130

UNIDAD 5

ESTIMACIN

5.1 DEFINCIN, CLASIFICACIN Y PROPIEDADE S DE LOS ESTIMADORS.

Estimacin de Parmetros.

En la prctica profesional a menudo resulta necesario inferir informacin acerca de una

poblacin mediante el uso de muestras extradas de ella; existen diversos motivos: econmicos,

de tiempo, tamao poblacional, etc.

Recordemos que en la unidad I utilizamos datos muestrales para calcular medidas

estadsticas (media, varianza, etc.); ahora en inferencia estadstica debemos diferenciar entre

clculos obtenidos a partir de una muestra con respecto a los obtenidos a partir de una

poblacin, es por ello que llamaremos parmetros poblacionales () a las estadsticas obtenidas

de una poblacin, y llamaremos estadsticos (E) a las obtenidas a partir de una muestra.

Una parte bsica de dicha inferencia consiste en estimar los valores de los parmetros

de la poblacin (media , varianza 2, etc.) a partir de las estadsticas correspondientes de la

muestra (media , varianza S2, etc) como se explica a continuacin.

Un estimador es una medida estadstica que especifica cmo utilizar los datos de la

muestra para estimar un parmetro desconocido de la poblacin.

Clasificacin:

Puntuales o de punto

Estimadores

Por intervalos de confianza

Si un estimador de un parmetro de la poblacin consiste en un slo valor de una

estadstica, se le conoce como estimador puntual del parmetro.

Propiedades de los estimadores de punto.

Cuando la media de la distribucin muestral de una estadstica es igual al parmetro

que se est estimando de la poblacin, entonces la estadstica se conoce como estimador

insesgado del parmetro; si no sucede as, entonces se denomina estimador sesgado. Ambos

estimadores son puntuales, y sus valores correspondientes se llaman estimaciones insesgadas

o sesgadas respectivamente. Dicho de otra manera, si E es una estadstica cuya distribucin

muestral tiene media E, y el parmetro correspondiente de la poblacin es , se dice que E es

un estimador insesgado de si

131

E =

Por ejemplo, si se cumple = , se dice que es un estimador insesgado de .

Por otra parte, si la estadstica E de la muestra tiende a ser igual al parmetro de la

poblacin a medida que se hace ms grande el tamao de la muestra, entonces la estadstica

recibe el nombre de estimador consistente del parmetro.

Empleando smbolos, si

nn

ELm

Resulta que la estadstica En es un estimador consistente.

Por ejemplo, el promedio aritmtico es un estimador insesgado y consistente de la

media, y la varianza de la muestra es un estimador sesgado y consistente de la varianza de la

poblacin.

Si varias estadsticas tienen distribuciones muestrales con la misma media, se dice que

la estadstica que cuenta con la menor varianza es un estimador eficiente de la media

poblacional, en tanto que las estadsticas restantes se conocen como estimadores ineficientes

del parmetro.

Por ejemplo, cuando las distribuciones muestrales del promedio aritmtico y de la

mediana cuentan con medias que son, en ambos casos, igual a la media de la poblacin. Sin

embargo, la variancia de la distribucin muestral del promedio aritmtico es menor que la de

la distribucin de la mediana, por lo que el promedio aritmtico obtenido de una muestra

aleatoria proporciona un estimador eficiente de la media de la poblacin, en tanto que la

mediana obtenida de la muestra proporciona un estimador ineficiente de dicho parmetro.

Es improbable que incluso el estimador insesgado ms eficaz estime con exactitud el

parmetro poblacional. Es cierto que nuestra precisin aumenta con muestras grandes; pero

no hay razn por la cual deberamos esperar que una estimacin puntual de una muestra dada

sea exactamente igual al parmetro poblacional que se supone estima. Hay muchas situaciones

en que es preferible determinar un intervalo dentro del cual esperaramos encontrar el valor

del parmetro. Tal intervalo se llama intervalo de confianza.

5.2 ESTIMACIN DE INTERVALOS DE CONFIANZA A PARTIR DE UNA MUESTRA.

Mediante la distribucin de muestreo de la medida estadstica usada se definen

intervalos de confianza, que comprenden con alta probabilidad el valor del parmetro

poblacional desconocido.

