Álgebra 5 ciencias factorizaciÓn de polinomios - …

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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS - M.C.M Y M.C.D

1. FACTORIZACIÓN Es la transformación de un polinomio en la multiplicación indicada de sus factores primos (o potencias de sus factores primos) sobre un determinado campo numérico. Ejemplo: P(x) = 2x2 – x – 6 = (2x+3) (x – 2) y

2 9 3 3F(x) 4x 2x 2x16 4 4

= − = + −

están factorizados sobre Q[x]. 2. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN 2.1. Factor Común: Consiste en aislar una expresión que está contenida en todos los términos del polinomio que recibe el nombre del FACTOR COMÚN; luego se dividen los términos del polinomio entre dicho factor común, los términos resultantes se encierran en un signo de colección. Ejemplo: Factorice en Z[x]: P(x) = (x + 2)4(x – 1) + (– x + 1) (x + 2)2 Se procede a Factorizar: P(x) = (x + 2)4(x – 1) – (x – 1) (x + 2)2 Factor común (x + 2)2 (x – 1)

= (x + 2)2 (x – 1) ((x +2)2 – 1) = (x + 2)2 (x – 1) ((x +2) + 1) ((x +2) – 1) = (x + 2)2 (x – 1) (x +3) (x +1)

2.2. Agrupación: En caso de no haber ningún factor común, se agrupará convenientemente tratando de que aparezca algún factor común. Ejemplo: Factorice en Z[x,a]: Q(x,a)= a2x – ax2 – 2a2y + 2axy + x3 – 2xy Se agrupa términos convenientemente: Q(x,a)=a2x – 2a2y – ax2 + 2axy + x3 – 2x2y Q(x,a)=a2(x – 2y) – ax(x – 2y) + x2(x – 2y) Q(x,a)=(x – 2y) (a2 – ax + x2) 2.3. Identidades:

En este caso utilizaremos las equivalencias algebraicas en sentido inverso al de los productos notables. Ejemplo: Factorice en Z[x]: M(x) = 4x3 + 4x2 – x – 1

→ M(x) = 4x2(x + 1) – (x + 1) → M(x) = (x + 1)(4x2 – 1) → M(x) = (x + 1)(2x + 1)(2x – 1)

2.4. Sumas y Restas: Consiste en agregar y quitar al mismo tiempo una misma expresión con el objeto de construir una equivalencia que sea directamente factorizable o en caso contrario mediante una agrupación de términos conseguir un factor común polinomio. Ejemplo: Factorizar p(x) = x4 + 2x2 + 9 en Z[x] Se procede a factorizar: p(x) = x4 + 2x2 + 9 p(x)= x4 +2x2 + 9 + 4x2 –4x2 p(x)= (x2 + 3)2 – (2x)2

p(x) = (x2 + 2x + 3) (x2 – 2x + 3) 2.5. Aspa Simple: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

p(x, y) = Ax2 + Bxy +Cy2. Procedimiento:

- Se ordena el polinomio de acuerdo a la forma general.

- Se descomponen los términos extremos en 2 factores, colocando dichos factores en los extremos del aspa.

- Efectuamos la multiplicación de dichos factores en aspa, tratando de que la suma de los productos verifique el término central.

- Los términos de los factores obtenidos se toman en forma horizontal.

Ejemplo:

ÁLGEBRA

5 CIENCIAS

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Álgebra Teoría y ejercicios – Semana 5


Factorizar q(x) = 6x2 + x – 2 comprobación del término central

2x –1 4x – 3x = x 3x 2

⇒ q(x) = 6x2 + x – 2 = (2x – 1) (3x + 2) 2.6. Aspa Doble: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma general: P(x, y) = Ax2n + Bxnyn + Cy2n + Dxn + Eyn + F; donde “n” es un número natural. Procedimiento:


- A los 3 primeros términos se le aplica un aspa simple (a)

- A los términos 3º, 5º y 6º se le aplica un aspa simple (c).

