unidad 1. introduccion a la probabilidad

Probabilidad I Unidad 1. Introducción a la probabilidad

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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Probabilidad I

Unidad 1. Introducción a la

probabilidad



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Tabla de contenidos

UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD _______________________________________ 3

Propósito de la unidad ______________________________________________________________ 3

Competencia específica _____________________________________________________________ 4

Presentación de la unidad ___________________________________________________________ 3

1.1. Fundamentos _________________________________________________________________ 4

1.1.1. Importancia de la probabilidad _________________________________________________ 5

Actividad 1. ¿Por qué aprender probabilidad? ____________________________________ 6

1.1.2. Experimento aleatorio ________________________________________________________ 6

1.1.3. Eventos simples y compuestos ________________________________________________ 8

1.1.4. Espacio muestral ___________________________________________________________ 8

Actividad 2. Construye conceptos a través de ejemplos ______________________________ 10

1.1.5. Técnicas de conteo _________________________________________________________ 10

Actividad 3. Construye conceptos a través de ejemplos ______________________________ 17

Actividad 4. Espacio muestral de un experimento ___________________________________ 18

1.2. Enfoques para el cálculo de probabilidades _________________________________________ 18

1.2.1. Enfoque clásico ___________________________________________________________ 19

1.2.2. Enfoque de frecuencia relativa ________________________________________________ 20

1.2.3. Enfoque subjetivo __________________________________________________________ 20

1.3. Reglas básicas _______________________________________________________________ 21

1.3.1. Regla general para suma de eventos ___________________________________________ 21

1.3.2. Regla para suma de eventos excluyentes _______________________________________ 24

Actividad 5. Probabilidades de uno o más eventos _________________________________ 26

Evidencia de aprendizaje. Reflexión sobre el respeto a las reglas de tránsito __________________ 27

Fuentes de consulta _______________________________________________________________ 28



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UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

Presentación de la unidad

Uno de los objetivos del estudio de la ciencia es que el estudiante comprenda los fenómenos que ocurren a

su alrededor y poder predecir los efectos que de ellos se derivan. De lo anterior, nace la importancia del

estudio de la probabilidad. Para esto, es necesario que el estudiante aprenda hacer análisis cualitativo y

cuantitativo de situaciones que se le presentan, pero para su interpretación es necesario emplear

estrategias que surgen de la probabilidad.

De acuerdo con este planteamiento, la presente unidad ofrece elementos teóricos básicos sobre

experimentos aleatorios, eventos, técnicas de conteo, probabilidad de conteo, nociones clásica y

frecuencial de la probabilidad y las reglas básicas para calcular probabilidades, incluidos en las lecturas

complementarias y en los ejercicios, pero el hilo conductor son las actividades que, como estrategias de

enseñanza, permiten el logro de los aprendizajes a través de la práctica.

Propósito de la unidad

Al finalizar la unidad:

Identificarás los resultados posibles de un

experimento aleatorio utilizando la técnica básica de

conteo.

Obtendrás la probabilidad de un evento simple y de

dos o más eventos.



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Competencia específica

Identificar los principios básicos de la probabilidad

para obtener los resultados de un experimento

aleatorio por medio de las técnicas de conteo y las

reglas básicas.

1.1. Fundamentos

La matemática sirve para modelar situaciones que se presentan en la vida cotidiana o en otras áreas de la

ciencia, pero al tratar de modelar los fenómenos de la naturaleza o sociales, se han encontrado con que

hay situaciones que obedecen a un modelo determinista y otros que obedecen a un modelo aleatorio, por

ejemplo, es difícil representar el fenómeno de que una persona de bajos recursos y que pertenece a una

nación con problemas sociales tenga un accidente o no en el próximo año.

La probabilidad propone la forma de resolver estos conflictos que se presentan, la cual radica en calcular

una medida numérica que representa la posibilidad de que ocurra un evento de un fenómeno o

experimento aleatorio, el cual a través de observaciones o a recolección de datos puede determinar los

resultados donde la mayor parte de ellos son inciertos y dependen del azar.

Los resultados de un experimento forman un conjunto llamado espacio muestral que no es más que la

colección de todos los resultados posibles de un experimento.

Además, se hace uso de propiedades y técnicas donde habría que contar el número de veces que pueden

ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello, se utilizará el principio fundamental de conteo.

Por lo anterior, en este tema, se expone los conceptos básicos y que son considerados fundamentos del

estudio de la probabilidad, es decir, son necesarios para la comprensión y la aplicación del cálculo de



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probabilidades, las funciones de distribuciones y modelos probabilísticos que se presentarán en los

siguientes capítulos.

1.1.1. Importancia de la probabilidad

Sin duda alguna, todos nos hemos enfrentado a la incertidumbre. Tanto en la naturaleza como en nuestra

moderna sociedad, infinidad de fenómenos presentan diversos resultados y son impredecibles.