Sea E una estadstica obtenida de una muestra de tamao n para estimar el valor del

parmetro , y sea E la desviacin estndar (conocida o estimada) de su distribucin muestral.

La probabilidad, 1-, de que el valor de se localice en el intervalo de E-zcE a E+ zcE, donde zc

es una constante, se escribe en la forma

P [E-zc E E + zc E] = 1-

132

Si se fija el valor de 1-, se puede obtener el valor de zc necesario para que se satisfaga

la ecuacin anterior, con lo cual queda definido el intervalo de confianza del parmetro , (E-zc E, E+zc E), correspondiente al nivel de confianza 1-.

La constante zc que fija el intervalo de confianza se conoce como valor crtico o punto

crtico. Si la distribucin de E es normal, el valor de zc correspondiente a uno de se obtiene de

la tabla de reas bajo la curva normal o de la tabla siguiente:

VALORES DE zc PARA DISTINTOS NIVELES DE CONFIANZA

Nivel de confianza en porcentaje zc

99.73

99.00

98.00

96.00

95.45

95.00

90.00

80.00

68.27

50.00

3.00

2.58

2.33

2.05

2.00

1.96

1.64

1.28

1.00

0.674

5.2.1 Intervalos de confianza para la media, conocida

Estimacin de intervalos de confianza para la media poblacional, , cuando es conocida y poblacin distribuida normalmente, o conocida y el tamao de la muestra mayor de 30.

Los lmites de confianza para la media de una poblacin con variable aleatoria X

asociada estn dados por

x zc x

en donde zc depende del nivel de confianza deseado. Si x tiene distribucin normal, zc puede

obtenerse en forma directa de la tabla anterior. Por ejemplo, los lmites de confianza de 95 y 99

por ciento para estimar la media, , de la poblacin son 1.96 x y x 2.58 x ,

respectivamente. Al obtener estos lmites hay que usar el valor calculado de x para la muestra correspondiente.

Entonces, los lmites de confianza para la media de la poblacin quedan dados por

X zc n

en caso de que el muestro se haga a partir de una poblacin infinita o de que se efectu con

reemplazo a partir de una poblacin finita, o por

x

133

X zc n

1

p

p

N

nN

si el muestreo es sin reemplazo a partir de una poblacin finita de tamao Np.

Ejemplo

Las mediciones de los dimetros de una muestra aleatoria de 100 tubos de albaal

mostraron una media de 32 cm. Suponiendo una desviacin estndar poblacional es de 2 cm.

Obtnganse los lmites de confianza de

a) 95 por ciento

b) 97 por ciento

para el dimetro medio de todos los tubos.

Solucin:

a) De la tabla, los lmites de confianza del 95% son

Z

-1.96 1.96

x 1.96 n

32 1.96 (2/ 100 )

32 0.392 cm.

o sea 31.608 y 32.292, Esto significa que con una probabilidad de 95%, el valor de se

encuentra entre 31.608 y 32.392 cm.

392.32608.31

b) Si Z = zc es tal que el rea bajo la curva normal a la derecha de zc es el 1.5 % del rea total,

entonces el rea entre 0 y zc es 0.5-0.015 =0.485, por lo que de la tabla de rea bajo la curva

normal se obtiene zc = 2.17. Por lo tanto, los lmites de confianza del 97% son:

z

-2.17 2.17

134

x 2.17 n

32 2.17 (2/ 100 )

32 0.434 cm.

y el intervalo de confianza respectivo es (31.566 cm., 32.434 cm.)

o sea, 31.566 cm. < < 32.434 cm.

Ejemplo

Una muestra aleatoria de 50 calificaciones de cierto examen de admisin tiene un

promedio aritmtico de 72 puntos. Suponiendo desviacin estndar poblacional, = 10, y si el examen se aplic a 1018 personas, obtener

a) El intervalo de confianza del 95% para la media del total de calificaciones.

b) El tamao de muestra necesario para que el error en la estimacin de la media no

exceda de 2 puntos, considerando el mismo nivel de confianza.

c) El nivel de confianza para que el intervalo 72 1 puntos contenga a la media

poblacional.

