investigacion unidad 3 probabilidad frank felipe

Investigación Unidad 3: Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas. Página 1

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR

DE FELIPE CARRILLO PUERTO

“UNIDAD ACADEMICA TULUM”

CARRERA:

INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL.

MATERIA:

HABILIDADES DIRECTIVAS I.

TRABAJO:

INVESTIGACIÓN.

UNIDAD 3: TIPOS DE DISTRIBUCIONES, VARIABLES

ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS.

DOCENTE:

ING. MANUEL GILBERTO PUC LEÓN.

ALUMNOS:

JUAN FELIPE COCOM CHAN

FRANK LOPEZ SALINAS

SEMESTRE: 3

GRUPO: C

TULUM QUINTANA ROO 24 DE NOVIEMBRE DEL 2015


Índice.

Unidad 3: Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas. ....... 4

Binominal. ............................................................................................................ 4

Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. ...................................... 5

Gráfica. ............................................................................................................. 5

Poisson. ............................................................................................................... 6


Gráfica. ............................................................................................................. 7

Hipergeométrica. .................................................................................................. 8


Gráfica. ............................................................................................................. 9

Normal y logaritmo-normal. ................................................................................ 10

Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. .................................... 10

Gráfica. ........................................................................................................... 11

Aproximación de la normal a la binomial. ........................................................... 13

Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. .................................... 13

Gráfica. ........................................................................................................... 14

Conclusión............................................................................................................. 21

Bibliografía. ........................................................................................................... 22


Introducción.

En el siguiente trabajo de investigación de la unidad se presentara la información

necesaria para poder comprender lo que sin los tipos de distribuciones, las

variables aleatorias y las discretas. Por mencionar algunas de estas variables

podemos mencionar las binomiales, de igual forma mencionaremos la distribución

de Poisson, en esta investigación se mencionaran ejercicios para que se pueda

tener un mejor conocimiento. Esperemos que sea de su total agrado la siguiente

información y que ayudemos a su entendimiento.


Unidad 3: Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas.

Binominal.

La distribución binomial es típica de las variables que proceden de un

experimento que cumple las siguientes condiciones:

1) El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número

natural fijo.

2) Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la

variable binómica o de Bernouilli, es decir, sólo existen dos posibles

resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan generalmente

como éxito y fracaso.

3) La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todas las

pruebas. P(éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p = q

4) Las pruebas son estadísticamente independientes,

En estas condiciones, la variable aleatoria X que cuenta el número de ‚éxitos en la

n pruebas se llama variable binomial. Evidentemente, el espacio muestral estar

compuesto por los números enteros del 0 al n. Se suele decir que una variable

binómica cuenta objetos de un tipo determinado en un muestreo de n elementos

con reemplazamiento.

La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x,n,p)

siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del ‚éxito. n y p son los

parámetros de la distribución.

La manera más fácil de calcular de valor de números combinatorios, como los

incluidos en la expresión anterior, es utilizando el triángulo de Tartaglia.


Propiedades: Media, varianza y desviación estándar.

La media y la varianza de la variable binomial se calculan como:

Media = μ = n p

Varianza = σ2 = n p q

Gráfica.

Gráficamente el aspecto de la distribución depende de que sea o no simétrica Por

ejemplo, el caso en que n = 4:


Poisson.

Una variable de tipo poisson cuenta ‚éxitos (es decir, objetos de un tipo

determinado) que ocurren en una región del espacio o del tiempo. El experimento

que la genera debe cumplir las siguientes condiciones:

El número de éxitos que ocurren en cada región del tiempo o del espacio es

independiente de lo que ocurra en cualquier otro tiempo o espacio disjunto del

anterior. La probabilidad de un ‚éxito en un tiempo o espacio pequeño es

proporcional al tamaño de este y no depende de lo que ocurra fuera de él. La

probabilidad de encontrar uno o más ‚éxitos en una región del tiempo o del

espacio tiende a cero a medida que se reducen las dimensiones de la región en

estudio.

Como consecuencia de estas condiciones, las variables Poisson típicas son

variables en las que se cuentan sucesos raros. La función de probabilidad de una

variable Poisson es:

El parámetro de la distribución es λ que es igual a la media y a la varianza de la

variable.