Por ejemplo, tenemos los fenómenos ambientales, como terremotos, tornados, huracanes, nevadas,

heladas, inundaciones, etc. Estos son parte de nuestra vida cotidiana; aunque, nadie puede determinar con

precisión cuándo van a ocurrir, lo que sí podemos hacer, tomando en cuenta los datos históricos, es

estimar qué tan posible es que sucedan.

En nuestra sociedad, la probabilidad es usada en la medicina, la biología, la agricultura, la economía, la

demografía, la meteorología, la política, etc. En sus inicios, la probabilidad jugó un papel muy importante en

el estudio de los juegos de azar y apuestas. También la probabilidad tiene un uso importante en la medición

de riesgos, como es el caso de las compañías de seguros de auto, vida y marítimos, entre otros. Por

ejemplo, para saber si un automovilista sufrirá un accidente, una compañía de seguros determinará y

evaluará la posibilidad de que suceda, determinará la pérdida económica para poder implementar una prima

de seguro que sea suficiente en caso de que suceda, además considerará tener un riesgo capital mínimo,

para que sea rentable y se pueda generar un negocio.



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Actividad 1. ¿Por qué aprender probabilidad?

Propósitos

Activar la reflexión sobre la importancia de la probabilidad.

Incrementar los conocimientos sobre los conceptos básicos de probabilidad con los integrantes del

grupo con el fin de llegar a acuerdos comunes y consensos colectivos.

Propiciar una situación comunicativa a través del debate y los acuerdos comunes.

Instrucciones

1. Lee el subtema1.1.1. Importancia de la probabilidad y luego analiza la importancia de estudiarla.

Puedes ampliar tu información con una búsqueda en Internet.

2. Posteriormente, reflexiona sobre tus hallazgos y participa en el foro respondiendo la pregunta ¿Por

qué debemos aprender probabilidad?

3. Define tu postura y replica al menos a uno de tus compañeros. (Todas las posturas son válidas,

siempre y cuando estén argumentadas).

4. Espera la retroalimentación por este mismo medio.

1.1.2. Experimento aleatorio

Definición: Experimento o fenómeno aleatorio es un experimento que puede dar lugar a varios

resultados sin que pueda ser previsible, antes de realizar el experimento, determinar con certeza cuál de

estos resultados va a ser observado.

Definición: Experimento no aleatorio (Determinista) es un experimento en el que se obtiene siempre el

mismo resultado. Ejemplo: Si lanzamos un objeto desde la misma altura y bajo las mismas condiciones

ambientales, ¿cuál será su velocidad? Correcto, siempre será la misma, y además la podemos calcular con

la siguiente expresión.



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Ejemplo 1. Un oficial de tránsito encargado de un crucero debe de entregar a sus superiores un reporte

diario del número de infracciones levantadas. El experimento consiste en observar en un turno de ocho

horas cuántas boletas de infracción entregó el oficial de tránsito.

a. ¿Es un experimento aleatorio?

b. ¿Hay distintos resultados posibles?

c. ¿Es posible prever el número de infracciones por turno?

Tus respuestas deben de ser a) sí b) sí y c) no. Por supuesto que es un experimento aleatorio.

Ejemplo 2. Un mayorista en artículos eléctricos, para tomar la decisión de adquirir un lote de 100 lámparas,

selecciona del lote, al azar, 10 de ellas y las prueba. Acepta el lote si hay al menos 9 en buen estado. (Es

decir si hay 9 o 10 en buen estado)



c. ¿Cuántos resultados puede haber?

d. ¿Es posible prever el número de lámparas en buen estado?

Tus respuestas deben de ser a) sí, b) sí, c) 11 y d) no. Por supuesto que es un experimento aleatorio.

Ejemplo 3. El próximo domingo juegan la final de un torneo los dos mejores equipos. Nos interesa el

resultado de esta final.



c. ¿Cuántos resultados puede haber?

Tus respuestas deben de ser a) sí, b) sí, y c) 2. Por supuesto que es un experimento aleatorio y uno tiene

que ganar y el otro perder; solo hay dos resultados posibles.



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1.1.3. Eventos simples y compuestos

Definición: Se llama evento simple o suceso aleatorio a la observación de un resultado en un experimento

aleatorio. Se llama evento compuesto a la observación simultánea de dos o más resultados en un

experimento aleatorio. Los eventos los denotaremos con letras mayúsculas como A, B, C, D, E,… que

denotan conjuntos. Si estos eventos o conjuntos contienen un solo elemento, se llaman eventos simples; si

contienen más de un elemento, se llaman eventos compuestos.

Ejemplo 1. Un salón de fiestas ofrece a sus clientes tres tipos de menú: Básico (1), Gala (2) y Ejecutivo (3),

de los cuales pueden elegir entre el “4T” (Ensalada, Sopa, Plato Fuerte y Postre) o el “3T” (Ensalada, Sopa

y Plato Fuerte).

