INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL

INGENIERIA INDUSTRIAL S.A.

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 2 FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

FACILITADOR:

ING. CINTHIA GOMEZ TORRES

PRESENTA:

JALIL EDEL MARTINEZ NUÑEZ

SEGUNDO SEMESTRE

PERIODO ENERO - JUNIO 2014

2.1. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO. Técnicas de conteo. Cuando en un experimento, el número de resultados posibles es pequeño, es relativamente facil de listar y contar todos los posibles resultados. Por Ejemplo; Al tirar un dado, hay seis posibles resultados. Sin embargo, cuando hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar el conteo utilizaremos algunas técnicas, tales como: Las técnica de la adición, la de la multiplicación, además de la permutación, y la combinación.

Principio aditivo.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ….. y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de: M + N + ………+ W maneras o formas

Principio multiplicativo.

Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas Utilizando una fórmula: Número total de arreglos = m x n Esto puede ser extendido a más de 2 eventos, para 3 eventos, m, n, y o: Núm. total de arreglos = m x n x o Ejemplo: Un vendedor de autos desea mostrar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta, auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor? Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin). Número total de arreglos = 3 x 2 = 6

Notación Factorial.

Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n, al producto de todos los naturales desde 1 hasta n. Que de un modo resumido, se puede expresar como: Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. Por ejemplo, 5! = 5·4·3·2·1 = 120 Por definición el factorial de 0 es 1: 0!=1 Permutaciones.

La permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes? Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes:

T D C D T C C D T T C D D C T C T D Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:

n P r = n!_____ (n – r )!

Donde: nPr es el número de permutaciones posibles n es el número total de objetos r es el número de objetos utilizados en un mismo momento

n P r = ___n! = 3! = 3 x 2 = 6 (n – r )! ( 3 – 3 )! 1

Ejemplo: Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?

n P r = n! = 8! = 8! = 336 (n – r )! ( 8 – 3 )! 5!

En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Combinaciones.

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

La fórmula de combinaciones es:

n C r = n!____ r! (n – r )!

Diagrama de Árbol.

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r

pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a

cabo.

Ejemplos:

Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o

femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta

o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los

pacientes de este médico

2.2. CONCEPTO CLÁSICO Y COMO FRECUENCIA RELATIVA.

Definición Clásico. La probabilidad clásica: el enfoque clásico o a priori de la probabilidad se basa

en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles. Empleando

el punto de vista clásico, la probabilidad de que suceda un evento se calcula dividiendo el número

de resultados favorables, entre el número de resultados posibles.

La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de

eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que

componen el espacio muestral:

Como frecuencia relativa

Probabilística: se basa en las frecuencias relativas. La probabilidad de que un evento ocurra a

largo plazo se determina observando en que fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en

el pasado. La probabilidad de que un evento suceda se calcula por medio de:

P (E)= número de veces que el evento ocurrió en el pasado

Número total de observaciones

Definición Frecuencial. La definición frecuentista consiste en definir la probabilidad como el límite

cuando n tiende a infinito de la proporción o frecuencia relativa del suceso. Sea un experimento

aleatorio cuyo espacio muestral es E Sea A cualquier suceso perteneciente a E Si repetimos n

veces el experimento en las mismas Condiciones, la frecuencia relativa del suceso A será: Cuando

el número n de repeticiones se hace muy grande la frecuencia relativa converge hacia un valor que

llamaremos probabilidad del suceso A. Es imposible llegar a este límite, ya que no podemos repetir

el experimento un número infinito de veces, pero si podemos repetirlo muchas veces y observar

como las frecuencias relativas tienden a estabilizarse Esta definición frecuentista de la probabilidad

se llama también probabilidad a posteriori ya que sólo podemos dar la probabilidad de un suceso

después de repetir y observar un gran número de veces el experimento aleatorio correspondiente.

Algunos autores las llaman probabilidades teóricas.

Conceptos básicos

Probabilidad. Es el estudio de los fenómenos de los que no estamos seguros de su ocurrencia.

Fenómeno. Es la ocurrencia de un hecho o suceso.

Experimento. Es un fenómeno observable perfectamente definido.

Los fenómenos observables se pueden clasificar en:

Deterministicos. Se puede predecir el resultado. Aleatorios. No se puede predecir el resultado.

Espacio Muestral (Resultados). Es el conjunto de todos los posibles resultados que hay en un fenómeno aleatorio. El espacio muestral se clasifica en:

Espacio muestral Discreto. Es aquel donde se puede contar el número de posibles resultados.

