Probabilidad y Estadí stica I

1. Distribución de la Probabilidad

1.1. Variable aleatoria discreta

1.1.1. Definición

Se denomina variable aleatoria discreta aquella que sólo puede tomar un número

finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el número de componentes de

una manada de lobos, pude ser 4 ó 5 ó 6 individuos pero nunca 5,75 ó 5,87. Otros

ejemplos de variable discreta serían el número de pollos de gorrión que llegan a

volar del nido o el sexo de los componentes de un grupo familiar de babuinos (Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://es.wikiversity.org/wiki/Variable_aleatoria_discreta).

1.1.2. Recorrido o Rango

Se llama rango o recorrido de una variable aleatoria X y lo denotaremos RX, a la

imagen o rango de la función X, es decir, al conjunto de los valores reales que ésta

puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una variable

aleatoria es el recorrido de la función por la que ésta queda definida:

Ejemplo:

(Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria).

1.2. Distribuciones de probabilidad de variable aleatoria discreta

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable

aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la

probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida

sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de

la variable aleatoria.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de

distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea

menor o igual que x.

1.2.1. Propiedades

(Recuperada el 7 de enero de 2015 de http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad).

1.2.2. Distribución acumulada

(Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://www.monografias.com/trabajos81/distribuciones-de-probabilidad-

discreta/distribuciones-de-probabilidad-discreta2.shtml#funciondea).

1.2.3. Parámetros: Valor Esperado y Desviación Estándar

El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos

de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar o

perder con un juego determinado. Como a cada resultado particular del juego le

corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una función de

probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todos los resultados posibles

del juego estará representado por la distribución de probabilidad de la variable

aleatoria. El valor esperado o esperanza es muy importante, ya que es uno de los

parámetros que describen una variable aleatoria.

Variancia: Existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento

de la distribución de probabilidad, porque proporcionan una descripción completa

de la forma en que se comporta: la medida de tendencia central y la de dispersión.

La primera está representada por la media o valor esperado, ya vista en el punto

anterior, y la segunda por la variancia o por la desviación estándar, que evalúan la

dispersión de la distribución de probabilidad o grado en que se separan del

promedio los valores de la variable aleatoria X.

Por ejemplo, en un espacio muestral equiprobable vemos que los valores 5, 10 y 15

tienen una media de 10 y que los valores 9.9, 10 y 10.1 la media también es 10. Sin

embargo, advertimos que los dos conjuntos de valores difieren notablemente en la

dispersión de los valores respecto a su media y que tal dispersión es de gran

importancia. Por lo tanto, para tener un conocimiento claro y completo del

comportamiento de los valores que puede tomar la variable aleatoria, es

indispensable conocer tanto la media como la variancia o la desviación estándar de

la distribución de probabilidad.

La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos. La fórmula es fácil: es la

raíz cuadrada de la varianza.

La desviación estándar de x es la raíz cuadrada positiva de la varianza de x.

1.3. Distribución binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que

cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes

entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un

experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos

resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y

al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior

experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la

probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte,

de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de

parámetros n y p, se escribe:

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Función de probabilidad

Función de distribución de probabilidad

Ejemplos:

Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por

esta distribución:

Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de tres obtenidos: entonces

X ~ B(10, 1/6)

Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas:

entonces X ~ B(2, 1/2)

1.3.1. Experimento binomial

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada

uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del

resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de

cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y

fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos

los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).

Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en

los n experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución

de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).

Otro Definición

1.3.2. Variable aleatoria binomial

La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada

prueba del experimento. La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo

puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4,..., n suponiendo que se han realizado n

pruebas.

Ejemplo:

k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.

1.3.3. Parámetros

Media () = n * p

Varianza (2) = n * p * q = n * p * (1 – p)

Desviación típica () = √𝑛 ∗ 𝑝 ∗ 𝑞 = √𝑛 ∗ 𝑝 ∗ (1 − 𝑝)

1.3.4. Aplicaciones

1.4. Distribución normal

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o

distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua

que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto

de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss

y es el gráfico de una función gaussiana.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos

fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen

a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de

variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede

justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas

causas independientes.

De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno, sin explicación

alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de

la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.

La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por

mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de

la normal son:

Caracteres morfológicos de individuos como la estatura;

Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;

Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo

de individuos;

Caracteres psicológicos como el cociente intelectual;

Nivel de ruido en telecomunicaciones;

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes;

etc.

La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por

ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal,

cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.

Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con

media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución

subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La

distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están

basados en una supuesta "normalidad".

En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de

probabilidades continuas y discretas.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y

otra igual a 0.5 a la derecha. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

1.4.1. Modelo de probabilidades continuo

1.5. Distribución normal estándar

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y

para calcularla utilizaremos una tabla.

1.5.1. Área bajo la curva normal y manejo de tablas

1.5.2. Problemas de aplicación

Resultados de los ejercicios: