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2.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

En la naturaleza suceden fenómenos que pueden ser descritos satisfactoriamente mediante modelos matemáticos determinísticos, llamados así porque una vez conocidas las condiciones bajo las que ocurren, es posible predecir el resultado. Por ejemplo, cuando se deja caer una piedra o se lanza y se conocen las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., se puede predecir dónde caerá o cuánto tiempo tardará en caer.

Existen en cambio otros fenómenos que no pueden ser representados mediante modelos matemáticos determinísticos porque el conocer las condiciones bajo las que ocurren no permite predecir el resultado, sino únicamente que el resultado es uno de entre una serie de resultados posibles. A estos fenómenos se les denomina fenómenos aleatorios y se llaman así porque es impredecible o al azar lo que ocurrirá cuando se presenta el fenómeno. Entre estos fenómenos se encuentran aquellos experimentos, llamados “experimentos aleatorios”, que bajo el mismo conjunto de condiciones iniciales, pueden presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia particular. Los siguientes son algunos ejemplos de fenómenos aleatorios que se presentan en diferentes ámbitos de la vida diaria:

En Economía: la tasa de inflación al concluir el presente año. En Educación: el número de alumnos de primer año de secundaria del estado, que

aprobarán su curso de matemáticas. En Medicina: el número de pacientes que resultarán curados cuando se les aplique un cierto

medicamento; la presión arterial de una persona en un momento determinado. En biología: el conteo por unidad de volumen del número de bacterias en el agua de un

cenote. En ingeniería: la carga que un puente puede soportar antes de desplomarse en un río. En producción: El número de artículos defectuosos en una línea de producción durante un

cierto período de tiempo.

Para estudiar y cuantificar el azar en el que se presentan los resultados de un fenómeno existe una aproximación denominada probabilidad y que coloquialmente se entiende como una medida de la confianza de que ocurra un resultado de un fenómeno o evento aleatorio. La probabilidad mide la incertidumbre a través de un modelo matemático cuyo objetivo es modelar la aleatoriedad; el resultado de la aplicación de este modelo es la asignación de un valor al resultado cuya incertidumbre se desea medir, este valor es denominado la probabilidad de ocurrencia de dicho resultado. En resumen, se puede decir que: La probabilidad es una rama de la ciencia que estudia técnicas matemáticas para medir la incertidumbre de la ocurrencia de eventos aleatorios. Actualmente se reconocen tres tipos de probabilidad:

1. La probabilidad clásica o a priori, 2. La probabilidad de frecuencias o a posteriori y 3. La probabilidad axiomática (se verá en el tema 2 de esta segunda sección).

1. Probabilidad clásica o a priori La denominación a priori se debe a que los cálculos de la probabilidad se realizan sin necesidad de llevar a cabo el experimento. Para entender mejor este concepto se desarrollan los siguientes ejemplos:

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1. Suponga que se desea hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda legal1 salga "águila"; como sólo hay dos maneras de que caiga una moneda, águila o sol, y puesto que la moneda es legal, se esperaría que sea tan frecuente el que salga águila como el que salga sol en un número grande de tiradas; entonces, al evento de que salga "águila" se le debe asignar el valor 1/2 e igualmente al evento de que salga “sol” se debe asignar también probabilidad de ocurrencia 1/2.

2. Si ahora se considera hallar la probabilidad de obtener el número dos al lanzar un dado, la

“regularidad” conduciría a que la probabilidad es 1/6 pues se considera que todos los resultados posibles del dado tienen la misma oportunidad de ocurrencia.

Partiendo entonces de que la “regularidad” proporciona la probabilidad asociada con cada uno de los posibles resultados experimentales, en la probabilidad clásica se asume que todos los resultados posibles en un experimento son igualmente probables y mutuamente excluyentes2; además concentra sus esfuerzos en desarrollar un sistema lógico para obtener probabilidades de grupos particulares de observaciones, por ejemplo, no es un problema trivial tratar de obtener la probabilidad de que al lanzar dos monedas ambas muestren la misma cara. El proceso queda expresado en forma completa en la siguiente definición. Definición. Si en un experimento aleatorio pueden resultar n observaciones mutuamente excluyentes e igualmente probables y si de esos resultados hay una cantidad nA con una propiedad particular A, entonces la probabilidad de que ocurran los resultados del experimento con la

propiedad A es la fracción

.

El siguiente ejemplo clarificará el proceso para calcular probabilidades en el ámbito de la probabilidad clásica. Ejemplo Se lanza un dado ordinario. Entonces, hay seis resultados posibles, estos seis resultados son mutuamente excluyentes pues si ocurre un resultado dado no puede ocurrir ningún otro. Como el dado es legal los seis resultados son igualmente probables, es decir, se espera que cada cara aparezca tan frecuentemente como cualquier otra al repetir el experimento un gran número de veces. Ahora, supóngase que se desea hallar la probabilidad de que el resultado del lanzamiento sea un número par. Tres de los seis resultados posibles tienen esta propiedad. Por lo tanto, la probabilidad de que salga un número par cuando se lanza un dado es 3/6, o 1/2. Similarmente la probabilidad de que salga el cinco es 1/6, y la probabilidad de que salga un número mayor que 2 es 2/3. Una definición como la dada en probabilidad clásica para calcular probabilidades tiene claramente sus limitaciones:

No es aplicable cuando la moneda no es legal (se desconoce qué lado de la moneda tiende a salir más)

No puede ser aplicada cuando el número de resultados posibles del experimento es infinito:

ejemplo, cuando el experimento consiste en lanzar una moneda hasta que salga águila.