- A los términos 1º, 4º y 6º se le aplica un aspa simple auxiliar (c), como comprobación.


Ejemplo: p(x, y) = 2x2 + 5xy – 3y2 – 8x + 11 y – 10 2x – y 2 x 3y – 5 En el aspa simple (a): (2x) (3y) + (x) (–y) = 5xy En el aspa simple (b): (2x) (–5) + (x) (2) = –8x En el aspa simple (c): (–y) (–5) + (3y) (2) = 11y Entonces: p(x, y) = 2x2 + 5xy – 3y2 – 8x + 11y –10

= (2x – y +2)·(x + 3y – 5) 2.7. Aspa Doble Especial Se utiliza para factorizar polinomios de la forma general: P(x) = Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E; donde “n” es natural. Procedimiento


- Se descomponen los términos extremos en 2 factores cada uno.

- Para determinar el término que va a sustituir al central, se resta el término central menos el término que resulta al sumar los productos en aspa.

- De los términos extremos, descompuestos inicialmente, se descompone el término sustituto en 2 factores de tal manera que verifiquen el 2º y 4º términos aspas simples (a) y (b).


Ejemplo: p(x) = x4 – 5x3 + 14x2 – 18x + 12

x2 – 3x 6 x2 – 2x 2

Término sustituto: 14x2 – [(2x2) + (6x2)] = 14x2 – 8x2 = 6x2 Luego: p(x) = x4 – 5x3 + 14x2 – 18x + 12 = (x2 – 3x + 6) (x2 – 2x + 2) 2.8. Método de los Divisores Binómicos Se emplea el siguiente criterio de divisibilidad: (Teorema del factor) f(x) = polinomio no nulo Si f(a) = 0 ⇒ (x – a) es un factor de f(x) • Los valores de x que anulan al polinomio son

llamados raíces del polinomio. • Las posibles raíces del polinomio se calculan así:

∗) Para un Polinomio Mónico

x = ± (divisores de Término Independiente) ∗) Para un polinomio no Mónico

Divisores del termino indep.xDivisores del coeficiente del ter. principal

= ±

Ejemplo: Factorizar: f(x) = x3 – 7x – 6

posibles ceros : x = ±1, ±2, ±3, ±6 f(– 1) = 0 ⇒ (x+1) es un factor f(x) = x3 – 7x – 6 = (x + 1)q(x) … (I) Cálculo de q(x) por Ruffini

1 0 –7 – 6 3x 7x 6q(x)

x 1− −

=+

⇒ x = – 1 ⇓ –1 1 6

1 –1 –6 0 q (x) = x2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2)

– 3x

–2x




M.C.D.[A(x), B(x)].M.C.M.[A(x), B(x)] = A(x).B(x)

Luego en (I) f(x) = x3 – 7x – 6 = (x + 1)(x – 3)(x + 2)

3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS O MAS POLINOMIOS POLINOMIOS 3.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) El Máximo Común Divisor de 2 o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios. Para obtenerlo se factoriza cada uno de los polinomios dados y se multiplican los factores comunes elevados a su menor exponente. 3.2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) El Mínimo Común Múltiplo de 2 o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios. Para obtenerlo se factoriza cada uno de los polinomios dados y se multiplican los factores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente. Ejemplo: Halle el M.C.M. y M.C.D. de los polinomios: A(x) = (x + 3)4 (x2 + 1)6 (x – 2)2 (x + 7)6 B(x) = (x + 7)2 (x2 + 1)3 (x – 2)4 (x + 5)6 C(x) = (x + 5)4 (x2 + 1)2 (x – 2)3 (x + 3)3

Solución: A(x), B(x) y C(x) están factorizados, por lo tanto según las definición, tenemos que:

I) M.C.D. (A,B,C) = (x2 + 1)2.(x – 2)2 II)M.C.M. (A,B,C) = (x2 + 1)6.(x – 2)4.(x + 3)4.(x + 7)6(x + 5)6

PROPIEDAD Siendo A(x), B(x) dos polinomios en una variable, se cumple:

Ejercicios de Aplicación 1. Factorice la expresión 2 2 2a(a b ac) b c− + − . Resolución

2 2 2 3 2 2 2

2 2

2 2

a(a b ac) b c a ab a c b c

a (a c) b (a c)

(a c)(a b )(a c)(a b)(a b)

− + − = − + −

= + − +

= + −= + + −

2. Factorice el siguiente polinomio:

p(x, y) 2x(4x 7y) 3y(5y 13) 18 en x, y = + − + − .

Resolución

2 2

2 2

p(x, y) 2x(4x 7y) 3y(5y 13) 18p(x, y) 8x 14xy 15y 0x 39y 18Factorizando por aspa doble, tenemos :p(x, y) 8x 14xy 15y 0x 39y 18

4x 3y 62x 5y 3

p(x, y) (4x 3y 6)(2x 5y 3)

= + − + −

= + − + − −

= + − + − −− −+ +

= − − + +

3. Factorice

3 2p(x) (x 1) 7(x 1) 8x 44 en x = − − − − +

Resolución 3 2

3 2

3 2

p(x) (x 1) 7(x 1) 8x 44p(x) (x 1) 7(x 1) 8(x 1) 36hacemos un cambio de variable v x 1obtenemos : v 7v 8v 36 ...(*)Por el método de divisores binómicos,las posibles raíces de (*) sondiv(36) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,

= − − − − +

= − − − − − += −

− − +

= ± ± ± ± ± ± ± ±{ }2

2

2

18, 36

entonces (v 2)(v 5v 18)luego p(x) ((x 1) 2)((x 1) 5(x 1) 18)p(x) (x 3)(x 7x 12)

±

− − −

= − − − − − −

= − − −

4. 4 3 2p(x) x 2x x 12x 30 en x = + − − −

Resolución 4 3 2

2

2

2 2

2

p(x) x 2x x 12x 30x 2x 5x 0x 6

luego p(x) (x 2x 5)(x 6)p(x) (x 2x 5)(x 6)(x 6)

= + − − −

+ +

+ −

= + + −

= + + + −




5. Determine el MCD p(x),q(x) y MCM p(x),q(x) en

x siendo 2 2

2 2 2p(x) (3x 9x 6)(3x 6) (x 1)q(x) (x x 2) (x 1)

= − + − −

= − − −

Resolución Factorizando por separado

2 2

2 2

3 2

2 2 2

2 3

2

3 2 3

p(x) (3x 9x 6)(3x 6) (x 1)p(x) 27( x 3x 2)( x 2) (x 1)p(x) 27(x 2) (x 1)

q(x) (x x 2) (x 1)q(x) (x 2) (x 1)(x 1)luegoMCD p(x),q(x) (x 2) (x 1)

MCM p(x),q(x) 27(x 2) (x 1) (x 1)

= − + − −

= − + − −

= − −

= − − −

= − − +

= − − = − − +

6. Halle el MCD de

7 5 4 3

5 4 3 2p(x, y) x x 2x x x 2q(x, y) x 2x 3x 3x 2x 1

= + + − − −

= − + − + −

Resolución Factorizando por separado

7 5 4 3

2 4 3 2

2 2 2

5 4 3 2

p(x, y) x x 2x x x 2factorizando por el método de divisores binómicosp(x, y) (x 1)(x 1) (x x 3x x 2)factorizando por aspa doble especialp(x, y) (x 1)(x 1) (x 1)(x x 2)q(x, y) x 2x 3x 3x 2x 1factorizand

= + + − − −

= − + − + − +

= − + + − +

= − + − + −

4 3 2

2 2

2

o por el método de divisores binómicosq(x, y) (x 1)(x x 2x x 1)factorizando por aspa doble especialq(x, y) (x 1)(x 1)(x x 1)

MCD p(x, y),q(x, y) (x 1)(x x 1)

= − − + − +

= − + − +

∴ = − − +

EJERCICIOS DE CLASE

1. Dado 3 2 3 2 3 2 5p(x, y,z) x y y z x z y= + − − determine

uno de sus factores primos cuando se realiza la factorización en x, y,z .