Espacio muestral Continuo. No se puede enumerar los posibles resultados, debido a que, el espacio muestral continuo esta definido sobre la recta de los números reales.

Evento. Es un conjunto de resultados que tiene cierta característica común. Los eventos pueden ser:

Evento seguro. Es aquel que tiene todos los posibles resultados.

Evento imposible. Es aquel que no tiene un posible resultado.

Evento complementario. Es aquel evento que esta compuesto por los eventos que no están en este evento.

Eventos mutuamente excluyentes. Para que un evento sea mutuamente excluyente debe cumplirse que A"B=Ø.

Evento colectivamente exhaustivo. Un conjuntos de eventos E1, E2,...En son colectivamente exhaustivos cuando E1U E2.... UEn= S, donde S es el espacio muestral.

2.3. ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS.

El uso de conjuntos representados por diagramas de Venn, facilita la compresión de espacio muestral y evento, ya que el espacio muestral S, se puede equiparar con el conjunto universo, debido a que S contiene la totalidad de los resultados posibles de un experimento, mientras que los eventos E contienen solo un conjunto de resultados posibles del experimento, mientras que los puntos muestrales se equiparan con los elementos. Vamos a suponer que el experimento que se realiza es el lanzamiento de un dado y queremos conocer ¿cuál es la probabilidad de que caiga un 3 o un 5? Si S contiene la totalidad de los resultados posibles, entonces S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} puesto que el dado tiene 6 caras y si buscamos la probabilidad P de que caiga 3 o 5, esto constituye un evento entonces, E = {3, 5}, la representación gráfica queda de la siguiente manera:

El espacio muestral S, está representado por un rectángulo, este contiene eventos E representados a través de círculos y puntos muestrales. Dado que en E existen dos elementos y en S seis, la probabilidad P de que ocurra E es 2 de 6 y se obtiene al dividir el número de elementos en E sobre el número de elementos en S.

También se puede leer:

Se obtiene

como resultado:

2.4. AXIOMAS Y TEOREMAS.

2.4.1 Axiomas de Probabilidad

De acuerdo al Diccionario de la Lengua Española un axioma “es una proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración”, por tanto existen tres axiomas de probabilidad que se describen a continuación, partiendo del hecho de que S representa el espacio muestral, A representa cualquier evento y P la utilizaremos para llamar a la función de probabilidad, por consiguiente P(A) se denomina la probabilidad del evento A.

Axioma 1 Para cualquier evento A, se tiene que la probabilidad del evento A se encuentra entre 0 y 1.

0 ≤ P(A) ≥ 1

Axioma 2 Para el espacio muestral S, se tiene que la probabilidad es igual a 1.

P(S) = 1

Axioma 3 Para dos eventos mutuamente excluyentes A y B, se tiene que la probabilidad de la unión de estos eventos es igual a la suma de la probabilidad del evento A + la suma de la probabilidad del evento B.

P (A ᴗ B) = P(A) + P(B) Si se tiene una secuencia infinita de eventos mutuamente excluyentes A1,

A2, A3,…, An se tiene que:

P(A1 ᴗ A2 ᴗ A3 ᴗ,…, An) = P(A1)+ P(A2) + P(A3) +…+ P(A n) 2.4.2 Teoremas de Probabilidad

De acuerdo al Diccionario de la Lengua Española, “Teorema es una proposición demostrable lógicamente, partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados mediante reglas de inferencia aceptadas”

Teorema 1 La probabilidad del conjunto vacío ᶲ tiene probabilidad cero, esto también es conocido como evento imposible.

P (ᶲ) = 0

Teorema 2 A este teorema se le llama regla del complemento y se refiere a que la probabilidad del complemento del evento A es igual a 1 menos la probabilidad del evento A.

P (A’) = 1- P (A)

Teorema 3 Si la probabilidad del evento A está entre 0 y 1 inclusive, y la probabilidad de A’ se obtiene de restar 1 – P(A), se deduce que la suma de la probabilidad del evento A + la probabilidad del evento A’ es igual a:

1 = P(S) = P(A ᴗ A’) = P(A) + P(A')

Teorema 4 Si el evento A &B, entonces la probabilidad del evento A es menor

que la probabilidad del evento B

P (B) = P(A) = P(B -A) Teorema 5 Para dos eventos A y B, la probabilidad del evento A menos el evento B es igual a la probabilidad del evento A menos la probabilidad A intersección B.