No puede ser aplicada cuando los resultados posibles no son igualmente probables: ejemplo, se lanza una moneda dos veces, hay tres resultados posibles, dos águilas, dos soles o un águila y un sol; los diferentes resultados no son igualmente probables.

1 Una moneda es legal cuando no hay tendencia a caer más hacia alguna de las caras. 2 Mutuamente excluyentes quiere decir que si sucede un resultado no sucede otro.

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Ante esta situación se requiere alterar o extender la definición de modo que se pueda incluir dentro del marco de la teoría a este tipo de problemas. Esta extensión aplicable al concepto de probabilidad es la llamada probabilidad a posteriori, o frecuentista. 2. Probabilidad frecuentista o a posteriori Cuando en la probabilidad clásica se establece que la probabilidad de que al lanzar una moneda se obtenga "águila" es 1/2, se llega a ello mediante razonamientos puramente deductivos, y por tanto no se requiere que sea lanzada alguna moneda y ni aún que se tenga a la mano una moneda. En la probabilidad a posteriori es diferente. La probabilidad frecuentista usa el concepto de frecuencia relativa para cuantificar la incertidumbre. Para describir este concepto, considere un experimento que puede ser repetido un número grande de veces. La frecuencia relativa de un resultado particular del experimento en una sucesión de repeticiones de éste, es el porcentaje de veces en las que se obtuvo el resultado deseado

Ejemplo Los resultados de lanzar cinco veces una moneda fueron: águila, sol, sol, sol, águila, por lo que, la frecuencia relativa de águila es 2/5. Si los resultados hubiesen sido sol, águila, sol, águila, águila, entonces la frecuencia relativa de águila sería 3/5. La experiencia sugiere que conforme se incremente el número de repeticiones del experimento, la frecuencia relativa asociada con un resultado particular se aproxima a un valor. Por ejemplo, la frecuencia relativa de águila se aproxima a 1/2 conforme el número de lanzamientos de la moneda se incremente, suponiendo desde luego que la moneda sea legal. Este valor al que converge la frecuencia relativa es precisamente la probabilidad de que ocurra el resultado deseado. Pero la Probabilidad Frecuentista no calcula este valor como una probabilidad, en su lugar usa la frecuencia relativa obtenida de realizar el experimento un número grande de veces como un estimado de este valor. De este modo, aunque considera que la probabilidad de ocurrencia de un cierto resultado del experimento sea un número fijo, el estimado de dicha probabilidad puede cambiar de un conjunto de datos experimentales a otro como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo Se tiene una moneda, no necesariamente legal, y se pretende conocer la probabilidad de que al lanzarla salga águila. El procedimiento es, se lanza una moneda muchas veces, digamos 1000 veces, y se tabulan las frecuencias relativas obtenidas. De estas frecuencias relativas se obtendrá la probabilidad buscada. Por ejemplo si las tabulaciones son:

Resultado Frecuencia Frecuencia Relativa Águila (A)

Sol (S) Total 1000 1

La probabilidad de que salga águila es entonces la frecuencia relativa correspondiente, es decir,

. Si =550, la Probabilidad frecuentista concluye que un estimado para la probabilidad de que

salga águila es 0.55, mientras que la verdadera probabilidad permanece desconocida. Si ahora al experimentador le llega la información de que en otros 1000 lanzamientos de la moneda se observaron 510 águilas, el frecuentista concluye que mientras la probabilidad desconocida de que salga águila es la misma de antes, el estimado para esta probabilidad es ahora de 0.51. Aunque un proceso frecuentista para calcular probabilidades ya no tiene los problemas que presentaba la probabilidad clásica, en cambio, presenta otros:

¿Qué tan grande debe ser el número de repeticiones?

AN

46

Hay situaciones que legítimamente deben ser estudiadas bajo el enfoque de probabilidad

pero que no es posible analizarlos en el marco de experimentos repetibles, por ejemplo si se quiere responder a la pregunta ¿cuál es la probabilidad de que en el siguiente año un huracán impacte Yucatán?

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2.2 PROBABILIDAD AXIOMÁTICA

Ya que los otros tipos de probabilidad tienen respectivamente sus limitaciones, es preciso dar una definición más general y rigurosa de la probabilidad de un evento. Se desea una definición de probabilidad suficientemente rica para incluir la probabilidad a priori y que además permita estudiar problemas que no quedan en el marco de la repetibilidad como es el caso de la probabilidad a posteriori, ésta es denominada como Probabilidad Axiomática.

Antes de dar la definición formal de una función de probabilidad bajo este tipo de probabilidad se definirán los conceptos que están involucrados al realizar un experimento aleatorio sobre el cual es el interés de dar una medida de probabilidad.

Definición. El Espacio Muestral de un experimento es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, que denotaremos por S.

