República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del Poder Popular para la Defensa.

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Nacional Bolivariana.

Núcleo Aragua – sede Maracay.

TIPOS DE FACTORIZACIÓNBachilleres:

Giovanni Ramos C.I. 25662697.Gilver Peña C.I. 23791150

Sabrina Suárez C.I. 24924211.CINU-CB-0S-N-002.

Ingeniería Civil.

Octubre, 2013

¿En que consiste la factorización?

Es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de multiplicación. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles .

Tipos de factorización.

• Factor de monomio• Factor común monomio.• Factor común polinomio.• Factor común por agrupamiento.• Trinomio cuadrado perfecto.• Diferencia de cuadrados perfectos.• Caso especial de cuadrados perfectos.• Trinomio de la forma x2 + bx + c• Trinomio de la forma ax2+bx + c• Suma de cubos perfectos.• Diferencia de cubos perfectos.

Factor de monomio.

En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término.

Ejemplo Nº115ab = 3.5 ab

Ejemplo Nº29ba = 3.3 ba

Ejemplo Nº320ab = 4a.5b

Ejemplo Nº425ba = 5b.5a

Factor común monomio.Es el factor que está presente en cada término del

polinomio :

• Ejemplo N°1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6·4z = 6(2x + 3y - 4z )6.2x= 12x , 6.3y =18y , 6.4z= 24z es decir, 6 es el factor común de 12x,18y,24z

Ejemplo N° 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2- 15ab - 10 ac El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores de letra común es a, por lo tanto: 5a2- 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c )

Factor común polinomio.Es el polinomio que aparece en cada término de

la expresión :

• EJEMPLO N° 1. Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) =

Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b )

= ( a + b )( x + y )

EJEMPLO N° 2.

factorizar 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) 2a(m - 2n) - b (m - 2n )

= (m - 2n )( 2a - b )

Factor común por agrupamiento.

Se trata de extraer un doble factor común.

EJEMPLO: Factoriza: ap + bp + aq + bq Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos , es decir: p(a + b ) + q( a + b ) Luego se saca factor común polinomio ( a + b ) ( p + q )

Trinomio cuadrado perfecto.Un trinomio Cuadrado Perfecto, por brevedad (TCP), es

un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

• Ejemplo Nº1

a² ± 2ab + b² = (a + b)²  Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla: 

El Cuadrado del 1er ☞Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino.

Ejemplo Nº2

Factorar: m² + 6m + 9 

m² + 6m + 9 

↓…………..↓ 

m..............3 Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término 

[ m ] y [ 3 ] 

= (m + 3)² 

Ahora aplica la regla del (TCP), el cuadrado del 1er termino = m² [ + ] 2 veces el 1er termino por el 2do; [2m].[3] = 6m [+] el cuadrado del 2do termino; [3]² =9 

= m² + 6m + 9; si es un (TCP), ya que cumple la Regla. 

Ejemplo de trinomio cuadrado perfecto.

Diferencia de cuadrados perfectos.

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Al estudiar los productos notables teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capitulo es el

caso contrario:

Pasos:1.Se extrae la raíz cuadrada de

ambos términos.2.Se multiplica la suma por la

diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).

Ejemplo explicativo:

Caso especial de cuadrados perfectosejemplo.

Factorar: (a + b)² - c²

(a + b)² = (a + b) (a + b)-c²

[(a + b) + c] [(a + b) – c] Quitamos los corchetes

= (a + b + c) (a + b – c)

Trinomio de la forma =x2 + bx + cEjemplo: a2 -2a - 15

1. Primero se buscan los factores del ultimo termino

15 3 5 5 1 1

• Se necesita que sus factores sumados del el

segundo termino-5+3= -2

2. Se pone 2 paréntesis, en el primero va la letra de la incógnita y el signo del medio, en el segundo va la misma letra y la multiplicación de los 2 signos .

= (a – 5) (a + 3)

•Los números que se colocan son los de la descomposición del 15.

•Cuando multiplican los signos, tiene que dar los mismo de resultado de la descomposición.

Trinomio de la forma ax2+bx+cEste tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado (x 2) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:

1.Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a ” por cada termino del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el termino “bx” de la manera “b(ax)”, y en el termino “a ” de la manera  .

2.Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino   la que seria “ax”.3.al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio.4.El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.5.Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.

Ejemplo de trinomio de la forma ax2+bx +c

Suma de cubos perfectos.Esta factorización es igual a la de la diferencia de cuadrados, lo único que cambia es el signo de la respuesta.

Ejemplo: aᶟ + 8

Se buscan las raíces cubicas. ᶟ√aᶟ ᶟ√8

a 2

=( a+2) Primer binomio

El primer termino se eleva al cuadrado, después se resta la multiplicación del primero por el segundo y luego se suma el segundo termino se eleva al cuadrado

a²(a) (2)=2a2²=4

Se multiplica el binomio con el trinomio, ese es el resultado

= (a+2)(a²-2a+4)

Diferencias de cubo perfectos. La factorización de la diferencia de los cubos es el factorizar 2 términos los cuales son cubos perfectos

Ejemplo :Xᶟ - 27

Se buscan las raíces cubicas de los términos : ᶟ√xᶟ ᶟ√27

x 3

= (x – 3) primer binomio

De las raíces que sacamos, el primer termino se eleva al cuadrado, después se suma la multiplicación del primero por el segundo y luego se suma el segundo termino se eleva al cuadrado

X²(x) (3)=3x3²=9

- (x – 3) (x² + 3x + 9)Se expresa la multiplicación del binomio y el

trinomio, ese es el resultado

Bibliografía.

• http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n• http://answers.yahoo.com/question/index?

qid=20090101172304AAcYhfb• http://

factorizaciondeexpresionesalgebraica.blogspot.com/2011/03/diferentes-tipos-de-factorizacion.html

• http://html.rincondelvago.com/factorizacion_3.html• http://factori2zacion.blogspot.com/2013/04/

factorizacion.html