P(A \ B) = P(A) P (A ∩ B)

Teorema 6 A este teorema se le conoce como regla de adición y se refiere a que para dos eventos A yGB, la probabilidad de la unión de los dos eventos es igual a la suma de la probabilidad del evento A mas la probabilidad el evento B menos la probabilidad A intersección B.

P(A ᴗ B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

2.5. PROBABILIDAD CLÁSICA: ESPACIO FINITO EQUIPARABLE

Un espacio muestral es finito cuando es posible contar sus puntos muestrales es decir, es un espacio contablemente finito y se convierte en espacio de probabilidad finito cuando a cada punto ai se le asigna una probabilidad pi; si la probabilidad es la misma para todos los puntos muestrales, entonces se dice que es un espacio finito equiprobable y debe satisfacer las siguientes propiedades:

pi debe ser mayor o igual a cero, es decir, pi ≥ 0 pi debe ser igual a 1, es decir, ∑pi = 1

Un dado tiene seis caras, por lo tanto, su espacio muestral está formado de la siguiente manera:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} si es tratado como un espacio finito equiprobable, tenemos que la probabilidad que caiga un 1, es la misma probabilidad de que caiga 2 o 3 o 4 o 5 o 6. p(1) = 1/6, p(2) = 1/6, p(3) = 1/6, p(4) = 1/6, p(5) = 1/6, p(6) = 1/6

Algunas veces, la asignación de las probabilidades a los puntos muestrales, se dan en forma de tabla como se muestra a continuación:

A esta tabla se le conoce como una distribución de probabilidad. Continuando con el ejemplo del dado, a continuación se presenta su distribución de probabilidad.

Obsérvese que se cumplen las dos propiedades de los espacios finitos de probabilidad:

pi debe ser mayor o igual a cero, es decir, pi ≥ 0 En este caso pi = 1/6, por lo tanto se cumple que, pi ≥ 0

pi debe ser igual a 1, es decir, ∑pi = 1

1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1, cumpliendo que; ∑pi = 1

2.6. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA.

2.6.1 Probabilidad Condicional A partir de un espacio muestral se pueden generar diferentes eventos por ejemplo, en el lanzamiento de un dado con S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} queremos conocer la probabilidad de que caiga un número par y la probabilidad de que caiga un número primo. Primero se construyen los eventos: A = {2, 4, 6} y B = {1, 2, 3, 5}, para poder obtener el resultado de P(A) y P(B); podemos utilizar la tabla de distribución de probabilidades.

P(A) = p(2) + p(4) +p(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

P(B) = p(1) + p(2) +p(3) + p(5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6= 4/6 = 2/3

También podemos auxiliarnos de los diagramas de Venn y hacer una representación

gráfica del S, A y B.

Obtenemos que:

Nótese que en diagrama se ve claramente que hay puntos muestrales que contienen tanto el evento A como el evento B, es decir, se da una intersección entre A y B.

Los elementos que se encuentran en la intersección pueden representar dos cosas:

o bien,

Obsérvese que en ambos casos, se condiciona a que ocurra un evento A, cuando haya ocurrido un evento E. En el primer caso se condiciona a que ocurra:

A = {números pares del 1 al 6} cuando haya ocurrido E = {números primos del 1 al 6} En el segundo caso se condiciona a que ocurra: A = {números primos del 1 al 6} cuando haya ocurrido E = {números pares del 1 al 6} A la probabilidad de que ocurra un evento A una vez que E ha ocurrido, se le conoce como probabilidad condicional de A dado E, se escribe P(A0E), y se define así:

por lo tanto:

Ejemplo: Se lanza un dado y se desea conocer cuál es la probabilidad de que caiga

un número par siempre y cuando sea primo.

Pero si se busca la probabilidad de que caiga un número primo siempre y cuando sea par:

2.7. TEOREMA DE BAYES

Recibe su nombre por el matemático inglés Thomas Bayes y se desarrolló a partir de la suposición de que los eventos A1, A2,…, An mutuamente excluyentes, forman una partición del espacio muestral S y son causas posibles del evento E, quien también está contenido en S. “La fórmula de Bayes nos permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un A particular, dada la ocurrencia de E”(Lipschutz. 2001, p. 92) y se define como:

Ejemplo: En una fábrica que produce escritorios, se trabajan 3 turnos, A, B y C, supongamos que en el turno A, se produce el 50% de todos los escritorios, y de ellos, el 3% salen con algún defecto. En el turno B, se producen el 30% de los escritorios y el resto, se producen en el turno C, el turno B obtiene un 4% de escritorios defectuosos mientras que el C el 5%. Se elige un escritorio al azar y se resulta

defectuoso, se desea conocer cual es la probabilidad de que haya sido fabricado en el turno A.

