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CAPÍTULO 6 Factorización de matrices En este capítulo se estudian algunas de las técnicas más utilizadas para factorizar matrices, es decir, técnicas que permiten escribir una matriz como producto de dos o tres matrices con una estructura especial. La factorización de matrices es importante por ejemplo cuando se quiere resolver sistemas de ecuaciones con un número muy grande tanto de variables como de ecuaciones, pero también cuando se quieren resolver sistemas simultáneos de ecuaciones. En la sección 6.1 se tratará la descomposición LU , en la sección 6.2 se abordará la descomposición QR, en la sección 6.3 se tratará la descomposición de Cholesky y en la sección 6.4 se abordará aspectos relativos a la descomposición en valores singulares. 6.1. Descomposición LU En esta sección se estudia, quizás la factorización de matrices más sencilla pero igualmente muy útil. Se trata de la factorización o descomposición LU , la cual está directamente relacionada con las operaciones elementales aplicadas a una matriz, para llevarla a una forma triangular inferior. Como una motivación, suponga que se conoce cómo factorizar una matriz A� m × n en la forma (6.1) A = LU donde L es una matriz triangular inferior (del inglés lower) m × m y U es una matriz escalonada m × n (del inglés upper). Entonces el sistema (6.2) Ax = b puede resolverse de la siguiente forma: Usando (6.1), el sistema (6.2) se puede escribir en la forma (6.3) LU x)= b. En este punto se introduce una nueva variable (por sustitución) y = U x, obteniendo así el nuevo sistema (6.4) Ly = b. Una vez en este punto, se resolve dicho sistema para la variable ymediante sustitución hacia adelante. Como paso final, usamos sustitución hacia atrás para resolver el sistema (6.5) U x = y. Es de anotar, que los sistemas (6.4) y (6.5) son relativamente fáciles de resolver dado que se trata de matrices de coeficientes triangulares inferiores y superiores respectivamente. La factorización o descomposición LU es particularmente útil cuando se requiere resolver de manera simultánea varios sistemas de ecuaciones que difieren únicamente en la parte no homogénea. El siguiente resultado da condiciones suficientes para la existencia de una tal factorización LU para una matriz cuadrada A. Posteriormente se extenderá a matrices rectangulares. �3�

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  • CAPTULO 6

    Factorizacin de matrices

    En este captulo se estudian algunas de las tcnicas ms utilizadas para factorizar matrices, es decir, tcnicasque permiten escribir una matriz como producto de dos o tres matrices con una estructura especial. Lafactorizacin de matrices es importante por ejemplo cuando se quiere resolver sistemas de ecuaciones conun nmero muy grande tanto de variables como de ecuaciones, pero tambin cuando se quieren resolversistemas simultneos de ecuaciones. En la seccin 6.1 se tratar la descomposicin LU , en la seccin 6.2 seabordar la descomposicin QR, en la seccin 6.3 se tratar la descomposicin de Cholesky y en la seccin6.4 se abordar aspectos relativos a la descomposicin en valores singulares.

    6.1. Descomposicin LU

    En esta seccin se estudia, quizs la factorizacin de matrices ms sencilla pero igualmente muy til. Setrata de la factorizacin o descomposicin LU , la cual est directamente relacionada con las operacioneselementales aplicadas a una matriz, para llevarla a una forma triangular inferior. Como una motivacin,suponga que se conoce cmo factorizar una matriz A m n en la forma

    (6.1) A = LU

    donde L es una matriz triangular inferior (del ingls lower) m m y U es una matriz escalonada m n(del ingls upper). Entonces el sistema

    (6.2) Ax = b

    puede resolverse de la siguiente forma: Usando (6.1), el sistema (6.2) se puede escribir en la forma

    (6.3) LUx) = b.

    En este punto se introduce una nueva variable (por sustitucin) y = Ux, obteniendo as el nuevo sistema

    (6.4) Ly = b.

    Una vez en este punto, se resolve dicho sistema para la variable y mediante sustitucin hacia adelante.Como paso final, usamos sustitucin hacia atrs para resolver el sistema

    (6.5) Ux = y.

    Es de anotar, que los sistemas (6.4) y (6.5) son relativamente fciles de resolver dado que se trata de matricesde coeficientes triangulares inferiores y superiores respectivamente. La factorizacin o descomposicin LUes particularmente til cuando se requiere resolver de manera simultnea varios sistemas de ecuaciones quedifieren nicamente en la parte no homognea.

    El siguiente resultado da condiciones suficientes para la existencia de una tal factorizacin LU para unamatriz cuadrada A. Posteriormente se extender a matrices rectangulares.

    3

  • 6.1. Descomposicin LU Factorizacin de matrices

    6.1. Teorema (Factorizacin ). Sea A una matriz cuadrada n n. Supongamos que A se puede reducirpor filas a una matriz triangular superior, U aplicando nicamente operaciones elementales de eliminacin(operaciones del tipo Fi +Fj con i < j). Entonces existe una matriz triangular inferior L que es invertibley posee unos en su diagonal principal, tal que

    A = LU.

    Si A es invertible, entonces esta descomposicin es nica.

    Demostracin Por hiptesis, existen matrices elementales E1 E2 . . . Ek del tipo (Fi +Fj i > j)y una matriz U (triangular superior) tales que

    EkEk1 E2E1A = U.

    De aqu se obtiene A = E11 E12 E

    1k U.

    Ahora bien, por construccin, cada matriz elemental E1 E2 . . . Ek es triangular inferior y tiene unos ensu diagonal principal, por consiguiente sus inversas E11 E

    12 E

    1k y la matriz L = E

    11 E

    12 E

    1k

    tambin tienen las mismas caractersticas (ver ejercicio 5 de la seccin 6.1). Lo que implica que se haobtenido la factorizacin LU buscada para la matriz A es decir:

    A = LU

    Para demostrar la unicidad de dicha factorizacin se procede como es usual. Supngase que se tienen dosfactorizaciones LU para A de la forma

    A = L1U1 = L2U2

    con U1 U2 matrices triangulares superiores y L1 L2 matrices triangulares inferiores con unos en su diagonalprincipal. Como A es invertible las matrices U1 U2 tambin lo son, ms an sus inversas son igualmentetriangulares superiores (ver ejercicio 6 de la seccin 6.1). De esta ltima igualdad se obtiene entonces

    L12 L1 = U2U11 .

    El lado izquierdo de esta igualdad es producto de matrices triangulares inferiores con unos en la diagonal,por tanto es triangular inferior y tiene unos en la diagonal principal. Igualmente, el lado derecho es unatriangulares superiores, pues es el producto de matrices triangulares superiores (ver ejercicio 6 de la seccin6.1). Entonces L12 L1 = I de esto se sigue que L2 = L1 y por ende,

    U1 = U2.

    En el ejemplo 6.5 se considerar una matriz no invertible, que posee infinitas descomposiciones LU.

    6.2. Ejemplo. Considere la matriz 3 3 A =

    2

    41 4 72 5 83 6 12

    3

    5 . Aplique operaciones elementales, sin inter-

    cambio, para llevar a la matriz A a una forma escalonada.2

    41 4 72 5 83 6 12

    3

    5 2F+F23F+F3

    2

    41 4 70 3 60 6 9

    3

    5

    2F2+F3

    2

    41 4 70 3 60 0 3

    3

    5 = U

    132

  • Factorizacin de matrices 6.1. Descomposicin LU

    Si se denota entonces con E1, E2 y E3 a las matrices elementales provenientes de las operaciones elementales2F1 + F2 3F1 + F3 y 2F2 + F3 respectivamente, entonces se obtiene

    E3E2E1A = U

    A = E3E2E1)1U

    = E11 E12 E

    13 U

    =

    2

    41 0 02 1 00 0 1

    3

    5

    2

    41 0 00 1 03 0 1

    3

    5

    2

    41 0 00 1 00 2 1

    3

    5U

    =

    2

    41 0 02 1 03 2 1

    3

    5

    2

    41 4 70 3 60 0 3

    3

    5 = LU .

    En este caso esta factorizacin es nica.

    6.3. Observacin. Como slo se han efectuado operaciones del tipo Fi + Fj con i < j, Fi + Fj)1 =

    )Fi + Fj y L es triangular inferior con unos (1s) en su diagonal principal. La informacin sobre L sepuede almacenar en aquellas posiciones donde se obtienen los ceros (0s) de U simplemente colocando losopuestos de los multiplicadores en las operaciones elementales aplicadas del tipo Fi + Fj con i < j.