Ejemplo Considérese el experimento de lanzar una moneda dos veces, entonces el espacio muestral es S = {aa, as, sa, ss} donde las letras a y s representan los resultados águila y sol, respectivamente en los lanzamientos. Ejemplo Los enfermos que acuden a una clínica pueden elegir una de las tres secciones para ser atendidos. Suponga que los médicos son asignados aleatoriamente a tales secciones y que por esto los pacientes no presentan preferencia alguna con respecto a la sección que eligen. Tres pacientes acuden a la clínica y se observan las secciones que eligieron. Determine el espacio muestral que genera el experimento. Solución Suponga que los pacientes llegan en un orden y que las secciones son 1, 2 y 3. Si se denota por (x, y, z) al evento simple que indica que el paciente 1 seleccionó la sección x, que el paciente 2 seleccionó sección y y que el paciente 3 seleccionó sección z, entonces el espacio muestral es

S = { (1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), (1,2,1), (1,2,2), (1,2,3), (1,3,1), (1,3,2) , (1,3,3), (2,1,1), (2,1,2), (2,1,3), (3,1,1), (3,1,2), (3,1,3), (2,2,1), (2,2,2), (2,2,3), (3,2,1), (3,2,2), (3,2,3), (2,3,1), (2,3,2), (2,3,3), (3,3,1), (3,3,2) (3,3,3) }. Definición. Un evento es un subconjunto del espacio muestral S o bien un conjunto de resultados posibles del experimento. Un evento simple es un evento que sólo tiene un elemento del espacio muestral. En otras palabras, un evento es la unión de eventos simples. Además, el espacio muestral es el conjunto formado por todos los eventos simples del experimento. Ejemplo Considere de nuevo el experimento de lanzar una moneda dos veces, entonces un evento E puede ser que caiga al menos un águila, es decir, E = {as, sa, aa} el cual está formado por varios eventos simples que son {as}, {sa} y {aa}. Ejemplo En el ejemplo de las tres personas que seleccionan la sección para ser atendidas, un evento F puede ser que la primera persona seleccione la sección 3, es decir,

F = {(3,1,1), (3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2), (3,3,3)}

que está formado por los eventos simples de la forma (3, y, z) donde y y z representan las secciones seleccionadas por las personas 2 y 3, respectivamente.

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Observación. El espacio muestral S es un evento denominado el evento seguro. El conjunto que no contiene a ningún elemento del espacio muestral es denominado como evento imposible y es denotado por . Un experimento aleatorio puede dar lugar a dos tipos de espacios muestrales según la cantidad de elementos que componen dicho espacio, éstos son:

o Espacio muestral discreto: Un espacio muestral S se dice que es discreto si contiene un conjunto finito de puntos o bien un número infinito, pero numerable es decir, los puntos muestrales pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales.

o Espacio muestral continuo: Un espacio muestral S es denominado espacio muestral

continuo, si contiene puntos continuos, o bien el espacio muestral está formado por un intervalo de números reales.

A continuación se mencionan ejemplos de los tipos de espacios muestrales:

1. El sexo de los tres hijos que una pareja desea tener, origina el espacio muestral discreto S = {mmm, mmh, mhm, hmm, mhh, hmh, hhm, hhh}. Es claro que S también es finito.

2. El lanzamiento de una moneda hasta que se obtenga un águila, esto es que el águila se obtenga en el lanzamiento 1 o que se obtenga en el lanzamiento 2 y así sucesivamente, da origen el espacio muestral discreto infinito numerable

S = {a, sa, ssa, sssa, ssssa,…}

3. Se fabrica una bombilla y se prueba su duración poniéndola en un portalámparas. Se anota

el tiempo transcurrido hasta que se quema. El espacio muestral es infinito no numerable pues S es igual al intervalo [0,).

Dado el espacio muestral que resulte de un experimento aleatorio, es común el interés de obtener la probabilidad de cualquier evento, es decir, de cualquier subconjunto del espacio muestral, es por esto que el conjunto de todos los subconjuntos del espacio muestral juega un papel importante en la probabilidad. Se formaliza este concepto en la siguiente definición. Definición. El Conjunto potencia es el conjunto formado por todos los subconjuntos (o eventos) que se puedan formar del espacio muestral (incluyendo S mismo y ). El conjunto potencia es denotado por 2S. Ejemplo Considere el experimento de lanzar una moneda y observar el resultado obtenido. Se sabe que el espacio muestral es S = {a, s}, así el conjunto potencia de este espacio muestral es el conjunto formado por todos los subconjuntos de S, es decir, 2S = {{a}, {s}, {a, s}, }. Ejemplo En una urna hay una bola roja, una bola negra y una bola blanca. Se extrae al azar una bola. El espacio muestral es S= {r, n, b} donde r, n y b significan que la bola extraída es roja, negra o blanca, respectivamente. El conjunto potencia es 2S = {{r}, {n}, {b}, {r, n}, {r, b}, {b, n}, {r, n, b}, }. Obsérvese que se tienen 23=8 elementos en el conjunto potencia.

