FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Isaac Umaña Camacho

Samuel Valverde Sánchez

FACTORIZACIÓN

•Definición:

Es el procedimiento por el cual se

escribe un polinomio como producto de

dos o más polinomios, donde ninguno de

ellos es el polinomio 𝑃 𝑥 = 1.

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

•Factor común

•Diferencia de cuadrados

•Trinomios cuadrados perfectos

• Inspección

FACTOR COMÚN

•Definición:

Este método consiste en encontrar los

factores repetidos en cada uno de los

sumandos de la expresión que se quiere

factorizar.

• Ejemplo: factorizarla expresión 8𝑎4𝑏𝑥3 − 4𝑎3𝑏2𝑥5.

Solución: observe que los términos de la expresión anterior contienen los

factores que se repiten: 4, 𝑎3, 𝑏 y 𝑥3, ya que:

8𝑎4𝑏𝑥3 = 4𝑎3𝑏𝑥3 ∙ 2𝑎

4𝑎3𝑏2𝑥5 = 4𝑎3𝑏𝑥3 ∙ 𝑏𝑥2

Por lo tanto, se aplica la ley distributiva y se extrae el mayor factor común, se

tiene que:

8𝑎4𝑏𝑥3 − 4𝑎3𝑏2𝑥5 = 4𝑎3𝑏𝑥3(2𝑎 − 𝑏𝑥2)

DIFERENCIA DE CUADRADOS

•Definición:

Básicamente este método consiste en aplicar la fórmula:

𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

• Ejemplo: Factorizar la expresión 4𝑦2 − 25𝑧6

• Solución: note que 4𝑦2 = 2𝑦 2 y 25𝑧6 = 5𝑧3 2, lo que implica que:

4𝑦2 − 25𝑧6 = 2𝑦 2 − 5𝑧3 2

Aplicando la fórmula: se tienen que:

4𝑦2 − 25𝑧6 = 2𝑦 2 − 5𝑧3 2 = (2𝑦 − 5𝑧3)(2𝑦 + 5𝑧3)

TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS

•Definición:

Este método consiste en utilizar las fórmulas notables:

•𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 2

• 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 − 𝑏 2

• Ejemplo: Factorice la expresión 4𝑥2 + 4𝑥 + 1

Solución: Note que 4𝑥2 = 2𝑥 2, 12 = 1 y 2 ∙ 2𝑥 ∙ 1 = 4𝑥. Por lo

que cada uno de los términos satisface las condiciones

mostradas en la primera fórmula mostrada anteriormente, lo

que implica:

4𝑥2 + 4𝑥 + 1 = 2𝑥 + 1 2

• Ejemplo: Factorice la expresión 16𝑎2 − 24𝑎𝑏 + 9𝑏2

Solución: Note que 16𝑎2 = 4𝑎 2, 9𝑏2 = 3𝑏 2 y 2 ∙ 4𝑎 ∙ 3𝑏 =

24𝑎𝑏. Por lo que cada uno de los términos satisface las

condiciones mostradas en la segunda fórmula

mostrada anteriormente, lo que implica:

16𝑎2 − 24𝑎𝑏 + 9𝑏2 = 4𝑎 − 3𝑏 2

INSPECCIÓN• Definición:

Este método se fundamenta en la igualdad:

𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑎𝑐𝑥2 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑥 + 𝑏𝑑,

Y se usa, fundamentalmente, para factorizar polinomios de la forma 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶.

Un caso particular donde 𝑎 = 𝑐 = 1, se escribe de la forma:

𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑑 = 𝑥2 + 𝑑 + 𝑏 𝑥 + 𝑏𝑑

• Ejemplo: Factorice la expresión 𝑥2 − 5𝑥 + 6

Solución Se requiere encontrar dos números cuyo producto sea 6 y cuya suma sea −5. Estos números necesariamente son −2 y −3 pues

−2 −3 = 6 y −2 + −3 = −5

Por lo tanto, la factorización de 𝑥2 − 5𝑥 + 6 es (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)