca con una cruz el gráfico correspondiente a f(x) según el análisis hecho.

a) b)

-3 -2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

x

y

-3 -2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

x

y

ACTIVIDAD 26

Realiza las gráficas aproximadas de la siguientes funciones polinómicas.

Indica en cada una: ordenada al origen, raíces y orden de multiplicidad, conjunto de positividad y conjunto de negatividad.

a) f(x) = 2x3 – 6x – 4

b) f(x) = x4 – 4x3 + 4x2

c) f(x) = -2x4 – 11x3 – 11x2 + 15x + 9

d) f(x) = 34 xx4

1

ACTIVIDAD 27

Halla la fórmula de la función polinómica de grado 3, con coeficiente principal 9, tal que

sus únicas raíces sean 2 y -1. ¿Es única?

ACTIVIDAD 28

Halla en cada caso la función polinómica de grado mínimo cuya gráfica sea:

a) b)

-1 1 2 3 4 5 6 7

x

y

-1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

c)

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

polinomios-factorización y función polinómica - 2014

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