Representemos el evento aleatorio “Los clientes prefieren el menú básico”.

A = {(1, 4T), (1,3T)} ¿Así que tenemos un evento simple o compuesto?

Si tu respuesta fue compuesto estás en lo correcto.

Ahora representemos algunos eventos simples.

a) El cliente prefiere el Básico de 3T B ={ ( , ) }

b) El cliente prefiere el Ejecutivo de 4T C ={ ( , ) }

Si tus respuestas fueron:

a) B = {(1, 3T)} y b) C = {(3, 4T)} es correcto.

1.1.4. Espacio muestral

Definición: Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles en un experimento

aleatorio. Al espacio muestral lo denotaremos con la letra S (de space, en inglés), cabe mencionar que

también se puede representar por la letra E o por la letra griega Ω y que la elección del símbolo a utilizar

depende del autor. En este contexto, utilizaremos el símbolo S para representar el espacio muestral.

Ejemplo 1. En el ejemplo del salón de fiestas, nuestro espacio muestral tendrá seis resultados posibles:

Representamos el espacio muestral



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S= {(1, 3T), (1,4T), (2, 3T), (2,4T) {(3, 3T), (3,4T)}

Podemos también usar un diagrama de árbol para representar S:

Menú Tipo #

1 Básico

3T

1

4T

2

2 Gala

3T

3

4T

4

3 Ejecutivo

3T

5

4T

6



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Actividad 2. Construye conceptos a través de ejemplos

Propósitos

Al finalizar la actividad, el alumno podrá:

Ejemplificar los conceptos básicos de la probabilidad.

Colaborar y sociabilizar y llegar a un consenso en su investigación.

Desarrollo

Los estudiantes construirán un Wiki de conceptos básicos de la probabilidad a través de ejemplos que

observen a su alrededor. Serán capaces de ejemplificar conceptos como experimento, suceso, evento, etc.,

de manera colaborativa con los demás integrantes del equipo.

Instrucciones

1. El maestro organizará equipos de 4 integrantes y les asignará a cada equipo algunos de los

conceptos siguientes: Experimento aleatorio, suceso, experimento determinista, evento simple,

evento compuesto y espacio muestral.

2. Observa a tu alrededor e identifica algún caso real que pueda ejemplificar los conceptos asignados.

3. Ponte de acuerdo con tu equipo y selecciona el o los ejemplos a exponer en el Wiki.

4. De acuerdo al equipo asignado y los conceptos solicitados por el maestro, podrás agregar o

modificar solo la parte que le tocó construir a tu equipo.

5. Por último, revisa cada una de las aportaciones de los demás equipos y, si deseas, podrás agregar

o modificar el contenido de los demás equipos.

1.1.5. Técnicas de conteo

Las técnicas de conteo pertenecen a una rama de las matemáticas llamada análisis combinatorio y son

expresiones matemáticas que facilitan el enumerar los resultados de un experimento aleatorio, sobre todo

cuando es difícil contar o representar con diagramas de árbol.

Para conocer la probabilidad de que suceda un evento, en donde se presenta en gran número de

resultados posibles y difíciles de contar, se convierte en casi imposible sin estas técnicas de conteo, ya que

con la utilización adecuada de estas técnicas, obtendremos el número total de posibles resultados,

suficiente para que podamos encontrar la probabilidad de que suceda un evento.



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Por lo tanto, en este tema estudiaremos las permutaciones y las combinaciones, que se consideran base

en el cálculo de probabilidades.

Permutaciones

Definición: Una permutación es un arreglo ordenado (es decir, el orden es importante)

de m elementos distintos seleccionados de un conjunto X = {x1, x2,...,xn}, el cual tiene n

elementos, en donde m n.

Ejemplo 1. En el Senado de la República se desea elegir una comisión de dos senadores para la

“Educación Superior”. Para tal fin se registraron tres senadores: Beltrones (B), García (G) y Zoreda (Z). La

comisión está integrada por un Presidente y un Secretario. ¿De cuántas formas puede integrarse la

comisión?

La respuesta es de seis formas, a saber: BG, BZ, GB, GZ, ZB y ZG Observa que BG no es igual a GB ya

que en el primero Beltrones preside y en el segundo es secretario.

Ejemplo 2. Considera el conjunto con las letras M = {m, o, r, a}. ¿Cuántas palabras distintas pueden

formarse con las cuatro letras? Dado que el orden es importante la m ocupa el primer lugar, la o el

segundo, la r el tercero y la a el cuarto. Si cambiamos las letras de lugar, cambiará el sentido de la palabra,

por ejemplo roma, ramo, rmao, armo, amor. ¿Cuántas palabras puedo formar? Nótese que rmao no tiene

significado, pero lo consideraremos como una palabra.

Si tu respuesta fue 24, es correcta. Vamos a representar las 24 permutaciones (Tabla 1):

Para el primer lugar tenemos cuatro posibilidades, al elegir una letra quedan tres posibilidades para el

segundo lugar, para el tercero dos posibilidades y una sola para el cuarto lugar.

