1. OCTAVO GRADO
APRENDAMOS A FACTORIZAR

2. FACTORIZACIN
Se llama factores o divisores, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre s, dan como producto la primera expresin.
Al proceso de encontrar los factores o divisores a partir de una expresin determinada se llama descomposicin factorial o factores. En otras palabras, el factoreo, es el proceso inverso de la multiplicacin y la divisin, en consecuencia de los productos y cocientes notables.
El proceso de encontrar factores, est dependiendo de ciertas caractersticas que las expresiones algebraicas presentan.
3. Las caractersticas ms comunes de
polinomios factorizables, son:
1. Polinomios que tienen factores comunes.
2. Binomios con diferencias de
cuadrados
3. Trinomios cuadrados perfectos
4. Trinomio de la forma ax2 + bx + c
4. 5. FACTORIZACIN DE POLINOMIOS QUE
TIENEN FACTOR COMN
Un factor comn est sobre la base de la ley distributiva del producto sobre la suma.
La clave de la solucin a estos ejercicios est en encontrar dicho factor. En algunos polinomios es fcil y en otros, se requiere de realizar procedimientos para identificarlos. ejemplo:
En el polinomio:
ax + bx - 3x
El valor que se repite en todos los trminos se denomina factor comn, y en este caso es x
6. Cuando se identifica el trmino comn, se escribe como
coeficiente de un parntesis, y dentro del parntesis los
cocientes de dividir cada uno de los trminos, entre el
factor comn.
7. 8. A) Cuando el polinomio tiene letras y/o nmeros que se repiten
Identificar las letrasy nmeros que se repiten, estas sern el factor comn.
Si ste, se encuentra con exponente, se selecciona el que es de menor exponente. ejemplo:
m2x5 + m3y4 - m4n2 El factor comn es m2
Se escribe el factor comn como coeficiente de un parntesis, y dentro de ste, se coloca el cociente de dividir cada uno de los trminos de la expresin original entre el factor comn, identificado en el paso anterior.
9. B) Cuando los trminos del polinomio tienen coeficientes que son divisibles entre si.
Se obtiene el mximo comn divisor (M.C.D) de todos los coeficientes de la expresin y este ser parte del factor comn a encontrar. Cuando existen una o varias letras que son comunes, entonces se toma la de menor exponente. ejemplos:
Factorar5x2 10x3y + 30x4y2
El MCD de los coeficientes 5 10 30 es 5
5 10 30 5
1 2 6
luego, la parte literal que se repite es x2
Siempre se deber tomar la letra que tiene el menor exponente
En consecuencia, el factor comn es 5x2
10. Factorar las expresiones:
1) x2 + x
2) 2x 5x2
3) a3 b2 2a3b
4)16x3 + 4x5 12x7
5) 96 48mn2 + 144n3
6) 14x2y3 28x3 + 56x4
7)10ab + 15a2b + 25ab2 5ab
11. C) Cuando en el polinomio se encuentran otros polinomios que se repiten
Cuando se identifican polinomios agrupados que se repiten, se consideran como si fueran una sola expresin y se realizan los procedimientos descritos anteriormente. Ejemplo:
Descomponer:
2x(n 1) 3y (n 1).
Se puede observar que el factor comn es (n 1)
12. D) POLINOMIO POR AGRUPACIN DE TRMINOS
Este tipo de polinomio presenta varios factores comunes, por lo que se agrupan de acuerdo a los factores comunes identificados en cada grupo. Ejemplo:
a) Factorarax + bx +ay + b
Se agrupan los trminos que tienen factores comunes, as:
(ax + bx) + (ay + by)
Se realiza el proceso de descomposicin factorial de cada una de las expresiones.
x (a + b) + y(a + b)
luego, se descomponen utilizando el procedimiento aplicado anteriormente
Respuesta: ( a + b) (x + y)
13. b) Factorar x(a + 1) - a - 1
Esta expresin equivale a escribir x(a + 1) -1 (a +1)
En este caso el factor comn es:
(a + 1)
Entonces dividimos la expresin original entre este factor comn:
Por lo tanto, la respuesta quedar:
(x -1) ( a + 1)
14. Factorar las expresiones:
1) 3x(x 1) 2y(x 1) +2(x 1)
2) x2(m 1 - n) - (m 1 - n )
3) 7a(x y) + x y
4) 4am3 12amn m2 + 3n
5) 2a2x 5a2y + 15by 6bx
6) 6ax + 3a + 1 + 2x
7) nx ny + nz + x y + x
8) 3ax 3x + 4y 4ay
9) 4x(m n) + n m
10) d(x + y) x y
15. DIFERENCIA DE CUADRADOS
En los productos notables se pudo ver que la suma de dos cantidades por su diferencia, es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo
Siempre aparecern dos trminos que tienen races cuadradas exactas, separadas
por un signo menos.
El procedimiento para obtener la factorizacin de una diferencia de cuadrados
es el siguiente:
16. 17. Factorar las expresiones siguientes:

1) 16 x6
2) b8 49
3) 1 a4
4) 25x2 36y2
5) 4m8 121n4
6) 4 (x 2)2
7) (a + 2)2 (1 a)2
8) (2a c )2 (a + c)2
9) 25x2 (5 + x)2
10) (x y)2 (x 1)2
11) (a + 1)2 - 4
12) (x -3)2 - (y + 3)2
18. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP)
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad.
As: a2 es un cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a,9b2 es cuadrado perfecto por que es el cuadrado de 3b.
Para extraer la raz cuadrada de un monomio, se extrae la raz de su coeficiente y se divide el exponente de cada factor literal por 2.
As, la raz cuadrada de 16x4 es 4x2
Por productos notables sabemos que
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, por tanto
19. a2 + 2ab + b2 es el trinomio cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b
El procedimiento para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto es:
Ejemplo: 9x2 -12 xy + 4y2
Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto.
Se obtienen las races cuadradas del primero y tercer trmino raz cuadrada de 9x2 es 3x y la raz cuadrada de 4y2 es 2y
Se obtiene el doble del producto de las races obtenidas anteriormente.
(2) (3x) (2y) = 12xy
Entonces 9x2 -12 xy + 4y2 = (3x 2y)2
20. 21. Factorar las expresiones:
1. 4a2 20ab + 25b2
2. 9b2 30a2b + 25a4
3. 49m6 + 25a2n4 70am3n2
4. 4x2 12xy + 9y2
5. 4m2 + 9n2 + 12mn
22. Existen ocasiones en que el trinomio cuadrado perfecto, se encuentra implcitamente con otros trminos, es decir, pueden no aparecer tres trminos, sino cuatro o ms.
Considere las ilustraciones siguientes:
1) Factorar: 4x2 + 25y2 36 + 20xy
SOLUCIN:
Se identifica el trinomio cuadrado perfecto, escribindolo dentro de un parntesis.
Se ordenan 4x2+ 20xy + 25y2 36
Se agrupan (4x2+ 20xy + 25y2) 36
Descomponer el trinomio cuadrado perfecto.
La raz cuadrada de 4x2 es 2x
La raz cuadrada de 25y2 es 5y
Luego 2(2x) (5y) = 20xy
23. Se verifica si el trmino independiente tiene raz cuadrada exacta, en caso de no tenerlo, termina el ejercicio, pero si tiene raz cuadrada exacta, se realiza una diferencia de cuadrado.
(2x + 5y)2 36
Luego, se factoriza la diferencia de cuadrados.
[(2x+5y)+6][(2x+5y)-6]
(2x + 5y + 6) (2x + 5y - 6) respuesta
24. 2) Factorar: a2 + 2ab + b2 - 1
Encuentra los factores del polinomio siguiente:a2 + 2ab + b2 1
Se identifican el trinomio cuadrado perfecto
(a2 + 2ab + b2 ) 1
Se factorizan el trinomio (a + b)2 1
Se factorizan las diferencias de cuadrados
(a + b + 1) (a + b - 1) respuesta
25. Factorar las expresiones
1) 9x2 + 25y2 30xy 16
2) m2 + 2mn + n2 25
3) m2 x2 2xy y2
4) 25 x2 16y2 + 8xy
5) 49x4 25x2 9y2 + 30xy
6) a2 16 x2 + 36 + 12a 8x
26.
TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx +c
Anteriormente se estudi en los productos notables que (3x + 5) (4x + 6) se obtiene 12x2 + 12x + 30, en la misma forma se puede realizar el procedimiento inverso as:
27. Para poder realizar el camino inverso y decir que los factores de 3x2 5x -2
son(x - 2) (3x + 5)
descomponer en sus factores el polinomio
3x2 - 5x - 2
El primer coeficiente se deber multiplicar por cada uno de los trminos, dejando indicado el segundo trmino con el valor que posee y en la misma forma se deber dividir por el mismo valor para no alterar la expresin.
Lgicamente si el primer coeficiente tiene valor de uno, no se deber hacer esta parte
28. 3(3x - 5x - 2)
3
Se multiplica todo el trinomio por el mismo factor del primer trmino, y dividindolo por el mismo factor
9x - 5(3x) - 6
3
se descompone en dos trminos haciendo uso de parntesis, escribiendo en cada uno de ellos la raz cuadrada del primer trmino.
(3x) (3x )
3
Se escribe el signo en cada parntesis el cual se hace de la manera siguiente:
a) El signo que le corresponde al primer parntesis es el mismo que tiene el segundo trmino del trinomio;
b) El signo correspondiente al segundo parntesis es el resultado de la
multiplicacin de los signos del segundo y el tercer trmino del trinomio.
29. Se escribe el segundo trmino de los parntesis, de acuerdo a los dos signos encontrados en el paso anterior, los cuales se hacen con los criterios siguientes:
a) Si los signos son iguales, se buscan dos nmeros cuya suma, sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y el producto del tercer trmino.
Estos dos nmeros encontrados sern los segundos valores de los binomios.
30. b) Si los signos son contrarios, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y el producto sea igual al tercer trmino.
Para que no exista la posibilidad de equivocarse, escribe siempre el nmero mayor en el primer parntesis.
Estos dos nmeros encontrados, sern los segundos valores de los binomios.
Como los signos que tienen los parntesis son distintos, se buscan dos nmeros que multiplicados resulten 6 y restados resulten 5
6 x 1 = 6y6 - 1 = 5
( 3x-6 ) ( 3x+1 )
3*1
31. Se obtiene el factor comn del primer parntesis y se simplifican si es posible
1
3 (x - 2 ) (3x + 1 )
3
Luego:
3x2 - 5x - 2 = (x - 2) (3x + 1)
32. Factorar las expresiones:
1) x2 + 7x + 10
7) 12 7m 10m2
2) 2x2 + 3x 2
8) m 6 + 15m2
3) x2 + 3x 10
9) c2 + 33 - 14c
4) 5x2 + 13x 6
10) 18p2 - 13p - 5
5) c2 + 5c 24
11) 20x2 + 7x - 6
6) 9b2 + 10b + 1
12) 15 + 2n - n2
33. SUMA DE CUBOSa3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
Cuando tenemos una suma de cubos y queremos factorizarla, sacamos la raz cbica de las dos cantidades y estas son colocadas en un parntesis, separadas por el mismo signo de la suma.
A continuacin abrimos otro parntesis y escribimos en el la primera cantidad elevada al cuadrado, menos la primera cantidad por la segunda ms el cuadrado de la segunda cantidad.
34. Ejemplo:
Factorizar8m3+ n3=(2m+n)[(2m)2-(2m)(n)+(n)2]
=(2m+n)(4m2-2mn+n2)
2m n
3