    En el ejemplo anterior

    2

    41 4 72 5 83 6 12

    3

    5 2F+F23F+F3

    2

    41 4 72 3 63 6 9

    3

    5

    2F2+F3

    2

    41 4 72 3 63 2 3

    3

    5

    de donde se obtiene que

    L =

    2

    41 0 02 1 03 2 1

    3

    5 y U =

    2

    41 4 70 3 60 0 3

    3

    5

    son tales que A = LU .

    6.4. Ejemplo. Considere la matriz

    A =

    2

    664

    2 3 2 44 10 4 0

    3 2 5 22 4 4 7

    3

    775 .

    Aplquense las operaciones elementales, sin intercambio, para llevar la matriz A a una forma escalonada

    133

  • 6.1. Descomposicin LU Factorizacin de matrices

    2

    664

    2 3 2 44 10 4 0

    3 2 5 22 4 4 7

    3

    775

    2)F+F2

    3/2)F+F3

    1)F+F4

    2

    664

    2 3 2 42 4 8 8

    3/2 5/2 2 41 7 6 3

    3

    775

    5/8)F2+F3

    7/4)F2+F4

    2

    664

    2 3 2 42 4 8 8

    3/2 5/8 3 91 7/4 20 11

    3

    775

    20/3)F3+F4

    2

    664

    2 3 2 42 4 8 8

    3/2 5/8 3 9-1 7/4 20/3 49

    3

    775

    de donde se obtiene que

    L =

    2

    664

    1 0 0 02 1 0 0

    3/2 5/8 3 01 7/4 20/3 1

    3

    775 y U =

    2

    664

    2 3 2 40 4 8 80 0 3 90 0 0 49

    3

    775

    son matrices tales que A = LU siendo esta factorizacin nica.

    6.5. Ejemplo. Considere la matriz A =

    2

    41 2 3

    1 2 32 4 6

    3

    5 . Se procede entonces a aplicar operaciones

    elementales, sin intercambio, para llevar la matriz A a una forma escalonada2

    41 2 3

    1 2 32 4 6

    3

    51)F1 + F2

    2)F1 + F3

    2

    41 2 31 0 02 0 0

    3

    5

    de donde se obtiene que

    U =

    2

    41 2 30 0 00 0 0

    3

    5 y L =

    2

    41 0 0

    1 1 02 x 1

    3

    5 con x arbitrario.

    En este caso A = LU donde L no es nica.

    Considere ahora el caso en que se necesitan intercambio de filas para poder reducir una matriz. Existe en estecaso un procedimiento que permite extender la factorizacin LU , el cual hace uso de matrices permutacin.

    Como se recordar, el intercambio de dos filas de una matriz A se puede expresar como PiA, siendo Pila matriz permutacin correspondiente a las filas de A que deseamos intercambiar. Ahora bien. Si durantela reduccin de A a una forma escaln necesitamos realizar P1 . . . Pk permutaciones de filas, stas puedehacerse al comienzo de todo el procedimiento y producir as la matriz P = P1 Pk. El paso siguienteconsiste entonces en aplicar la factorizacin LU a la matriz PA en lugar de la matriz A. Es decir, nosotrosbuscamos ahora matrices L (triangular inferior) y U (triangular superior) tales que

    PA = LU .

    6.6. Ejemplo. Halle la descomposicin para la matriz

    A =

    2

    40 2 32 4 71 2 5

    3

    5 .

    134

  • Factorizacin de matrices 6.1. Descomposicin LU

    En este caso, para reducir A a una matriz triangular superior U es necesario primero una o varias operacioneselementales del tipo permutacin de filas (tambin es posible usar operaciones del tipo Fi +Fj con i > j).Una de tales operaciones de intercambio puede ser F12. Si se denota con P a la correspondiente matrizpermutacin se obtiene entonces

    PA =

    2

    42 4 70 2 31 2 5

    3

    5 .

    A esta nueva matriz se le aplican los pasos descritos en los ejemplos anteriores pa obtener2

    42 4 30 2 31 2 5

    3

    5 1/2)F1 + F3

    2

    42 4 70 2 3

    1/2 0 3/5

    3

    5

    de aqu se sigue que

    L =

    2

    41 0 00 1 0

    1/2 0 1

    3

    5 y U =

    2

    42 4 70 2 30 0 3/5

    3

    5

    son matrices tales que

    PA = LU .

    6.7. Teorema. Sea A una matriz invertible n n. Entonces existe una matriz de permutacin P tal que

    PA = LU

    donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior. Se tiene adems, que paracada matriz P , L y U son nicas.

    El siguiente teorema rec