Esta característica puede servirnos para identificar a una variable Poisson en

casos en que se presenten serias dificultades para verificar los postulados de

definición.


La distribución de Poisson se puede considerar como el límite al que tiende la

distribución binomial cuando n tiende a y p tiende a 0, siendo np constante (y

menor que 7); en esta situación sería difícil calcular probabilidades en una variable


binomial y, por tanto, se utiliza una aproximación a través de una variable Poisson

con media l = n p.

La varianza de la variable aproximada es ligeramente superior a la de la variable

binomial.

Las variables Poisson cumplen la propiedad de que la suma de variables Poisson

independientes es otra Poisson con media igual a la suma las medias.

El aspecto de la distribución depende muchísimo de la magnitud de la media.

Como ejemplo, mostramos tres casos con λ = 0,5 (arriba a la izquierda), λ = 1,5

(arriba a la derecha) y λ = 5 (abajo) Obsérvese que la asimetría de la distribución

disminuye al crecer λ y que, en paralelo, la gráfica empieza a tener un aspecto

acampanado.

Gráfica.


Hipergeométrica.

Una variable tiene distribución hipergeométrica si procede de un experimento que

cumple las siguientes condiciones:

1) Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazamiento, de un conjunto

finito de N objetos.

2) K de los N objetos se pueden clasificar como ‚éxitos y N - K como

fracasos. X cuenta el número de ‚éxitos obtenidos en la muestra. El

espacio muestral es el conjunto de los números enteros de 0 a n, ó de 0 a

K si K < n.

En este caso, la probabilidad del ‚éxito en pruebas sucesivas no es constante pues

depende del resultado de las pruebas anteriores. Por tanto, las pruebas no son

independientes entre sí. La función de probabilidad de la variable hipergeométrica

es:

Los parámetros de la distribución son n, N y K. Los valores de la media y la

varianza se calculan según las ecuaciones:

Si n es pequeño, con relación a N (n << N), la probabilidad de un ‚éxito variar muy

poco de una prueba a otra, así pues, la variable, en este caso, es esencialmente

binomial; en esta situación, N suele ser muy grande y los números combinatorios

se vuelven prácticamente inmanejables, así pues, la probabilidades se calculan


más cómodamente aproximando por las ecuaciones de una binomial con p = K /

N.


La media de la variable aproximada (μ = n p = n (K / N)) es la misma que la de la

variable antes de la aproximación; sin embargo, la varianza de la variable binomial

es ligeramente superior a la de la hipergeométrica.

El factor por el que difieren ser siempre menor que 1 y tan próximo a 1 como cierto

sea que n << N.

El aspecto de la distribución es bastante similar al de la binomial. Como ejemplo,

mostramos los casos análogos a los de las binomiales del apartado anterior (p

inicial = 0,25 y n = 4)

Gráfica.


Normal y logaritmo-normal.

La distribución normal fue definida por De Moivre en 1733 y es la distribución de

mayor importancia en el campo de la estadística.

Una variable es normal cuando se ajusta a la ley de los grandes números, es

decir, cuando sus valores son el resultado de medir reiteradamente una magnitud

sobre la que influyen infinitas causas de efecto infinitesimal.

Las variables normales tienen una función de densidad con forma de campana a

la que se llama campana de Gauss.

Su función de densidad es la siguiente:


Los parámetros de la distribución son la media y la desviación típica, μ y σ,

respectivamente. Como consecuencia, en una variable normal, media y desviación

típica no deben estar correlacionadas en ningún caso (como desgraciadamente

ocurre en la inmensa mayoría de las variables aleatorias reales que se asemejan a

la normal.

La curva normal cumple las siguientes propiedades:

1) El máximo de la curva coincide con la media.

2) Es perfectamente simétrica respecto a la media (g1 = 0).

3) La curva tiene dos puntos de inflexión situados a una desviación típica de la

media. Es convexa entre ambos puntos de inflexión y cóncava en ambas colas.


Gráfica.

4) Sus colas son asintóticas al eje X.