A) x y− B) 2x y− C) 3x y+ D) x E) x z+

2. Determine el valor de verdadero (V) o de falso (F) de las siguientes proposiciones, respecto a la factorización de 4 2p(x) (x 3) 10(x 3) 9= − − − + en

x :

I. p(x) tiene 16 factores II. p(x) tiene 4 factores primos III. la suma de factores primos de p(x) es 4x 12− A) FFV B) VVV C) FVV D) VFF E) FVF

3. Halle la suma de los factores primos de

p(x, y,z) (x y z)(x y z) (x y)(x y)= − + + + − + − al factorizarlo en x, y,z .

A) 2x z+ B) 2(x z)+ C) x 2z+ D) x 2y+ E) x y+

4. Halle la suma de los términos independientes de

los factores primos de 4 3 2p(x) 3x 2x 9x 4= + − + en x .

A) 5 B) 2 C) – 1 D) – 2 E) 3

5. Al factorizar 2 2p(x, y) 2x 7xy 6y 2x 5y 4= + + + + − en x, y

uno de sus factores primos tiene la forma (a 1)x ay (a 1)z− + + + , halle a 2L 2 a= + . A) 54 B) 4 C) 15 D) 23 E) 17

6. Factorice 2 218x 24xy 10y 15x 13y 3− − + − + en x, y , halle la suma de coeficientes de uno de

sus factores primos. A) 11 B) 5 C) 7 D) – 4 E) 2

7. Determine el factor primo con menor término independiente al factorizar en x al polinomio

4 3 2p(x) x x 11x 9x 18.= + − − + A) x 3− B) x 5− C) x 1+ D) x 2− E) x 2+




8. Determine el valor de verdadero (V) o de falso (F) de las siguientes proposiciones, respecto a la factorización de 4 3 2p(x) x 3x 2x 2x 12= + − + − en

x :

I. p(x) tiene 2 factores primos II. p(x) tiene 4 divisores algebraicos III. la suma de factores primos de p(x) es

22x 3x 5+ − . A) FFV B) VVV C) FVV D) VFF E) FVF

9. Factorice 5 4 3 2x 15x 85x 225x 274x 120+ + + + + en x y halle la suma de los factores primos de

término independiente impar. A) 3x 9+ B) 2x 8+ C) 2x 4+ D) 2x 12+ E) 3x 11+

10. Determine el máximo común divisor en x, y de

los polinomios 3 2 2 3p(x, y) 2x x y 2xy y= + − − y 4 3 3 4q(x, y) x x y xy y= − − + .

A) x 2y− B) x y+ C) 2x y+ D) x y− E) 2x y−

11. Para los polinomios 3 2p(x) x x ax b= − + + y

4 3q(x) x x cx d= + + + , determine a b c d+ + + si 2MCD p(x),q(x) x x 1 = + + en x .

A) 17 B) – 3 C) 15 D) 23 E) – 5

12. Para dos polinomios 2 2p(x) (x 1)(x 5x 6) = − − +

y

3 2q(x) (x 2)(x 8x 21x 18)= − − + − , determine el producto de los términos independientes de los

factores primos de q(x). MCM p(x),q(x)

LMCD p(x),q(x)

=

en

x .