Solucin

a) Los datos son los siguientes: x = 72, Zc = 1.96, = 10, Np = 1018 y n = 50, Como tenemos una poblacin finita, la frmula que se utilizar es la siguiente:

X zc n

1

p

p

N

nN

Sustituyendo:

72 1.96 50

10 )11018(

501018

72 1.96 (1.4142) (0.9755)

72 2.704

y el intervalo de confianza respectivo es:

69.296 < < 74.704

b. Puesto que el error en la estimacin de la media es para poblacin finita,

Error en la estimacin = 1

P

Pc

N

nN

nz

En este caso se tendra

21

P

Pc

N

nN

nz

135

o sea, para un nivel de confianza de 95%,

1.96 n

10

11018

1018

n 2

n

6.19

11018

1018

n 2

Elevando al cuadrado la desigualdad, queda

41017

101816.384

n

n

o sea

n 87.85

por lo cual, se requieren al menos 88 elementos en la muestra para que el error en la estimacin

no exceda de 2 puntos, para 1- = 0.95.

Lo anterior nos indica que si deseamos disminuir el error de estimacin debemos

aumentar el tamao de la muestra.

c) Los lmites de confianza son, en este caso

72 zc 50

10

11018

501018

72 zc (1.4142) (0.9755)

o sea

72 1.3795 zc

Puesto que se desea que el valor de la media sea 72 1 puntos, se verifica que

1= 1.3795 zc

es decir

zc = 3795.1

1= 0.725

El rea bajo la curva normal estndar entre 0 y zc = 0.725 es, por interpolacin lineal,

igual a 0.2657. Por lo tanto, el nivel de confianza es igual al doble del rea anterior, es decir,

2(0.2657) = 0.5314 (o 53.14%), tal como se muestra en la figura

f(z)

z 0.725

136

Se puede observar que si deseamos disminuir el error de estimacin sin aumentar el

tamao de la muestra, entonces el nivel de confianza disminuye, o sea, la probabilidad o

confianza de que el valor poblacional se encuentre en el intervalo disminuye.

Cuando la desviacin estndar poblacional sea desconocida y el tamao de la muestra

n 30, podemos usar estas mismas frmulas sustituyendo el valor de por la desviacin

estndar muestral, S, ya que es un estimador puntual consistente de . Sin embargo, hay que

considerar que el resultado obtenido es slo una aproximacin.

Ejemplo

Se seleccion una muestra aleatoria de 50 ingenieros de entre un gran nmero

empleado por una corporacin cuya lnea es la exploracin petrolera. Para cada ingeniero se

determinaron las horas trabajadas en una semana determinada. Estos datos tuvieron un

promedio de 46 y una desviacin estndar de 3 horas. Para esa semana determinada, estimar

las horas promedio trabajadas por todos los ingenieros de esa corporacin con un coeficiente

de confianza igual a 95%.

Datos:

= 50; =3 horas; = 46; 1- = 95%;

es desconocida

Sin embargo, es vlido utilizar la frmula con la distribucin normal x zc n

sustituyendo el valor de por s, la desviacin estndar muestral, ya que es un estimador

puntual consistente de , pues conforme aumenta el tamao de la muestra ms se aproxima s

al valor de . Como veremos ms adelante, cuando es desconocida y n 30 corresponde

seleccionar la distribucin t de Student, sin embargo, con la distribucin normal obtenemos un

resultado aproximado.

Solucin

El valor crtico para un nivel de confianza de 95% es como sigue

f(z)

z

-1.96 1.96

x zc n

46 1.963

50

137

46 0.8315

45.1685 < < 46.8315

5.2.2 Intervalo de confianza para la media poblacional, es desconocida

Intervalo de confianza para la media poblacional, , cuando es desconocida y la

poblacin distribuida normalmente, o desconocida y n 30.

Para estos casos se utilizar la distribucin t de student con 1 n grados de libertad.

El intervalo de confianza para con nivel de confianza 1- es como sigue:

1

n

Stx c

Ejemplo

Un da al azar se toma una muestra aleatoria de 10 varillas de la produccin de una

laminadora, al probarlas a la tensin hasta la ruptura se obtiene una resistencia media de 4800

kg./cm.2, con una desviacin estndar de 200 kg. /cm.2. Con un nivel de confianza del 95%,

estime la resistencia media de las varillas producidas el da que se tom la muestra. Considere

que la variable poblacional resistencia tiene distribucin normal.