Lo deseable es que a todos los subconjuntos de un espacio muestral se les asigne una probabilidad de ocurrencia, para esto, es indispensable precisar ciertas leyes o axiomas que deba cumplir una función de probabilidad. Intuitivamente estos axiomas deberían implicar, entre otras, las siguientes cuestiones, que parecen lógicas en términos de lo que se puede esperar de la probabilidad:

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La probabilidad sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1 (es equivalente a decir entre 0% y 100%). No puede haber eventos cuya probabilidad de ocurrir sea del 150% y tampoco el -5%, pues la probabilidad es una medida de ocurrencia, no podemos decir, hay una seguridad de un 150% de que va a ocurrir un determinado evento.

Si el evento consta de todos los resultados de un experimento entonces el evento es seguro, por lo cual su probabilidad debe ser uno.

La probabilidad de un evento en el experimento que no puede suceder, debe ser cero. Si es posible calcular la probabilidad de un evento del experimento, entonces puede

también calcular la probabilidad de no ocurrencia de ese evento.

Así como las anteriores pueden desearse otras propiedades que debe de cumplir una función de probabilidad. Pero algunas de ellas son redundantes puesto que son deducidas teóricamente de otras. Con la definición axiomática de la probabilidad se pretende dar el menor número posible de reglas, las cuales se deban de cumplir y las otras sean consecuencia de las que sean establecidas dentro de la definición.

Definición. Sea s∈S uno de los posibles resultados de un experimento. Se dice que un evento A ocurre si s∈A. Ejemplo En el experimento de lanzar un dado, se sabe que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Considérese el evento A: el número obtenido es par, es decir, A = {2, 4, 6}. Si al lanzar el dado se obtiene el número 4, entonces el evento A ocurrió ya que ∈ . Definición.

a) Un evento A ocurre si y sólo si AC no ocurre. b) El evento ocurre si y sólo si ocurre A o bien ocurre B (o ambos). c) El evento ocurre si y sólo si ocurren A y B al mismo tiempo.

Ejemplo Considérese de nuevo el experimento de lanzar un dado y defínanse los eventos E: el número obtenido es par y F: El número obtenido es primo. Entonces E = {2, 4, 6} y F = {2, 3, 5}. Luego:

1. Si el número obtenido es 4, el evento E ocurrió, pero el evento EC={1, 3, 5} definido por “el número obtenido no es par”, no ocurrió.

2. Si el número obtenido es 5, entonces el evento ={2, 3, 4, 5, 6} ocurrió y es claro que también el evento F ocurrió.

3. Si el número obtenido es 2, entonces los eventos E, F y = {2} ocurrieron. Definición. Dos eventos A y B son ajenos ó mutuamente excluyentes si . Ejemplo En el experimento de lanzar una moneda, los eventos D: El número obtenido es 5 y E: el número obtenido es par son ajenos porque la intersección es vacía; en cambio, los eventos E y F: El número obtenido es primo no son ajenos porque = {2}.

A continuación se presenta la definición de una función de probabilidad.

Definición. Dado un espacio muestral S se dice que P es una función de probabilidad si satisface las siguientes condiciones:

1. para todo evento . 2. 3. Si son eventos tales que cualquier par de ellos son ajenos entonces

El siguiente ejemplo ilustra la propiedad 3 de la definición de función de probabilidad.

BABA

EÈF

EÇF

EÇF

50

Ejemplo Se lanza una moneda y un dado. Defínanse los eventos:

A1: Se obtiene águila y un número menor o igual a tres. A2: Se obtiene sol y un número impar. A3: Se obtiene el número seis.

El espacio muestral está dado por donde significa por ejemplo que en la moneda se obtuvo águila y en el dado el número 3. Si se escriben explícitamente los eventos se tiene que:

Nótese que , y lo que indica que los eventos de cualquier par son ajenos. Por un lado de tiene que y por lo tanto 3=812=23.

Por otro lado

. Por lo que la propiedad 3 de la definición

de función de probabilidad se cumple.

51

2.3 TEOREMAS PRINCIPALES

Espacio Equiprobable Considere los experimentos que tienen un número finito de resultados, por ejemplo n. Es totalmente realista que cada uno de esos posibles resultados tenga la misma probabilidad que sería . De manera general es suficiente para este tipo de experimentos utilizar la definición clásica de probabilidad y se pueden emplear los métodos de conteo para calcular el número de elementos de un evento. El espacio de eventos en estos casos es la clase potencia. Bajo las condiciones anteriores se tiene el espacio de probabilidad equiprobable, mismo que se define de manera formal a continuación:

Definición. Sean n puntos muestrales finitos que componen el espacio muestral

discreto de S. Se dice que P(.) es una función de probabilidad de sucesos igualmente verosímiles si satisfacen las siguientes condiciones:

a)

b) Si es un evento que contiene puntos muestrales cualesquiera, entonces

.

