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Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad Arturo Alvarado Segura (ITSY 2006)

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FUNDAMENTOS DEPROBABILIDAD

Unidad 2

OBJETIVO DE LA UNIDAD 2El estudiante aplicará los fundamentos de la teoría de la Probabilidad en el cálculo de probabilidades de diferentes tipos de sucesos.

TÉCNICAS DE CONTEO

TEMA


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TÉCNICAS DE CONTEO

Conteo

(Análisis combinatorio)

OBJETIVO DE APRENDIZAJE

Que el estudiante analice y resuelva problemas de conjuntos o muestras que involucren la necesidad de contar sus elementos de forma indirecta y eficiente.


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A. ¿Cuántos equipos de cinco alumnos pueden representar a nuestra Institución si

a) se quiere que éstos consten sólo de alumnos de Ingeniería Bioquímica?

b) se quiere que el presidente sea uno de Ingeniería Industrial?

c) se quiere que el presidente y el tesorero sean de Ingeniería en Sistemas Computacionales?

EJEMPLOS TÍPICOS DE CONTEO

Conteo


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EJEMPLOS TÍPICOS DE CONTEO

B. Imagine que Pancho lanza un par de dados y observa el número de puntos en las caras superiores. Encuentre el número posible de formas en que pueden caer los dados (obviamente que con relación a los puntos de sus caras superiores).

Conteo


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5Conteo


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Motivación al estudiante de ingeniería

a) Suponga que se encuentra al final de una línea de ensamble de computadoras. Un supervisor le pide contar las computadoras de un lote que se ha ensamblado hace unas horas y del que se desconoce su número. De inmediato usted empezará a contar una computadora tras otra y al final informará al supervisor el número de computadoras que haya encontrado en el lote.

Conteo


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Motivación al estudiante de ingeniería

b) Ahora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente pregunta: ¿Cuántos grupos de siete elementos es posible formar con las computadoras del lote?

Conteo


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Motivación al estudiante de ingeniería El primer planteamiento no representa alguna

dificultad para cuantificar las computadoras del lote. Sin embargo, al tratar de contar las posibles muestras de siete computadoras, se dará cuenta usted que no es tan directo. En casos como éste, es necesario hacer uso de las técnicas de conteo para cuantificar el evento en cuestión (en este caso el número posible de muestras de siete computadoras distintas).

Conteo


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Entonces…

¿Qué son las técnicas de conteo?

Conteo


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Las técnicas de conteo son…

Procedimientos algebraicos que se usan para conocer el número de los posibles resultados de un experimento, sin enumerarlos. Nos sirven para conocer el número de muestras (con ciertas características definidas de antemano) que podemos extraer de un conjunto, sin que tengamos que contarlas una por una.

Conteo


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LAS TÉCNICAS DE CONTEO JUEGAN UN PAPEL IMPORTANTE EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Conteo


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En las diapositivas posteriores presentamos los siguientes conceptos y técnicas:

Conteo


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k-tuple ordenado

Regla fundamental

de conteo

Permutaciones

Combinaciones

CO

NT

AN

DO

PU

NT

OS

Conteo


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k-tuple ordenado

Un conjunto ordenado de k objetos se denomina como k-tuple ordenado (o k-ada ordenada). Si representamos los k objetos por O1, O2, …, Ok, el k-tuple ordenado se representa por (O1, O2, …, Ok).

Donde Oj representa el objeto, u operación, asignado en el j-ésimo lugar y que puede escogerse entre 1 y nj alternativas.

Conteo


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¿Qué es un par ordenado?

Es un k-tuple ordenado que considera sólo dos objetos u operaciones.

Un par ordenado se representa por

(O1, O2).

Nota. Se entiende por par ordenado lo siguiente: Si O1 y O2

son objetos, entonces el par (O1, O2) es diferente del par

(O2, O1). Conteo


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Ejemplo de par ordenado

Imagine que un hombre selecciona una línea aérea para viajar de Mérida a Cancún y después (de darle un alivio a la pupila contemplando el mar) selecciona una segunda línea aérea para viajar a Miami.De Mérida a Cancún puede viajar por “Mexicana” o “Aeroméxico”; de Cancún a Miami puede viajar por “Mexicana”, “Aeroméxico” o “United Airlines”.

Continúa…

Conteo


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Continuación…

Este hombre viajero puede seleccionar sus dos líneas aéreas en una de las siguientes seis formas:

(M,M), (M, A), (M, U), (A, A), (A, M), (A, U)

Observe que, por ejemplo, (M, A) no es lo mismo que (A, M).

(M, A) significa que de Mérida a Cancún viaja por Mexicana y de Cancún a Miami por Aeroméxico; en cambio, (A, M) significa que primero viaja por Aeroméxio y de Cancún a Miami viaja por Mexicana.

Conteo


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Aplicando la notación

Usando la notación de k-tuple ordenado, en el ejemplo del viajero O1 es la línea aérea para viajar de Mérida a Cancún, O2 para hacerlo de Cancún a Miami, así que k=2. Asimismo, se tienen n1=2 opciones para O1 y n2=3 opciones para O2.

Lo que hemos revisado sobre k-tuples ordenados puede formalizarse con la regla fundamental de conteo.

Conteo


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Principio fundamental de conteo

Se desea realizar una actividad que consta de k operaciones. La primera operación puede ser llevada a cabo de n1 maneras; para cada una de éstas n1 formas de realizar la operación 1, la segunda operación puede realizarse de n2 formas; para cada una de las dos primeras, una tercera operación puede realizarse en n3 formas, y así sucesivamente. Entonces la secuencia de las k operaciones puede hacerse en

n1 x n2 x ..........x nk

formas.

Conteo


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La regla fundamental de conteo implica que cada La regla fundamental de conteo implica que cada uno de los pasos (operaciones) de la actividad uno de los pasos (operaciones) de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro; deben ser llevados a efecto, uno tras otro; además cada operación sólo puede ser realizada además cada operación sólo puede ser realizada en una forma, entre todas sus alternativas.en una forma, entre todas sus alternativas.

(No se admite que un hombre se vista poniéndose 2 camisas ó 2 (No se admite que un hombre se vista poniéndose 2 camisas ó 2 pares de calcetines en alguna ocasión, sólo puede ponerse un pares de calcetines en alguna ocasión, sólo puede ponerse un ejemplar de cada prenda a la vez)ejemplar de cada prenda a la vez)

Principio fundamental de conteo

Conteo


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Ejemplo 1 La regla fundamental de conteo

Imagine que la niña Mayra tiene 2 diademas, 5 blusas, 6 faldas y 3 pares de zapatos, ¿en cuántas formas diferentes puede vestirse usando una de cada una de las prendas mencionadas?

Solución:

En este caso n1=2, n2=5, n3=6 y n4=3. Así que la niña puede vestirse de 2 x 5 x 6 x 3 =_____ formas distintas.

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Ejemplo 2 La regla fundamental de conteo

Próculo, alumno de segundo semestre, desea anotar la fecha de cumpleaños de los primeros 10 estudiantes que entren a la biblioteca. Encuentre el número de formas en que el joven puede completar su listado.

Lea la solución en la siguiente diapositiva

Conteo


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Solución al ejemplo de Próculo

Si no existen años bisiestos, hay solamente 365 cumpleaños posibles. Podemos numerar los días del año 1, 2, 3, …, 365. Un posible resultado para este listado es una sucesión ordenada de 10 números, donde el primer número representa el número del día en el cual acontece el cumpleaños de la primera persona, el segundo número denota el número del día en el cual cae el cumpleaños de la segunda persona, y así sucesivamente. Queremos saber el número de 10-tuples que podemos formar. Es claro que la primera persona registrada puede cumplir años en cualquiera de los 365 días del año, sucede lo mismo con la segunda persona, y así con las otras 8. Aplicando la regla fundamental de conteo, tenemos que el listado puede completarse de

365 x 365 x … x 365 = 36510

formas distintas. Conteo


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Estudie, además de los que se revisaron en clase, los Ejemplos 1.13, 1.14 y 1.15 del libro de Walpole. Dibuje el diagrama de árbol para el Ejemplo 1.15

Ejemplifique el diagrama de árbol de forma esquemática, recortando y pegando en su libreta las figuras entregadas en la clase.

ACTIVIDAD PARA EL ESTUDIANTE

Conteo


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n! El símbolo n! se lee como “ene factorial” y

se define de la siguiente manera:

Si n es un número natural, entonces:

n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 2 x 1

Por definición, 0! = 1.Conteo


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Ejemplos de n!

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320

7! / 5! = 7 x 6 = 42

La operación n! es útil para el cálculo de permutaciones y combinaciones.

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Permutaciones

Una permutación es todo arreglo de elementos distintos donde nos interesa el orden que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Se definen en términos de muestras ordenadas sin reemplazo (o sea, de elementos no-repetidos) en el modelo de urna.

Conteo


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Cálculo del número de permutaciones

)!(

!

kn

nPkn

)1()2()1( knnnn

El número de permutaciones de n objetos distintos tomados de k en k, con k n, puede obtenerse mediante la siguiente fórmula:

O bien, con el uso del principio fundamental de conteo, haciendo el siguiente producto:

Conteo


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1)!(

)!( kn

kn

)!()1()1(! knknnnn

La operación 1 puede hacerse de n formas, la operación 2 de n -1 formas, la 3 de n-2 formas, así sucesivamente, y la k-ésima operación puede hacerse de n-k+1 formas. De ahí que, usando la regla de conteo, se obtenga:

Ahora bien, podemos ver que

y además

)1()1( knnn

¿De dónde sale la fórmula de nPk

Conteo


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¿De dónde sale la fórmula de nPk?

Continuación…

Usando las equivalencias anteriores podemos escribir:

Entonces tenemos que:

)!(

!

kn

nPkn

)!(

!

)!(

)!()1()1(

kn

n

kn

knknnnPkn

Conteo


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Combinaciones

Una combinación es todo arreglo de elementos en donde no importa la posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Se definen a partir de muestras desordenadas sin reemplazo, bajo el enfoque del modelo de urna.

El número de combinaciones de n objetos tomados k a la vez es el número de subconjuntos, cada uno de tamaño k, que se pueden formar con base en los n objetos.

Conteo


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Cálculo del número de combinaciones

)!(!

!

knk

n

k

nnotación

Ckn

El número de combinaciones de n objetos tomados k a la vez puede obtenerse a través de la siguiente fórmula:

Observe que el número de permutaciones de n objetos tomados de k en k, puede obtenerse si se multiplica nCk por k! Esto es cierto porque en cada combinación tenemos k! permutaciones.

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