Solucin.- n = 10 2/4800 cmkgx S = 200 kg. /cm.2 1- = 95%

Se desconoce la desviacin estndar poblacional, , y la poblacin est distribuida

normalmente, por lo que usaremos la distribucin t de student para estimar el promedio

poblacional, .

Se estima que la media de la poblacin queda comprendida entre los lmites

siguientes:

11

n

Stx

n

Stx cc

con = n-1 grados de libertad.

En este caso los valores de t para el 95% de nivel de confianza y 9 grados de libertad

son t = -2.26 y t = 2.26, en la siguiente figura se detalla esta situacin.

f(t)

t -2.26 2.26

Sustituyendo valores se tiene

138

110

20026.24800

110

20026.24800

6.49504.4649

5.2.3 Intervalo de confianza para la proporcin

Intervalo de confianza para la proporcin poblacional, P, en muestras grandes (n30).

La fraccin observada de xitos, o la proporcin de xitos en la muestra,n

x, es la que se usa

como estimacin de P y se representa mediante p .

El intervalo

n

ppzp c

1

es la representacin de un intervalo de confianza de muestra grande para P con coeficiente

confianza aproximadamente igual a 1-.

Ejemplo.

Una inspeccin cuidadosa de 70 soportes de concreto precolado que se ha de usar en

una construccin, revel que 28 estaban fisurados. Estimar la proporcin verdadera de

soportes de este tipo con fisuras, en un intervalo de confianza del 98%.

Solucin.- n = 70 x = 28 1- = 98% 4.070

28

n

xp

n

ppzp c

1

Sustituyendo: 70

6.04.033.24.0

1364.04.0 o sea 0.2635 < P < 0.5364

5.2.4 Intervalo de confianza para la varianza.

Si X1,..., Xn denotan una muestra aleatoria proveniente de una distribucin normal,

entonces

2

1

22

2

2

2 )1()1(

SnSn

es una representacin de un intervalo de confianza para 2 con nivel de confianza igual

a

1-. Se utiliza la distribucin Ji cuadrada con = n-1 grados de libertad.

139

Distribucin Ji cuadrada, 2

Ejemplo

Se ha observado durante 20 das que una lnea de ensamble de una fbrica, tiene una

desviacin estndar de 30 minutos al realizar el proceso de ensamble. Estime con un nivel de

confianza del 90% la desviacin estndar del proceso durante un ao.

Solucin.

n = 20, S = 30 minutos = n 1 = 20 -1 = 19

Se tiene que los lmites del intervalo de confianza para la varianza poblacional 2 est dado por

2

1

22

2

2

2 )1()1(

SnSn

Los valores crticos se obtienen en la tabla al entrar con el valor de y el rea correspondiente,

como se ve en la siguiente figura:

Sustituyendo 1.10

)30)(120(

1.30

)30)(120( 222

Entonces la varianza poblacional est comprendida entre los dos siguientes valores:

07.169310.568 2 y si lo que se desea estimar es la desviacin estndar, , entonces

90%

1-

1.145

11.071

f( )

f( )

5% 5% 90%

10.1 30.1

f( )

140

07.169310.568

o sea 23.83 < < 41.15

5.3 ESTIMACIN DE INTERVALO DE CONFIANZA A PARTIR DE DOS MUESTRAS

5.3.1 Intervalo de confianza para diferencia de medias, conocidas

Intervalo de confianza para diferencia de medias poblacionales, yx , cuando las

desviaciones estndar poblacionales, x

y y son conocidas y poblaciones distribuidas

normalmente, o, x

y y conocidas y tamaos de muestras mayores o iguales a 30.

Considerando que las muestras aleatorias seleccionadas son independientes, los lmites

de confianza para la diferencia de las medias cuando las poblaciones X y Y son infinitas, o

cuando el muestreo se realiza con reemplazo de poblaciones finitas, se encuentran dados por:

x- y zc yx

x- y zcY

Y

X

X

nn

22

en donde x , nx y y , ny son los respectivos promedios aritmticos y tamaos de las dos

muestras extradas de las poblaciones, y X y Y las desviaciones estndar de estas ltimas.

En el caso de que las poblaciones X y Y sean finitas y el muestreo sin reemplazo, los

limites de confianza son

x- y zc yx

yx zc11

22

Y

YY

Y

Y

X

XX

X

X

N

nN

nN

nN

n

en donde NX y NY son los tamaos de las poblaciones X y Y, respectivamente.

Ejemplo

Se toman muestras aleatorias de 100 varillas de acero que se fabrican en las compaas

A y B. De la muestra de la compaa A se obtiene un peso medio de 6.5 kg., asimismo, la muestra

de la compaa B indica un peso medio de 6.3 kg. Considerando que las desviaciones estndar

poblacionales de ambas compaas son A = 0.4 kg. y B = 0.3 kg. encontrar el intervalo de

confianza del 95.45% para la diferencia de las medias poblacionales.

Solucin

nA = nB = 100 5.6Ax A = 0.4 kg 3.6Bx B = 0.3 kg. %45.951

Los lmites de confianza para la diferencia de las medias son:

141

1.02.0

100

3.0

100

4.023.65.6

22

22

B

B

A

A

cBAnn

zxx

por lo tanto el intervalo de confianza respectivo es:

3.01.0 BA

Cuando las desviaciones estndar poblacionales sean desconocidas y los

tamaos de las muestras mayores o iguales a 30, podemos usar estas mismas frmulas

sustituyendo los valores de por las desviaciones estndar muestrales , ya que stas

son estimadores puntuales consistentes de . Sin embargo, hay que considerar que el

resultado obtenido es slo una aproximacin.

5.3.2 Intervalo de confianza para la diferencia de medias, desconocidas

Intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales, yx , cuando las

desviaciones estndar poblacionales son desconocidas y poblaciones distribuidas

normalmente, o, desviaciones estndar poblacionales desconocidas y muestras mayores o

iguales a 30. Considerando 22

2

1 .

Si 1x y 2x son las medias de muestras aleatorias independientes de tamao n1 y n2

respectivamente, de poblaciones aproximadamente normales con varianzas poblacionales

iguales pero desconocidas, 22

2

1 , un intervalo de confianza de 1- para 21 es:

21

2/2121

21

2/21

11)(

11)(

nnStxx

nnStxx pp

Donde Sp es la estimacin comn de la desviacin estndar poblacional y t/2 es el valor

t con 221 nn grados de libertad.

Una estimacin puntual de la variable comn desconocida 2 puede obtenerse

combinando las varianzas muestrales. Al representar el estimador de ambas con 2pS se escribe:

2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

SnSnS p

Por consiguiente 2pp SS

142

Ejemplo

Se deben eliminar gases cidos de otros gases de refinera en una instalacin de

productos qumicos para reducir al mnimo la corrosin de las plantas. Dos mtodos para

eliminar estos gases produjeron el ritmo de corrosin (mm./ao) que se representan a

continuacin:

Mtodo A: 0.3, 0.7, 0.5, 0.8, 0.9, 0.7, 0.8

Mtodo B: 0.7, 0.8, 0.7 0.6, 2.1, 0.6, 1.4, 2.3

Estimar la diferencia entre el ritmo promedio de corrosin para los dos mtodos, con

un coeficiente de confianza de 0.90. Qu hiptesis se deben hacer para que sea vlida la

respuesta?

Solucin.

6714.0Ax 0424.02 AS nA = 7 1- = 90% 10. y 05.2/

15.1Bx 4886.02 BS nB = 8

2827.0287

)4886.0)(18()0424.0)(17(

2

)1()1( 222

BA

BBAAp

nn

SnSnS

5316.02827.0 pS

El intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales BA est dado

por:

BA

pBABA

BA

pBAnn

Stxxnn

Stxx11

)(11

)( 2/2/

f(t)

t

-1.77 1.77

Al entrar a la tabla de distribucin t de student con 13287221 nn y 05.2/ tt

obtenemos 1.771 que es el valor crtico.

Sustituyendo tenemos:

8

1

7

1)5316.0(77.1)15.16714.0(

8

1

7

1)5316.0(771.1)15.16714.0( BA

143

4869784.04786.04869784.04786.0 BA

0083784.09656.0 BA

Como el lmite inferior tiene signo negativo y el lmite superior tiene signo positivo, el

cero est incluido dentro del intervalo. En estos casos se considera que no existe una diferencia

significativa entre los promedios de los dos mtodos.

Las hiptesis que deben hacerse para considerar vlida esta respuesta son:

Las variables aleatorias provienen de distribuciones normales independientes.

Las variables aleatorias tienen varianza comn, o sea 22

2

1 .

Intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales, yx , cuando las

desviaciones estndar poblacionales son desconocidas y poblaciones distribuidas

normalmente, o, desviaciones estndar poblacionales desconocidas y muestras mayores o

iguales a 30. Considerando 22

2

1 .

Si 1x y

2

1S , y 2x y 2

2S son las medias y las varianzas de muestras pequeas

independientes de tamao 1n y 2n respectivamente, de distribuciones aproximadamente

normales con varianzas diferentes y desconocidas, un intervalo de confianza de 1- para

21 est dado por:

2

2

2

1

2

12/21 )(

n

S

n

Stxx

donde 2/t es el valor t con,

11 2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

Grados de libertad.

Ejemplo

Puede tomarse un curso con crdito ya sea asistiendo a sesiones de clases en horas y

das fijos, o haciendo sesiones en lnea que el estudiante puede hacer a su propio paso y en los

tiempos que el estudiante escoja. El coordinador del curso desea determinar si estos dos das

de tomar el curso resultaron en una diferencia significativa en rendimiento medido por el

examen final para el curso. La siguiente informacin da las calificaciones en un examen con 45

puntos posibles para un grupo de nL= 9 estudiantes que tomaron el curso en lnea y un segundo

grupo de nC = 9 estudiantes que tomaron el curso de clases convencionales. Estos datos

presentan suficiente evidencia para indicar que existe diferencia significativa entre las

144

calificaciones para estudiantes que tomaron el curso en lnea y las de quienes asistieron a una

clase convencional? Calcular el intervalo con un nivel de confianza de 95%. Considere que la

variable calificaciones tiene distribucin normal y que 2

2.

Calificaciones En lnea Saln de

clase

32 35

37 31

35 29

28 25

41 34

44 40

35 27

31 32

34 31

Con los datos muestrales de la tabla anterior se calcularon los siguientes estadsticos:

En lnea Saln de clase

=35.22 = 31.56

2 = 24.44

2 = 20.03

Como las desviaciones estndar poblacionales son desconocidas y diferentes, asimismo,

la variable calificaciones tiene distribucin aproximadamente normal, entonces se utilizar la

distribucin t de Student con las siguientes frmulas:

2

2

2

1

2

12/21 )(

n

S

n

Stxx

11 2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

Sustituyendo: 84.15

8

9

03.20

8

9

44.24

9

03.20

9

44.24

22

2

Se toma la parte entera de este resultado, o sea, = 15

Con el valor de y con el rea en dos colas = 0.05 entramos a la tabla t de Student y

obtenemos el valor crtico 2.131

145

Sustituyendo para obtener el intervalo tenemos:

9

03.20

9

44.24131.2)56.3122.35(

3.66 4.7368

El intervalo de confianza queda como sigue

-1.076 < < 8.396

Como el cero est incluido en el intervalo podemos concluir que no existe diferencia

significativa entre el promedio de calificaciones del curso en lnea y el del saln de clase, con un

nivel de confianza de 95%.

5.3.3 Intervalo de confianza para diferencia de proporciones

Intervalo de confianza para diferencia de proporciones poblacionales 21 PP , con

muestras mayores o iguales a 30.

Considrese el problema en el cual se desea estimar la diferencia entre dos parmetros

binomiales 21 PP . Por ejemplo, se podra hacer que 1P representara la proporcin de

fumadores con problemas de cncer en los pulmones y 2P la proporcin de no fumadores con

el mismo padecimiento. La dificultad, entonces, consiste en estimar la diferencia entre estas dos

proporciones. Primero, se seleccionan muestras aleatorias independientes de tamao n1 y n2

de las dos poblaciones Bernoulli con parmetros 1 2, medias 11 pn y 22 pn , y varianzas

111 qpn y 222 qpn , respectivamente, entonces se determinan los nmeros 1x y 2x de personas

en cada muestra con cncer en los pulmones y se forman las proporciones muestrales 1

11

n

xp

y 2

22

n

xp . Un estimador puntual de la diferencia entre las dos proporciones,

21 pp , est

dado por el estadstico 21 pp . Por lo tanto, la diferencia entre las proporciones muestrales,

21 pp , se utilizar como estimacin puntual de 21 PP a la que se sumar y restar un error

de estimacin y as establecer el siguiente intervalo de confianza:

2

22

1

112/2121

2

22

1

112/21

)(

)(

n

qp

n

qpzpppp

n

qp

n

qpzpp

donde pq 1 .