En el caso general la probabilidad de un evento A es

donde #A y #S representan el número de elementos de A y del espacio muestral, respectivamente. Ejemplo La urna uno contiene dos bolas blancas y una bola negra y la urna dos contiene una bola blanca. Se selecciona una bola de la urna uno y se coloca en la urna dos. Luego se selecciona una bola de la urna dos. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola seleccionada de la urna dos sea blanca?

sacar una bola sacar una bola

urna 1 urna 2 Se denotarán las bolas blancas de la urna uno como B1 y B2 y a la bola negra por N. También se denotará por B3 la bola blanca de la urna 2. Los puntos muestrales de este experimento son:

Punto muestral Bola seleccionada de

la urna 1

Bola seleccionada de la urna 2

W1 B1 B1 W2 B1 B3 W3 B2 B2 W4 B2 B3 W5 N N W6 N B3

El evento pedido es A: seleccionar una bola blanca de la urna dos, que ocurre si ocurre W1, W2, W3, W4 o W6.

nwww ,...,, 21

A An

52

Como todos los eventos son igualmente probables, entonces la probabilidad de cada uno de ellos es 1/6. Por lo tanto,

P (A) = P (W1) + P (W2) + P (W3) + P (W4) + P (W6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6

o equivalentemente

Puede ocurrir que el número de puntos muestrales sea tan grande que escribirlos sea cansado por lo que en muchas ocasiones es mejor contarlos solamente. Ejemplo Determine la probabilidad de que al lanzar un dado cinco veces se obtenga exactamente una vez el número dos. Solución Se puede notar que en cada lanzamiento hay seis resultados posibles, por lo que el espacio muestral de este experimento tiene 65 =7776 elementos. Si se escriben todos los puntos muestrales, se tardaría mucho tiempo, así que será mejor sólo contarlos. Como se quiere la probabilidad de que exactamente se obtenga un número dos entonces en los otros cuatro lanzamientos los números obtenidos son diferentes a dos, así que se pueden contar los casos mediante un arreglo de cinco líneas que representen los resultados de cada uno de los cinco lanzamientos. Por ejemplo, si el primer lanzamiento fue dos, el segundo tuvo que ser diferente de dos (hay 5 opciones), el tercero tuvo que ser diferente de dos (hay cinco opciones) y así sucesivamente para el cuarto y quinto lanzamiento, entonces se tiene el arreglo:

1 5 5 5 5 = 625 formas (multiplicando las opciones: 1x5x5x5x5)

El primer elemento es uno porque sólo hay una opción para que se obtenga el número dos. De manera análoga se puede ver que los arreglos para el caso donde el segundo lanzamiento sea dos serían:

5 1 5 5 5 = 625 formas

y así sucesivamente para los casos del tercer, cuarto y quinto lanzamiento. Por lo tanto la probabilidad del evento A: Se obtuvo exactamente un número dos es:

La probabilidad anterior indica que se obtiene exactamente un dos en el 40.19% de las veces en las que se lanza un dado cinco veces. Ejemplo En un salón de clase hay cinco hombres y cuatro mujeres. Se selecciona aleatoriamente cuatro personas para formar un comité, determina la probabilidad de que haya dos hombres y dos mujeres en el comité.

53

Solución El número de puntos muestrales es el número de comités diferentes que se pueden formar con las 9

personas es decir, hay comités diferentes. Por otro lado el número de comités que tienen

dos hombres y dos mujeres es

. Por lo tanto la probabilidad del evento A: el comité

está formado por dos hombres y dos mujeres es:

es decir, en el 47.62% de los comités formados por cuatro personas hay dos hombres y dos mujeres. Cuando el experimento tiene espacio muestral infinito se tienen que hacer algunas modificaciones al espacio de eventos y a la función de probabilidad. Este caso será estudiado en la siguiente unidad a través del concepto de variable aleatoria. Los siguientes teoremas son válidos para cualquier función de probabilidad definida en espacio de eventos y se demuestra empleando de manera directa los axiomas presentados anteriormente y las siguientes relaciones de conjuntos:

Teorema 1: Sea el evento vacío entonces .

Teorema 2: Sean y eventos ajenos entonces .

Teorema 3: Sean y eventos cualesquiera en el espacio de eventos entonces

Teorema 4: Sea un evento entonces .

Teorema 5: Si y son eventos tales que entonces .

Teorema 6: Si y son eventos entonces Teorema 7: Si y son dos eventos entonces

y .

La utilidad de los teoremas anteriores puede ser vista en los siguientes ejemplos: Ejemplo Se lanza una moneda y un dado. Defínanse los eventos:

A: El número obtenido en el dado es par. B: La moneda muestra águila. C: El número obtenido en el dado es 2 y la moneda muestra águila. D: El número obtenido en el dado es mayor que dos. E: El número obtenido en el dado es 7.

El espacio muestral está dado por S = {a1, a2, a3, a4, a5, a6, s1, s2, s3, s4, s5, s6 } donde a3 significa por ejemplo que en la moneda se obtuvo águila y en el dado el número 3. Si se escriben explícitamente los eventos se tiene que:

A= {a2, a4, a6, s2, s4, s6} B= {a1, a2, a3, a4, a5, a6}

)( CABABA

)()( CABBAB CBABA

0)( P

A B )()()( BPAPBAP

A B

A P(AC) =1- P(A)

A B BA P(A) £ P(B)

A B )()()( BAPAPBAP

54

C= {a2} D= {a3, a4, a5, a6, s3, s4, s5, s6} E=

Luego:

1) La probabilidad del evento E es

por lo que se cumple el Teorema 1.

2) C y D son eventos ajenos porque También

por lo que

que es igual a

. Se concluye que se cumple el Teorema 2.

3) por lo que

. Por otro lado

porque . Se concluye

que se cumple el Teorema 3.

4) DC= {a1, a2, s1, s2} así que

. Por otro lado

por lo que

se cumple el Teorema 4.

5)

que es lo que indica el Teorema 5, ya que

6) por lo que

Como

entonces se cumple el Teorema 6. Ejemplo En la siguiente tabla se enlista el historial de 940 obleas en un proceso de fabricación de semiconductores.

Centro de la máquina-herramienta de deposición electrónica NO SÍ

Contaminación Alta

NO 514 68 SÍ 112 246

Si se selecciona una oblea al azar, determinar la probabilidad de que sea del centro de la máquina-herramienta de deposición electrónica o que contenga niveles altos de contaminación (o ambos). Solución Sea A el evento de que la oblea contiene niveles altos de contaminación. Entonces,

Sea B el evento de que la oblea se encuentra en el centro de la máquina-herramienta de deposición electrónica. Entonces,

Además, la probabilidad de que la oblea sea del centro de la máquina-herramienta de deposición electrónica y contenga niveles altos de contaminación es:

Por lo tanto, la probabilidad pedida se obtiene a partir del Teorema 3:

55

es decir, el 45.32% de las obleas son del centro de máquina-herramienta de deposición electrónica o contienen niveles altos de contaminación. Ejemplo El 28% de los hombres estadounidenses fuma cigarros, 7% fuma puros y 5% fuma ambos, cigarros y puros. ¿Qué porcentaje de los hombres no fuman ni cigarros ni puros? Solución Se definen los eventos A: el hombre seleccionado fuma cigarros, y B: el hombre seleccionado fuma puros. Por el Teorema 3 la probabilidad de que la persona fume cigarros o puros es:

Entonces, por los Teoremas 4 y 7 la probabilidad de que la persona no fume ni cigarros ni puros es , lo que implica que el 70% de los hombres estadounidenses no fuma ni cigarros ni puros.

56

2.4 Probabilidad condicional y eventos independientes Definición. La probabilidad condicional de un evento A, suponiendo que ocurrió el evento B, es igual a

Siempre y cuando . El símbolo se lee: probabilidad de A dado B. Ejemplo Un recipiente contiene cinco transistores defectuosos (inmediatamente fallan cuando se ponen en uso), 10 transistores parcialmente defectuosos (que fallan después de unas horas en uso) y 25 transistores aceptables. Del recipiente se toma aleatoriamente un transistor y se pone en funcionamiento. Si no falla inmediatamente, ¿cuál es la probabilidad de que sea aceptable? Solución Defínanse los eventos B: El transistor no falla inmediatamente y A: El transistor es aceptable. Como el número de transistores que no fallan inmediatamente es 10+25=35 y el número de transistores

que son aceptables y no fallan inmediatamente es 25, entonces

y

. Por lo

tanto, la probabilidad deseada es

lo que indica que el 71.43% de los transistores que no fallan inmediatamente son aceptables. Observe que esta probabilidad también se hubiera obtenido de manera directa, del espacio muestral reducido. Esto es, como se sabe que el transistor no es defectuoso, el problema se reduce a calcular la probabilidad de que un transistor, tomado en forma aleatoria, de un recipiente que contiene 25 transistores aceptables y 10 parcialmente defectuosos, sea aceptable. Claramente esto es igual a 25/35=0.7143.

Ejemplo Los meteorólogos saben que el 10% de los días son lluviosos y nublados y que el 30% de los días son nublados. Si hoy está nublado, ¿cuál es la probabilidad de que llueva?

Solución Definamos los eventos A: Llueve hoy y B: El día esta nublado. Por hipótesis se tiene que y luego

es decir, el 33.33% de los días nublados llueve.

Ejemplo Se lanza un dado y se sabe que el número obtenido es menor que cuatro. Determina la probabilidad de que dicho número sea impar. Solución Defínanse los eventos A: La cara del dado es un número impar y B: La cara del dado es un número

menor que cuatro. Como B={1, 2, 3}, A={1, 3, 5} y entonces

y

,

luego,

57

La probabilidad anterior significa que el 66.67% de los números menores que cuatro son impares.

Otra forma de resolver este ejercicio es reducir el espacio muestral, es decir, como se sabe que el número obtenido es menor que cuatro entonces debe ser una de las siguientes opciones {1, 2, 3} de los cuáles {1, 3} cumplen la condición de ser impar. Entonces es directo que

En este ejemplo se puede ver que el evento A y el evento B son dependientes en el siguiente

sentido: originalmente

pero, cuando se sabe que el evento B ha sucedido

,

es decir, la probabilidad cambió al saber que ya sucedió B. Cuando la probabilidad del evento A es la misma inclusive cuando se sabe que otro evento B ha sucedido, se dice que A y B son independientes. Definición. Se dice que dos eventos A y B son independientes si cumplen cualesquiera de las siguientes condiciones:

En caso contrario se dice que los eventos son dependientes. Ejemplo Se lanza un dado y se observa el número que aparece. Considere los eventos

A. El número que se obtiene es impar. B. El número que se obtiene es par. C. El número que se obtiene es1 ó 2.

Responder las siguientes preguntas:

a) ¿Son A y B independientes? b) ¿Son A y C independientes?