Lugar 1 2 3 4

m

o r a

a r

r o a

a o

a r o



12

o r

o

m r a

a r

r a m

m a

a r m

m r

r

m o a

a o

o m a

a m

a m o

o m

a

m r o

o r

o r m

m r

r m o

o m

Tabla 1. Permutaciones de 4 letras.

Ejemplo 3. Considera el mismo conjunto con las letras M = {m, o, r, a}. ¿Cuántas palabras distintas

pueden formarse ahora con dos letras?

Usando el mismo razonamiento para el ejercicio anterior tendríamos 4 x 3 = 12

Para el primer lugar tenemos cuatro posibilidades, al elegir una letra quedan tres posibilidades para el

segundo lugar. Puedes observar en la tabla anterior los 12 resultados, en la primera y segunda columna.



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Expresión para el cálculo de permutaciones. Representamos por nPm el número de arreglos

ordenados de m elementos distintos seleccionados de un conjunto X el cual tiene n elementos.

nPm = n x (n – 1) x (n-2) x…x (n-m+1)

En el ejemplo 3, se observan cuatro elementos distintos en M, es decir, n = 4 y deseamos formar palabras

de 4 elementos, por lo que m = 4 entonces el número de permutaciones se calculará de la siguiente forma:

4P4 = 4 x (4 – 1) x (4-2) x…x (4-4+1)

4P4 = 4 x (3) x (2) x (1) = 24

Nota en el diagrama de árbol del ejemplo que para el primer lugar podemos asignar las cuatro letras, pero

para el segundo lugar solo podemos asignar tres letras debido a que ya hay una en el primer lugar y no se

permite repetir; de igual forma para el tercer lugar solo podemos asignar dos y para el cuarto una.

Notación factorial. Se define el factorial por la expresión n! y representa el siguiente producto:

n! = n x (n-1) x (n-2) x…x 1

Podemos representar la expresión para el cálculo de permutaciones usando notación factorial:

nPn = n!

, Para n>m

Ejemplo 4. Consideremos que se tiene cuatro placas informativas diferentes para cuatro macetas

disponibles ¿De cuántas formas diferentes se puede colocar las placas en las macetas?

Si tu respuesta fue 24, es correcta. Para este ejemplo, se tiene que n=4 placas y m=4 macetas,

sustituyendo se tiene

= , donde el factorial de (0)!=1

Por lo tanto



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= = =4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

De lo anterior observa que, cuando n=m, podemos aplicar directamente la fórmula nPn = n!, y utilizando

la notación factorial tenemos el resultado inmediato.

4P4= 4!=4 X 3 X 2 X 1 = 24

Ejemplo 5. Considera el mismo conjunto con las letras del ejemplo 3, M = {m, o, r, a}. ¿Cuántas palabras

distintas pueden formarse ahora con dos letras?

Utilizando nuevamente la fórmula y dado que n=4 y m=2 tenemos que

= = = = 12

Ejemplo 6. Supón que hay diez candidatos para los puestos de presidente, vicepresidente, secretario y

director de relaciones públicas. ¿De cuántas formas pueden llenarse estos cuatro puestos?

En este problema, n=10 y r=4. Obviamente hay 10 formas de ocupar el primer puesto. Una vez que esto se

ha hecho, quedan nueve candidatos; por lo tanto, hay nueve formas de ocupar el segundo puesto. De

manera semejante, hay ocho formas de ocupar el tercer puesto y siete formas de ocupar el último puesto.

Entonces, el número total de formas o permutaciones para ocupar las cuatro posiciones teniendo diez

candidatos es

10 X 9 X 8 X 7 = 5040

lo cual es el producto de cuatro factores.

La misma respuesta se obtiene si se utiliza la ecuación alterna.

10P4 = 10 ! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6! = 10 X 9 x 8 x 7 = 5040

(10-4)! 6!



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Combinaciones

Definición: Una combinación es un subconjunto de m elementos distintos seleccionados de un conjunto X

con n elementos. El número de distintas combinaciones o subconjuntos de m elementos que podemos

formar de un conjunto con n elementos lo denotaremos por Cm, n.

Dado un conjunto con n elementos distintos. X = {x1, x2,...xn} del cual nos interesa seleccionar m

elementos distintos (es decir, no los repetimos) en donde m n. Nota que no es importante el orden.

Ejemplo 1. En un proceso de producción se requiere seleccionar dos artículos de cuatro, en los que se

supone que hay dos defectuosos. ¿De cuántas formas podemos seleccionar dos artículos?

Denotemos los dos artículos buenos con las letras B1, B2 y los dos artículos defectuosos, con las letras D1,

D2. Así que el Conjunto X está representado por cuatro elementos X = {D1, D2., B1, B2 }; los posibles

subconjuntos están dados por:

{D1, D2.} { D1, B1 } {D1, B2.} {D2, B1 } {D2, B2.} { B1, B2 }

Observa que no importa el orden, es decir, el conjunto {D1, D2.} es el mismo que {D2, D1.}.