De acuerdo a la información proporcionada:

P(A) = 50% y P(D0A) = 3% P(B) = 30% y P(D0B) = 4% P(C) = 20% y P(D0C) = 5%

Utilizando el teorema de Bayes:

En el teorema, el divisor representa la probabilidad que se tiene de que un artículo salga defectuoso considerando la producción total por lo tanto:

P(D) = 0.037 = 3.7%

Conocer este dato, facilita el cálculo de la probabilidad de que el artículo defectuoso haya sido fabricado en el turno B.

2.8. DISTRIBUCIÓN MARGINAL CONJUNTA

Tengo dos variables aleatorias:

X=(1,2,1)

Y=(2,1,1)

¿Cómo se calcularían la distribución de probabilidad conjunta y la distribución de

probabilidad marginal?

Supongo que los dos conjuntos de valores

X=(1,2,1)

Y=(2,1,1)

Representen los resultados de tres mediciones de las dos variables X, Y, y que los

resultados vayan en pares, o sea:

X = 1 con Y = 2

X = 2 con Y = 1

X = 1 con Y = 1

Como cada par de mediciones aparece 1 vez entre 3, la probabilidad conjunta es 1/3 por

cada par (1, 2), (2, 1) y (1, 1), mientras el cuarto par posible, o sea (2, 2) tiene

probabilidad 0.

La distribucion conjunta es entonces

X\Y 1 2

----------------

1 | 1/3 1/3

2 | 1/3 0

Las distribuciones marginales son las distribuciones separadas de X e Y, y se obtienen de

la tabla conjunta sumando las probabilidades por lineas horizontales y verticales:

X P(X)

1 2/3

2 1/3

Y P(Y)

1 2/3

2 1/3

DISTRIBUCIÓN CONJUNTA DE FRECUENCIAS

Decimos que tenemos una distribución conjunta de frecuencias cuando consideramos

simultáneamente los valores alcanzados por un grupo de sujetos en dos variables X e Y.

Por ejemplo, supongamos que tenemos dos puntuaciones cuantitativas de un

grupo de 27 alumnos/as de educación de adultos, referidas a pruebas de velocidad

lectora (variable X) y comprensión lectora (variable Y):

X Y X Y X Y

92

88

85

84

89

83

85

84

86

8

6

5

6

8

5

6

5

6

91

93

89

83

92

94

91

92

90

9

8

7

6

7

10

8

9

7

90

86

88

87

87

94

85

86

90

8

7

7

5

6

8

6

5

9

Estas puntuaciones vienen expresados por los pares (92,8), (88,6), etc.

Pero también podríamos agruparlos en intervalos, por ejemplo de amplitud tres para los

valores de X y de amplitud dos para los valores de Y, como se expresa en la siguiente

tabla (tabla 1):

83 - 85 86 - 88 89 - 91 92 - 94

9 - 10 0 0 2 2

7 - 8 0 2 5 4

5 - 6 7 5 0 0

Tabla 1: Distribución conjunta de frecuencias para las variables X e Y

Para el caso en que se agrupen dos variables X e Y en r y s intervalos respectivamente,

denominaremos distribución conjunta de frecuencias al conjunto de todas las parejas de

intervalos, junto con sus frecuencias correspondientes.

A partir de la distribución conjunta de frecuencias las variables X e Y podemos definir las

frecuencias marginales de X e Y.

Llamamos distribución marginal de X a la distribución de

frecuencias de X con independencia de los valores de Y, es decir a

la distribución de frecuencias que presenta esta variable

considerada individualmente. Igualmente para la variable Y

(obsérvese en la tabla 2 los valores marginales de X e Y para el

ejemplo anterior).

83 - 85 86 - 88 89 - 91 92 - 94 Marg. Y

9 - 10 0 0 2 2 4

7 - 8 0 2 5 4 11

5 - 6 7 5 0 0 12

Marg. X 7 7 7 6

Tabla 1: Distribución conjunta de frecuencias y frecuencias marginales para las variables

X e Y

Para las distribuciones marginales de X e Y pueden calcularse las medias y

desviaciones típicas, que recibirán el nombre de desviaciones típicas marginales.