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  • 1. FACTORIZACIN POR:Ing. Margarita Patio Jaramillo Ing. Carlos enrique Villa Arango INSTITUTO TECNOLGICO METROPOLITANO

2. CAPTULO 5FACTORIZACIN 3. Introduccin El trabajo matemtico muchas veces nos presenta expresiones compuestas por polinomios, que pueden ser extensos. Al convertir un polinomio en una expresin con factores (factorizar) podremos simplificarlo cuando se encuentre en una expresin racional , reduciendo sta ltima a una mnima expresin. Objetivo de la factorizacin Al final de este captulo, el estudiante estar en capacidad de convertir en factores la mayor parte de los polinomios, usando los diferentes casos que existen para ello. 4. FACTORIZACINCompetenciaUtilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades bsicas y operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos. Resuelve expresiones algebraicas utilizando las propiedades y operaciones algebraicas. 5. Indicadores de logroFactoriza expresiones con base en los casos desarrollados 6. Conocimientos previosPara afrontar el tema de factorizacin es preciso tener conocimientos fuertes de los productos notables y haberse ejercitado suficientemente mediante la realizacin de ejercicios. Adicionalmente se requiere tener conocimientos, habilidades y destrezas en: - Operaciones con los Conjuntos Numricos - Propiedades de las operaciones de los Conjuntos Numricos - Expresiones algebraicas y polinomios 7. JustificacinEn muchas situaciones se presentan problemas que conducen al planteamiento de ecuaciones, como movimiento parablico en fsica, problemas de utilidad en economa, diseo y construccin de estructuras ingenieriles, entre otros, para las cuales es necesario encontrar races o soluciones y una manera de encontrar esas races es aplicar procesos de factorizacin a los polinomios asociados a estas ecuaciones.Igualmente la factorizacin permite realizar simplificaciones y reduccin a mnimas expresiones, lo que hace menos engorrosas las derivadas y las integrales en clculo. 8. 1. Factor comn monomio Resulta cuando el factor comn de todos los trminos del polinomio es un monomio. Ejemplo:Factorizar: 4ax3 - 2x2 = 2x2(2ax 1) Vemos como 2 y x2 estn multiplicando en ambos trminos, por lo tanto 2x2 sale como factor comn: 4ax3 - 2x2 = 2x2(2ax 1) Recordar y repasar: El trmino 2x2 es el Mximo Comn Divisor (MCD) de los dos trminos 9. 2. Factor comn polinomioResulta cuando el factor comn que aparece es un polinomio. Normalmente hay que hacer la agrupacin debida para obtenerlo.Ejemplo: Factorizar a(x + 3) + b(x + 3) Vemos como (x + 3) est multiplicando en ambos trminos [tanto a a como a b], por lo tanto (x + 3) sale como factor comn:a(x + 3) + b(x + 3) = (x + 3)(a + b) 10. Ejemplo: Factorizar:ax + bx + aw + bwAgrupamos (ax + bx) + (aw + bw) Sacamos factor comn en cada binomio: x(a + b) + w(a + b) Nos qued factor comn polinomio: (a + b)x(a + b) + w(a + b)Luego se divide :x a+b + w a+b = x+w a+bPor lo tanto: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w) 11. Ejemplo: Factorizar: 2a2 + 4a 8b 4ab Por observacin agrupamos: ( 2a2 4ab ) + ( 4a 8b ) En cada binomio hay factor comn: 2a(a 2b) + 4(a 2b) Resulta un factor comn polinomio: (a 2b) 2a(a 2b) + 4(a 2b)Luego se divide:2a a - 2b + 4 a - 2b =2a + 4 a - 2bPor lo tanto: 2a2 4ab + 4a 8a = (a 2b)(2a + 4) 12. 3. Factorizar un Binomio de la forma: xnyn.3.1 Factorizar la diferencia de dos cuadrados. Por multiplicacin se obtiene: (a + b)(a - b) = a2 - b2. Recprocamente, se puede escribir: a2 - b2 = (a + b)(a - b). Por lo tanto la diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus races cuadradas por su diferencia. Ejemplos: Factorizar las expresiones siguientes: 9x2 16y2 = (3x)2 - (4y)2 = (3x + 4y)(3x 4y) (7a + 3)2 - (5a - 4)2 = (7a + 3 + 5a - 4)(7a + 3 5a + 4) = (12a - 1)(2a + 7). 13. 3.2 Factorizar de la suma de dos cubos.Del producto notable: (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3, se deduce bilateralmente: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2).La suma de los cubos de dos trminos es igual a la suma de las races cbicas de esos trminos por el cuadrado imperfecto de la diferencia. Ejemplo. Factorizar:27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3 = (3x + 2y)(9x2 - 3x2y + 4y2) = (3x + 2y)(9x2 - 6xy + 4y2 14. 3.3 Factorizar de la diferencia de dos cubos.Similar que para la suma de dos cubos, del producto notable: (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3 se obtiene inversamente: a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2). La diferencia de los cubos de dos trminos es igual a la diferencia de las races cbicas de esos trminos por el cuadrado imperfecto de la suma.Ejemplo. Factorizar: 125a3 - b3c3 125a3 - b3c3 = (5a)2 - (bc)2= (5a - bc)(25a2 + 5abc +b2c2) = (5a - bc)(25a2 + 5abc + b2c2) 15. 4. Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio en el que dos de sus trminos son positivos y son cuadrados perfectos y el tercero corresponde al doble producto de las races cuadradas de los trminos positivos. Recuerda! Una cantidad es un cuadrado perfecto si corresponde al cuadrado de otra cantidad. Regla para factorizar un TCP: 1. Se ordena el trinomio por potencias descendentes de la letra principal. 2. Se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trminos del trinomio. 3. Se calcula el doble de la primera raz por la segunda y se compara con el trmino de la mitad del trinomio.Si el resultado es igual, los dos trminos del binomio se separan por el signo del segundo trmino y el binomio que se forma se eleva al cuadrado. 16. Ilustracin: Factorizar o descomponer en factores 17. Ejemplo : Factorizar:c 2 -10c + 25 Solucin: Veamos que esta expresin es un TCP: Se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trminos:c2 = c,25 = 5Ahora se multiplican estas dos races por dos: , dado que este resultado coincide con el segundo trmino, es posible afirmar que el trinomio es cuadrado perfecto, por lo tanto podemos factorizarlo tal y como lo propone la regla, as:c 2 -10c + 25 = c - 52 18. Ejemplo: Factorizar:x2 - 4x +16 4Solucin : Usando el procedimiento descrito anteriormente, se obtiene: 1. El trinomio est ordenado 2. Sacamos raz cuadrada del primer y tercer trmino:x2 x = 4 2 ,16 = 43. Calculamos el doble del primero por el segundo: 4. Por lo tanto hay trinomio cuadrado perfecto: x2 x - 4x +16 = - 4 4 22x 2 4 = 4x 2 19. 5. Trinomio Cuadrado Perfecto por Adicin y Sustraccin Un trinomio ordenado por potencias descendentes con relacin a una letra, corresponde a un TCP por adicin y sustraccin, si al sumarle un cuadrado perfecto al segundo trmino del trinomio, ste se convierte en un TCP, por lo cual nos sugiere que inicialmente se debe de verificar si el trinomio dado es cuadrado perfecto. Ilustremos lo anterior con un ejemplo: Ejercicio Identificar si sustraccin.x4x2y2y4corresponde a un TCP por adicin ySolucin Verifiquemos primero si el trinomio es cuadrado perfecto: x4x2 ,y4y2Luego lo que indica que al trinomio original le 2 x2 y2 2x2 y2 falta x 2 y 2 para completar el doble del primero por el segundo. Veamos cmo trabajar este tipo de trinomios: 20. Para factorizar x 4 x 2 y 2 seguir los siguientes pasos:x 2 y 2 y lo restamos (para que no varie la expresin original)Paso 1: Sumamosx4y 4 como TCP por adicin y sustraccin debemosx2y2y4- x2 y2 x2 y2 ----------------------------------Paso 2: Paso 3: Paso 4:x42x 2 y 2 x2y22y4 x2 y2x2y2Sumamos trmino a trmino El primer trinomio se factoriza como TCP La diferencia de cuadrados se factoriza y luego ordenamos 21. Otro ejemplo: Factorizar x 4 -16x 2 y 2 + 36y 4 Ya ordenado el trinomio, veamos primero si el trinomio es cuadrado perfecto:x4 = x2,36y 4 = 6y 2Ahora bien, el doble del primero por el segundo sera: Que no es igual al trmino de la mitad del trinomio inicial. 2 x 26y2 =12x2 y22 2 Pero tenemos -16x 2 y 2 lo que implica que sumndole y restndole 4x y podemos factorizar el trinomio, as:x 4 -16x 2 y 2 + 36y 4 Sumamos y restamos la misma cantidad- 4x 2 y 2 4x 2 y 2 ------------------------------------x 4 -12x 2 y 2 + 36y 4 - 4x 2 y 2Nos queda:x 2 - 6y 22-2xyx2 - 6y2 2xy x2 - 6y 2 2xy x2 2xy - 6y2x2 2xy - 6y2Factorizamos el TCP 2..Diferencia de cuadrados .Que ordenando nos queda: 22. 6. Trinomios de la formax 2 +bx +c 2Regla para factorizarlo: Ej.: x - 9x +18 1.Ordene el trinomio con los exponentes descendentes con relacin a una letra. Para el ejemplo, ya est ordenado para x.2. El trinomio se descompone en dos factores binomios. El signo que separa las cantidades del primer factor corresponde al signo del coeficiente del segundo trmino y el signo que separa las cantidades del segundo factor corresponde al producto de los signos de los coeficientes del segundo y del tercer trmino en el trinomio.x 2 - 9x +18--3. La primera cantidad de cada factor corresponde a la raz cuadrada del primer trmino (x) y las segundas cantidades son dos nmeros reales tales que su producto sea igual al tercer trmino (18) y su suma (9), si los signos que separan las cantidades en cada factor son iguales, o su resta, si los signos que separan las cantidades en cada factor son diferentes, sea igual al coeficiente del segundo trmino.x-x-dos nmeros que multiplicados den 18 y que sumados den 9x - 6 x -3 Este caso se ha llamado factorizacin por inspeccin o evaluacin. 23. ax 2 +bx + c 7. Trinomios de la forma:x 2 +bx +c ,es Observemos que la diferencia con respecto al trinomio de la forma que el primer trmino es un cuadrado perfecto en el que aparece la variable, multiplicado por un nmero real diferente de uno. Veamos el mtodo analtico de factorizar este tipo de trinomio resolviendo el siguiente ejercicio: Ejercicio Factorizar: 26a -11a +10 =6a2 -11a +106 6a2 -11a +10 636a2 -11a 6 + 60 = 6=6a +15 6a - 4 6=3 2a + 5 2 3a - 2 6= 2a+5 3a - 2Multiplicamos y dividimos todo el trinomio por 2 el coeficiente de x Observemos que el trinomio tom la forma x2 +bx +c por lo que procedemos a factorizarlo por simple inspeccin o evaluacin (dos nmeros que multiplicados entre si den 60 y restados 11: 15 y 4). Finalmente lo que se pretende es eliminar nuevamente el denominador con el producto de los factores com