Para calcular probabilidades en intervalos de valores de la variable, habría que

integrar la función de densidad entre los extremos del intervalo. Por desgracia (o

por suerte), la función de densidad normal no tiene primitiva, es decir, no se puede

integrar. Por ello la única solución es referirse a tablas de la función de distribución


de la variable (calculadas por integración numérica) Estas tablas tendrían que ser

de triple entrada (μ, σ, valor) y el asunto tendría una complejidad enorme.

Afortunadamente, cualquier que sea la variable normal, X, se puede establecer

una correspondencia de sus valores con los de otra variable con distribución

normal, media 0 y varianza 1, a la que se llama variable normal tipificada o Z. La

equivalencia entre ambas variables se obtiene mediante la ecuación:

La función de distribución de la variable normal tipificada está tabulada y,

simplemente, consultando en las tablas se pueden calcular probabilidades en

cualquier intervalo que nos interese. De forma análoga a lo pasaba con las

variables Poisson, la suma de variables normales independientes es otra normal.

Histograma de una normal idealizada Histograma de una muestra de una

variable normal


Aproximación de la normal a la binomial.

En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos binomiales de

una forma muy aproximada con la distribución normal, esto puede llevarse a cabo

si n y p = p(éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeño y p tiene

un valor muy cercano a ½ ; esto es,

Dónde:

x = variable de tipo discreto; solo toma valores enteros.

= np = media de la distribución binomial.

= = desviación estándar de la distribución binomial.


Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial,

es muy parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular

probabilidades con la Normal en lugar de con la Binomial y de una forma más

rápida. En resumen, se utiliza la aproximación Normal para evaluar probabilidades

Binomiales siempre que p no esté cercano a 0 o 1. La aproximación es excelente

cuando n es grande y bastante buena para valores pequeños de n si p está

razonablemente cercana a ½. Una posible guía para determinar cuándo puede

utilizarse la aproximación Normal es tener en cuenta el cálculo de np y nq. Sí

ambos, np y nq son mayores o iguales a 5, la aproximación será buena.

Antes de empezar a resolver problemas con la aproximación Normal, es bueno

aclarar que se están evaluando probabilidades asociadas a una variable discreta

x, con una distribución que evalúa variables de tipo continuo como es la Normal,

npq

npxzpqpC)p,n,x(P xnx

xn

npq


Por lo que z sufre un pequeño cambio como se muestra a continuación:

Gráfica.

¿Por qué vamos a sumar o a restar ½ a x?

Este es un factor de corrección debido a que se está evaluando una variable

discreta con una distribución continua, por lo que hay que delimitar claramente

desde que punto se va a evaluar la variable, dicho de otra forma, en que límite de

la barra (inferior o superior) nos debemos posicionar para determinar la

probabilidad requerida, cada barra de probabilidad a evaluar tiene como base la

unidad, ese es el porqué del ½.

Ejemplos:

La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la

sangre es de 0.4. Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad,

¿Cuál es la probabilidad de que?:

A) Al menos 30 sobrevivan

B) Más de 46 sobrevivan

C) Menos de 50 no sobrevivan?

)/x(z

21

= 60 X = 65

X2 = 65.5

X1 = 64.5


Solución:

a)

n = 100

p = p(paciente se recupere) = 0.40

q = p(paciente no se recupere) = 1 – p = 1 – 0.40 = 0.60

= np = (100)(0.40) = 40 pacientes se recuperen

= = pacientes que se recuperan

x = variable que nos define el número de pacientes que se recuperan

x = 0, 1, 2,....,100 pacientes que se recuperan

P (z = -2.14) =0.4838

P (x 30) = p(z = -2.14) +0.5 = 0.4838 + 0.5 = 0.9838

npq 8994600400100 .).)(.(

142143328994

40529

8994

40213021..

.

.

.

)/()/x(z

= 40 X = 29.5


P (z = 1.33) = 0.4082

P (x 46) = 0.5 – p(z = 1.33) = 0.5 – 0.4082 = 0.0918

n = 100

p = P (paciente no sobreviva) = 0.60

q = P (paciente sobreviva) = 1 – p = 0.40

Pacientes que no se recuperan

Pacientes que no se recuperan

x = variable que nos define el número de pacientes que no sobreviven

x = 0, 1, 2,…, 100

3318994

40546

8994

402146

8994

4021.