Ejemplo

146

Se est considerando cambiar el procedimiento de manufactura de partes. Se toman

muestras tanto del procedimiento actual como del nuevo para determinar si este ltimo resulta

mejor. Si 75 de 1500 artculos del procedimiento actual presentaron defectos y lo mismo

sucedi con 80 de 2000 partes del nuevo procedimiento, determine un intervalo de confianza

del 90% para la diferencia real de las fracciones de partes defectuosas entre los dos procesos.

Solucin

Sean AP y NP las proporciones reales de partes defectuosas para los procedimientos

actual y nuevo, respectivamente. De aqu que 05.01500

75 Ap y 04.0

2000

80 Np , y la

estimacin puntual 01.004.005.0 NA pp

Al utilizar la tabla de la distribucin normal se encuentra que 645.105.2/ zz

Por lo tanto, al sustituir en la frmula, se obtiene el intervalo de confianza de 90%:

2000

)96.0)(04.0(

1500

)95.0)(05.0(645.1)04.005.0(

2000

)94.0)(06.0(

1500

)95.0)(05.0(645.1)04.005.0( 21 pp

el cual se simplifica a,

0217.00017.0 NA PP

Dado que el intervalo contiene el valor cero, no hay razn para creer que el nuevo

procedimiento ocasion una disminucin significativa en la proporcin de partes defectuosas

con respecto al mtodo actual.

EJERCICIOS

1. Cules son las caractersticas de un buen estimador puntual?

2. Consideras que la desviacin estndar muestral es un estimador consistente de la

desviacin estndar poblacional? Por qu?

3. Explique lo que significa margen de error en estimacin puntual.

4. En la siguiente grfica se presentan las distribuciones muestrales para dos estimadores

insesgados, una con una varianza pequea (A) y la otra con una varianza ms grande (B).

147

Verdadero valor

del parmetro

a) Cul de las dos distribuciones asegura que, con una alta probabilidad, una estimacin

puntual caer cerca del valor verdadero del parmetro?

b) Cmo se llama la caracterstica deseable en un estimador, que se describe en el

ejercicio anterior?

5. En determinados estudios de la calidad del agua es importante verificar la presencia o

ausencia de varios tipos de microorganismos. Supongamos que 30 muestras de 100

seleccionadas al azar muestran la presencia de un determinado microorganismo. Estimar la

probabilidad verdadera P de encontrar este microorganismo en una muestra de este mismo

volumen, con un intervalo de confianza de 90%.

6.- La agencia de proteccin ambiental ha reunido datos de mediciones de DL50 (dosis letal, es

decir, mata al 50% de los animales de prueba en un determinado intervalo de tiempo) para

determinadas sustancias qumicas que se encuentran probablemente en ros y lagos de agua

dulce. Para determinada especie de pescado, las mediciones de DL50 para el DDT en 12

experimentos dieron los siguientes resultados: 16, 5, 21, 19, 10, 5, 8, 2, 7, 2, 4, 9 (las mediciones

estn en partes por milln). Suponiendo que estas determinaciones de DL50 tienen una

distribucin aproximadamente normal, estimar la DL50 promedio real para el DDT con un

coeficiente de confianza igual a 90%.

7. En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la

variabilidad de los resultados que producen muestras estndar. En un estudio de la cantidad de

calcio en el agua potable, el cual se efecta como parte del control de calidad de un agua, se

analiz seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis

resultados, en partes por milln fueron 9.54, 9.61, 932, 9.48, 9.70, 9.26. Estimar la varianza de

los resultados de la poblacin para este estndar, usando un intervalo de confianza de 90%.

A

B

148

8. Al producir resistores, la variabilidad de las resistencias es una cantidad importante porque

refleja la estabilidad del proceso de manufactura. Estimar la varianza verdadera de las

mediciones de resistencia, en un intervalo de confianza de 90%, si una muestra de 15 resistores

present resistencias con una desviacin estndar igual a 0.5 ohms.

9. Un rea en la que los errores de ingeniera son crticos es la construccin de presas. Cun

grande se necesita que sea una muestra para estimar el porcentaje de presas que necesita

reparacin inmediata a no ms de un punto porcentual de error de estimacin con un nivel de

confianza de 90%?

10. Una cisterna abastece de agua a una zona urbana, recibe segn las observaciones diarias de

los ltimos 30 das una media de 100 m3/da, con una desviacin estndar de 12 m3/da.

Simultneamente se observ que el consumo de agua tiene una media de 90 m3/da, con una

desviacin estndar de 16 m3/da. Estime con un nivel de confianza del 99% la diferencia media

que existe entre el abasto y el consumo. Suponga 2 =

2 .

11.- Las obleas de silicio se almacenan y despus se parten en muchos microchips que se

montarn en los circuitos. Se comparan dos mtodos de ruptura. De 400 microchips partidos

con el mtodo A, ya no se pueden utilizar 32 debido a grietas. De 400 microchips partidos con

el mtodo B, slo 28 son intiles. Estimar la diferencia entre las proporciones de microchips

mal partidos con respecto a los dos mtodos de ruptura. Usar un coeficiente de confianza igual

a 0.95. Cul mtodo considera mejor?

12.- En un experimento que se rese en Popular Science en 1981, se comparaban las

economas de combustible para dos tipos de minivehculos diesel equipados en forma similar.

Se supone que se utilizaron 12 automviles Volkswagen y 10 Toyota en pruebas a velocidad fija

de 90 km/hr. Si para los doce Volkswagen se obtuvo un promedio de 16 km/litro con una

desviacin estndar de 1.0 km/litro y para los 10 Toyota aqul fue de 11 km/litro, con una

desviacin estndar de 1.8 km/litro, calcule un intervalo de confianza de 90% para la diferencia

entre los kilmetros promedio por litro de estos dos miniautomviles. Asuma que las distancias

por litro para cada modelo de vehculo se distribuyen aproximadamente en forma normal con

varianzas poblacionales iguales.

13. Se realiza un estudio de comparacin del tiempo total de impresin de diversas tareas, en

segundos, con dos marcas de impresora lser. Los datos siguientes corresponden a la impresin

de grficos.

149

Tarea Tiempo de la marca 1 Tiempo de la marca 2

1 21.8 36.5

2 22.6 35.2

3 21.0 36.2

4 19.7 34.0

5 21.9 36.4

6 21.6 36.1

7 22.5 37.5

8 23.1 38.0

9 22.2 36.3

10 20.1 35.9

11 21.4 35.7

12 20.5 34.9

13 22.7 37.1

14 20.5 34.2

15 21.3 35.4

a) Determine un intervalo de confianza de 95% para la diferencia promedio en los tiempos

de impresin.

b) Le sorprendera la afirmacin de que las dos impresoras son igualmente rpidas en la

impresin de grficos? Explique su respuesta.

Suponga que las variables poblacionales, tiempo de impresin, tienen distribucin aproximadamente normal y varianzas iguales.

14. Se midi el nmero de ciclos hasta el colapso de vigas de concreto armado, tanto en agua

de mar como en aire. Los resultados, en miles, fueron los siguientes:

Agua de mar: 774, 633, 477, 268, 407, 576, 659, 963, 193

Aire: 734, 571, 520, 792, 773, 276, 411, 500, 672

Estimar la diferencia entre los ciclos promedio antes del colapso en agua de mar y aire, usando

un coeficiente de confianza igual a 0.95. En el agua de mar, disminuye el nmero de ciclos antes

del colapso?

150

BILBIOGRAFA

1. Mendenhall/Beaver/Beaver, (2010). Introduccin a la Probabilidad y Estadstica, Dcimo

Tercera Edicin, Editorial Cengage Learning, Mxico.

2. Jay L. Devore, Probabilidad y Estadstica para Ingeniera y Ciencias, (2008). Sptima Edicin,

Editorial Cengage Learning, Mxico.

3. Irwin Miller, John E. Freund, (2008). Probabilidad y Estadstica para Ingenieros, Editorial

Revert S.A. de C.V., Espaa.

4. Triola Mario F., (2009). Estadstica, Dcima edicin, Editorial Pearson Addison Wesley,

Mxico.

5. Walpole/Myers/Myers/Ye, (2007). Probabilidad y Estadstica para Ingeniera y Ciencias,

Octava Edicin, Editorial Pearson Prentice Hall, Mxico.