3

35. DIFERENCIA DE CUBOSa3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
Cuando tenemos una diferencia de cubos y queremos factorizarla, sacamos la raz cbica de las dos cantidades y estas son colocadas en un parntesis, separadas por el mismo signo de la resta.
A continuacin abrimos otro parntesis y escribimos en el la primera cantidad elevada al cuadrado, ms la primera cantidad por la segunda ms el cuadrado de la segunda cantidad.
36. Ejemplo:
Factorizar8m3- 27n3=(2m-3n)[(2m)2-(2m)(3n)+(3b)2]
=(2m-3n)(4m2-6mn+9n2)
2m 3n
3

3

37. Factorizacion de polinomiosempleando la divisionsintetica
38. 39. 40. FACTORICE LOS POLINOMIOS SIGUIENTES
14) 16b2 + 24bm + 9b2
15) 1 + 18ab + 81a2b2
16) 8a2 22a 21
17) 14x 3c 5c2
18) (x + y)2 z2
19) 4a2m + 12a2n 5bm 15bn
20) n4 + n2 + 1
21) a2 x2 a x2
22) 5b2 + 7b + 2
23) n2 + n 42
24) (6a 3b) (a + b) + (6a 3b) (5a +10b)
25) 20 x x2
26) 81a2 4b2c8
27) 16 (2a + b)2
1) 6x4y 9x3y2 + 12x2y3
2) 5a2 a
3) xz + xy x2
4) x2 81
5) 6x2 x 2
6) (a + 1) (x + y) (a + 1)
7) (x y)2 - ax +ay
8) x3 + 2x2 +yx + 2y
9) (x y)2 25
10) 7x2 + 31x - 20
11) a2 + 4a + 4
12) 10a2 + 29a + 21
13) x2 9y2
41. 28) ax ay bx + by
29) x2 + 14x + 49
30) ax + a x - 1
31) 7x2 + 31x - 20
32) m4 + m2n2 + n4
33) 1 + 2x + x2 y2
34) 25b2 + 90b + 81
35) x2 + 6x + 9