Ejemplo 2. Supón que diez personas son candidatas para la mesa directiva de cierto distrito escolar. Debe

de elegirse tres componentes para la mesa directiva. ¿De cuántas formas pueden seleccionarse tres

personas entre 10 candidatos?

Supón que las personas están denotadas por {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}. Para este ejemplo el orden en el

cual se selecciona a estas tres personas para la mesa directiva no se considera, por lo que se tiene las

siguientes combinaciones:

{A, B, C} {A, B, D} {A, B, E.} {A, B, F} {A, B, G.} {A, B, H} {A,B, I }

{A, B, J.} {A, C, D} {A, C, E.} … {G, H, I} {G, H, J.} {H, I, J}

El resultado final será 120 formas de combinar los elementos de los 10 candidatos.

Relación entre permutaciones y combinaciones. En el ejemplo 1 el número de subconjuntos de dos

elementos seleccionados de un conjunto con cuatro elementos fue:



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{D1, D2.} {D1, B1} {D1, B2.} {D2, B1} {D2, B2.} {B1, B2}

Sin embargo, si el orden fuera importante tendríamos:

{D1, D2.} {D1, B1} {D1, B2.} {D2, B1} {D2, B2.} {B1, B2}

{D2, D1.} {B1, D1} {B2, D1.} {B1, D2} {B2, D2.} {B2, B1}

Para calcular el número de permutaciones sustituimos en la fórmula n=4 y m=4

Obtenemos el valor de 4P2 = 12 permutaciones como observamos anteriormente.

Si deseamos calcular el número de combinaciones tendremos que quitar las que se repiten dividiendo este

resultado entre dos. (En el caso general entre m!)

Observa:

Por lo que el valor de 4C2 = 6 combinaciones como se mostró antes.

Ejemplo 3. Nuevamente considera el conjunto del ejemplo 2, utiliza la ecuación anterior para encontrar

cuántos subconjuntos podemos formar.

Sea n=5 y m=2, por lo que:

Ejemplo 4. Considera el mismo ejercicio del ejemplo 3. ¿De cuántas formas pueden seleccionarse tres

personas para la mesa directiva de entre 10 candidatos?



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Se tiene que n= 10 y m= 3, por lo que:

Observa que utilizando la ecuación anterior, será más fácil obtener el número de combinaciones.

Actividad 3. Construye conceptos a través de ejemplos

Propósitos


Reconocer dónde se puede aplicar la probabilidad.

Colaborar y sociabilizar para la obtención de ejemplos.

Desarrollo

Los estudiantes agregarán en el Wiki de la “Etapa1” ejemplos de casos reales donde se pueda aplicar la

probabilidad.

Instrucciones

1. Entra al Wiki y revisa los ejemplos de aplicaciones propuestas por tus compañeros, en caso de que

las haya.

2. De forma individual, investiga en alguna fuente de información dos casos reales (en las áreas de

economía y finanzas, ingeniería y las ciencias naturales) diferentes a los presentados por tus

compañeros en los que se pueda y se deba aplicar la probabilidad para prevenir un evento.

3. Agrega tus ejemplos al final del contenido actual del Wiki.



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Actividad 4. Espacio muestral de un experimento

Propósitos


Identificar el espacio muestral de un experimento.

Desarrollar habilidades para la obtención de espacio muestral.

Desarrollo

El estudiante analizará el experimento para obtener el espacio muestral.

Instrucciones

1) Encuentra y representa en forma gráfica el espacio muestral de los dos siguientes experimentos.

Experimento 1. Un fabricante de cámaras produce tres modelos diferentes (MOD1, MOD2, MOD3) y cuatro

accesorio distintos (ACCE1, ACCE2, ACCE3, ACC4). Cada accesorio puede utilizarse junto con cualquiera

de los tres modelos de cámara. Cada combinación accesorio constituye un punto muestral.

Experimento 2: Un investigador de mercado entrevista a una familia de cuatro personas, dos hijos

adolescentes y sus padres, para determinar si les agrada (A) o desagrada (D) un nuevo producto. Fórma

una secuencia con la respuesta del padre, la madre, el hijo mayor y el segundo hijo. Encuentra y

representa en forma gráfica el espacio muestral de este experimento.

2) Al terminar, crea un archivo Word con la respuesta de los dos experimentos y envíalo a la Sección de

tareas.

3) Espera los comentarios del Facilitador(a).

1.2. Enfoques para el cálculo de probabilidades

Hay tres enfoques para el cálculo o estimación de la probabilidad de que un evento suceda. Seleccionar

uno de los tres enfoques dependerá de la naturaleza del problema. A continuación te presentamos sus

planteamientos generales para que puedas identificar el enfoque que debes aplicar en un determinado

evento.