Solución Explícitamente los eventos son A={1, 3, 5}, B={2, 4, 6} y C={1, 2}. Luego , y .

a) Como , entonces y como consecuencia . Entonces resulta evidente que . Por tanto, los eventos A y B no son independientes.

b) Como entonces

. Por lo que

. Además

. Como consecuencia A y C son independientes pues .

De la expresión para calcular la probabilidad condicional también se puede obtener otro resultado conocido como la Ley multiplicativa de la probabilidad y que se expresa a continuación. Ley multiplicativa de la probabilidad. Si A y B son dos eventos cualesquiera entonces,

y también,

58

Ejemplo La probabilidad de que la batería de un automóvil sometida a alta temperatura en el compartimiento del motor tenga una corriente de carga baja es 0.7. La probabilidad de que la batería esté sometida a alta temperatura en el compartimiento del motor es 0.05. Determina la probabilidad de que la batería de un automóvil seleccionado al azar tenga una corriente de carga baja y esté sometida a alta temperatura. Solución Sean los eventos A: la batería tiene la corriente de carga baja y B: la batería está sometida a alta temperatura en el compartimiento del motor. Por hipótesis y . Por lo tanto la probabilidad pedida es

es decir, el 3.5% de las baterías están sometidas a altas temperaturas y tienen una carga de corriente baja. Ejemplo La señora Pérez piensa que hay un 30% de posibilidad de que la empresa donde labora abra una sucursal en Campeche. En caso de que suceda ella tiene una probabilidad del 60% de ser nombrada directora comercial. ¿Cuál es la probabilidad de que la señora Pérez sea directora de la sucursal de Campeche? Solución Defínanse los eventos A: La señora Pérez es nombrada directora de la sucursal de Campeche y B: La empresa abre una sucursal en Campeche. Por hipótesis se tiene que P(A|B)=0.6 y que P(B)=0.3, entonces la probabilidad pedida es

lo que indica que hay un 18% de posibilidad de que la señora Pérez sea directora comercial de la sucursal de Campeche.

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2.5 TEOREMA DE BAYES Se comenzará el tema dando la definición de una partición. Definición. Una partición del espacio muestral es una colección de eventos que satisfacen las siguientes condiciones:

1. 2. para donde .

Ejemplo Considérese el lanzamiento de un dado y defínanse los eventos B1: El número obtenido es par y B2: El número obtenido es impar, es decir, B1={2,4,6} y B2={1,3,5}. Es claro que y que por lo que {A, B} forman una partición del espacio muestral. Si se definen ahora los eventos C1: el número obtenido es par, C2: el número obtenido es 1 y C3: el número obtenido es primo mayor a 2 entonces C1={2,4,6}, C2={1} y C3={3,5}, lo que garantiza que y la intersección de cualesquiera par de estos eventos es vacía por lo que {C1, C2, C3} también es una partición del espacio muestral. Se puede observar que para cualquier evento A del espacio muestral, {A, AC} siempre forma una partición del espacio muestral. Además, se tiene el siguiente resultado de probabilidad en términos de una partición. Ley de probabilidad total. Si constituye una partición de tal que , para

entonces para cualquier evento

Ejemplo La producción de partes manufacturadas en un día contiene 50 partes que no cumplen con los requerimientos del cliente y 800 que sí lo hacen. Se seleccionan una por una dos partes al azar sin reemplazo. Determina la probabilidad de que la segunda parte sea defectuosa. Solución Defínanse los eventos B: La primera parte es defectuosa y A: las segunda parte es defectuosa. Es natural pensar que los eventos no son independientes porque el hecho de saber que la primera parte es defectuosa sugiere que es menos factible que la segunda parte sea defectuosa. Claramente los eventos B y BC (la primera parte no es defectuosa) forman una partición del espacio muestral, luego por la ley de probabilidad total se cumple que

es decir, el 5.9% de las segundas partes que se seleccionan son defectuosas. Ejemplo Una compañía de seguros divide a las personas en dos clases, quienes son propensos a accidentes y quienes no lo son. Sus estadísticas muestran que una persona propensa a accidentes tendrá, en no más de un año, un accidente con probabilidad 0.4; mientras que esta probabilidad decrece a 0.2 para personas no propensas a accidentes. Si se piensa que 30% de la población es propensa a accidentes, ¿cuál es la probabilidad de que una persona que compra una nueva póliza tenga un accidente en no más de un año?