A) 5 B) – 2 C) 6 D) 0 E) – 6

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Determine el valor de verdadero (V) o de falso (F) de las proposiciones, respecto a la factorización de 2 2p(x) 8x(2x 1)(x 1) (2x 3x 1)= − − + − + en

x :

I. p(x) tiene 2 factores primos II. p(x) tiene 7 divisores algebraicos III. la suma de los factores primos de p(x) es

22x 8x 1+ − . A) FFV B) VVV C) FVV D) VFF E) VVF

2. Si q(x) es el factor primo con menor término

independiente del polinomio: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x x 1 x 3 x 2 x 4 24= + + − − + en x ,

halle q(3). A) – 2 B) 0 C) 5 D) – 3 E) – 8

3. Si ( ) ( ) ( )3 2q x, y x 2y 6y 3x 20x 40y= − − − + − es

reducible en x, y , halle un factor primo.

A) x 2y+ B) x 2y 5+ − C) x 2y 5− − D) x 2y 4− + E) 2x y−

4. Al factorizar 2 2 2p(x) (x x 1)(x x 1) 6x 3= + + − + − + en x ,

halle el factor mónico de mayor término independiente. A) x 3− B) x 3+ C) x 5+ D) x 2− E) x 2+

5. Factorice 2p(x, y) 28xy 44y 35x 23y 40= − + − + en x, y y determine la suma de coeficientes

de uno de sus factores primos. A) 14 B) 6 C) 9 D) 3 E) 12




6. Determine la suma de cuadrados de los términos independientes de los factores primos de

4 3 2p(x) 4x 16x 11x 4x 3= − + + − factorizado en x .

A) 14 B) 6 C) 8 D) 3 E) 12

7. Al factorizar el polinomio 8 6 4 2p(x) 4x 57x 210x 193x 36= − + − + en x ,

halle el número de factores primos mónicos de término independiente negativo. A) 4 B) 3 C) 5 D) 2 E) 6

8. Al factorizar 3 2p(x) x x 41x 105= + − − en x ,

halle el factor primo de menor término independiente. A) x – 9 B) x – 5 C) x + 5 D) x – 7 E) x + 3

9. Al factorizar 3 2p(x) x 4x x 6= + + − en x se

obtiene q(x) como suma de factores primos mónicos, halle q(5) .

A) 8 B) 12 C) 14 D) 19 E) 21

10. Halle el factor primo en x de mayor término

independiente del polinomio 7 4p(x) x 7x 8x= − − . A) x + 2 B) x + 4 C) 2x x 1− + D) 2x 2x 8+ + E) 2x 2x 4+ +

11. Al factorizar 5 4 3 2x 9x 23x 3x 78x 72+ + − − − en

x , se determina que m es el número de

factores primos y n el mayor término independiente de sus factores primos, calcule

m n(m n) −+ .

A) 6 B) 1 C) 20 D) 5 E) 9

12. Halle el producto de la suma de coeficientes de los factores primos de 5 4 3 2x 2x 2x 2– –x– x 1+ + factorizado en x .

A) 4 B) 1 C) 3 D) 2 E) 5

13. Sean p(x) y q(x) dos polinomios tales que

2(x 2)(x x 2)MCM p(x),q(x)MCD p(x),q(x)− − − =

en x y

q(x) p(x) (x 1)(x 2) x− = − + + , halle la suma de coeficientes del cuadrado de la suma de p(x) con q(x). A) 4 B) 9 C) 16 D) 25 E) 36

14. Si p(x) y q(x), son polinomios que satisfacen

8 6 4

5 3p(x).q(x) x 2x x ... (1)

MCM p(x),q(x) x x ...(2)

= + +

= + ,

determine el cociente de MCD p(x),q(x)

x .

A) 2x B) x 1+ C) x 1− D) 2x 2+ E) 2x 1+

15. Dados los polinomios 5p(x) x x 1= + + y 4 2q(x) x x 1= + + , calcule d(x) MCD p(x),q(x) =

en x . ¿Cuál es el valor numérico de d(3) ?

A) 8 B) – 12 C) 13 D) 10 E) 15


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