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1.2.1. Enfoque clásico

El enfoque clásico o "a priori" fue estudiado por Laplace, matemático y astrónomo francés a quien a los 24

años se le llamó "el Newton de Francia" por algunos de sus descubrimientos. Motivado por estimar

probabilidades en los juegos de azar, desarrolló para la teoría de probabilidades el enfoque clásico que se

emplea cuando los espacios muestrales son finitos y tienen resultados igualmente probables. Este enfoque

supone condiciones ideales en un experimento aleatorio y por lo tanto su uso es limitado, aunque nos

brinda bases sólidas para el cálculo de probabilidades. Este enfoque es un enfoque teórico y no requiere de

llevar a cabo el experimento para estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio.

Sin necesidad de realizar el experimento aleatorio se obtiene por razonamiento lógico el número de

resultados posibles de ese experimento y análogamente el número de resultados en que es posible se

obtenga el evento A.

A es un evento de un espacio muestral S

P(A) representa la probabilidad de que ocurra el evento

Ejemplo 1. Supongamos que se tiene una caja cerrada con 16 lápices, 3 rojos, 3 verdes, 4 amarillos y 6

rosas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz de color amarillo?

Sea el suceso A: Sacar un lápiz de color amarillo

Los casos favorables al evento A: 4

Casos posibles: 16

%2525.016

4

6433

4

AP

Por lo tanto la probabilidad de sacar un lápiz de color amarillo es del 25 %.

P(A)



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1.2.2. Enfoque de frecuencia relativa

El enfoque de la frecuencia relativa se basa en la experimentación, se le conoce también como enfoque “a

posteriori”. Éste supera las limitaciones del enfoque clásico, que se limita a situaciones en las que hay un

número finito de resultados igualmente probables. Este enfoque es empírico y no teórico. Requiere realizar

el experimento para estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio.

Se realiza n veces un experimento aleatorio y se observa la frecuencia de ocurrencia del evento A, se

define la probabilidad de A por:

P(A)

A es un evento de un espacio muestral S

P(A) representa la probabilidad de que ocurra el evento A

Ejemplo 1. Se lanza 1000 veces una moneda y da como resultado 529 caras, entonces la frecuencia

relativa de que salga una cara es

529.01000

529)(

n

AnAP

Si en otros 1000 lanzamientos resultan 493 caras, tenemos que la frecuencia relativa de los 2000

lanzamientos totales es de

511.02000

493529)(

n

AnAP

De acuerdo con la definición, si se continuara de esa manera, se acercaría cada vez más a un número que

representa la posibilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento de la moneda, es decir, a solo 0.5.

1.2.3. Enfoque subjetivo

En el enfoque subjetivo o intuitivo, en algunas situaciones, se presentan situaciones en las cuales no es

posible realizar experimentos repetitivos y los resultados tampoco son igualmente probables. A diferencia

de los dos enfoques anteriores que son objetivos y se sustentan en la teoría o en la experimentación, la



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probabilidad subjetiva tiene que ver con el criterio personal para medir la posibilidad de ocurrencia de un

evento aleatorio, que se hace con base en ciertos criterios o experiencias sobre casos semejantes.

Como se mencionó anteriormente, esta probabilidad no se basa ni en aspectos teóricos ni tampoco en la

experimentación. De hecho no es objeto de estudio de la teoría de probabilidad; sin embargo, es muy útil

en experimentos que no es posible repetir y en los que los posibles resultados no son equiprobables.

Ejemplo 1. Probabilidad de que hoy llueva.

Ejemplo 2. Probabilidad de que una persona se case este año.

1.3. Reglas básicas Contar es suficiente en muchos de los casos en donde se desea conocer la probabilidad de que suceda un

evento, pero, conforme el problema es más complejo, resultan necesarias varias reglas para auxiliar en la

determinación de probabilidades.

Por ejemplo, en ocasiones tendremos que analizar situaciones donde suceden simultáneamente eventos,

por lo que se necesita expresar y encontrar la probabilidad de que suceda un evento a raíz de la presencia

de varios eventos simultáneos; por lo tanto, en este tema se analizan algunas reglas básicas acerca de la

unión de dos o más eventos y la intersección de eventos que también serán base para el cálculo de

probabilidades.

1.3.1. Regla general para suma de eventos

Suponiendo que P(A) y P (B) representan las probabilidades para los dos eventos A y B, entonces la

probabilidad P(A U B) de que ocurran A o B, se obtiene por:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)

A B es el evento de que sucedan simultáneamente los eventos A y B, es decir, son eventos que no son

mutuamente excluyentes.

Ejemplo 1. Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el

práctico. Se sabe que la probabilidad de que un alumno apruebe la parte teórica es 0,68, la de que apruebe

la parte práctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno

al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe el examen para obtener licencia?

Sea A: aprobar la parte teórica, (P(A)=0,68)

Sea B: aprobar la parte práctica, (P (B)=0,72)



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Sea A B: aprobar la parte teórica y la parte práctica, (P (A B) = (?)

Sea AUB: aprobar la parte teórica o la parte práctica P(AUB)=0.82, es decir, en esta última basta con que

haya probado alguna de las dos partes.

Usando P(A U B) = P(A)+P(B)-P(A B), se despeja P(A B), ya que es el dato que se desea conocer, por lo

tanto tenemos

P(A B)=P(A)+P(B)-P(AUB)

Sustituyendo tenemos que

P(A B)=0,68+0,72-0,82=0,58= 58%

Por lo tanto, la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar pase el examen para obtener su licencia

es de 58%.

Ejemplo 2. En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estéreo, 175 dijeron tener una TV y

100 dijeron tener ambos. Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga solo un estéreo?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga solo una TV?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga alguno de los dos?

Se considera los siguientes conjuntos

Sea S: tener estéreo

Sea T: tener TV

Sea S : tener estéreo y TV

Para cada inciso se tiene:

a) P(S) = 320 /500 = .64. entonces 0.64 es la probabilidad de tener un estéreo.

b) P(T) = 175 /500 = .35. entonces 0.35 es la probabilidad de tener una TV.

c) Sea P(S ) = 100 /500 = .20. entonces 0.20 es la probabilidad de que tengan estéreo y TV.

Utilizando la fórmula se tiene:



23

P(S U T) = P(S) + P(T) - P(S ) = 0.64 + 0.35 - 0.20 = 0.79

Entonces, la probabilidad de que tengan TV o estéreo o ambos es de 0.79.

Ejemplo 3. Un estudio de 500 alumnos que toma uno o más cursos de álgebra, física y estadísticas,

durante un semestre reveló el siguiente número de alumnos en las materias indicadas:

Álgebra 329 Álgebra y Física 83

Física 186 Álgebra y Estadística 217

Estadística 295 Física y Estadística 63

¿Cuántos estudiantes cursan las tres materias?

Sea A: tomar clase de Álgebra, ((A)=329)

Sea B: tomar clase de Física, ((B)=186)

Sea C: tomar clase de Estadística, ((C) = 295)

Sea A∩B: tomar clases de Álgebra y Física ((A∩B)=83)

Sea A∩C: tomar clases de Álgebra y Estadística, ((A∩C)=217)

Sea B c: tomar clases de Física y Estadística, ((B∩C)=63)

Sea A∩B∩C: toma los tres cursos, ((A∩B∩C) =?)

Sea AUBUC: toma uno o más cursos ((AUBUC)= 500)

Para obtener el resultado se utilizará la siguiente fórmula:

P(A U B U C) = P(A) + P(B) +P (C) - P(A B) - P(A C) - P(B C)- P(A B C)

Despejando P(A B C) se obtendrá el número de estudiantes que cursan las tres materias

P(A B C)= P(A) + P (B) +P (C) - P(A B) - P(A C) - P(B C)+ P(A U B U C)

Sustituyendo



24

P(A B C)= 329 + 186 + 295 -83 -63 -217 - 500

Por lo que

P(A B C) =53 que es el número de alumnos que cursa álgebra, física y estadística.

Nótese que la probabilidad (empírica) de que un estudiante curse las tres materias es

53

500

1.3.2. Regla para suma de eventos excluyentes

Definición: Dos eventos o más son mutuamente excluyentes si no pueden suceder al mismo tiempo, como

los eventos los representamos con conjuntos, entonces:

A, B son excluyentes si y solo si A B = Ø.

En la fórmula 1.3.3.- 1 si A y B son conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes, o sea que no pueden

ocurrir en forma simultánea, la probabilidad de P(A B) = 0, entonces la probabilidad P(A U B) de que

ocurran A o B se obtiene por:

P(A U B) = P(A) + P(B)

Ejemplo 1. Sea S el evento de que asistas a una universidad estatal y P el evento de que asistas a una

universidad privada. Considera que no asistirás a ambas simultáneamente. Si la probabilidad de que

asistas a una universidad estatal es de 0.4 y a una universidad privada es de 0.25. ¿Cuál es la

probabilidad de que asistas ya sea a una universidad estatal o a una privada?

Tenemos que los eventos son excluyentes, es decir, solo asistirás al estatal o al privado, pero no a ambas,

apliquemos la siguiente fórmula

P(S U P) = P(S) + P(P)= 0.4 + 0.25 = 0.65

La probabilidad de que asistas a la estatal o privada es 0.65.

Ejemplo 2. Supón que se tiene una urna con 50 papeles de colores, los cuales son 15 rojos, 5 morados, 9

verdes, 11 naranjas y 10 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un papel rojo o un papel azul?

Sea los siguientes eventos.



25

A: sale un papel rojo

B: sale un papel azul

AUB: sale un papel rojo o azul

Entonces se tiene que

P(A)= 15 = 0.3

50

P (B) = 10 = 0.2

50

Utilizando la fórmula correspondiente tenemos que

P(A + B ) = P(A) + P(B) =0.3 + 0.2 = 0.5

Por lo que la probabilidad de sacar un papel rojo o azul es de 0.5

Ejemplo 3. Sea el evento A de sacar diez de calificación en la materia de probabilidad, B el evento de

sacar nueve y C el evento de sacar ocho. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un diez o un nueve o un ocho

en la materia?

Nota que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir que solo puede suceder uno de ellos, por lo

que tenemos

P(A)= 1 / 10, P(B) = 1 / 10 y P(C) = 1/10, y utilizando la fórmula se tiene

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1/10 + 1/ 10 + 1/10 = 0.3

Por lo tanto la probabilidad de sacar un 10 o un 8 o un 7 es de 0.3.



26

Actividad 5. Probabilidades de uno o más eventos

Propósitos


Analizar las reglas básicas del cálculo de probabilidades.

Desarrollar habilidades para la obtención de la probabilidad a través de suma de eventos.

Desarrollo

Los estudiantes encontrarán las probabilidades de que suceda un evento o más de un experimento

aleatorio.

Instrucciones

1) Encuentra las probabilidades del siguiente caso. Resuélvelo en tu libreta.

CASO: En la ciudad de Perote, en un mes, se realizó el siguiente estudio de las propiedades que los

novios pueden tener antes del matrimonio, las cuales se reportaron en la siguiente tabla:

Coche Casa

Novio 17 5

Novia 10 2

Encuentra las probabilidades de que, cuando se casen dos personas:

a) El novio tenga coche.

b) El novio tenga coche y casa.

c) La novia tenga casa y coche.

d) El novio tenga coche o casa.

e) El novio tenga casa y la novia coche.

2) Al terminar, copia el resultado de cada inciso en un archivo de Word y envíalo a la Sección de tareas.



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Evidencia de aprendizaje. Reflexión sobre el respeto a las reglas de tránsito

Propósitos


Identificar las probabilidades de que suceda un evento a fin de tomar una postura crítica ante los

principios probabilísticos a través de la utilización de las reglas básicas de la probabilidad.

Desarrollo:

Dado el caso de estudio sobre las reglas de tránsito, reflexiona cómo afecta en los resultados la falta de

cumplimiento de dichas reglas.

Procedimiento:

1) A continuación lee con cuidado lo siguiente:

Cuando circulas en automóvil o microbús por las calles de la ciudad, te has preguntado:

¿Qué pasaría si en un crucero conglomerado no funcionaran los semáforos?

Cuando un peatón atraviesa la calle y un automovilista le silva. ¿Por qué lo hace?

¿Cuántas personas se ponen el cinturón de seguridad?

¿Cuántos accidentes automovilísticos suceden en la ciudad?

¿Cuántas muertes o heridos hay en los accidentes?

Analiza lo aprendido en esta unidad y reflexiona si podrías contestar cada una de estas preguntas a través

de los principios y conceptos básicos de la probabilidad. Si tu respuesta fue afirmativa, ¿podrías ayudar al

sistema de tránsito de tu localidad a disminuir estos problemas?

2) Con base en las anotaciones del punto anterior, elabora un reporte en Word con tu “Reflexión” de no

más de una cuartilla sobre el estudio de este caso que incluya:

Breve introducción al caso.

Incluye de manera narrativa las respuestas dadas a las preguntas anteriores.



28

3) Concluye al final de tu reporte sobre la importancia de aplicar la probabilidad en estos eventos.

4) Envía el archivo a la Sección de tareas.


Fuentes de consulta

Anderson, David R. y Sweeney, Dennis J. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage

Learning Latin America.

Devore, Jay L. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. México: Thomson.

Evans, M. J. (2005). Probabilidad y estadística. Reverte.

Gamiz Casarrubias, Beatriz E. (2003). Probabilidad y estadística con prácticas en Excel. México: Just in

time Press.

Hayslett, H. T. Jr. (1987) Estadística simplificada. México: Grupo editorial Sayrols.

Johnson, R. y Kuby, P. (2006). Estadística elemental. México: Thomson Paraninfo.

Lincoln L. Chao. (2000). Introducción a la estadística. México: Compañía Editorial Continental.

Ruiz, Elena y Ruiz, Elvia. (2007). Probabilidad y estadística. México: McGraw-Hill Interamericana.

Spiegel, Murray R. y Stephens, Larry J. (2002). Estadística. México: McGraw-Hill.

Tripla, Mario F. (2006). Estadística elemental. México: Addison Wesley Longman.

Walpole, R., Myers, R. H. y Myers, Sharon. (2007). Probabilidad y estadística para ingenieros. Pearson

Education.

Fuentes cibergráficas

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unidad 1. introduccion a la probabilidad

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