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Solución Se obtiene la probabilidad deseada condicionando primero si quien ha adquirido la póliza es o no propenso a accidentes. Sean los eventos A: la persona que compró la póliza tendrá un accidente en no más de un año y B: la persona que compró la póliza es propenso a accidentes. La probabilidad deseada es

lo que indica que el 26% de las personas que adquieren una nueva póliza tendrán un accidente en no más de un año. Ya se está listo para el resultado final de la unidad Teorema de Bayes. Sea una partición de tal que , para y A un evento. Entonces, para :

Ejemplo Una prueba de laboratorio es 99% efectiva para detectar una cierta enfermedad cuando ocurre realmente. Sin embargo, la prueba también da un resultado “positivo falso” en el 2% de las personas sanas que se les aplica. Si el 5% de la población tiene realmente la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad si la prueba fue positiva? Solución Defínanse los eventos B1: La persona está enferma, B2: La persona está sana y A: El resultado de la prueba es positivo. Luego se tiene que P(B1)=0.05, P(B2)=1-0.05=0.95, P(A|B1)=0.99 y P(A|B2)=0.02. Por el teorema de Bayes

es decir, el 72.26% de los personas tienen la enfermedad cuando la prueba es positiva. Otra forma de resolver el ejemplo previo es apoyándose en un diagrama de árbol elaborado de la siguiente manera:

1. La primera ramificación representa los eventos de la partición y en las ramas se escribe la probabilidad de cada uno de dichos eventos. En este ejemplo la partición está formada por los eventos B1: La persona está enferma y B2: La persona está sana cuyas probabilidades son y , respectivamente.

2. En cada rama se hace una segunda ramificación que representa los eventos que pueden suceder condicionados al evento de la partición que se ramificó en el paso anterior, en las

Enfermo

0.05

Sano

0.95

61

ramas se escriben las probabilidades condicionadas. Por ejemplo para la ramificación del evento B1: La persona está enferma se tienen las opciones A: El resultado de la prueba es positivo y la opción AC: El resultado de la prueba es negativo, por lo que en las ramas se escriben las probabilidades y .

Para la ramificación del evento B2: La persona está sana se tienen las opciones A: El resultado de la prueba es positivo y la opción AC: El resultado de la prueba es negativo, por lo que en las ramas se escriben las probabilidades y .

Uniendo las ramificaciones se obtiene el diagrama de árbol completo

3. En términos de las ramificaciones, la fórmula del teorema de Bayes queda como sigue: el numerador, dado por la expresión , está representado por la rama coloreada con rojo

Enfermo

Positivo

Negativo

0.05

0.99

Sano Positivo

Negativo

0.95

0.02

Sano Positivo

Negativo

0.95

0.02

Enfermo

Positivo

Negativo

0.05

0.99

62

mientras que el denominador, dado por la expresión , está dada por la suma de las ramas rojo y verde

Luego la probabilidad que se desea es

El diagrama de árbol ayuda a identificar de una manera sencilla los eventos de la partición con sus respectivas probabilidades y los eventos condicionados a cada evento de la partición con sus respectivas probabilidades. Además, considerando que el denominador en la fórmula del teorema de Bayes no es más que la ley de probabilidad total, se puede ver que el denominador siempre estará compuesto por la suma de los caminos del evento que ya ha sucedido: en este ejemplo el evento que ha sucedido es que el resultado de la prueba fue positivo. En cambio el numerador de la fórmula del teorema de Bayes es siempre el único camino que involucra el evento que ha sucedido y el que se desea: en este ejemplo el camino rojo representa el evento que ha sucedido (el resultado de la prueba fue positivo) y el que se desea (la persona tiene la enfermedad). Ejemplo Tres líneas de producción fabrican un fusible electrónico en una operación de manufactura. Los fusibles son costosos, muy confiables y se envían en los abastecedores en lotes de 100 unidades. Antes de aceptar o rechazar dichos lotes, la mayoría de los compradores prueba una sola pequeña cantidad de ellos debido a su alto costo, ya que se destruyen durante la prueba.

Enfermo

Positivo

Negativo

0.05

0.99

Sano Positivo

Negativo

0.95

0.02

Enfermo

Positivo

Negativo

0.05

0.99

Sano Positivo

Negativo

0.95

0.02

63

Las tres líneas de producción fabrican fusibles al mismo ritmo y normalmente producen 2% de fusibles defectuosos. Por desgracia la línea uno de producción tuvo problemas mecánicos y produjo 5% de fusibles defectuosos en el mes de agosto. El fabricante se enteró de lo anterior después de que se enviaron los fusibles. Un cliente recibió uno de los lotes producidos en agosto y de los dos fusibles que probó uno falló. ¿Cuál es la probabilidad de que el lote haya sido procesado en la línea uno? Solución Sea la probabilidad de que los dos fusibles se hayan fabricado por la línea =1,2,3 y D el evento que indica que un fusible de los dos probados estaba defectuoso. Directamente se tiene que P(L1)=P(L2)=P(L3)=1/3 pues todas las líneas fabrican fusibles al mismo ritmo. Por otro lado, la probabilidad de que uno de los fusibles sea defectuoso dado que se sabe que provino del lote uno es

pues hay dos opciones de que uno de los fusibles sea defectuoso y el otro sea bueno. De la misma manera,

y,

Por el teorema de Bayes, se obtiene la probabilidad deseada

Lo que significa que en el 54.79% de las ocasiones en los que se prueban dos fusibles y uno es defectuoso, los fusibles fueron producidos por el lote marcado con el número uno. Se invita al estudiante a resolver el ejemplo anterior utilizando un diagrama de árbol.