.

.

.

)/(

.

)/x(z

60600100 ).)((np

8994400600100 .).)(.(npq

= 40 X = 46.5

= 60 X = 49.5


P (z = -2.14) = 0.4838

P (x 50) = 0.5 – P (z = -2.14) = 0.5 – 0.4838 = 0.0162

Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con 4 posibles

respuestas, de las cuáles solo una es la correcta ¿cuál es la probabilidad de que

al azar se den de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de las 200 preguntas

acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimientos?

Solución:

n = 80

p = P (dar una contestación correcta) = 0.25

q = P (dar una contestación incorrecta) = 1 – p = 0.75

Preguntas contestadas correctamente

Preguntas contestadas correctamente

x = número de preguntas que son contestadas correctamente = 0, 1, 2,...,80

, P (z1 = 1.16) = 0.377

1428994

60549

8994

602150.

.

.

.

)/(z

2025080 .xnp

8729375025080 .).).)((npq

1611619187293

2021252111 ..

.

)/()/x(z

= 20 X1 = 24.5

X2 = 30.5


, P (z2 = 2.71) = 0.4966

P (25 x 30) = P (z2) – P (z1) = 0.4966 – 0.377 = 0.1196

Si 35% de los productos manufacturados en cierta línea de producción es

defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 productos

manufacturados en esa línea a) menos de 354 productos sean defectuosos?, b)

entre 342 y 364 productos sean defectuosos?, c)exactamente 354 productos sean

defectuosos?

Solución:

a)n = 1000

p = p(un producto sea defectuoso) = 0.35

q = p(un producto no sea defectuoso) = 1- p = 0.65

Productos defectuosos

15.0831 productos defectuosos

x = número de productos defectuosos que se manufacturan en la línea = 0, 1, 2,...,

1000

7127111287293

2021302122 ..

.

)/()/x(z

3503501000 ).(np

).(.)((npq 6503501000

= 350 X = 353.5


, P (z = 0.23) = 0.091

p(x 354) = 0.5 + p(z = 0.23) = 0.5 + 0.091 = 0.5091

b)

, p(z1= - 0.56) = 0.2123

0.96, P (z2= 0.96) = 0.3315

P (342 x 364) = p(z1) + p(z2) = 0.2123 + 0.3315 = 0.5438

c)

23023200083115

3502135421354..

.

)/()/(z

56056350083115

350213421 ..

.

)/(z

96130083115

35021364213642 .

.

)/()/(z

= 350 X2 = 364.5 X1 = 341.5

= 350 X1 = 353.5

X2 = 354.5


0.23, p(z1 = 0.23) = 0.091

,

P (z2= 0.30) = 0.1179

P (x = 354) = p(z2) - p(z1) = 0.1179 – 0.091 = 0.0269

23200083115

35021354213541 .

.

)/()/(z

30029830083115

35021354213542 ..

.

)/()/(z


Conclusión.

Después de la información presentada acerca de la unidad sobre los tipos de

distribuciones donde se nos mencionan que Toda distribución de probabilidad es

generada por una variable aleatoria x, la que puede ser de dos tipos: Variable

aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes

valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque

solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Variable aleatoria

continua (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores,

aleatoria, porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque

puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de

ellos. Y otros de los ejemplos o derivados de estas distribuciones son las de

binomial, la de Poisson, Hipergeométrica, por mencionar. De esta información

presentada esperemos y allá sido de su total agrado y comprensión.


Bibliografía.

Berenson, k. L. (s.f.). Estadística para Administración. Prentice.

Fernández, G. F. (23 de Mayo de 2008). Blogspot. Recuperado el 24 de

Noviembre de 2015, de

http://pendientedemigracion.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_ba

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Jay, L. D. (2011). Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias. En L. D.

Jay, Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias (pág. 245).

Internacional Thomson Editores.

Sweeney, W. A. (2010). Estadistica para administración y Economia. En W. A.

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Internacional Thomson Editores.

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